MNPC sobre la Matemática y Ciencias

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Índice

MNPC sobre la Matemática y CienciasÍndiceCómo resolver ecuaciones diofánticas

MotivaciónEcuaciones diofánticasExistencia de solucionesSolución general de una ecuación diofántica linealEjemplo práctico

Los díscolos números primos (I)Los díscolos números primos (II)

Primos de MersennePrimos de FermatPrimos de Sophie Germain y primos segurosPrimos de EuclidesPrimos gemelos

Los díscolos números primos (III)‘Omirps’Primos capicúaPrimos ‘repunit’Primos permutablesPrimos truncablesPimos de Smarandache-WellinPrimos diédricos

Los díscolos números primos (IV)El Teorema de los Números PrimosLos teoremas de Betrand y Erdős

Los díscolos números primos (V)La espiral de UlamLa espiral de Sacks

Los díscolos números primos (VI)La Criba de EratóstenesLa Criba de Euler

Los díscolos números primos (VII)Conjetura de GoldbachConjetura débil de GoldbachDemostración de la conjetura de Goldbach

Los diez puentes más largos suspendidos sobre aguaMatemática para todoLa ecuación de Pell

IntroducciónLa ecuación de PellEl desafío de FermatLa ecuación de Pell en la actualidad

El algoritmo de EuclidesIntroducciónEl algoritmo de EuclidesEjemplos de aplicación del algoritmo

Una demostración visual sobre números naturales y secuencias contadorasLas matemáticas dejan en ridículo el código secreto de la Biblia (y II)La función de Weierstrass

IntroducciónLa función de Weierstrass

Funciones sin primitiva elementalIntroducción¿Qué es una función elemental?Funciones trascendentes sin primitiva elementalFunciones algebraicas sin primitiva elementalConclusión

Los cuadrados mágicos de George Widener

Cómo resolver ecuaciones diofánticas

Posted: 27 Sep 2009 11:00 PM PDT

Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si lostrajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántostrajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas1

La ecuación queda:

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos haquedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravillosomundo de las ecuaciones diofánticas.

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son númerosenteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lotoman del matemático Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo enálgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones.

Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de estetipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (ydemostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación

con .

Existencia de soluciones

El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones.Vamos con él:

Teorema:Una ecuación lineal diofántica de la forma tiene solución entera si y sólo si elmáximo común divisor de y es un divisor de .Además, si llamamos al se tiene que una solución particular de dicha ecuación puedeobtenerse de la siguiente forma:

siendo .

Demostración:1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:Si la ecuación

(1)tiene solución entera, entonces existen tales queComo es un divisor común de y , entonces y , con .Tenemos entonces lo siguiente:

Es decir, nos queda una expresión del tipo , con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto comodeben dividir a , concluyendo así esta parte de la demostración.2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteneidno como bonus el además:Supongamos ahora que es un divisor de . Entonces existe tal que . Por otra parte, por el teorema deBezout existen tales que . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por :

De donde obtenemos

Con lo que hemos llegado a que y son soluciones de la ecuación (1).Entonces:

es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar.Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcularuna solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de lasecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.

Solución general de una ecuación diofántica lineal

Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:Si es una solución particular de la ecuación

(1)entonces todas las soluciones enteras de la misma son de la forma:

(2)

con , siendo .

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas2

Demostración:Si es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que . Pero entonces las expresiones de (2)también son solución de dicha ecuación:

Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:Partiendo de la solución particular anterior , supongamos que tenemos una solución de la ecuación diofánticalineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:

Restamos las dos ecuaciones, obteniendo

Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a(3)

Dividimos ahora por :

Como y son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado

los factores que tuvieran en común en un principio), y divide a , debe cumplirse que divida a .

Esto nos lleva a que debe existir tal que:

De donde obtenemos que debe ser de la forma:, con

Sustituyendo este valor de en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para:

Ejemplo práctico

Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:

Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor.Como es un divisor de nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener y debemos utilizarel algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente.En este caso se obtiene

por lo que y .Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:

A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:

En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay quetener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es

, por lo que el número de trajes grises comprados es.

Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12se tiene lo siguiente:

Por tanto, los únicos valores posibles para son .

Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valoresanteriores esta condición se cumple para . En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró

trajes grises y trajes negros.

Fuente de la demostración:Álgebra y Matemáticas Discretas I, de Carmen Moreno Valencia.

Los díscolos números primos (I)

Posted: 29 Sep 2009 11:47 AM PDT

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas3

Hay dos hechos sobre ladistribución de los númerosprimos de los que les quieroconvencer de una forma tancontundente que quedegrabada en sus corazones. Elprimero es que [...] losnúmeros primos crecen comomalas hierbas entre losnúmeros naturales,aparentemente sin obedecerninguna ley a parte del azar, ynadie puede predecir dóndeflorecerá el siguiente. Elsegundo hecho es todavía mássorprendente, ya que implicaexactamente lo contrario: losnúmeros primos muestran unaasombrosa regularidad, hayleyes que gobiernan sucomportamiento y que ellosobedecen con precisión casimilitar.Don Zagier.

El estudio de los números primos es uno de los campos que más ha apasionado a los grandesmatemáticos de la Historia. De caracter aparentemente impredecible, lo cierto es que los primosobedecen muchas leyes y aparecen en muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo conlos ordenadores más potentes del mundo se puede seguir prediciendo qué números son primosy cuáles son compuestos.

Euclides enunció hace más de dos milenios el teorema que lleva su nombre y que establece quehay infinitos números primos. La prueba del Teorema de Euclides es muy sencilla:Supongamos que sólo hay N números primos (siendo N finito), a los que llamamos P1, P2, ..., PN.

Imaginemos el número que resulta de multiplicar todos estos números primos y sumale unaunidad:

Q = (P1 · P2 · ... · PN) + 1

El número Q no es divisible por ninguno de los números primos de la lista, ya que al realizar ladivisión el resto siempre es 1. Por tanto, una de dos, o bien Q es primo también, o si no, debe serforzosamente divisible por otro primo R que no está en la lista [Actualización: el comentario 1da un buen ejemplo numérico de esto].

No importa lo grande que sea N, por muchos números primos que tengamos, como hemos vistoen la demostración de Euclides siempre podremos añadir un nuevo número primo, hasta elinfinito.

Por tanto, sabemos que existen infinitos números primos, pero ¿podemos predecir suexistencia? la respuesta es no. De momento, no se conoce ninguna fórmulamatemática práctica que nos permita predecir que un determinado número es primo. Para cadaposible ‘candidato’ se debe comprobar su primalidad mediante diversos algoritmos de ‘fuerzabruta’ en potentes ordenadores.

El primo más grande conocido hasta ahora es 243112609-1, descubierto el pasado ocho deagosto. Tiene casi 13 millones de dígitos y es un primo de Mersenne. Los nueve primos másgrandes que se conocen son de Mersenne. Estos primos siguen determinada fórmula que hacerelativamente fácil comprobar su primalidad.

Por tanto, es cierto que existen fórmulas que nos permiten obtener conjuntos limitados denúmeros primos, y que nos dan esos hipotéticos ‘candidatos’ a número primo. Además, a pesarde su aparente aleatoriedad, los números primos se distribuyen de una forma regular, a vecesmuy sorprendente. Lo veremos en la próxima entrega.

