Modelo Atómico de Schrödinger
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Modelo atómico de Schrödinger
Biografía
Nace en Viena en 1887 y muere en 1961. Fue un físico austriaco. En 1926 publicó una serie de artículos que sentaron las bases de la moderna mecánica cuántica ondulatoria, y en los cuales transcribió en derivadas parciales su célebre ecuación diferencial, que relaciona la energía asociada a una partícula microscópica con la función de onda descrita por dicha partícula. Dedujo este resultado tras adoptar la hipótesis de De Broglie, enunciada en 1924, según la cual la materia y las partículas microscópicas, éstas en especial, son de naturaleza dual y se comportan a la vez como onda y como cuerpo. Atendiendo a estas circunstancias, la ecuación de Schrödinger arroja como resultado funciones de onda, relacionadas con la probabilidad de que se dé un determinado suceso físico, tal como puede ser una posición específica de un electrón en su órbita alrededor del núcleo.
El modelo atómico de Schrödinger (1924)
Es un modelo cuántico no relativista. Se basa en la solución de la ecuación de Schrödinger para un
potencial electrostático con simetría esférica, llamado también átomo hidrogenoide. En este
modelo los electrones se contemplaban originalmente como una onda estacionaria de materia
cuya amplitud decaía rápidamente al sobrepasar el radio atómico.
El modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados
para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían energías
ligeramente diferentes. Esto no tenía explicación en el
modelo de Bohr, y sugería que se necesitaba alguna
corrección. La propuesta fue que dentro de un mismo
nivel energético existían subniveles. La forma concreta
en que surgieron de manera natural estos subniveles, fue
incorporando órbitas elípticas y correcciones relativistas.
Así, en 1916, Arnold Sommerfeld modificó el modelo
atómico de Bohr, en el cual los electrones sólo giraban
en órbitas circulares, al decir que también podían girar en
órbitas elípticas más complejas y calculó los efectos
relativistas.
Características del modelo
El modelo atómico de Schrödinger concebía originalmente los electrones como ondas de materia.
Así la ecuación se interpretaba como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el
tiempo y el espacio de dicha onda material. Más tarde Max Born propuso una interpretación
probabilística de la función de onda de los electrones. Esa nueva interpretación es compatible con
los electrones concebidos como partículas cuasi puntuales cuya probabilidad de presencia en una
determinada región viene dada por la integral del
cuadrado de la función de onda en una región. Es decir, en
la interpretación posterior del modelo, éste era
modelo probabilista que permitía hacer predicciones
empíricas, pero en el que la posición y la cantidad de
movimiento no pueden conocerse simultáneamente, por
el principio de incertidumbre. Así mismo el resultado de
ciertas mediciones no están determinadas por el modelo,
sino sólo el conjunto de resultados posibles y su
distribución.
Adecuación empírica
El modelo atómico de Schrödinger predice adecuadamente las líneas de emisión espectrales, tanto
de átomos neutros como de átomos ionizados. El modelo también predice adecuadamente la
modificación de los niveles energéticos cuando existe un campo magnético o eléctrico (efecto
Zeeman y efecto Stark respectivamente).
Además, con ciertas modificaciones semiheurísticas el modelo explica el enlace químico y la
estabilidad de las moléculas. Cuando se necesita una alta precisión en los niveles energéticos
puede emplearse un modelo similar al de Schrödinger, pero donde el electrón es descrito
mediante la ecuación relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuación de Schrödinger. En el
modelo de Dirac, se toma en cuenta la contribución del espín del electrón.
Sin embargo, el nombre de "modelo atómico" de Schrödinger puede llevar a una confusión ya que
no explica la estructura completa del átomo. El modelo de Schrödinger explica sólo la estructura
electrónica del átomo y su interacción con la estructura electrónica de otros átomos, pero no
explica como es el núcleo atómico ni su estabilidad.
Solución de la ecuación de Schrödinger
Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger en un campo central electrostático,
están caracterizadas por tres números cuánticos (n, l, m) que a su vez están relacionados con lo
que en el caso clásico corresponderían a las tres integrales del movimiento independientes de una
partícula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas
en coordenadas esféricas por:
Dónde:
es el radio de Bohr.
son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.
es el armónico esférico (l, m).
Para el operador momento angular
Para el operador hamiltoniano:
Dónde:
α es la constante de estructura fina con Z=1.
Insuficiencias del modelo
Si bien el modelo de Schrödinger describe adecuadamente la estructura electrónica de los
átomos, resulta incompleto en otros aspectos:
1. El modelo de Schrödinger en su formulación original no tiene en cuenta
el espín de los electrones, esta deficiencia es corregida por el modelo de
Schrödinger-Pauli.
