MF Tema 5 Analisis Dimensional y Semejanza

7/27/2019 MF Tema 5 Analisis Dimensional y Semejanza

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Mecnica de Fluidos

Jean-Franois DULHOSTE Escuela de Ingeniera Mecnica - ULA

1

TTeemmaa 55

AANNLLIISS IISS DDIIMMEENNSS IIOONNAALL Y Y SS EEMMEEJJ AANNZZAA

IInnttr r oodduucccciinn En mecnica de fluidos la experimentacin tiene una gran importancia, y hasta la fecha se puede decir que los resultadosms importantes que existen hasta en la actualidad son producto de anlisis experimentales. Y a pesar de que cada vezlos anlisis por medio de computadoras toman ms importancia, en muchos casos se requieren de experimentos paravalidar los resultados numricos obtenidos. En este tema se estudiarn una serie de herramientas indispensables en larealizacin de experimentos en mecnica de fluidos.El trabajo en laboratorio en mecnica de fluidos suele ser muy costoso y ocupar mucho tiempo, sobre todo cuando sequieren estudiar fenmenos de gran tamao o gran precisin. Es por ello que se requiere reducir al mnimo el nmero deexperimentos requeridos.Para poder lograr esto es necesario un conocimiento aproximado de los valores o medidas en juego, ya que losexperimentos basados en diseos totalmente empricos suelen ser ms complejos de analizar, y por ende requieren mstiempo y son ms costosos. Adems que las pruebas a tamao real muchas veces resulta prohibitiva por sus grandesdimensiones y costo (una turbina hidroelctrica por ejemplo).Por todo lo anterior los experimentos de laboratorio se realizan utilizando la tcnica de anlisis dimensional , cuyoobjeto es disminuir el nmero de experimentos, disminuir los costos del mismo y simplificar el ensayo.El anlisis dimensional se basa en el concepto de homogeneidad dimensional, lo cual implica que todos los trminos deuna ecuacin deben tener las mismas dimensiones.Una forma de homogeneidad dimensional es y transformar en adimensional las ecuaciones utilizadas, lo cual quieredecir que la ecuacin se transforma en una serie de parmetros sin dimensiones. Por ejemplo si tomamos la ecuacin deBernoulli:

22

22

11

21

22h

g P

g V

h g

P g

V ++=++

La dimensin de cada uno de los trminos es una longitud, y si dividimos toda la ecuacin entre h1 obtendremos unaecuacin adimensional:

1

2

1

2

1

22

1

1

1

21

21

2 hh

gh P

ghV

gh P

ghV ++=++

Otra tcnica importante para realizar ensayos de laboratorio es la similitud, que consiste en estudiar modelos con el finde predecir lo que va a ocurrir en los prototipos.En este caso el estudio se realiza en modelos ya sea porque el prototipo tenga dimensiones demasiado grandes, como enel caso del flujo alrededor de un conjunto de edificios, en un represa, etc. O porque las dimensiones del prototipo seandemasiado pequeas para obtener un resultado suficientemente preciso como el caso de un flujo en un tubo capilar,alrededor de un alabe de turbina, o incluso de un microorganismo.

AAnnlliiss iiss ddiimmeennss iioonnaall

MMoottiivvaacciinn En el estudio de fenmenos con flujo de fluidos intervienen por lo general un gran nmero de parmetros de flujo ygeomtricos. Y es conveniente poder utilizar elmnimo nmero de combinaciones posibles entre los

parmetros.Tomemos por ejemplo la cada de presin P a travsde una vlvula corrediza como la mostrada en lafigura.Si queremos analizar la cada de presin podramossuponer que esta depende de las variables siguientes:

Flujo P 1 P 2

Placa mvil


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2

La velocidad promedio en la tubera V La densidad del fluido La viscosidad del fluido El dimetro de la tubera D La abertura de la vlvula h

Esto puede expresarse matemticamente como:

( )hd V f P ,,,, = Si queremos estudiar experimentalmente en este problema la relacin entrela cada de presin y cada uno de estos parmetros deberemos fijar unaestrategia. La primera que viene a la mente es fijar todos los parmetrosexcepto uno, por ejemplo la velocidad, y analizar la relacin entre este

parmetro y la cada de presin. Podramos hacer este experimento paravarios valores de uno de los otros parmetros, por ejemplo el dimetro de latubera. Podramos obtener as los resultados de la figura:Luego podramos repetir el estudio fijando otro jugo de parmetros ydejando libre a otros. Este mtodo puede ser til pero requiere del estudiode muchas combinaciones de parmetros.