En Genciencia | Test de primalidadMás información | The largest known primes

Los díscolos números primos (II)

Posted: 03 Oct 2009 08:40 AM PDT

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas4

Continuamos hablando de números primos.En el post anterior vimos su carácteraleatorio.

Aparecen aquí y allá sin que alguien puedapredecir dónde. No hay una fórmula conocidaque nos devuelva siempre números primos, yde hecho, se debe verificarcomputacionalmente si los posibles‘candidatos’ a número primo realmente lo son.

Sin embargo, hay ciertos números primos quesiguen determinadas fórmulas matemáticas.

(Ojo, esto no quiere decir que todos losnúmeros que siguen dichas fórmulas seannecesariamente primos). En algunasocasiones, esto implica curiosas propiedadesmatemáticas, como veremos a continuación.

Primos de Mersenne

Un número de Mersenne es de forma N = 2p – 1, donde p es primo. No todos los números de Mersenne son primos, dehecho, sólo se conocen 47 primos de Mersenne. Sucede algo interesante: los nueve mayores números primos que seconocen son de Mersenne. ¿Por qué?

Para empezar, sólo podemos encontrar un primo de Mersenne a partir de otro primo. Esto ya reducesensiblemente nuestro campo de búsqueda. Pero además, la fórmula de los números de Mersenne es muy simple, y estosupone que hay algoritmos de búsqueda relativamente sencillos.

En concreto, el más famoso es el algoritmo de Lucas-Lehmer. N = 2p – 1 es primo si y sólo si es divisor de Sp-2. Lostérminos de la sucesión Sj se definen por Sj = Sj-1

2 – 2, con S0 = 4.

Existe un interesante proyecto de computación colaborativa, llamado GIMPS (Great Internet Marsenne Prime Search),en la que miles de usuarios de todo el mundo colaboran en la búsqueda de primos de Marsenne instalando un programaen su ordenador. No hace falta el supercomputador más potente del mundo, como intuían algunos de nuestros lectores enla anterior entrada. En este caso, la unión hace la fuerza.De hecho, los nueve primos más grandes conocidos hasta la fecha han sido gracias a la fundación GIMPS, es decir, graciasa miles de usuarios anónimos cediendo una pequeña parte de la potencia de su ordenador para hacer estos cálculos.

Nos podríamos preguntar cuál es la utilidad real de encontrar números primos cada vez más grandes en lugar de dedicarrecursos informáticos a otras cosas. Como bien dijo alguno de vosotros en los comentarios del post anterior, los númerosprimos son muy útiles para cifrar información, y cuanto más grandes, mejor. Si usásemos números compuestos, sepodría de hecho descomponer el problema en varios problemas más sencillos y mucho más fáciles de resolver.

Primos de Fermat

Son de la forma N = 22n+ 1. Sólo se conocen cinco primos de Fermat: 3, 5, 17, 257 y 63537. Estos números tienen

una propiedad geométrica muy curiosa: un polígono regular de n lados se puede construir de forma directa con regla ycompas si y sólo si n = 2k·p, donde k es cualquier número entero no negativo y p es un primo de Fermat. Así que nointentéis buscar un método directo para dibujar el heptágono regular, ya que 7 no cumple la condición.

Primos de Sophie Germain y primos seguros

Un número p es un primo de Sophie Germain si es primo y además N = 2p + 1 también es primo. Por ejemplo, el 11 loes ya que 11·2 + 1 = 23 es primo. En este caso, al número N (por ejemplo, 23) lo llamaríamos ‘primo seguro’. Estenombre se debe a que dicho tipo de primos es útil en aplicaciones de criptografía y cifrado. Salvo el 5 y el 7, no existeningún primo seguro que sea además de Mersenne o de Fermat (los primos de Fermat, comparativamente, serían ‘menosseguros’ ya que derivan de una fórmula matemática concreta en la que no intervienen otros números primos).

Primos de Euclides

Son los números de forma p# + 1. El número p# es el llamado primorial de p. Sólo un número primo puede tenerprimorial. El primorial de p estaría formado por el producto de p por todos los primos menores que él. Por ejemplo: elprimorial de 5 sería 5# = 5·3·2 = 30. Si nos fijamos en el número primo 31, resulta que 31 = 30 + 1 = 5# + 1, por tanto31 es un primo de Euclides.Estos primos están directamente relacionados con la demostración de la infinitud de los números primos dada porEuclides y que vimos en el primer post sobre números primos.

Primos gemelos

Son parejas de primos que están separados por sólo una unidad. Por ejemplo, 3 y 5, ó 17 y 19. Una de las grandescuestiones de la teoría de números es precisamente saber si existen infinitas parejas de primos gemelos. Intuitivamente,uno tendería a pensar que la aparición de primos es cada vez menos frecuente a medida que los números se van haciendomayores, por lo tanto debería ser cada vez más difícil encontrar dos primos separados tan solo por una unidad.

La pregunta es, ¿existe realmente algún momento en el que ya no podamos encontrar primos gemelos? no se sabe, perola mayoría de hipótesis suponen que existen infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esto choque con laintuición, concuerda con las sorprendentes propiedades de la distribución de números primos.Veremos esto en la cuarta entrega de la serie, pero antes, en el siguiente post, seguiremos viendo más tipos de primos.En este caso, nos acercaremos de un modo informal y veremos números con propiedades curiosas y divertidas.

Imagen | Número de dígitos de los primos de Mersenne conocidosEn Genciencia | Los díscolos números primos (I)

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas5

Los díscolos números primos (III)

Posted: 06 Oct 2009 04:36 AM PDTYa en la anterior entrega hablamos de distintos tipos de númerosprimos con determinadas propiedades matemáticas, y hoy seguimoshaciéndolo pero desde un punto de vista más informal. En este artículoveremos que los números primos a veces se comportan de una maneramuy curiosa… y que algunos matemáticos tienen demasiado tiempolibre.

Como nota matemática, y atendiendo a los comentarios del postanterior: las propiedades que veremos a continuación son, en general, sólo válidas usando la base decimal (mientrasque las del post anterior eran universales, un primo de Mersenne siempre lo es independientemente de la base utilizada).En otras bases, también pueden existir primos que cumplan las siguientes propiedades, pero serán otros.

‘Omirps’

Se trata de números primos que al darles la vuelta se convierten en otro primo distinto. O por llamarlos de algunamanera, ‘primos reversibles’. Al margen de los primos de una sola cifra, los siguientes en la lista son 13 / 31, 17 / 71 y37 / 73. El ‘omirp’ más grande que se conoce es 1010006+941992101×104999+1, con más de 10.000 cifras.

Primos capicúa

Se trata de números capicúa que además tienen la propiedad de ser primos. A parte de los de una cifra, el más pequeñoes 11, los siguientes son 101, 131, 151, 181 y 191. Los primos capicúa no son ‘omirps’. La condición para ser ‘omirp’es que al darle la vuelta sea otro primo distinto, no el mismo.

