GeometríaUnidad 1. Conceptos Básicos

Actividad 3. Convexidad

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

GeometríaActividad 3. Convexidad

FACILITADOR:EDGAR DANIEL DE LA ROSA LAGUNAS

ALUMNO:FELIPE MENDOZA BRAVO

AL12513009

13 DE AGOSTO DEL 2013

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

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GeometríaUnidad 1. Conceptos Básicos

Actividad 3. Convexidad

1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera.

3. Argumenta tu respuesta.

a. El conjunto de puntos en un plano formado por una circunferencia y su interior es un conjunto convexo.

Falso el conjunto convexo son las curvas que asemejan la circunferencia.

b. El conjunto formado por los puntos que se encuentran entre dos líneas rectas incluyendo las rectas es un conjunto convexo.

Verdadero si es es que asemejan.

c. Cualquier plano en el espacio E es un conjunto Convexo.

Verdadero ya que un conjunto de puntos de un espacio vectorial es convexo si dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une ese conjunto.  Dicho de otra forma, para toda pareja de puntos se puede ir en línea recta de uno al otro sin salirse del conjunto.

d. La siguiente figura nos muestra un polígono que junto con su interior forman un conjunto convexo.

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Actividad 3. Convexidad

Falso ya que las lineas exteriore son no convexas.

e. La unión de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Falso, según las propiedades de los conjuntos convexos no puede serlo.

f. Si tenemos dos circunferencias que tienen a una recta tangente en común, entonces podemos trazar un segmento de recta que una a los centros de ambas circunferencias y sea perpendicular a la tangente.

Falso

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Actividad 3. Convexidad

g. Un polígono de cuatro lados correspondiente a un paralelogramo con un ángulo interior recto, tiene en la suma de sus cuatro ángulos interiores un total de 270º.

Falso. La suma debe de ser 360º

h. Todo paralelogramo suma en sus ángulos internos 180º.

Falso porque en un triángulo suma 180º y en un cuadrado 360º y ambos son paralelogramos.

i. Un hexágono o polígono de seis lados tiene 36 cuerdas.

Falso ya que tiene 9 cuerdas.

4. Realiza las siguientes demostraciones.

j. Sea una circunferencia C en un plano P. Demostrar que la longitud del diámetro de C es 2r.

Solo se puede demostra con la imagen ya que es una propiedad del circulo que su diamentro entre 2 es el radio.

k. Sea C una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en un punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente. Probar que la recta tangente es perpendicular al radio r.

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Actividad 3. Convexidad

l. Sea la circunferencia C, el círculo interior contiene todos los puntos al interior de la circunferencia. Si O es el punto central del círculo, entonces para cualquier par de puntos A y B dentro del círculo demostrar que m (AB ) < 2r

m. Sea C una circunferencia. El diámetro D de C tiene una mediatriz. Demostrar que la recta tangente que pasa por el punto de intersección de la mediatriz y la circunferencia C es paralela a la recta que contiene al diámetro D.

La mediatriz del diámetro es una recta perpendicular al diámetro pasando por el centro del diámetro que es el centro de la circunferencia, luego la mediatriz contiene otro diámetro perpendicular al primero.  Y como diámetro contiene dos radios. 

Todo ello podemos verlo en este gráfico.  CD es el diámetro, la recta AB es la mediatriz, AB es un radio, luego la tangente en B es perpendicular a la recta AB Luego tenemos que la tangente por B y la recta CD son ambas perpendiculares a la recta AB, y por lo tanto son paralelas entre sí.

n. Sea C una circunferencia. En un punto A sobre la circunferencia pasan dos rectas, una que contiene a uno de los diámetros de C y otra recta que es secante a C. Si por este punto A pasa una recta tangente, demostrar que los ángulos formados por la recta del diámetro, la secante y la tangente son complementarios.

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Actividad 3. Convexidad

El diámetro y la tangente forman 90º  Y la secante lo único que hace es dividir ese ángulo de 90º en dos ángulos alfa y beta. Alfa es el ángulo de del diámetro con la secante y beta el ángulo de la secante con la tangente. alfa + beta = 90. Cuando dos ángulos suman 90º se dice que son complementarios, luego alfa y beta lo son.

o. Sea C una circunferencia. Si una recta secante es paralela a una recta que contiene al diámetro D. Demostrar que la mediatriz de D es mediatriz también de la cuerda contenida

en la recta secante.

Entonces la otra cuerda por ser paralela, será un segmento horizontal y estará contenida en una recta de ecuación y=k para cierta k tal que 0 <= k <= R

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Actividad 3. Convexidad

La mediatriz de la cuerda que es el diámetro es la perpendicular al eje X pasando por el centro de la circunferencia, es decir, el eje Y.  Vamos a demostrar que el eje Y también es la mediatriz de la cuerda AB. 

El eje Y es perpendicular a AB ya que AB es paralelo a CD y todas las perpendiculares a la recta AB lo son a la recta CD.

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