Otra forma de realizar el estudio sera organizar los parmetros en una ecuacin adimensional, como sigue:

=

d hd V f

V P ,2

De esta forma obtendremos una relacin ms sencilla puesto que la combinacin de parmetros posibles es muchomenor, haciendo el mismo procedimiento que en el casoanterior podramos resumir los resultado del estudio en unasola figura como sigue:Sin embargo la informacin que presenta est figura sertil solo si se ha escogido una relacin de parmetrosadecuada, que presente la informacin ms importante del fenmeno. Por lo cual la escogencia de los parmetros arelacionar es sumamente importante y requiere por lo general la experiencia del que realiza el experimento

Existe un mtodo que permite obtener de una forma simple relaciones adimensionales entre los parmetros que influyenen un determinado fenmeno, este mtodo es denominado Teorema de Buckingham.

TTeeoor r eemmaa ddee BBuucckkiinngghhaamm El Teorema de Buckingham establece que si en un problema fsico dado, en donde una variable dependiente se puedeexpresar en funcin de n variable dependientes como:

( )n x x x f x ,...,, 321 = donde n representa el nmero de variables.Entonces se pueden formar n m grupos adimensionales de variables, llamados parmetros , donde usualmente m es elnmero de mnimo de variables independientes, y estos grupos de variables se pueden relacionar como:

( )mn F = ,...,, 321 Donde 1 incluye la variable dependiente y los dems grupos solo incluyen variables independientes. Donde la relacin

F se debe determinar experimentalmente. El parmetro no es independiente si se puede formar mediante el cociente o producto de otros parmetros .

El procedimiento empleado para aplicar el teorema de buckingham se pude resumir en los siguientes pasos:1. Escribir la relacin funcional f de la variable dependiente en funcin de las variables independientes.2. Escoger m variables repetitivas, que sern las variables que se combinaran con cada una de las restantes para

formar los parmetros . Estas deben incluir todas las dimensiones pero no deben formar un parmetro por sisolas.

3. Formar los parmetros combinando las variables repetitivas con cada una de las restantes.

V

P d 1 d 2 d 3

/d V

2V P

1.0

=d h 5.0=

d h 3.0=

d h


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4. Escribir la relacin funcional F entre el parmetro 1 que contiene la variable dependiente y los parmetros independientes. Esta relacin se determina experimentalmente.

Procedimiento detallado para el empleo del Teorema de BuckinghamPaso 1. Listar todos los parmetros significativos (donde n es el nmero de parmetros). Estos se seleccionan

de acuerdo a la experiencia de la persona. Si se sospecha que una variable influye esta se debe colocar, ya que

si no se incluyen todos los parmetros se obtendr una relacin que no podr ofrecer una imagen completa delfenmeno. Si este no afecta la variable dependiente aparecer un nmero adicional que los experimentosdemostraran que se puede eliminar.

Paso 2. Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones. Por ejemplo MLtT o FLtT (donde r es el nmero de dimensiones primarias presentes en el problema). Obsrvese que en problemas de transferenciade calor se debe incluir la temperatura T, y en sistemas elctricos la carga q.

Paso 3. Listar las dimensiones de todos los parmetros expresndolos en funcin de las dimensiones primarias.Segn el sistema de dimensiones escogido.

Paso 4. De la lista de parmetros elaborada en el paso 1, seleccionar aquellos que se repetirn en los parmetros adimensionales que se han de formar. Dichos parmetros repetitivos debern ser iguales ennmero a las dimensiones primarias r , y deber buscarse no dejar fuera ninguna dimensin. Los parmetrosrepetitivos no debern tener las mismas dimensiones netas, es decir no debern ser diferentes solo por elexponente. Por ejemplo no deber incluirse en los parmetros repetitivos a una longitud (L) y a un momento de

inercia (L4

). Los parmetros repetitivos podrn aparecer en todos los parmetros adimensionales que seobtengan; por lo tanto no deber incluirse el parmetro considerado como dependiente en estos parmetrosrepetitivos.

