República Bolivariana de Venezuela

Ministro de poder popular para la educación universitaria

Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”

Ingeniería de Sistemas

Ensayo de la Teoría de la

Probabilidad

Integrante:

Miguel Morillo CI: 20.439.355

Maracaibo, Julio del 2014.

INTRODUCCIÓN

La teoría de la probabilidad es una teoría matemática axiomatizada, sobre la cual

existe un amplio consenso, la formulación usual de la teoría de la probabilidad se hace

en el lenguaje de la teoría de conjuntos. El dominio de la teoría es un conjunto no

vacío de elementos cualesquiera, habitualmente simbolizado como Ω, la probabilidad

es una función que asigna números reales a los subconjuntos de Ω. El objeto de la

teoría de probabilidades es proporcionar un modelo matemático adecuado, aplicable a

la descripción e interpretación de los fenómenos aleatorios. La construcción del

modelo se basa en los siguientes conceptos: espacio muestral, evento o sucesos,

espacio de la probabilidad, eventos independientes, dependientes entre otros, que a

continuación serán explicados con mas profundidad.

Conceptos de espacio muestral, eventos, relaciones entre eventos y familia de

eventos.

Espacio Muestral: El espacio muestral es el conjunto de la totalidad de los

resultados posibles de un experimento aleatorio.

El conjunto de todos los resultados posibles pueden ser finito, infinito numerable o

infinito no numerables. Espacio muestral Discreto y continuo.

Eventos: un evento o un suceso es el conjunto de uno o más de los

resultados posibles de un experimento aleatorio.

Relaciones entre eventos y familia de eventos:

AUB = Suceso A o el Suceso B o ambos

AB) = El suceso A y B

AB = Ф Son Sucesos excluyentes mutuamente, es decir no tienen elementos comunes

A = El Suceso no A

A – B = Todos los elementos de A siempre y cuando no estén en B

Concepto de probabilidad y los axiomas y en que esta se basa:

La teoría de la Probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos

aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales

el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un

resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a

nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de

realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como

resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de

un dardo Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no

serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos de aleación en

sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones

iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas

para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la

medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

Definición clásica de probabilidad

Es el número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el

número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad

de realizar el experimento.

La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio

muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica:

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el

lanzamiento de un dado? Si E: 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es

n (E) = 3. Si S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es

(S) =6.

Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para

que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente

sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogórov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-

álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna

valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P

es una probabilidad sobre ñ (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0.

Segundo axioma

La probabilidad del total, es igual a 1, es decir,

Tercer axioma

Si son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a

dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de

varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus

componentes.

En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de

subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra

los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias

a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la

terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la

denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio

muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y

la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Propiedades que se deducen de los axiomas

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

1. donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso

imposible

2. Para cualquier suceso

3.

4. Si entonces

5.

Definición de probabilidad condicional, eventos Independientes, eventos

dependientes, ley de probabilidad total y teorema de Bayes.

Probabilidad Condicional:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro

evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad

de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder

en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B,

viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales

son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un

papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso

se escribiría como P (Cara | 6).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de

Bayes.

Definición

Dado un espacio de probabilidad y dos eventos o sucesos con

, la probabilidad condicional de A dado B se define como

Se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple,

la fracción en los que también se cumple A.

Interpretación

Se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple,

la fracción en los que también se cumple A.

Ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la

probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los

mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el

espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los

mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso

, es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo

que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color

verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el

área verde representa y el área de B representa a , formalmente se

tiene que:

Propiedades

1.

2.

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la

probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

1.

Eventos Independientes:

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta será, o

Puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales.

Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional

de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Eventos dependientes:

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo sí . Entonces,

.

Además, si entonces es igual a 0.

Ley de Probabilidad total:

Si A1, A2 y A3 son tres sucesos entonces:

Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en

el Teorema de la probabilidad total. A partir de que ha ocurrido el suceso B (ha

ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o

hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a

intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio,

recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema

completo.

Ejercicio: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de

semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un

accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no

sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovía o hubo niebla). El teorema de Bayes nos

permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se

denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla

con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las

probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que

se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente

(probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

Muestras de población, definición de permutaciones y combinaciones y sus

aplicaciones a los diferentes eventos

Población: Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen

ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado

fenómeno (pueden ser hogares, número de tornillos producidos por una fábrica

en un año, lanzamientos de una moneda, etc.). Llamamos población

estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las

observaciones.

Muestra: Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a

partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la

población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las

conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población.

Permutaciones: Una permutación es una combinación en donde el orden es

importante. La notación para permutaciones es P(n, r) que es la cantidad de

permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

Ejemplo: Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente

calificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta. La segunda

calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8 restantes. La tercera

calificación podría ser obtenida por uno de los 7 restantes.

La cantidad de permutaciones posibles sería: P (9,3) = 9*8*7 = 504 combinaciones

posibles de las tres calificaciones más altas.

Combinaciones: Una colección de cosas, en la cual el orden no tiene

importancia.

Ejemplo: Si estás preparando un sándwich, ¿cuántas posibles combinaciones

de dos ingredientes puedes lograr con queso, mayonesa y pavo?

Respuesta: queso, mayonesa, queso, pavo o mayonesa, pavo

si el orden sí importa, es una Permutación.

Aplicaciones: se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría

de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles

de un sistema). También tiene importantes aplicaciones en el diseño y

funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias

físicas y sociales. De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas

aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un

número finito de elementos.

CONCLUSIÓN

En muchos campos de la actividad humana se trabajan fenómenos que poseen algún

grado de incertidumbre y en un importante número de situaciones se llega a

decisiones soportadas en el estudio de tales hechos, La incertidumbre se presenta

debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observa, pero además por el

desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar los

parámetros que determinan ese estado de la naturaleza. Hoy en día existen métodos o

modelos matemáticos que nos permiten por medio de ellos solucionar problemas

estadísticos, gracias a investigadores se ha creado una manera más fácil de resolver

problemas, aplicando formulas o métodos para cada caso. La teoría de la probabilidad

nos permite predecir los resultados antes de que sucedan teniendo en cuenta la

matemática.

BIBLIOGRAFÍA

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Editorial Javeriano. 2003.

Rosebel Córdoba, Blog: Eventos Dependientes, independientes y

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