Paulo Ribenboim definió en su ‘Nuevo Libro de los Récords de los Números Primos’ (suponemos que con mucho tiempolibre) los llamados ‘primos triplemente capicúa’. Son primos capicúa que tienen n cifras, donde n es un primo capicúa.Además n tiene m cifras, donde m es otro primo capicúa. El ejemplo más pequeño es 10000500001: es primo capicúa,tiene 11 cifras, 11 también es primo capicúa y tiene 2 cifras. Evidentemente 2 también es primo capicúa.

Como anécdota, la palabra capicúa es una de las pocas de la lengua castellana que proceden del catalán, en concreto dela expresión “cap i cua” que significa literalmente “cabeza y cola”.

Primos ‘repunit’

Se trata de números primos que sólo constan del dígito ‘1’ repetido. De ahí su nombre: repunit = repeated unit. Elmás bajo es 11, el siguiente es 1111111111111111111 y los siguientes ya tienen 23, 317 y 1031 cifras. No puede existirningún primo formado sólo por un dígito repetido salvo que este dígito sea un ‘1’. En cualquier otro caso, sería divisiblepor un repunit: Por ejemplo, 77 = 11*7. No se sabe si hay infinitos repunits, aunque se sospecha que sí.

Primos permutables

Son los primos que siguen siendo primos si reordenamos sus digitos, de la forma que sea. Todos los permutablesson omirps, pero no todos los omirps son permutables (salvo que tengan menos de 3 cifras). Por ejemplo, 107 es omirpya que 701 es primo, pero no es permutable, ya que 710 es compuesto. El primo permutable más pequeño de tres cifrases 113, ya que 131 y 311 también son primos. Todos los repunits son permutables, evidentemente.

Existen nueve primos permutables de tres cifras: 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991. El siguiente ya tiene ¡18cifras! y además es un repunit. Se cree que todos los primos permutables de más de tres cifras son repunits, porque dehecho no se conoce ninguno que no lo sea.

Primos truncables

Son los primos que siguen siendo primos si se empiezan a eliminar dígitos por sus extremos. Pueden sertruncables por la derecha, por la izquierda (en este caso no pueden contener ceros) o por ambos lados. Por ejemplo, 3137es un primo truncable por ambos lados. Por la derecha: 313, 31 y 3 son primos. Por la izquierda: 137, 37 y 7 son primos.El conjunto de los primos truncables es limitado. El truncable por la izquierda más grande es357686312646216567629137, por la derecha 73939133 y por ambos lados 739397 (sólo hay 15 primos truncables porlos dos lados). Es normal que haya muchos menos primos truncables por la derecha, ya que cada vez que dejamos comoúltimo dígito un número par o un ‘5’, sabemos que el número obtenido ya no será primo.

Pimos de Smarandache-Wellin

Son aquellos que están formados por la concatenación consecutiva de los números primos empezando por elmenor (es decir, 23571113171923…). Se conocen siete primos de Smardanche-Wellin. los primeros son 2, 23 y 2357. Elsiguiente tiene 355 cifras y acaba en 719.

Primos diédricos

Ya para el final, mi clasificación favorita y la clara demostración del mucho tiempo libre que tienen algunos matemáticos:). Los primos diédricos son aquellos que, representados en un display de siete segmentos (los típicos números‘hechos con palotes’ de las calculadoras) siguen siendo primos si damos la vuelta al display o lo reflejamos en unespejo.Espero que la imagen que ilustra la entrada aclare este concepto. El número 120121 es un primo diédrico porque, alser representado en siete segmentos resulta que al rotarlo o reflejarlo de todas las formas posibles seguimos obteniendonúmeros primos, en este caso 150151, 121021 y 151051. Otros ejemplos más pequeños son 2, 5, 11, 101 y 181.

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas6

En la siguiente entrega ya dejaremos el tema de los diferentes tipos de números primos y nos adentraremos en algo másinteresante como es su distribución.

En Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II)Más información | List of prime numbers

Los díscolos números primos (IV)

Posted: 14 Oct 2009 04:19 AM PDT

Tras el breve paréntesis del puente, retomamos nuestro monográfico sobre los números primos. En la primera entregamencionábamos una cita de Don Zagier en la que afirma que los números primos muestran una asombrosa regularidad,hay leyes que gobiernan su comportamiento y que ellos obedecen con precisión casi militar.Esta idea no concuerda muy bien con lo que hemos visto hasta ahora. Los números primos tienen un comportamientoerrático, no obedecen a fórmulas matemáticas específicas y su aparición es impredecible. Sin embargo, su distribuciónsí se ajusta a determinados patrones.

El Teorema de los Números Primos

Este teorema no nos permite adivinar qué números son primos, pero sí nos permite estimar cuántos números primos haypor debajo de cierto número, o en un determinado intervalo. Para ello, definimos la función π(x) = {cantidad denúmeros primos por debajo de x}. Por ejemplo, π(12) = 5, ya que hay cinco primos menores que 12 (2,3,5,7,11).

Pues bien, el teorema asegura que

es decir, la cantidad de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x) (ln es el logaritmo neperiano). Dicho enpalabras más llanas:

• Para un número natural arbitrario N, la probabilidad de que dicho número sea primo es aproximadamente1/ln(N). Es decir, cuanto más grande sea el número, menos probable es que sea primo.

• Equivalentemente, esto significa que alrededor de N, la distancia media entre dos números primos seráln(N). Por ejemplo, en torno a 1000, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que entorno a 1000000 sería uno de cada 14.

• Otra consecuencia inmediata es que el enésimo número primo pn será de una magnitud comparable a n·ln(n).(El margen de error absoluto es elevado, pero nos sirve para hacernos idea del tamaño del número).

El genial Carl Friedrich Gauss encontró una aproximación aún más exacta usando la función logaritmo integraldesplazado Li(x) en lugar de x/ln(x):

Siendo estrictos desde el punto de vista matemático, el límite sólo implica al cociente y no a la diferencia de π(x) con Li(x)ó x/ln(x). Es decir, la resta π(x) – x/ln(x) no se hace arbitrariamente pequeña a medida que nos acercamos a infinito, dehecho crece indefinidamente. Lo que tiende a cero es el error relativo entre la aproximación y la cantidad real denúmeros primos existente.

La imagen que ilustra el post representa todos los números primos hasta 76800: cada píxel negro en la matriz representaun número primo (están ordenados de izquierda a derecha y de arriba a abajo).

Se observa que la densidad de números primos va disminuyendo a medida que los números se hacen másgrandes, pero es un descenso muy paulatino. Esto concuerda con los resultados obtenidos, ya que la función logaritmocrece muy lentamente.

Los teoremas de Betrand y Erdős

Son consecuencia directa del teorema de los números primos. La conjetura del matemático francés Bertrand señalabaque para cualquier número natural n mayor que 1, existe un número primo p que cumple n < p < 2n. La demostraciónllegaría años más tarde de la mano de Chebyshev.

Traducido a un lenguaje más sencillo: para cualquier número entero mayor que 1, siempre va a existir al menos unnúmero primo que sea mayor que dicho número y menor que el doble de dicho número. Es decir, que siempre hay comomínimo un número primo entre 5 y 10, entre 43 y 86, entre 1000 y 2000, o cualquier otro ejemplo que se nos ocurra, tangrande como queramos.

