Dado a que el segmento AB EF, por lo tanto el ángulo EKA es igual a 90° y dado a que AC DE el ángulo EHA=90°. Los lados KE, EH, HA y AK forman un polígono irregular sus ángulos interiores son de 360° por lo tanto el ángulo EKA+ el ángulo BAC + el ángulo AHE + el ángulo HEK =360° al sustituir tenemos que 90° + BAC + 90° + 145° =360°; despejando se tiene que el ángulo BAC= 35°.

Se tiene que BA||ED y que ED||GH; por transitividad tenemos que BA||GH Ahora tenemos que los segmentos BC||EF y EF||HI, por transitividad tenemos que BC||HI; los ángulos formados por los segmentos son iguales por definición de paralelismo; así que el ángulo ABC = al ángulo DEF que es igual al ángulo GHI. Si el ángulo GHI=75° entonces el ángulo ABC es igual a 75°.

Para hacer esta demostración necesitamos este teorema:

Teorema 3.1.6 Si en un cuadrilátero convexo cada par de lados opuestos son congruentes (o iguales) entonces él es un paralelogramo.

Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero ABCD en el cual AD =BC, y DC=AB.Tenemos que demostrar que AD es paralelo a BC y que DC es paralelo a AB. Si trazamos AC generamos el par de triángulos _ADC y _ABC en donde AD=BC, DC=AB, Y AC= AC.

Ahora por el criterio L.L.L podemos ver que _ADC ≅ _ABC. Luego 1 =4 y 2=3.Por un lado, como 1 y 4 son ángulos alternos internos iguales con respecto al sistema AD y BC, entonces AD y BC son paralelos.

Por otro lado, como 2 y 3 son ángulos alternos internos iguales con respecto al sistema DC y AB, entonces DC es paralelo a AB. Concluimos así que ABCD es un paralelogramo.Con esta demostración podemos tener las siguientes premisas:

R1 II BC R1 II AD R2 II AB R2 II CD

Ahora para la demostración tomaremos en cuenta que el segmento R2 corta en el segmento BC en el punto que llamaremos F´. R1 corta en el segmento BA en el punto que llamaremos G´.

Ahora el ángulo FOG y el ángulo GOF´ son suplementarios por lo que la suma de ambos es de 180°; si el ángulo FOG=125° entonces FOG + GOF´ =180°, entonces GOF´= 55°; Se tiene que el ángulo FOG es igual al ángulo G´OF´, por lo que miden 125° cada uno y esto es porque son opuestos por el vértice. Se tiene que el ángulo GOF´ es igual al ángulo FOG´, por lo que miden 55° cada uno y esto es porque son opuestos por el vértice.

Ahora el ángulo FOG es igual al ángulo es igual al ángulo FDG, por ser ángulos opuestos (como se demostró en el teorema anterior), por lo que el ángulo FDG es igual a 125°. Como es un paralelogramo, el ángulo FDG es igual al ángulo RBF´ por lo que miden cada uno 125°; el ángulo GOF´=55° y por ser ángulo opuesto al paralelogramo (por lo demostrado con anterioridad), entonces el ángulo GCF´ por lo que mide 55°; si el ángulo GCF es igual al ángulo FAG´ por ser ángulo opuesto al paralelogramo entonces cada uno mide 55°. Por lo que queda demostrado.

Teorema 2.3 Sean tres rectas R1, R2 y R3, tales que R1 II R2 y R3 interseca a R1 y R2. Sean los ángulos α y β opuestos o alternos externos, entonces α = β.

Teorema 2.4 Sean α y β ángulos, entonces:

a) son iguales si son perpendiculares y ambos son agudos u obtusos;b) son suplementarios si son paralelos y uno es agudo y otro obtuso.

Demostración.Hipótesis.1. α y β son ángulos,

Tesis.a) Si y son perpendiculares y miden menos de 90º o más de 90º, entonces son iguales;b) Si son paralelos y tales que uno mide menos de 90º y el otro mide más de 90º, entonces son suplementarios.

Desarrollo de la demostración.Supongamos que α y β miden más de 90º, es decir son obtusos, por demostrar que α = β.Entonces, tracemos un ángulo GAH = γ tal que β II γ.

