Modelo de crecimiento poblacional. Cierto ingeniero decide construir una edificación en una zona urbana con una dinámica de crecimiento dictada por la siguiente ecuación diferencial:

Donde k es una constante positiva de la función P(t) de la zona escogida para el estudio. El desea saber qué tipo de crecimiento tiene la población. Grafique el comportamiento de la ecuación. Analice una interpretación para la solución de esta ecuación, y determine qué clase de población considera que describe la gráfica. Solución: La ED puede resolverse por el método de la separación de variables:

La ley de Newton del enfriamiento,

dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea.

Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF.

¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ºF?

2da. Ley de Newton

Despejamos T

Datos para conocer

t=3 min

T=100=dif de temperatura

Ta=70 ºF=Temp. Ambiente

T0=300=Temp. en un tiempo t=0

FÓRMULA

Sustituimos k para encontrar t

Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:

La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.

Sea “y” la cantidad de material radiactivo

para t=0, y=60 c=60

para t=3, y=60(0.8)=48

sustituyendo 

en 

Solución 

Presente en cualquier tiempo t.

¿Qué cantidad permanece cuando t=5 hr?

¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial?

Para 

Tenemos 

Aplicando la ley de ln

Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:

La ecuación del movimiento

y como 

es decir 

Es una ecuación lineal de primer orden.

para m=2

La velocidad en un tiempo t=20 seg.

El tiempo necesario para que el cuerpo

Llegue a su máxima altura. -

es igual

Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con la ley x''+4x'+13x=0 si, dicha partícula empieza su movimiento en x=0 con una velocidad inicial de 6 m/s hacia la izquierda; hallar:

x en función de t.

para 

, con solución general.

para 

por lo tanto B=2 entonces, la solución particular es 

los tiempos en que se producen las paradas.

Se producen paradas cuando 

Entonces 

para 

de donde

, , n=1,2,3,4,...radianes.