2. El modelo de Schrödinger ignora los efectos
relativistas de los electrones rápidos, esta
deficiencia es corregida por la ecuación de
Dirac que además incorpora la descripción del
espín electrónico.
3. El modelo de Schrödinger si bien predice razonablemente bien los niveles
energéticos, por sí mismo no explica por qué un electrón en un estado cuántico
excitado decae hacia un nivel inferior si existe alguno libre. Esto fue explicado por
primera vez por la electrodinámica cuántica y es un efecto de la energía del punto
cero del vacío cuántico. Cuando se considera un átomo de hidrogeno los dos
primeros aspectos pueden corregirse añadiendo términos correctivos al
hamiltoniano atómico.
ARNOLD SOMMERFELD:
Arnold Sommerfeld nació en Königsber, donde estudió matemáticas. Tras recibir el doctorado
en 1891 se cambió a la universidad de Gotinga, donde recibió la cátedra en 1896.
El primer trabajo de Sommerfeld bajo la supervisión de Klein fue un impresionante trabajo sobre la
teoría matemática de la difracción, su trabajo en este tema contiene una teoría importante de
ecuaciones diferenciales. Otros trabajos importantes versaron sobre el estudio de la propagación
de las ondas electromagnéticas en cables y sobre el estudio del campo producido por un electrón
en movimiento. El trabajo de Sommerfeld hizo cambiar las órbitas circulares del átomo de Niels
Bohr por órbitas elípticas, también introdujo el número cuántico magnético, y en 1916, el número
cuántico interno.
En 1906 se convirtió por fin en profesor de física de la universidad de Múnich. Allí entró en
contacto con la teoría de la relatividad de Albert Einstein, que aún no estaba aceptada
comúnmente. Sus contribuciones matemáticas a la teoría ayudaron a que los científicos más
escépticos la aceptasen.
Sommerfeld murió en 1951 en Múnich a causa de las heridas de un accidente de tráfico
Modelo atómico de SOMERFELD
El Modelo atómico de Sommerfeld es un modelo atómico hecho por el físico alemán Arnold
Sommerfeld (1868-1951) que básicamente es una generalización relativista del modelo atómico de
Bohr (1913).
Insuficiencias del modelo de Bohr
El modelo atómico de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno, sin embargo, en los
espectros realizados para átomos de otros elementos se observaba que electrones de un mismo
nivel energético tenían distinta energía, mostrando que existía un error en el modelo. Su
conclusión fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles, es decir, energías
ligeramente diferentes. Además desde el punto de vista teórico, Sommerfeld había encontrado
que en ciertos átomos las velocidades de los electrones alcanzaban una fracción apreciable de
la velocidad de la luz. Sommerfeld estudió la cuestión para electrones relativistas.
Características del modelo
Órbitas elípticas en el modelo de Sommerfeld.
En 1916, Sommerfeld perfeccionó el modelo atómico de Bohr intentando paliar los dos principales
defectos de éste. Para eso introdujo dos modificaciones básicas: Órbitas casi-elípticas para los
electrones y velocidades relativistas. En el modelo de Bohr los electrones sólo giraban en órbitas
circulares. La excentricidad de la órbita dio lugar a un nuevonúmero cuántico: el número cuántico
azimutal, que determina la forma de los orbitales, se lo representa con la letra l y toma valores
que van desde 0 hasta n-1. Las órbitas son:
l = 0 se denominarían posteriormente orbitales s o sharp
l = 1 se denominarían p o principal.
l = 2 se denominarían d o diffuse.
l = 3 se denominarían f o fundamental.
Para hacer coincidir las frecuencias calculadas con las experimentales, Sommerfeld postuló que
el núcleo del átomo no permanece inmóvil, sino que tanto el núcleo como el electrón se mueven
alrededor del centro de masas del sistema, que estará situado muy próximo al núcleo al tener este
una masa varios miles de veces superior a la masa del electrón.
Para explicar el desdoblamiento de las líneas espectrales, observando al
emplear espectroscopios de mejor calidad, Sommerfeld supone que las órbitas del electrón
pueden ser circulares y elípticas. Introduce el número cuántico secundario o azimutal, en la
actualidad llamado l, que tiene los valores 0, 1, 2,…(n-1), e indica el momento angular del electrón
en la órbita en unidades de , determinando los subniveles de energía en cada nivel cuántico y
la excentricidad de la órbita.