Sabemos por los teoremas y las definiciones anteriores β = γ al tener sus lados correspondientes paralelos; se sigue que, podemos definir al ángulo GAH = γ. Por construcción se tiene que α y δ son ángulos suplementarios; de igual forma δ y γ son suplementarios, se sigue qué α + δ =180° y γ + δ =180° de esto podemos igualar ambas ecuaciones, tales que α + δ = γ + δ restamos de ambos lados δ de esta ecuación y tenemos que α = γ y recordando que α = β podemos concluir igualando estas dos ecuaciones que Esto era lo que se quería demostrar.

El triángulo WAO es un triángulo rectángulo.El triángulo OAH es un triángulo rectángulo.El triángulo PAW es un triángulo escaleno.El triángulo GAH es un triángulo escaleno.El triángulo KPA es un triángulo isósceles.El triángulo KAG es un triángulo isósceles.

Dado a que es triángulo rectángulo isósceles se sabe que la bisectriz de esta que es el segmento KO divide al triangulo en dos triángulos rectángulos iguales, por lo que el ánguloHKW se divide en HKO = 45° y el ángulo OKW =45°.

El segmento KO es bisectriz del triángulo KHW que divide al triangulo en dos triángulos iguales, por lo que el ángulo HKO = 22.5° y el ángulo OKW =22.5°; por consiguiente los ángulos HWG =22.5° y GWK = 22.5° por el teorema 2.8.

Así tenemos que el triángulo OWA está formado por los siguientes ángulos:El vértice O es un ángulo de 90°, el vértice W =22.5° y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice A =67.5°

Por lo tanto el triángulo OHA está formado por los siguientes ángulos:El vértice O es un ángulo de 67.5° el vértice H =22.5° y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice A =67.5°

Tenemos que el triángulo KAG está formado por los siguientes ángulos:El vértice A es un ángulo de 67.5° (son opuestos por el vértice), el vértice K =45° por lo mencionado con anterioridad y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice G =67.5° y porque es un triángulo isósceles.

Por lo tanto el triángulo AKP está formado por los siguientes ángulos:El vértice A es un ángulo de 67.5° (son opuestos por el vértice), el vértice K =45° por lo mencionado con anterioridad y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice P =67.5° y porque es un triángulo isósceles.

Tenemos que el triángulo GAH está formado por los siguientes ángulos:

El vértice G es un ángulo de 67.5° por definición de bisectriz, el vértice A =67.45° por lo mencionado con anterioridad y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice H =45° y porque es un triángulo isósceles.

Por lo tanto el triángulo WAP está formado por los siguientes ángulos:El vértice P es un ángulo de 67.5° por definición de bisectriz, el vértice A =67.45° por lo mencionado con anterioridad y por el Teorema 2.5 sabemos que el vértice W =45° y porque es un triángulo isósceles.

Para hacer la demostración tenemos que el segmento CD es la mediatriz de la hipotenusa, representada por el segmento AE; por lo tanto, el segmento AB II CD por definición de mediatriz; el ángulo E es el mismo para el triángulo AEB y CED; el ángulo EDC =al ángulo EBA por ser ángulos correspondientes, al mismo tiempo el ángulo EBA = al ángulo EDC por ser ángulos correspondientes, ahora por el teorema 2.10 se tiene dos ángulos congruentes. Por lo que queda demostrado.

Se tiene tres triángulos equiláteros ABC, CFG y HIJ; el triángulo ABC es dos veces menor al triángulo EFG y tres veces menor al triángulo HIJ; dado a que los tres lados son similares por el teorema 2.10, determinamos que sus ángulos son congruentes y son iguales dado a que por definición son triángulos equiláteros, por lo tanto tienen los mismos ángulos por lo que queda demostrado.

Las premisas que tenemos son:

El ángulo α = al ángulo β; por ser un triángulo isósceles;El ángulo δ = al ángulo θ; por la definición de bisectriz del segmento AD;Ahora α + β + γ =180° y γ + δ + θ = 180°; al igualar ambas ecuaciones tenemos que α + β + γ = γ + δ + θ al hacer las operaciones algebraicas se tiene que α + β = δ + θ. Tomando en cuenta que el ángulo α = al ángulo β y el ángulo δ = al ángulo θ por lo tanto tenemosα + α = θ + θ entonces 2 α = 2 θ a dividir ambas partes entre 2 se tiene que ángulo α = al ángulo θ; por lo tanto el segmento AD es paralelo al segmento BC, por lo que queda demostrado.