Por su parte, el húngaro Erdős sostuvo que para cualquier entero positivo k, es posible encontrar un número N queverifique lo siguiente: para todo número natural n > N existen al menos k números primos. entre n y 2n.Se trata de una proposición más fuerte que la anterior. Implica que podemos encontrar tantos primos como queramos enel intervalo entre un determinado número natural y su doble, siempre que dicho número sea suficientemente grande.

Los teoremas que hemos comentado en el post pueden parecer bastante áridos y poco interesantes desde un punto devista práctico. Nada más lejos de la realidad. Ya desde la primera entrega comprobamos que los números primos soninfinitos. Con estos resultados, comprobamos “cuán infinitos” son, es decir, tenemos una idea de cuál es la densidad delos números primos. Y como ya habíamos predicho, tiene una regularidad matemática sorprendente.

De todas formas, el siguiente post será de nuevo más “informal”, y nos centraremos en algunas propiedades curiosas dela distribución de los números primos.

Imágenes | Wikimedia CommonsEn Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III)

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas7

Los díscolos números primos (V)

Posted: 18 Oct 2009 12:13 PM PDTNuestro anterior post hablaba de ladistribución de los números primos, enconcreto, del Teorema de los Números Primos,que nos da una idea de con qué frecuenciaaparecen.

Como lo prometido es deuda, en esta ocasióntoca hablar de propiedades curiosas de ladistribución de los números primos. Y es que,a veces, colocándolos de una formadeterminada, pasan cosas sorprendentes.

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanisław Ulamdescubrió esta espiral de casualidad. Aburridodurante una conferencia, empezó a organizarlos números naturales en una espiral,empezando con el número uno en el centro, taly como se muestra en la imagen. Después,rodeó con un círculo todos los númerosprimos, y observó un hecho sorprendente.

¿Habéis hecho la prueba? ¿notáis algo especial? tal vez no se aprecie en un primer vistazo, pero si se observa conatención… parece que los números primos aparecen en determinadas diagonales. Y en efecto, podemos ampliar laespiral tanto como queramos y nos daremos cuenta de que los números primos tienden a aparecer con mucha másfrecuencia en determinadas diagonales.

Vemos en la imagen una espiral de Ulam de 200×200,donde aparecen representados 40000 números. Losprimos están marcados con píxeles negros.El resultado es de gran trascendencia, y llegó a apareceren la prestigiosa revista Scientific American. Se puedecomprobar que este tipo de diagonales aparecen aunqueiniciemos la espiral en un número que no sea 1.

Analizándolo matemáticamente, esto implica que existenmuchas constantes a y b tales que los númerosgenerados por la fórmula 4n2 + an + b son primos enuna proporción inusualmente elevada. Este hecho notiene una explicación matemática aparente.

La espiral de Sacks

Se trata de una variante de la anterior. En lugar decolocar los números formando una ‘espiral cuadrada’como en el caso de Ulam, se colocan en forma de espiralde Arquímedes.

Y sorprendentemente, de nuevo aparecen determinadaslíneas con una alta densidad de números primos,incluso de forma más notoria.

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas8

Las curvas corresponden a determinados polinomios. Una de ellas contiene los primos de la forma n2 + n + 41. Ya en elsiglo XVIII el gran Euler se dio cuenta de que ese polinomio ‘generaba’ una cantidad sorprendentemente alta de primos.Estos curiosos descubrimientos son relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y la de Ulam de 1963.Quién sabe qué otras sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los números primos.

Por cierto, para todos los que estéis ya aburridos de tanto número primo, la serie ya se está acercando a su fin ;)

Imágenes | Wikimedia CommonsMás información | The Sacks Number SpiralEn Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV).

Los díscolos números primos (VI)

Posted: 25 Oct 2009 05:19 AM PDTTras una semana de ausencia, llega una nueva entrega dela serie sobre números primos. Hoy hablaremos dealgoritmos para extraer, de forma gráfica, todos losnúmeros primos por debajo de un umbral dado.

Esta vez no habrá densos teoremas ni fórmulasmatemáticas, ya que se trata de dos algoritmos muysencillos y antiguos: la Criba de Eratóstenes y la Cribade Euler.

En algunos textos se usa la expresión ‘tamiz’ o ‘filtro’ envez de ‘criba’. Viene a ser lo mismo.

La Criba de Eratóstenes

Se trata de un algoritmo eficiente para calcular los primos hasta el orden de 107 (es decir, diez millones). Su filosofía esmuy sencilla, se basa en ir tachando los números compuestos hasta que en un momento dado podemos garantizar quetodos los que quedan son primos.

¿Cómo? es muy simple. Supongamos que queremos calcular todos los primos menores que N. Hacemos una lista contodos los números naturales entre 2 y N. El primer número de la lista (2) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 2 (esdecir, todos los pares).

Volvemos al principio: el primer número sobrante (3) es primo. Tachamos todos los múltiplos de 3 (es decir, uno de cada3 números). Ahora, al llegar al principio de la lista, 4 está ya tachado (es múltiplo de 2). El primer número sobrante queencontramos es el 5, pues también lo marcamos como primo y repetimos el proceso.

¿Cuándo podemos detener el proceso? iremos avanzando al principio de la lista hasta que llege el turno de comprobar unnúmero p que cumpla p2 > N.

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas9

Es muy sencillo de entender con elejemplo gráfico que mostramospara calcular todos los primos hasta120. Tachamos los múltiplos de 2,luego los de 3, los de 5, los de 7, y elsiguiente paso sería tachar losmúltiplos de 11.

Pero 112 = 121, que es mayor que120. Llegados a este punto yapodemos parar el proceso, todos losnúmeros que queden sin tachar sonprimos.

Este algoritmo es bastante fácil deimplementar en los lenguajes deprogramación habituales y por lotanto es bastante popular. Sinembargo, como hemos dicho, paraumbrales muy grandes deja de sereficiente y es mejor utilizar otro tipode métodos de cálculo.

No quiero dejar pasar la ocasión demencionar que Eratóstenes fue unade las mentes más brillantes de laépoca clásica. Su mayor hazaña esestimar el radio de la Tierra en elsiglo III a. C., obteniendo unresultado con un margen de error inferior al 2% sobre su valor real.

La Criba de Euler

Se trata de una versión refinada de la anterior. No es inmediata desde el punto de vista gráfico, pero sí es más eficientecomputacionalmente, ya que cada número compuesto es ‘tachado’ una sola vez.Por simplificar las cosas supondremos el mismo ejemplo numérico que antes, es decir, N = 120. Empezamos por el primernúmero de la lista, 2. Lo marcamos como primo. Ahora multiplicamos todos los números de la lista por 2 (vamosobteniendo 4, 6, 8, 10…) hasta que el producto sobrepase N (es decir, hasta llegar a 61·2 = 122). Tachamos todos losnúmeros obtenidos.

En nuestra lista nos han quedado 3, 5, 7, 9, etc., hasta 119. Volvemos al principio. Marcamos el 3 como primo ymultiplicamos 3 por todos los números que quedan sin tachar (obtenemos 9, 15, 21…), hasta sobrepasar el 120 (es decir,hasta 41·3 = 123). Eliminamos los productos obtenidos.