Paso 5. Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parmetros repetitivos seleccionados en le paso4 con cada uno de los parmetros restantes, buscando formar parmetros adimensionales, se obtendrn n mecuaciones dimensionales. Se resuelven estas ecuaciones dimensionales para obtener los n m parmetrosadimensionales.

Paso 6. Verificar que cada parmetro obtenido resulte efectivamente adimensional. Para ello si inicialmente seescogi el sistema LMT, se recomienda verificar la adimensionalidad utilizando el sistema FLtT y viceversa.

Comentarios sobre el procedimiento: Casi siempre se obtiene el nmero correcto de parmetros adimensionales usando m = r . Sin embargo en

algunos casos existen dificultades ya que el nmero de parmetros resulta diferente cuando se usan sistemasdiferentes de dimensiones primarias. En este caso el valor correcto de m se determina como el valor del rangode la matriz de dimensiones.

Los n m parmetros adimensionales que se obtienen no son nicos ya que dependen de la seleccin de los parmetros repetitivos. La prctica ensea que parmetros deben preferirse en funcin del problema estudiado.

Si n m = 1, entonces hay un solo parmetro = constante.

Ejercicios

Ejercicio 1La fuerza de arrastre F , que acta sobre una esfera liza colocada en una corriente uniforme de fluido, depende de la

velocidad relativa V , del dimetro de la esfera D, de la densidad del fluido , de la viscosidad del fluido . Obtener elconjunto de parmetros adimensionales que se puedan utilizar para correlacionar los resultados experimentales.

Ejercicio 2La cada de presin P , para un flujo viscoso incompresible y estacionario a travs de una tubera horizontal rectilneadepende de la longitud del tubo l , de la velocidad media V , de la viscosidad , del dimetro del tubo D, de la densidad ,y de la variacin promedio e del radio interno (es decir la altura promedio aproximadamente) Determinar un conjunto de

parmetros adimensionales que se puedan emplear para la correlacin de datos experimentales.


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Ejercicio 3Cuando un pequeo tubo se sumerge en un recipiente que contiene lquido, la tensin superficial ocasiona que se formeun menisco en la superficie libre , la cual se elva o se abate respecto a la superficie libre del lquido dependiendo delngulo de contacto que forma la interficie lquido-solido-gas. Los experimentos realizados sealan que la magnitud deeste efecto capilar h es funcin del dimetro del tubo D, del peso especfico del lquido ,y del tensin superficial .Determinar un nmero de parmetros independientes que se puedan formar en estas condiciones y obtener dichos

parmetros.

SSiiggnniif f iiccaaddoo ddee llooss ppaar r mmeettr r ooss aaddiimmeennss iioonnaalleess mmss ccoommuunneess

Nmero de ReynoldsInglaterra 1880.

VDVD ==Re

Donde: : densidad; V : velocidad del fluido; D: dimetro de la tubera; : viscosidad; v: viscosidad cinemtica.Representa el estudio de la transicin entre flujo laminar y flujo turbulento en un tubo.Esto representa una relacin entre:

viscosasFuerzasinercialesFuerzas

Re =

Y se usa para una semejanza dinmica con predominio de la viscosidad.

Esta expresin se puede generalizar para un elemento que no sea tubular como:

VLVL ==Re

Donde L es una longitud caracterstica del campo de flujo.Es til en flujos donde influyen los efectos viscosos como por ejemplo flujos internos y flujos de capa lmite.

Nmero de MachAustria 1870

cV

M =

Donde:c: velocidad del sonido en el fluido.Caracteriza los efectos de compresibilidad en el fluido.Esto representa una relacin entre:

lidadcompresibideFuerzasinercialesFuerzas= M

Y se usa para una semejanza dinmica con predominio de la elasticidad.De forma ms general:

2

2

cV M

=

Para flujo absolutamente incompresible 0== M c En general se toma que para M > 1 el flujo es compresible, y para casos prcticos se estudia el efecto de lacompresibilidad para M > 0.4.


