Introduccin al pensamiento matemticoUnidad 2. Mtodos de demostracin

Actividad 2. Mtodos de demostracin

Instrucciones: Demuestra los enunciados por medio del mtodos de demostracin que consideres adecuado. 1. Demostrar que no hay ningn nmero racional cuyo cuadrado sea 15. Respuesta: a) Primero observamos que el nmero 15 est situado entre dos cuadrados perfectos que son 9 y 16. Al aplicar la desigualdad tenemos lo siguiente:

b) Ahora, cmo se expresa un nmero racional? Un nmero racional se expresa de la siguiente manera:

c) Para hacer la demostracin aplicamos el mtodo de reduccin al absurdo al enunciado, el cual supondramos que s existe un nmero racional cuyo cuadrado sea 15. Por lo que tenemos la siguiente expresin: Existe un nmero racional tal que es 15.

Al aplicar raz cuadrada a ambos miembros de la igualdad tenemos:

d) Buscamos el mltiplo menor de que sera

e) Aplicamos raz a los trminos de la desigualdad que obtuvimos en el paso a.

Reducimos la igualdad a dos trminos:

f) Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por el mltiplo menor.

g) La desigualdad nos indica una contradiccin ya que hay un nmero menor que el que habamos supuesto .

2. Si x es racional y distinto de cero y y es irracional, entonces x + y y xy son racionales.Respuesta: Este enunciado se prueba por reduccin al absurdo partiendo de las propiedades de los nmeros racionales e irracionales. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos nmeros enteros, en el que el denominador debe ser distinto de cero.Por otra parte, los nmeros irracionales son aquellos que poseen infinitas cifras decimales por lo que no pueden representarse como el cociente de dos nmeros.a) Identificamos las premisas del enunciado.P: x es racional Q: y es irracional.R: x+y es racionalS: xy es racional

b) Simbolizamos el enunciado a partir de las premisas.

c) Aplicamos el mtodo de reduccin al absurdo, es decir negamos la conclusin. La cual queda

Qu puede leerse as: R no es racional o S no es racional. O R es irracional o S es irracional.

d) Si es racional y es irracional, entonces es irracional.

Aqu hemos llegado a la contradiccin ya que x es racional.

e) Si es racional y es irracional, entonces es irracional.

Aqu la otra contradiccin ya que es racional.

3. Demostrar que 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + 3 + +n)2Respuesta: Este ejercicio se resuelve aplicando el mtodo inductivo. De manera que si se cumple la propiedad P (1) entonces P (k) es verdadera y por lo tanto P (k+1) tambin ser verdadera.

a) Tenemos que Demostramos P(1):

Demostramos P(2):

Demostramos P(k):

Demostramos P(k+1):

+

Aqu la comprobacin para P(k+1).

4. Demuestre que si 0 < x < y, entonces

Respuesta: Para resolver este ejemplo utilizamos el mtodo por casos partiendo de que

a) Caso 1: Demostracin:

Multiplicamos a ambos lados de la desigualdad por

Aplicamos raz a ambos lados de la desigualdad.

Ahora

b) Caso 2: Demostracin:

Aplicamos raz a ambos lados de la desigualdad

c) Caso 3: Demostracin:

5. Sea , demuestre que si entonces y no es un nmero real.Respuesta: Este ejemplo lo resolvemos utilizando el mtodo de contraposicin.a) Ubicamos las premisas y aplicamos el mtodo de contraposicin.P: Q: nos es realNegamos las premisas y las invertimos de lugar en la proposicin P: Q: es real.El enunciado queda de la siguiente forma:Sea , demuestre que si es real, entonces .

b) La propiedad del valor absoluto es la siguiente

Entonces

Ahora suponemos que es real, por lo tanto

Ahora sumamos los miembros de la desiguldad

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Aplicando la propiedad del valor absoluto tenemos que

Por lo tanto queda demostrado el enunciado.