En este momento ya sólo nos quedan 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc., hasta 119, que no fue eliminado en el paso anterior.Marcamos el 5 como primo y repetimos el proceso (obtenemos 25, 35, 55, 65…) hasta llegar a 25·5 = 125. Quitamostodos estos.

Nuestra lista es ya muy reducida. Repetimos la operación con el 7, obtenemos 49, 77, etc., hasta que llegamos a 19·7 =133. El siguiente número a comprobar sería 11, pero como 112 = 121, ya hemos terminado el proceso, y todos lossupervivientes son primos.En la siguiente entrega (¿será la última?) hablaremos de un tema fascinante, uno de los mayores misterios sin resolver delas Matemáticas. Y como no podía ser de otra forma, está relacionado con los números primos.

Imágenes | sxc.hu, Wikimedia CommonsEn Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V).

Los díscolos números primos (VII)

Posted: 02 Nov 2009 09:38 AM PST

En la anterior entrega de la serie prometíamos habloarde una de las grandes cuestiones sin resolver de lasmatemáticas, que está relacionada con los númerosprimos. Como quizá muchos hayáis adivinado, merefería a la…

Conjetura de Goldbach

En 1742, el matemático prusiano Christian Goldbachle propuso a su homólogo Euler la siguiente conjetura:

Todo número par mayor que 2 puedeescribirse como suma de dos númerosprimos

Euler contestó que lo consideraba como un teoremacompletamente cierto, pero que no podía probarlo… ni nadie lo ha logrado hasta hoy. Por eso, sigue siendo una conjetura.

De momento, se ha comprobado empíricamente, com métodos de computación distributiva, que todos los pares menoresque 1018 cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera laconjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen dedescomponerlo en sumandos primos.

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas10

La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un númeropar (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta unmillón.

Se aprecia la tendencia de que cuanto másgrande es el número más posibilidades existende escribirlo como suma de dos números primos.De hecho, del Teorema de los Números Primosse puede llegar a la conclusión de que el númerode posibles combinaciones de dos sumandosprimos para un número par n sería del orden den / (2·ln2n).

Con estos datos en la mano, sería una rarezaestadística de gran magnitud pensar quepodemos encontrar un número par mayor que1018 que no cumpla la conjetura de Goldbach(comparable a la de los infinitos monos queaporrean aleatoriamente máquinas de escribir, yque consiguen escribir, por completo azar, unaobra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque laprobabilidad sea minúscula, técnicamente esposible hasta que alguien demuestrefehacientemente lo contrario.

Remarcamos un detalle: los dos primos a los quese refiere el teorema no tienen por qué sernecesariamente distintos, puede ser el mismo sumando repetido, por ejemplo 4 = 2+2. Además, 4 es el único caso dondepuede aparecer el sumando 2 (¿por qué? os lo dejo como pasatiempo, es muy fácil). De modo que podríamos modificar elteorema del siguiente modo:

Todo número par mayor que 4 puede escribirse como la suma de dos números primosimpares

Conjetura débil de Goldbach

Se trata de una hipótesis que Goldbach formuló previamente a la anterior. Asegura que

Cualquier número impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tresnúmeros primos impares

Se le llama ‘débil’ porque puede ser demostrada a partir de la original (o ‘fuerte’), pero no al contrario. Si suponemosválida la conjetura fuerte, es muy sencillo: como cualquier número par mayor que 4 puede ser escrito como suma de dosprimos impares, sumando el 3 (que es otro primo impar) obtendremos cualquier número impar mayor que 7.

Se ha demostrado matemáticamente que la conjetura débil es cierta para números mayores que 101346. Bastaríacomprobar todos los impares menores para darla como válida y convertirla en teorema. Sin embargo, este número esdemasiado grande como para intentar comprobaciones de fuerza bruta.

Se ha demostrado también que la Hipótesis Generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. Estoreduciría mucho el campo de búsqueda. Pero la hipótesis de Riemann es precisamente otra de las grandes incógnitas delas matemáticas, tan difícil de demostrar como la de Goldbach.

Demostración de la conjetura de Goldbach

Aunque nadie ha dado con la clave de una demostración universal, son muchos los matemáticos que dedican susinvestigaciones a ello, y han alcanzado resultados prometedores. Lo que sí ha quedado demostrado es que la proporciónde números que pudieran no cumplir la conjetura tiende a cero a medida que avanzamos hacia cantidades más grandes.

En la literatura, sin embargo, son varias las menciones a matemáticos que creen haber demostrado la conjetura. Lanovela griega ‘El tío Petros y la conjetura de Goldbach‘ alcanzó fama mundial cuando los editores de la traduccióninglesa ofrecieron un millón de dólares a quien pudiese demostrar la conjetura en un plazo de dos años. El premio quedódesierto.

La sorprendente película española ‘La habitación de Fermat‘ está protagonizado por un joven matemático que creehaber demostrado la conjetura pero al que le han robado los papeles donde contenía sus cálculos. Sin embargo, libros ypelículas al margen, el problema continúa sin resolver. En el próximo capítulo, continuaremos por esta senda de misteriosmatemáticos.

Imágenes | Wikimedia CommonsMás información | Herramienta para descomponer números en dos sumandos primosEn Genciencia | Los díscolos números primos (I), (II), (III), (IV), (V), (VI).

Los diez puentes más largos suspendidos sobre agua

Posted: 29 Sep 2009 04:38 AM PDT

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas11

Gráfico: World’s longest marine causeway to start construction by 2010?

El proyecto de unir Qatar y Bahrein a sobre las aguas del Golfo Pérsico resultaría en un puente de 40 km delongitud, el más largo construido sobre agua.

El gráfico publicado en MENA Infrastructure contiene los siguientes nueve puentes más largos (sobre agua y queya existen) en la longitud que tendrá el puente entre Qatar y Bahrein.

Aún cuando esté terminado éste, el título de “puente más largo” lo seguirá ostentando el Bang Na Expressway,en Bangkok, un viaducto de 54 km de largo que sustenta una autovía de seis carriles. Y seguirá siendo el máslargo al menos hasta 2013, cuando se espera esté completado el puente para ferrocarril de Danyang–Kunshan,en China, que sumará nada menos que 164 km de longitud.

Matemática para todo

¿Qué tiene que ver Arquímedes con la Eurocopa? ¿Y Julio César con el DNI electrónico? ¿Cómologró un español el Récord Guinness de Cálculo? ¿Sabías que es posible quemar un barco utilizandoun espejo? ¿Cómo se calcula el número de diputados en unas elecciones? ¿Por qué usan las agenciasmatrimoniales un algoritmo?…

A estas y otras preguntas responde Fernando Blasco, doctor en Matemáticas y profesor deMatemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Madrid, en su libro El periodistamatemático (Temas de Hoy, 18 euros).

A través de sus páginas, Blasco desgrana a base de anécdotas históricas, juegos numéricos ycomprensibles explicaciones la enorme influencia que tiene la ciencia de los números en tantosaspectos de la vida cotidiana, desde el pago de la hipoteca a los pasatiempos de moda, los destinosturísticos más visitados o los entresijos de internet.

Si quieres saber algo más de este polifacético autor, que además de científico y divulgador es magoaficionado y miembro de la Sociedad Española de Ilusionismo, visita su página webwww.fblasco.com o su blog fblasco.blogspot.com.