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Nmero de Froude

gLV

Fr =

Caracteriza los efectos de las fuerzas gravitacionales.Si este se eleva al cuadrado tenemos:

nalesgravitacioFuerzasinercialesFuerzas

3

222 == gL

LV Fr

Y se usa para una semejanza dinmica con predominio de la gravedad.Es til en flujos donde influye la gravedad, principalmente en flujos de superficie lbre.

Nmero de Euler

( ) 221 V

P Cp Eu

==

Donde: P : presin local presin corriente arriba.Este caracteriza la presin en forma adimensional.Se usa para semejanza dinmica en gradiente de presiones.Por ejemplo en pruebas aerodinmicas y de otro tipo en modelos, en donde la cada de presin es significativa.

Nmero de Weber

L

V We

=

Donde: : coeficiente de tensin superficialSe usa para semejanza dinmica con predominio de la tensin superficial.Es til cuando la tensin superficial afecta el flujo, por ejemplo en el caso de flujo con interfaz

Nmero de Strouhal

V LSt =

Donde es la velocidad de rotacin del fluidoSe usa para semejanza dinmica con predominio de la fuerza centrfuga.Es importante en casos de flujo con una componente inestable que se repite peridicamente.

SSeemmee j jaannzzaa

IInnttr r oodduucccciinn Este consiste en el estudio de modelos y estimar los resultados que se deben producir en el prototipo en funcin de losresultados obtenidos sobre el modelo.Para poder realizar esto se debe poder considerar que el modelo utilizado es semejante al prototipo, de ah viene elnombre de semejanza.Para que un modelo sea semejante a un prototipo debe existir:

Semejanza Geomtrica Semejanza cinemtica Semejanza dinmica.

SSeemmee j jaannzzaa ggeeoommttr r iiccaa Para que un modelo tenga semejanza geomtrica con un prototipo este debe poseer una forma idntica con unadiferencia de tamao la cual ser representada por un factor de escala.


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mV pV

Am Ap

Lm Lp === 32 ;;

Donde: Lp: longitud caracterstica de prototipo Lm: longitud caracterstica de modelo Ap: Area caracterstica de prototipo Am: Area caracterstica de modelo

pV : Volumen de prototipomV : Volumen de modelo

: factor de escala

SSeemmee j jaannzzaa cciinneemmttiiccaa Para que exista una semejanza cinemtica entre un modelo y un prototipo, la direcciones y magnitudes de la velocidadesen juego en el experimente deben ser similares entre el modelo y el prototipo.

SSeemmee j jaannzzaa ddiinnmmiiccaa Cuando los flujos tienen distribuciones de fuerzas tales que en puntos correspondientes de ambos flujos (modelo y

prototipo), los tipos idnticos de fuerzas son paralelos y se relacionan en magnitud por un factor de escala en todos los puntos correspondientes.La forma de comparar un modelo con un prototipo es con los parmetros adimensionales, por lo general se puedenutilizar los conocidos, segn el tipo de fenmeno que se quiera estudiar, es decir:

Cuando en un fenmeno no intervienen ms fuerzas que las debidas al gradiente de presin:

pm Eu Eu = Cuando en el fenmeno existe predominio de la gravedad:

( ) Fr f Eu Fr Fr pm == Cuando en el fenmeno existe predominio de la viscosidad:

( )ReReRe f Eu pm == Cuando en el fenmeno existe predominio de la compresibilidad:

( ) M f Eu M M pm == Cuando en el fenmeno existe predominio de la tensin superficial:( )We f EuWer We pm ==

Para una semejanza dinmica perfecta se deberan cumplir simultneamente las semejanzas de todos los nmerosadimensionales. Esto es imposible por lo cual se escoge por lo general una sola semejanza, que ser siempre la que msafecta el fenmeno estudiado.

Ejercicios

Ejercicio 4Se desea predecir el arrastre en un transductor de sonar, basndose en los resultados obtenidos en pruebas de tnel deviento. El prototipo consiste en una esfera de un pie de dimetro, se debe arrastrar con una velocidad de 5 nudos (millanutica (Nmi) por hora) en agua de mar. El modelo tiene 6 pulgadas de dimetro. Determinar la velocidad necesaria parala prueba en aire. Si el arrastre en el modelo en las condiciones de prueba es de 5.58 lbf, estimar el arrastre que acta enel prototipo.1 Nmi = 6080 pies.Para el agua de mar = 1.98 slug/pie 3 y v = 1.4x10 -5 pie 2/s.Para el aire = 0.00238 slug/pie 3 y v = 1.56x10 -4 pie 2/s.


