Introducción al pensamiento matemáticoUnidad 3. Teoría de conjuntos

Actividad 2. Demostraciones por medio de conjuntos

Instrucciones: Realiza la demostración de los siguientes enunciados.

1. Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:

A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

A−(B∪C )={x∨x∈ A¬(x¿∈ (B∪C ))}¿ Aplicamos diferencia al miembro izq

¬ (x∈ (B∪C ) )=¬ {x|x∈B⋁ x∈C }={x∨x∉B x∉C } Por teorema de morgan

A−(B∪C )=¿

A−B={x∨x∈ A⋀ x∉B } Diferencia A - B

A−C={x∨x∈ A⋀ x∉C } Diferencia A - C

A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)

A−(B∩C )={x∨x∈ A⋀ x∉ (B∩C ) Aplicamos diferencia al miembro izq

x∉ (B∩C )={x∨x∉B⋁ x∉C } Por teorema de Morgan

¬ (P⋀Q )=¬P⋁¬Q

A−(B∩C )={x∨x∈ A⋀ (x∉B⋁ x∉C)} A−B={x|x∈ A x∉B } A−C={x∨x∈ A x∉C }

2. Si A y B son conjuntos, entonces:

(A ∩ B) ∩ (A – B) =∅ ( A∩B )∩ (A−B )=¿ Trabajamos con el lado izq.

( A )∩ ( A−B )=¿ Por intersección de conjuntos

( A∩ A )−(A ∩B )=¿ Propiedad distributiva

A−(A ∩B )=¿ Ley de idempotencia o intersección de conjuntos

A−A=¿ Por intersección de conjuntos

¿∅ Por diferencia de conjuntos.

(A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = U (A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = Trabajando con el lado izq.

( ( A−B )∪ A )∩ ( (A−B )∪B )∪ Ac=¿ Propiedad distributiva

( A∪ ( A−B ) )∩ (B∪ ( A−B ) )∪ Ac=¿ Propiedad conmutativa

A∪B∪ Ac=¿ Por unión de conjuntos

( A∪B )∪ AC=¿ Propiedad asociativa

Introducción al pensamiento matemáticoUnidad 3. Teoría de conjuntos

A∪ Ac=¿ Por unión de conjuntos

¿U Por ley de complemento

3. Sean A y B dos conjuntos y B1 y B2 son subconjuntos de B. Demostrar que si B=B1∪B2, entonces A x B = (A x B1) ∪ (A x B2)

Hipótesis: B=B1∪B2Conclusión: A x B = (A x B1) ∪ (A x B2)

AxB=¿

Ax (B1∪B2 )=¿ Por hipótesis

( AxB1 )∪ ( AxB2 ) Propiedad distributiva