Luis Otero

La ecuación de Pell

Posted: 30 Sep 2009 11:00 PM PDT

Introducción

El pasado lunes presentábamos un método de resolución de ecuaciones diofánticas lineales. También vimos queno sólo existen este tipo de ecuaciones diofánticas: dependen de los exponentes de sus variables. Por desgraciacuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos un procedimiento general pararesolverlas.

Esto lo sabemos desde 1970, cuando Yuri Matiyasévich consiguió demostrar (después de 20 años de trabajo)que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene.Este fue uno de los 23 problemas, concretamente el décimo, que David Hilbert propuso en el año 1900.

Después de estemazazo vamos a alegrar un poco el asunto: aunque no tengamos un procedimiento para todaslas ecuaciones diofánticas sí que sabemos resolver algunos casos particulares de ellas. El artículo dehoy trata sobre uno de estos casos: la ecuación de Pell.

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas12

La ecuación de Pell

Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica que tiene la siguiente forma:

con un entero que no es un cuadrado perfecto. Por ser una ecuación diofántica lo que se pide es encontrar lassoluciones enteras de dicha ecuación.

¿Quién es Pell? John Pell fue un matemático inglés que vivió durante el siglo XVII. La cuestión es que no estámuy claro por qué este tipo de ecuaciones llevan su nombre. Al parecer el error lo cometió el gran Euler alasociar un método de resolución de este tipo de ecuaciones a Pell en vez de a Brouncker, el verdaderopropietario de dicho método. En su época Euler era un escritor muy leído, por lo que la inclusión de este fallo enuno de sus libros provocó que esta asociación errónea de propagara con gran rapidez.

Pero bueno, no pasa nada, ya vimos hace un tiempo que no podemos fiarnos a ciegas del nombre que acompañaa ciertos resultados.

El estudio de la ecuación de Pell se remonta a la antigua Grecia. En algunos trabajos de Arquímedes se muestrael conocimiento de alguna solución para el caso y hasta se conjetura que los griegos tenían más nocionessobre el asunto, aunque no se tienen documentos que lo corroboren. Sí se sabe más del estudio sobre estaecuación realizado en la antigua India. Brahmagupta encontró la solución más pequeña para el caso yBháscara una técnica general para encontrar soluciones.

El desafío de Fermat

Pero fue nuestro admirado Pierre de Fermat quien profundizó en la ecuación de Pell. En 1657, al final de sucarrera, mandó el siguiente desafío a los matemáticos ingleses:

Dado un número cualquiera que no es un cuadrado existe un número infinito de cuadrados tal quesi el cuadrado es multiplicado por el número dado y la unidad es añadida al producto el resultadoes un cuadrado.

Es decir, dado que no es un cuadrado, existen infinitos cuadrados, , tales que si los multiplicamos por yañadimos 1 a este producto el resultado es un cuadrado, digamos . Esto nos lleva a la ecuaciónque es precisamente la ecuación de Pell.

Dado que, según parece, en la época de Diofanto se tomaban las soluciones racionales como las solucionesválidas de estas ecuaciones, los ingleses resolvieron muy pronto el desafío de Fermat (¿podéis vosotros?).Fermat había incluido en su desafío un preámbulo donde explicaba que se pedían soluciones enteras, perodicha explicación debió perderse y no llegó a sus destinatarios.

El caso es que Fermat aclaró este punto a los ingleses cuando recibió las soluciones. Estos, aunque indignadospor el cambio de las condiciones del problema, se dedicaron a ello. Wallis y Brouncker son los que parece quepusieron más empeño.

En este y en algún otro desafío aparecían separados tres casos particulares de la ecuación de Pell. Concretamentelos casos . La razón es que estos casos son bastante más complicados de analizar para

. Esto nos indica que Fermat debía poseer un método general para resolver la ecuación de Pell (nocreemos que tuviera tanta suerte al elegir los casos particulares).

La cuestión es que los ingleses, al parecer Brouncker (o al menos Wallis se lo atribuye a él), consiguieronresolver los casos particulares y además dieron un procedimiento general para llegar a la solución para cualquiervalor de . El problema de este método (y posiblemente también del que poseía Fermat, si es que no eran elmismo) es que en ningún momento se demostraba que el método funcionaba siempre. Se aplicaba auna ecuación con un concreto y se obtenían las soluciones, pero no se demostraba que el método era válidopara todos los casos. Puede parecer que esto es un detalle que no tiene demasiada importancia, pero no es así. Elmismo Euler fracasó al intentar demostrar este hecho y hubo que esperar más de un siglo para que Lagrangeconsiguiera dicha prueba.

La ecuación de Pell en la actualidad

En el momento actual el método de resolución de la ecuación de Pell se basa en fracciones continuas. En elartículo de la Wikipedia inglesa dedicado a la ecuación de Pell podéis consultarlo y en este enlace se puede ver deforma más resumida y en español.

Y para terminar os dejo esta web donde dado el valor de obtendréis la solución mínima para ese caso(encontré esta otra página, pero al parecer no funciona). Recordad que no puede ser un cuadrado perfecto,aunque también podéis intentarlo con estos y ver qué ocurre en este solucionador.

El algoritmo de Euclides

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas13

Posted: 04 Oct 2009 11:00 PM PDT

Introducción

El lunes pasado, en el post donde se desarrollaba un método para resolver ecuaciones diofánticas lineales, comentábamosla existencia de un método para el cálculo del máximo común divisor que no desarrollamos. Dicho método se atribuye aEuclides y este post va a servir para presentarlo.

El algoritmo de Euclides

El problema inicial es el siguiente:

Encontrar el máximo común divisor entre dos números enteros positivos y .

Todos conocemos el método que se nos enseña en el colegio para ello:Descomponemos en factores primos los dos números y tomamos los factores comunes a ambos con el menor exponentecon el que aparezcan.Aunque es un método bastante útil y sencillo para conseguirlo que queremos tiene un evidente problema: si los númerosson muy grandes, o si sus factores primos lo son, la cosa se complica ya que el cálculo de la descomposición se tornabastante tedioso.Por ello es interesante tener a mano otro método para casos en los que el procedimiento inicial se complique. El llamadoalgoritmo de Euclides nos servirá.

El algoritmo de Euclides nos dice lo siguiente:

Para calcular el máximo común divisor entre dos números enteros positivos y dividimos el más grande,digamos , entre el más pequeño, digamos . Esta división nos proporcionará un cociente, , y un resto,

. Si , entonces . Si no es cero dividimos el divisor, , entre el resto, ,obteniendo otro cociente, , y otro resto, . Si , entonces . Si no es cerovolvemos a dividir divisor entre resto. Y así sucesivamente.Esto es, el máximo común divisor entre y es el último resto distinto de cero que obtengamos con elprocedimiento anterior.