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SSeemmee j jaannzzaa iinnccoommpplleettaa En muchos casos prcticos la similitud exacta entre el modelo y el prototipo no se puede alcanzar, y en estos casos losresultados debern conformarse a una semejanza incompleta.Por ejemplo si se quiere estudiar la fuerza de arrastre de un barco, en la cual interviene la friccin superficial sobre el

barco, debida a fuerzas viscosas y la resistencia de onda superficial, debida a fuerzas de gravedad. Por lo tanto para queexista semejanza completa tanto los nmeros de Reynolds como los de Froude deben ser semejantes entre el modelo y el

prototipo.Para los nmeros de Froude tenemos:

( ) ( )2121 p p

m

m pm

gL

V

gLV

Fr Fr ==

Con lo cual se determina la razn de velocidad que se debe usar entre el modelo y el prototipo:2

1

=

p

m

p

m

L L

V V

En cuanto a los nmeros de Reynolds:

p

p p

m

mm pm v

LV

v LV == ReRe

Esto implica que para igualar los nmeros de Reynolds deber variarse la viscosidad del fluido, ya que la relacin deviscosidades vine dada por:

23

21

=

==

p

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p

m

L L

L L

L L

L L

V V

vv

Esto implica que si se usa un factor de escala de donde100

1= p

m

L L

, entonces1000

1= p

m

vv

.

Pero en la prctica esto es prcticamente imposible, ya que el barco se mover en agua y el nico fluido con viscosidadms baja que el agua es el mercurio.Adems el nico fluido que se puede usar comnmente para pruebas de laboratorio suele ser el agua. Esto implica queen este ejemplo la nica forma de obtener una semejanza completa es utilizar la escala natural, lo cual esextremadamente costoso.Sin embargo esta dificultad de obtener una similitud completa no invalida las pruebas en modelos, sin embargo para

poder utilizar los resultados obtenidos en las pruebas debe conocerse el fenmeno a estudiar y tomar en cuenta ciertosdetalles. Por ejemplo en el caso del arrastre con el barco, el nmero de Reynolds afectar la forma de la estela dejada por la capa lmite. Se deber entonces estudiar el fenmeno y compensar los efectos de alguna otra manera, por ejemploutilizando escalas distintas en las diferentes direcciones o cambiar artificialmente la rugosidad del modelo.

Ejercicios

Ejercicio 5Arrastre aerodinmico sobre un autobsSe disponen los siguientes datos de prueba de tnel de viento de un modelo a escala de 1:16:

Velocidad del aire (m/s) 18.0 21.8 26.0 30.1 35.0 38.5 40.9 44.1 46.7Fuerza de arrastre (N) 3.10 4.41 6.09 7.97 10.7 12.9 14.7 16.9 18.9Mediante el empleo de las propiedades del aire estndar, calcule y grafique el coeficiente de arrastre aerodinmicoadimensional:

AV F

C D D 221

=

Contra el nmero de Reynolds:


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Vw=Re

Donde w es el ancho del modelo. Encuentre la velocidad de prueba mnima arriba de la cual C D permanece constante.Estime la fuerza de arrastre aerodinmica y el requerimiento de potencia para el vehculo prototipo a 100 Km/hr. (Elancho y el rea frontal del prototipo son 8 pies y 84 pies 2 respectivamente).

SSeemmee j jaannzzaa ccoonn ppaar r mmeettr r ooss ddeeppeennddiieenntteess mmllttiipplleess En algunos casos puede existir ms de un parmetro dependiente, como por ejemplo en el caso del estudio de un a

bomba centrfuga.En estos casos los grupos de parmetros adimensionales deben formarse independientemente para cada uno de los

parmetros dependientes.En el caso del ejemplo, la bomba centrifuga se pueden identificar tres parmetros dependientes: La carga o presinsuministrada ( H ), la potencia requerida ( P ) y la eficiencia ( ). Y los parmetros independientes sern: el flujo ( Q), lavelocidad angular ( ), el dimetro del impulsor ( D) y las propiedades del fluido ( , ).Aqu es comn entonces obtener dos juegos de parmetros adimensionales:

( )( )

,,,,

,,,,

2

1

DQ f P

DQ f H ==

Utilizando el teorema Pi obtenemos dos juegos de parmetros adimensionales:

=

2

3122 , D

DQ

f D

H Coeficiente de carga

=

2

3253 , D

DQ

f D

P Coeficiente de potencia

Donde:

3 DQ

se denomina coeficiente de caudal

2 D

es una forma del nmero de Reynolds.

