Modelo La forma general del modelo de regresión multiple es:
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Modelo
La forma general del modelo de regresión multiple es:
yt = 1 xt1 + 2 xt2 + .............. + k xtk + ut
oyt = xt’ 2 + ut
yt = variable dependiente o endógena
xt’ = vector de variables independientes/predeterminadas/exogenas/regresoras
ut = término de error
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Supuestos de trabajo
- Se asume que el verdadero modelo que refleja el comportamiento de los datos es
y = X + u
- E(u) = 0
- E(uu’) = 2 I, que significa que se satisfacen las propiedades de
E(ut2) = 2
Euiuj = 0, i j
- Los regresores X son no aleatorios.
- u ~ N (0, 2 I)
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Regresión con una variable cuantitativa y una cualitativa de dos categorías
En este caso, el modelo seria
Yi = 1 + 2 Di + Xi + ui
donde Y = salario anual de un profesor universitario
X = años de experiencia
Di = 1 si el profesor es un hombre
= 0 si el profesor es mujer
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Forma de Cálculo del coeficiente b con solo un regresor
b = Sxy / Sxx = x*y / x2
b = covarianza (x,y)/Varianza (y)
si los x’s son no estocásticos, entonces la suma es una constante, x2 = c, quiere decir que b es una suma de variables, lo que por Teorema del Límite Central, converge hacia una distribución normal. Si además los errores se distribuyen normalmente, entonces b es una suma de variables normales, que de hecho es normal. El otro coeficiente a es una suma de variables aleatorias con lo cual tambien converhe a una normal, o es normal si los errores son normales
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a = y - b*x
Esto nos habilita para utilizar las herramientas de test de hipotesis, que se aplican para distribuciones normales, o para suma de variables aleatorias, que convergen a una normal.
Podemos hacer test de hipotesis!
Las propiedades se mantienen cuando tenemos múltiples regresores, siendo los coeficientes una suma de variables aleatorias.
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Año y Ventas t 2º Trim. 3º Trim. 4º Trim.Trimestre (millones) D2 D3 D4
1993 - I 114.862 1 0 0 01993 - II 123.968 2 1 0 01993 - III 121.454 3 0 1 01993 - IV 131.917 4 0 0 11994 - I 129.911 5 0 0 01994 - II 140.976 6 1 0 01994 - III 137.828 7 0 1 01994 - IV 145.645 8 0 0 11995 - I 136.989 9 0 0 01995 - II 145.126 10 1 0 01995 - III 141.536 11 0 1 01995 - IV 151.776 12 0 0 11996 - I 148.862 13 0 0 01996 - II 158.913 14 1 0 01996 - III 155.727 15 0 1 01996 - IV 168.409 16 0 0 11997 - I 162.781 17 0 0 01997 - II 176.057 18 1 0 01997 - III 172.419 19 0 1 01997 - IV 183.327 20 0 0 11998 - I 170.415 21 0 0 01998 - II 181.313 22 1 0 01998 - III 176.712 23 0 1 01998 - IV 180.370 24 0 0 1
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EVOLUCION DE VENTAS
80.000
100.000
120.000
140.000
160.000
180.000
200.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos
Pes
os ($
)
Serie1
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
= (R^2)
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
R^2 = 1- SSE/SST
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
)1/(
)1/(12
nSST
knSSER
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
Desviación estandar
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
SST - SSE
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
SSE
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
SST
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
coeficientes a, b’s
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
los coeficientes son estimadores, esta es el error estandar de cada coefieiente
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
Cantidad de desviaciones estandares que esta el coeficiente a la derecha o izquierda de cero
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Resumen
Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0,986969107Coeficiente de determinación R 2̂ 0,974108018R 2̂ ajustado 0,968657074Error típico 3650,430344Observaciones 24
ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados
Regresión 4 9525407290 2381351822Residuos 19 253187192,2 13325641,69Total 23 9778594482
Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 113323,1946 1913,265664 59,23024532 5,0753E-23Variable X 1 2786,073214 109,0774696 25,54215114 3,5835E-16Variable X 2 7636,093452 2110,397702 3,61831964 0,00183052Variable X 3 1403,853571 2118,837451 0,66255841 0,5155709Variable X 4 7912,447024 2132,829485 3,709835727 0,00148605
Probabilidad que el verdadero coefieciente sea cero.
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MODELO DE PRONOSTICO
Ventas estimadas =
113323,19 +2786,07 * t +7636,09 * D1+1403,85 * D2 +7912,44*D3
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Año y Ventas Ventas t 2º Trim. 3º Trim. 4º Trim.Trimestre estimadas (millones) D2 D3 D4
1993 - I 116.109 114.862 1 0 0 01993 - II 126.531 123.968 2 1 0 01993 - III 123.085 121.454 3 0 1 01993 - IV 132.380 131.917 4 0 0 11994 - I 127.254 129.911 5 0 0 01994 - II 137.676 140.976 6 1 0 01994 - III 134.230 137.828 7 0 1 01994 - IV 143.524 145.645 8 0 0 11995 - I 138.398 136.989 9 0 0 01995 - II 148.820 145.126 10 1 0 01995 - III 145.374 141.536 11 0 1 01995 - IV 154.669 151.776 12 0 0 11996 - I 149.542 148.862 13 0 0 01996 - II 159.964 158.913 14 1 0 01996 - III 156.518 155.727 15 0 1 01996 - IV 165.813 168.409 16 0 0 11997 - I 160.686 162.781 17 0 0 01997 - II 171.109 176.057 18 1 0 01997 - III 167.662 172.419 19 0 1 01997 - IV 176.957 183.327 20 0 0 11998 - I 171.831 170.415 21 0 0 01998 - II 182.253 181.313 22 1 0 01998 - III 178.807 176.712 23 0 1 01998 - IV 188.101 180.370 24 0 0 11999 - III 182.975 25 0 0 01999 - IV 193.397 26 1 0 02000 - III 189.951 27 0 1 02000 - IV 199.246 28 0 0 12001 - III 194.119 29 0 0 02001 - IV 204.541 30 1 0 02002 - III 201.095 31 0 1 02002 - IV 210.390 32 0 0 12003 - III 205.264 33 0 0 02003 - IV 215.686 34 1 0 02004 - III 212.240 35 0 1 02004 - IV 221.534 36 0 0 1
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EVOLUCION DE VENTAS
80.000
100.000
120.000
140.000
160.000
180.000
200.000
220.000
240.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Periodos
Pe
sos
($)
Serie1
Serie2