Si analizamos el algoritmo de Euclides se ve claramente que necesitamos demostrar que el máximo común divisor entrey es igual al máximo común divisor entre y . Así esa igualdad se mantendrá durante todo el proceso y llegaremos aque el último resto distinto de cero es el máximo común divisor de los dos enteros positivos iniciales. Vamos a demostrareste hecho para después ilustrar el algoritmo con un ejemplo:

Teorema:• El máximo común divisor de dos números enteros positivos y , con , coincide con el máximo

común divisor de y , siendo el resto que se obtiene al dividir entre .Demostración:Sean y . Vamos a demostrar que .Por definición de máximo común divisor, se tiene que es un divisor tanto de como de . Por tanto y

.Por otro lado, por el algoritmo de la división se tiene que

, con (1)de donde llegamos a

Por tanto es un divisor de . Como ya teníamos que también es un divisor de entonces debe dividir a su máximocomún divisor, esto es, es un divisor de .Por otro lado, es un divisor tanto de como de . Por ello se tiene que y . Sustituyendo estas dosigualdades en (1) obtenemos lo siguiente:

Por tanto es un divisor de . Como también lo era de debe ser un divisor de su máximo común divisor, es decir, esun divisor de .Como es un divisor de y es un divisor de no queda otra opción más que . Por tanto el algoritmo de Euclidesfunciona.

Ejemplos de aplicación del algoritmo

En esta sección del artículo vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides. Vamos con ellos:

Cálculo deComo hemos explicado antes dividimos el número mayor entre el menor; si el resto no es cero dividimos el divisor entreel resto; y así sucesivamente hasta que llegamos a un punto en el que el resto es cero. Los resultado de las divisiones(expresados como dividendo=divisor · cociente + resto) son:

••••••• *•

Como marca el *, se tiene que , el último divisor que no es nulo.

Cálculo de

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas14

Vamos con el segundo ejemplo, con números más grandes en este caso. Expresamos los resultados parciales de la mismaforma que en el ejemplo anterior:

••••••• *•

Vemos que aunque los números son bastante mayores que los anteriores el número de operaciones necesarias para elcálculo es el mismo. Concluyendo, tenemos que, como marca el *, .

Una demostración visual sobre números naturales ysecuencias contadoras

Posted: 07 Oct 2009 11:00 PM PDTEste artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos@gmail.comEste post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos denúmeros me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos losnúmeros naturales que leí en algún libro de Honsberger.

Sea una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, , de enteros no

negativos.

La función que da el número de términos de la secuencia que son menores o iguales que , defineuna nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior resulta ser

A esta segunda secuencia, cuyos términos cuentan los términos de la primera menores o iguales que , la llamamossecuencia contadora de la primera secuencia.

Como la secuencia contadora es una secuencia no decreciente de no negativos, podemos obtener a su vez la secuenciacontadora de esta secuencia contadora y así sucesivamente.

Pero sucede que:

Dada cualquier secuencia no decreciente de enteros no negativos, la secuencia contadora de la secuencia contadoraes la secuencia inicial.La curiosa conexión con las particiones de números está en:

Si tomamos dos secuencias de forma que una sea la secuencia contadora de la otra, y sumamos vectorialmente a cadauna de ellas la secuencia de todos los naturales , resulta una partición de los

números naturales.

En el caso de las secuencias anteriores y resulta la partición:

Recíprocamente, si partimos en dos subconjuntos infinitos el conjunto de todos los naturales y restamos la secuenciade los naturales de las dos secuencias resultantes de la partición, obtenemos dos secuencias

no decrecientes de enteros no negativos que son cada una contadora de la otra.

Los resultados anteriores tienen una demostración visual sinpalabras, debida a Dijkstra.

Si busca, el lector encontrará representadas en la figura adjuntalas 4 secuencias que hemos usado como ejemplo:

y la secuencia

, de los números naturales.

Y, tras unos momentos de reflexión, verá que la posibilidad deconstruir una figura análoga para cualquier partición en dos de losnaturales da una demostración de los hechos anteriormenteexpuestos.

Las matemáticas dejan en ridículo el código secreto de la Biblia (y II)

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas15

http://www.genciencia.com/matematicas/las-matematicas-dejan-en-ridiculo-el-codigo-secreto-de-la-biblia-y-ii

Posted: 21 Oct 2009 03:14 AM PDTSi nos despojamos de cualquier creencia y analizamosobjetivamente el problema, hemos de convenir que la búsquedade la secuencia vino primero, así que las probabilidades no sontan bajas. La localización de letras equidistantes no debenaparecer necesariamente en una localización particular deltexto. Estamos dispuestos a que “life” aparezca en cualquierparte del texto, desde el principio al final.

Es decir, se buscan todas las posiciones a partir de las cualespuede identificarse una secuencia de letras equidistante (siendoX el número de posiciones de letras dentro del texto). Entoncesla probabilidad de hallar la secuencia “life” viene a ser: P x X.

A continuación supongamos que no nos limitamos a unintervalo fijo de, pongamos, 76 posiciones entre las

letras “life”, sino que buscamos la secuencia de letras equidistantes para cualquier intervalo posible entre,digamos, 1 y 1000 letras. Con este procedimiento las cifras vuelven a cambiar. La probabilidad de queobservemos la secuencia viene a ser P x X x 1000, un número que ya no es tan pequeño. Podemosincrementar aún más la probabilidad de encontrar la secuencia ampliando el número de maneras en quepodría darse. Podemos buscarla de derecha a izquierda, o en diagonal o, como en el caso de loscriptogramas bíblicos, permitir distintas secuencias de letras equidistantes para los dos términosrelacionados, que estén cercanos pero separados en el texto, o buscar caracterizaciones o nombresalternativos, o relajar las restricciones de muchas otras maneras.

Finalmente, el observador sólo se fijará en las secuencias que le interesan y pasará por alto las que no.En resumidas cuentas, lo importante no es la probabilidad de que aparezca una secuencia particular en un texto sino laprobabilidad de que ALGUNA secuencia de significado vagamente similar aparezca DE ALGÚN MODO y EN ALGUNA PARTEdel texto.Bajo esta reglas tan laxas, es fácil, por ejemplo, encontrar secuencias interesantes en la traducción inglesa de Guerra yPaz: “Jordan”, “Chicago” y “Bulls”. Es decir, que Tolstoi estaba profundamente interesado en el futuro delbaloncesto.

El artículo estadístico antes citado también puede ilustrar otro defecto más sutil que tiene que ver consesgos no intencionados en la elección de las secuencias buscadas, procedimientos definidos vagamente, lavariedad y las contingencias de la ortografía del hebreo antiguo y las diversas versiones de la Torá, oincluso el teorema de Ramsey, un profundo resultado matemático sobre la inevitabilidad del orden encualquier secuencia de símbolos lo bastante larga.

Vía | Elogio de la religión de John Allen Paulos

La función de Weierstrass

Posted: 25 Oct 2009 11:00 PM PDTEste artículo es una colaboración de daniel enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Hace ya un tiempo os hablé de algunas funciones extrañas. Entre ellas estaba la función de Weierstrass, continua en todoslos números reales pero no derivable en ninguno de ellos. La demostración sobre la continuidad es sencilla, pero la de lano derivabilidad no lo es tanto. Nuestro amigo Daniel se ha encargado de enviarme una basada en la original deWeierstrass y yo me voy a encargar de mostrarla.

La función de Weierstrass

Para empezar vamos a recordar la definición de la función de Weierstrass:

(1)

donde con y .

