GeometríaUnidad 1 Conceptos básicos

Actividad 2. Teoremas y propiedades

1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera.

3. Argumenta tu respuesta.

a. Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R. Falso, la proposición sería verdadera en caso de ser dos planos solamente, al ser tres planos existe por lo menos una recta que los une, un ejemplo sería que los planos sean todos perpendiculares entre sí, teniendo dos líneas rectas que los intersectan.

b. Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas. Falso, al ser paralelas dos de las rectas no existe punto de intersección entre ellas, solo la intersección entre la recta que las corta y cada una de las rectas paralelas.

c. Todas las rectas de un plano tienen un punto central. Verdadero, a cualquier recta se le puede obtener un punto central independiente de su longitud

d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto. Verdadero, al ser ángulos agudos significa que son menores de 90 grados, lo cual al sumarse se obtiene un ángulo que es mayor que 0 y menor de 180 grados

e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º.Verdadero, por definición dos ángulos son suplementarios cuando su suma es de 180 grados

f. Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R1 se llama una recta perpendicular de R2.Verdadero, dos rectas son perpendiculares entre si, si el ángulo entre ellas es recto.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

GeometríaUnidad 1 Conceptos básicos

g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares.Falso, para que un ángulo sea colateral interno debe tener la característica de no ser adyacente, en el caso de los triángulos todos sus ángulos internos son adyacentes

h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios.Falso, al ser alternos externos pueden pertenecer a dos rectas diferentes que tienen ángulos que no son suplementarios entre si, ya que no hay relación que los una

i. Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios. Falso, al dividir un ángulo por su bisectriz se obtienen dos ángulos congruentes, más no complementarios.

4. Realiza las siguientes demostraciones

j. Sean los puntos A, B y C colineales. Si no contiene al punto A, entonces dado el

punto central D de se cumple que .Falso, al tener la suma de BD y DC se obtiene la distancia del segmento BC,

y al dividirlo entre 2, obtenemos la distancia de cualquier extremo del segmento BC al punto D, al mencionar que el punto A se encuentra fuera de la recta, la distancia del segmento AD tendría que ser la distancia del punto A al punto mas cercano del lado de la recta BC, esto es, AB o AC según sea el caso, mas la mitad de la distancia al punto central D, lo cual nos daria AD = AB + BD, o AD = AC + CD

k. Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que . Entonces, si

y ; determinar las medidas de .Supongamos que los puntos se encuentran en forma ascendente a lo largo

de la línea, esto es A B C D E, lo cual se deduce de los segmentos individuales los cuales son AB BC CD DE; en la cual tenemos que la longitud total es de AE o 75, adicionalmente que el segmento BC = AB + 1, el segmento AB es igual al DE y es igual a dos veces el CD.O lo que es lo mismo: (AB+2CD+DE) + BC = AE, sustituyendo BC tendríamos que: (AB+2CD+DE) + (AB + 1) = AE, y ya que esos segmentos son equivalentes, tendríamos que AB = (AE – 1) / 4 = 18.5

Dándonos finalmente que AB = DE = 18.5, BC = 19.5 y CD = 9.25

l. Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.

Correcto, si tenemos que el ángulo denotado por ABC complementa con el ángulo CBD, tendríamos que m(ABC) + m(CBD) = 90 y adicionalmente el mismo ángulo CBD complementa a otro ángulo DBE, tendríamos que m(DBE) + m(CBD) = 90, si queremos comprobar que son iguales entonces tendríamos que: m(ABC) +

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas

GeometríaUnidad 1 Conceptos básicos

m(CBD) = m(DBE) + m(CBD), o lo que es lo mismo m(ABC) = m(DBE), lo cual demuestra que ambos ángulos son iguales.

m. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta.

Correcto, al ser ángulos opuestos se encuentran uno contra otro, suponiendo que el primer ángulo está dado por ABC y el segundo DBE el cual esta a 180 grados rotando ABC por el vértice B, si la bisectriz del primer ángulo esta definida en el punto medio de ABC dado por el segmento de recta BF, entonces m(ABF) = m(BFC) por definición, ahora como el ángulo opuesto está en DBE, trazando la bisectriz en definiendo un segmento de recta BG, tenemos que m(DBG) = m(GBE), y como este ángulo esta 180 grados rotado al original, tendríamos que la bisectriz, está rotada también 180 grados de la primer bisectriz, poniendo ambas en la misma recta.

n. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento se extiende por otro

segmento , se forma así un ángulo cuya bisectriz está dada por la recta

que contiene al segmento de recta . Si los ángulos , entonces los

segmentos y son paralelos.

o. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un

segmento de recta es una de las diagonales del romboide, entonces los ángulos de los vértices B y D son congruentes.

5. Cuando concluyas los ejercicios guárdalos en un archivo .doc con el nombreMGEO_U1_A2_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas