MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROLUnidad II

CONTROL ANALÓGICO I

Modelado de sistemas

� Con la finalidad de diseñar y analizar el comportamiento dinámico de un sistema físico, es necesario obtener modelos matemáticos cuantitativos de ellos.matemáticos cuantitativos de ellos.

� Ejemplos de sistemas mecánicos

Modelado Cont.

� Ejemplos de sistemas

Modelado Cont.

� La mayoría de los sistemas de interés en el área de control son de naturaleza dinámica, la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es:ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde:u es la entrada del sistemay es la salida del sistema

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) .. ( )

− −

− −− −+ + + = + + +n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t d u t d u ta a a y t b b b u t

dt dt dt dt

Representación

1 11 0 1 0... ...n n m m

n n m ma y a y a y b u b u b u− −− −+ + + = + + +

� Ademása0,a1,…,an y b0, b1,…,bm son constantes o

funciones del tiempo.

1 0 1 0n n m m− −

Tipos de sistemas

� Para los sistemas físicos , además:� Si los coeficientes son constantes, se trata de

sistemas lineales invariantes en el tiempo (SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas

n m≥

(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas de suspensión de automóviles, motores eléctricos, etc.

� Si los coeficientes son variables, se les llama sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes, etc.

Ejemplos

� Analice cada ecuación diferencial y determine tipo de sistema al que pertenece.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

� La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se

hacen igual a cero.

=L( ) ( )

L( ) ( )

y Y s

u U s1

1 0...( ) m mm mb s b s bY s

n m−

−+ + += ≥=L( ) ( )u U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L

1−L

1 01

1 0( ) ...m m

n nn n

n mU s a s a s a

−−

−

= ≥+ + +

� De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

¿Por qué Transformada de Laplace?

su estudio.

� Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

Ejemplos: Obtención de función de transferencia

� Obtener la función de transferencia de los siguientes sistemas así como los polos y ceros de la misma.

OBTENCIÓN DE F.T DE SISTEMAS

� Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito

considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

R

Vi (t)

+

-

Ci(t) Vo(t)

+

-

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0( ) ( ) ( ) 0iV t i t R V t− − =

Filtro pasa-bajas

Frecuencia de corte

� Además

0

1( ) ( )V t i t dt

C= ∫ 0 ( )

( )dV t

i t Cdt

=

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primeraSustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

00

( )( ) ( ) 0− − =i

dV tV t RC V t

dt

00

( )( ) ( )+ = i

dV tRC V t V t

dt

� Aplicando

0 0( ) ( ) ( )+ = iE s RCsE s E s

Factorizando y reacomodando

L

0 ( ) 1

( ) 1i

E s

E s RCs=

+

1s

RC= −

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en.

Función de Transferencia de Elementos en Cascada

� Se dice que dos elementos están en cascada, cuando la salida del primero corresponde a la entrada del segundo.

Hay dos casos:Hay dos casos:1. Si los elementos no se cargan.2. Si el segundo elemento produce un

efecto de carga sobre el primero, es decir, si el segundo elemento toma cierta cantidad de potencia del primero.

� En el primer caso se puede obtener una función de transferencia del sistema simplemente eliminando la salida y entrada intermedias.entrada intermedias.

� Si el segundo elemento no carga al primero, obtenemos

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )3 3 2

2 11 2 1

X s X s X sG s G s G s

X s X s X s= = × =

Ejemplo

� Sea el siguiente sistema eléctrico en cascada mostrado en la figura, obtener la función de transferencia .0 ( )

( )i

V s

V s

Diagramas de bloques

� Esta representación gráfica permite describir de manera clara el funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.

Elementos básicos

� Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.

� Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna señal sale

� a diferentes lugares.

R2(s)

+

-

+G(s)

C(s)R(s)

R2(s)

R1(s)

R3(s)

C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s)

Y(s)

Y(s)

Y(s)

Y(s)

a) b) c)

a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma

Reglas para reducir diagramas de bloques

� Una regla para simplificar un diagrama de bloques consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben cumplir las siguientes reglas básicas.

� El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante.

� El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.

Ejemplo

( )

( )

Y s

R s

Y(s)

R(s)

+ +-

2 ( )H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia

Y(s)+

-

+

-

-

1( )G s 2 ( )G s 3( )G s

1( )H s

� Usando regla 6

Y(s)R(s)

+ +-

2 ( )H s

+

-

+

-

-

1

1

( )G s

1( )G s

1( )H s

2 ( )G s 3( )G s

� Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado

Y(s)R(s) +

-

+

-

-

1( )

( )

H s

G s

1 2( ) ( )G s G s3 ( )G s

2 ( )H s

3

1

( )G s

1( )G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s)R(s) +

-

+

-

-

1

1

( )

( )

H s

G s

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s

2

3

( )

( )

H s

G s

� Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos

Y(s)R(s) +

-

+-

2

3

( )

( )

H s

G s

1 2 3

11 2 3

1

( ) ( ) ( )

( )1 ( ) ( ) ( )

( )

G s G s G s

H sG s G s G s

G s

+

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado

Y(s)R(s) +

-

1 2 3

2 3 1

1 2 3 2

2 3 1 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G s

G s G s H s

G s G s G s H s

G s G s H s G s

+ +

� Simplificando

Y(s)R(s)1 2 3( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + +G s G s G s

G s G s H s G s G s H s G s G s G s2 3 1 1 2 2 1 2 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + +G s G s H s G s G s H s G s G s G s

Ejemplo

� Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia

s

Y(s)R(s) +

-

++

8 2 10

s

s s+ +

1

1s +

1

s

s +

-

solución

� Por regla #9

R(s) + ++

1

s

s +

Y(s)R(s) +

-

+

8 2 10

s

s s+ +

1

1s +

-

2 10s s

s

+ +

� Por regla #4 y #6

Y(s)R(s) ++

+

1

8

s

1

s

s +

8- 2 10s s+ +-

2 10

( 1)

s s

s s

+ ++

8

� Por Regla #1

Y(s)+++

8 8

s

s +

Y(s)R(s) +

-

+

2

8

10

s

s s+ +-

2 10

( 1)

s s

s s

+ ++

Solución Cont.

� Por regla #13

Y(s)R(s) ++

2

8

10

s

s s+ +1

8 8

s

s+

+-

10s s+ +8 8s +-

2 10

( 1)

s s

s s

+ ++

Solución Cont.

� Por regla #13

Y(s)R(s) + 2

2

810

8 101

s

s s

s s s

+ + + + +

18 8

s

s+

+-

2

8 101

10 ( 1)s s s

s s s s

+ + + + + + 8 8s +

Y(s)R(s)

-

+

( )( )2

(8 8)

10 9

s s

s s s

++ + +

9 8

8 8

s

s

++

-

Y(s)R(s) ( )( )

( )( )

2

2

(8 8)

10 9

(8 8)1

10 9

s s

s s s

s s

s s s

++ + +

+++ + +

9 8

8 8

s

s

++

Solución

� Simplificando

Y(s)R(s) ( )( )( ) ( )2

9 8

10 9 8 1

s s

s s s s s

++ + + + +( )( ) ( )10 9 8 1s s s s s+ + + + +

Gráficos de flujo de señal

Nodo .- Es un punto de entrada o salida que representa una variable o señal.

Nodo fuente .- Este representa las variables independientes del sistema y es un nodo en donde solo existen ramas de salida.solo existen ramas de salida.

Nodo sumidero .- Representa las variables dependientes del sistema y es un nodo en donde solamente hay ramas de entrada.

Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos nodos.

Transmitancia .- Es la ganancia de una rama.

Camino o trayectoria .- Es un conexión continua de ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con el sentido de las flechas de las ramas.

Trayecto o camino directo .-Es una trayectoria que conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero.

Ganancia del trayecto .- Es el producto de las transmitancias de todas las ramas del trayecto.

Lazo .- Es un camino o trayectoria cerrada.Ganancia de lazo .- Es el producto de las transmitancias

de todas las ramas del lazo.Lazo disjunto .- Es un lazo que no tiene ningún nodo en

común con otro lazo, es decir, no se tocan.

Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas de bloques

Gráfico de flujo de señal Diagrama de bloques

Nodo de entrada Señal de entradaNodo de salida Señal de salida

rama bloqueTransmitancia Ganancia del bloque

Nodo señal

C(s)R(s) +

-

+

-1( )G s 2 ( )G s 3( )G s

1( )H s

+ -C(s)

R(s)1 1 G1(s) G2(s) G3(s) 1

-1

-H2(s)

1L

2L

3L

Fórmula de ganancia de Mason

La fórmula de Mason establece que la ganancia de unsistema esta dada por

Dondek = número de trayectos directos.

1k k

k

P P= ∆∆∑

…+−+−=∆ ∑∑∑def

fedbc

cba

a LLLLLL1

=∑a

aL

k = número de trayectos directos.Pk = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa.

Suma de todas las ganancias de lazo individuales.

=∑bc

cbLL

=∑def

fed LLL

∆

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos.

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.

∆k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan latrayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacercero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk.

Ejemplo

Identificando las trayectorias directas, tenemos

C(s)R(s)

1 1 G1(s) G2(s) G3(s) 1

-1

-H2(s)

1L

2L

3L

1 1 2 3( ) ( ) ( )P G s G s G s=

En este caso hay tres lazos individuales

Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo tanto no hay lazos disjuntos.

1 1 2 1( ) ( ) ( )L G s G s H s=

2 2 3( ) ( )L G s G s= −

3 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )L G s G s G s H s= −

Ejemplo cont.

Calculando el determinante ∆ del gráfico

Sustituyendo valores

( )1 2 31 L L L∆ = − + +

1 2 1 2 3 1 2 3 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s G s H s G s G s G s G s G s H s∆ = − + +

Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos:

De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es:

1 1∆ =

1 2 31 1

1 2 1 2 3 1 2 3 2

( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G sPC sP

R s G s G s H s G s G s G s G s G s H s

∆= = =∆ − + +

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

= =

⋮ ⋮

m r

y t u t

y t u ty t U t

y t u t

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como

( ) ( ) m ry t u t

( ) ( ) ( )Y s G s U s=

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) conla entrada U(s), o sea

DondeU(s) vector de entradas de orden rY(s) vector de salida de orden m G(s) matriz de transferencia de orden mxr

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

� SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS

x1(t)M1

K1

Auto

Sistemade

f(t)

fv

M2

x2(t)

K1

K2

de suspensión

Elasticidad de la llanta

Masa de lasuspensión

U(t)