En cuanto a la eficiencia este es un parmetro que depende de larelacin entre la potencia de entrada y la potencia de salida quede por s ya es adimensional, por lo que no se requiere delclculo de los parmetros.En una bomba el funcionamiento es muy difcil de predecir excepto en condiciones cercanas al punto de diseo por lo tantose usan los parmetros adimensionales para predecir experimentalmente el funcionamiento de la bomba en todos losotros puntos de funcionamiento, obteniendo lo que sedenominan curvas de funcionamiento de las bombas, como seilustra en la figura, para el caso de un valor de velocidad angular

constante.La observacin emprica ha mostrado que en este caso las fuerzas viscosas no tienen mucha importancia, por lo tanto para que exista similitud completa es necesario que:

322

23

11

1

DQ

DQ

=

Por lo cual:

22

22

22

12

1

1

D H

D H

=

Potencia

Eficiencia

Carga

Flujo volumtrico


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9

52

322

25

13

11

1

D P

D P

=

Esto implica que si se conocen las condiciones de operacin para una mquina, las correspondientes a cualquier otramquina geomtricamente similar pueden obtenerse con los parmetros adimensionales cambiando las dimensiones y lavelocidad de rotacin.En el caso de bombas existe otro parmetro importante denominado velocidad especfica:

43

21

H Q

N s =

Esta se puede entender como la velocidad requerida para producir una carga unitaria a un caudal unitario. Y es de notar que su valor depende de las unidades utilizadas, a pesar de ser adimensional.

Ejercicios

Ejercicio 6Leyes de similitud en bombasUna bomba centrfuga tiene una eficiencia del 80% a una velocidad especfica de diseo de 2000 (en unidades rpm, gpmy pies). El dimetro del impulsor es d e8 pulg. En las condiciones de diseo, el caudal es de 30gpm de agua a 1170 rpm.

Para obtener un flujo mayor, la bomba se va a acoplar a un motor de 1750 rpm. Emplee las leyes de semejanza de bombas para encontrar las caractersticas de funcionamiento de diseo de la bomba a la velocidad ms alta. Muestre quela velocidad especfica permanece constante a la velocidad de operacin ms elevada. Determine el tamao requeridodel motor.

Ejercicios adicionales

Ejercicio 7Los experimentos muestran que la cada de presin debido al flujo a travs de una contraccin repentina en un ductocircular puede expresarse como:

( ) Dd V f P P P ,,,,21 == Donde: D dimetro mayor, antes de contraccin.

d : dimetro menor, despus de contraccin.A usted se le ha pedido organizar algunos datos experimentales. Obtenga para ello los parmetros adimensionalesresultantes.

Ejercicio 8Un automvil debe viajar a travs del aire en condiciones estndar a 100 Km/hr. Para determinar la distribucin de

presiones, se debe probar el modelo en agua a escala 1/5 de la longitud del vehculo. Determinar la velocidad del aguaque debe utilizarse. Qu factores deben considerarse para asegurar la semejanza cinemtica en esta prueba?

Ejercicio 9Un propulsor modelo de 2 pies de dimetro se prueba en un tnel de viento. El aire se aproxima al propulsor a 150 pies/scuando este rota a 2000 rpm. El empuje y el momento torsor medidos en estas condiciones son 25 lbf y 7.5 pies-lbf,respectivamente. Un prototipo 10 veces ms grande que el modelo se va a construir. En el punto de operacindinmicamente similar, la velocidad del aire que se aproxima ser de 400 pies/s. calcule la velocidad, el empuje y elmomento de torsin del propulsor prototipo en estas condiciones, despreciando el efecto de la viscosidad peroincluyendo la densidad.

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