No es difícil ver que esta función es continua en todos los números reales (lo podéis intentar como ejercicio y escribirlo enlos comentarios), pero:Teorema:La función definida anteriormente no es derivable en ningún punto de su dominio.

DemostraciónFijamos un arbitrario.Para cada existe un único tal que . Con este entero definimos dos

sucesiones, y , de la siguiente forma:(2)

Es fácil ver que

por lo que:(3)

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas16

Lo que implica que:

Fijando ahora tenemos:

donde:

De igual forma:

donde:

Por otra parte, utilizando el teorema del valor medio (otro ejercicio propuesto) se puede demostrar lo siguiente:

(4)

y, de manera análoga:

(5)

Por otra parte también se puede ver que (un ejercicio más):

(6)

y:

(7)

Por otro lado, dada la definición de las sucesiones y se puede ver fácilmente que.

Supongamos que (en el caso contrario el razonamiento es practicamente igual). Por (3) tenemosque

Lo que nos dice que

De aquí, utilizando (3), tenemos que

(8)

Además

y, como antes, usando (3) llegamos a

(9)

Con estas acotaciones es sencillo comprobar que:

Teniendo en cuenta ahora las restricciones iniciales para y obtenemos lo siguiente:

y (10)

y, por tanto:

(11)

De forma similar llegamos a:

Entonces, teniendo en cuenta (10):

(12)

Las desigualdades (11) y (12) implican lo siguiente:

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas17

Con lo que, en consecuencia, tenemos que:

(13)

Se podrían mejorar las restricciones asignadas a las constantes iniciales, que en esta demostración están ajustadas de esaforma por comodidad (de hecho, la demostración original de Weierstrass exigía algo menos). Pero eso no nos importa.Vamos con el final de la demostración:Si fuese derivable en , tendríamos que las derivadas laterales, (por la izquierda) y (por la derecha)

serían iguales y, por tanto, iguales a la derivada de en y, como siempre y sus límites coincides yvalen , se tendría que

lo que nos llevaría a

hecho que contradice a (13). Por tanto la función no es derivable en el valor real fijado al comienzo del desarrollo.Como la elección de este fue arbitraria, el resultado es correcto para todo número real. Es decir, la función definidaanteriormente, conocida como función de Weierstrass no es derivable en ningún número real.

Funciones sin primitiva elemental

Posted: 01 Nov 2009 10:00 PM PST

Introducción

Como seguro recordaréis hace unos meses fuimos capaces de calcular el valor de la integral de la función de densidad deuna variable aleatoria con función de densidad (distribución normal con media 0 y desviación típica 1). En dichodesarrollo comentamos que la integral no tiene primitiva, vamos, que no podemos encontrar una función que se puedaexpresar en forma de funciones elementales cuya derivada sea tal función de densidad. Esto es:

No existe una función expresable como combinación de funciones elementales tal que su derivada sea.

Eso no significa que dicha función no se pueda integrar, ya que sabemos que cualquier función continua (y ésta lo es) esintegrable. Lo que ocurre es que no podemos expresar dicha integral de una forma sencilla (por ejemplo, en función deexponenciales, senos, cosenos, logaritmos…).Esta característica no es propiedad de esta función únicamente, sino que la tiene otros tipos de funciones. En este artículovamos a mostrar algunas más.

¿Qué es una función elemental?

La primera pregunta que puede surgir es la siguiente:

Estamos diciendo que la primitiva de cierta función no puede expresarse como combinación de funcioneselementales, pero ¿qué funciones son las que consideramos elementales?

Aunque más o menos todos podemos tener una idea de lo que consideramos función elemental en realidad la definición ylas demostraciones pertinentes no son demasiado sencillas, al menos las que aparecen en el documento en el que se basaesta artículo (enlazado al final). Por ello vamos a dedicar esta sección simplemente a enumerar qué funciones seconsideran elementales:

• La suma y el producto de funciones elementales en un intervalo es elemental en . Lo mismo ocurrecon el cociente de funciones elementales siempre que el denominador no se anule en .

• La composición de funciones elementales en es elemental en .• Los polinomios son funciones elementales en cualquier intervalo .• Los cocientes de polinomios cuyo denominador no se anula en un intervalo son funciones elementales en

el intervalo .• La función es una función elemental en todo intervalo .• Si , la función es elemental en .• Las funciones y son funciones elementales en todo intervalo . Por ello, la función

también es elemental.• La función es elemental en todo intervalo . En consecuencia, las funciones y

también son funciones elementales.• Las funciones hiperbólicas y y sus inversas son funciones elementales.

Por tanto decimos que una función no tiene primitiva elemental si el resultado de integrarla no puede expresarse comocombinación de algunas de estas funciones.Vamos ahora a dar unos cuantos ejemplos de funciones que no tienen primitiva elemental.

Funciones trascendentes sin primitiva elemental

En el desarrollo del documento en el que se basa este artículo la variable compleja es fundamental. De hecho es la basede dicho documento (demostramos cosas en y para demostrarlas en nos trasladamos a los complejos). Por ello unode los criterios prácticos para comprobar si una función tiene primitiva elemental es el siguiente:

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas18

Sea un dominio, y supongamos que no es constante y no tiene polos en .Entonces existe una función elemental tal que si y sólo si existe talque .

Utilizando este hecho (junto con una generalización del mismo entre otras cosas) se puede demostrar lo que hemoscomentado sobre las siguientes funciones trascendentes:

• Si es un polinomio de grado , entonces la integral

no es elemental.Por ello, la integral que comentábamos al comenzar este artículo no puede expresarse como combinación defunciones elementales.

• La función , definida como la cantidad de números primos menores o iguales a , es asintóticamente iguala la integral logarítmica

Pues bien, la integral siguiente:

tampoco es elemental.• La siguiente integral:

tampoco es expresable como combinación de funciones elementales.• Si es un polinomio de grado , entonces las siguientes integrales:

no son elementales (es curioso el hecho de que si tomamos , función más compleja que unpolinomio, las integrales sí sean elementales).

• La integral

no tiene primitiva elemental.• La integral

tampoco es elemental.• La integral

tampoco puede expresarse en como combinación de funciones elementales.

Funciones algebraicas sin primitiva elemental

Pero no sólo las funciones trascendentes pueden presentar esta característica. También hay funciones algebraicas cuyaprimitiva no es elemental. Vamos con ellas:

• Si es un polinomio con yque sólo tiene raíces simples y es otro polinomio tal

que , entonces la integral

no es elemental.• Si , la integral elíptica

no puede expresarse como combinación de funciones elementales.• La integral

no es elemental.• La integral binomia

con y es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números

es entero.Así, por ejemplo, la integral

es elemental, ya que , pero la integral

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas19

no lo es.

Conclusión

Así que ya sabéis, si alguna vez os encontráis con alguna de estas integrales y lo que tenéis que hacer es calcular unaprimitiva no lo intentéis, ya que no podréis hacerlo.Este artículo es un resumen del artículo Funciones sin primitiva elemental del profesor Carlos Ivorra.

Compilado por Luar ArevMis Notas Personales Compiladas Fin compilación

Matemática y Ciencias 02 MNPC Mis Notas Personales Compiladas20

Archivo: mnpc09-MatCie02-12nov Páginas: 20