Modelo Lutz Shotz

M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa

MODELO DETERMINISTICO-ESTOCASTICO DE LUTZ SCHOLZ

1. GENERALIDADES

Este modelo hidrolgico, es combinado por que cuenta con una estructura

determnistica para el clculo de los caudales mensuales para el ao promedio (Balance

Hdrico - Modelo determinstico); y una estructura estocstica para la generacin de series

extendidas de caudal (Proceso markoviano - Modelo Estocstico). Fu desarrollado por el

experto Lutz Scholz para cuencas de la sierra peruana, entre los aos 1979-1980, en el marco

de Cooperacin Tcnica de la Repblica de Alemania a travs del Plan Meris II.

Determinado el hecho de la ausencia de registros de caudal en la sierra peruana, el

modelo se desarroll tomando en consideracin parmetros fsicos y meteorolgicos de las

cuencas, que puedan ser obtenidos a travs de mediciones cartogrficas y de campo. Los

parmetros ms importantes del modelo son los coeficientes para la determinacin de la

Precipitacin Efectiva, dficit de escurrimiento, retencin y agotamiento de las cuencas. Los

procedimientos que se han seguido en la implementacin del modelo son [1]:

1. Clculo de los parmetros necesarios para la descripcin de los fenmenos de escorrenta promedio.

2. Establecimiento de un conjunto de modelos parciales de los parmetros para el clculo de caudales en cuencas sin informacin hidromtrica. En base a lo anterior se realiza

el clculo de los caudales necesarios.

3. Calibracin del modelo y generacin de caudales extendidos por un proceso markoviano combinado de precipitacin efectiva del mes con el caudal del mes

anterior.

Este modelo fu implementado con fines de pronosticar caudales a escala mensual,

teniendo una utilizacin inicial en estudios de proyectos de riego y posteriormente

extendindose el uso del mismo a estudios hidrolgicos con prcticamente cualquier finalidad

(abastecimiento de agua, hidroelectricidad etc). Los resultados de la aplicacin del modelo a

las cuencas de la sierra peruana, han producido una correspondencia satisfactoria respecto a

los valores medidos.

2. ECUACION DEL BALANCE HIDRICO

La ecuacin fundamental que describe el balance hdrico mensual en mm/mes es la

siguiente: [Fischer]

CMi = Pi - Di + Gi - Ai (1)

donde:

CMi = Caudal mensual (mm/mes)

Pi = Precipitacin mensual sobre la cuenca (mm/mes)

Di = Dficit de escurrimiento (mm/mes)

Gi = Gasto de la retencin de la cuenca (mm/mes)

Ai = Abastecimiento de la retencin (mm/mes)


Asumiendo:

1. Que para perodos largos (en este caso 1 ao) el Gasto y Abastecimiento de la retencin tienen el mismo valor es decir Gi = Ai, y

2. Que para el ao promedio una parte de la precipitacin retorna a la atmsfera por evaporacin.

Reemplazando (P-D) por (C*P), y tomando en cuenta la transformacin de unidades

(mm/mes a m3/seg) la ecuacin (1) se convierte en:

Q = c'*C*P*AR (2)

Que es la expresin bsica del mtodo racional.

donde:

Q = Caudal (m3/s)

c' = coeficiente de conversin del tiempo (mes/seg)

C = coeficiente de escurrimiento

P = Precipitacin total mensual (mm/mes)

AR = Area de la cuenca (m2)

3. COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO

Se ha considerado el uso de la frmula propuesta por L. Turc:

donde:

C = Coeficiente de escurrimiento (mm/ao)

P = Precipitacin Total anual (mm/ao)

D = Dficit de escurrimiento (mm/ao)

Para la determinacin de D se utiliza la expresin:

)3(P

DPC


Siendo:

L = Coeficiente de Temperatura

T = Temperatura media anual (C)

Dado que no se ha podido obtener una ecuacin general del coeficiente de escorrenta para la

toda la sierra, se ha desarrollado la frmula siguiente, que es vlida para la regin sur:

donde:

C = Coeficiente de escurrimiento

D = Dficit de escurrimiento (mm/ao)

P = Precipitacin total anual (mm/ao)

EP = Evapotranspiracin anual segn Hargreaves (mm/ao)

r = Coeficiente de correlacin

La evapotranspiracin potencial, se ha determinado por la frmula de Hargreaves:

donde:

4

9.0

1

2

1

2

2

L

P

PD

aTTL 4)(05.025300 3

)5(96.01216.3 686.3571.0

rEPPEC

)6(96.0;032.1872.01380

rEPPD

70075.0 FATFRSMEP

N

nRARSM 075.0

ALFA 06.01


RSM = Radiacin solar media

TF = Componente de temperatura

FA = Coeficiente de correccin por elevacin

TF = Temperatura media anual (F)

RA = Radiacin extraterrestre (mm H2O / ao)

(n/N) = Relacin entre insolacin actual y posible (%)

50 % (estimacin en base a los registros)

AL = Elevacin media de la cuenca (Km)

Para determinar la temperatura anual se toma en cuenta el valor de los registros de las

estaciones y el gradiente de temperatura de -5.3 C 1/ 1000 m, determinado para la sierra.

4. PRECIPITACION EFECTIVA

Para el clculo de la Precipitacin Efectiva, se supone que los caudales promedio

observados en la cuenca pertenecen a un estado de equilibrio entre gasto y abastecimiento de

la retencin. La precipitacin efectiva se calcul para el coeficiente de escurrimiento

promedio, de tal forma que la relacin entre precipitacin efectiva y precipitacin total resulta

igual al coeficiente de escorrenta.

Para fines hidrolgicos se toma como precipitacin efectiva la parte de la precipitacin

total mensual, que corresponde al dficit segn el mtodo del USBR (precipitacin efectiva

hidrolgica es el anttesis de la precipitacin efectiva para los cultivos).

A fin de facilitar el clculo de la precipitacin efectiva se ha determinado el polinomio

de quinto grado:

donde:

PE = Precipitacin efectiva (mm/mes)

P = Precipitacin total mensual (mm/mes)

ai = Coeficiente del polinomio

El cuadro 4.1 muestra los valores lmite de la precipitacin efectiva y el cuadro 4.2

muestra los tres juegos de coeficientes, ai, que permiten alcanzar por interpolacin valores de

C, comprendidos entre 0.15 y 0.45.

)8(554

4

3

3

2

210 PaPaPaPaPaaPE


Cuadro 4.1

Lmite superior para la Precipitacin Efectiva:

Curva I :

PE = P - 120.6 para P > 177.8 mm/mes

Curva II :

PE = P - 86.4 para P > 152.4 mm/mes

Curva III:

PE = P - 59.7 para P > 127.0 mm/mes

Cuadro 4.2

Coeficientes para el Clculo de la Precipitacin Efectiva:

Curva I Curva II Curva III

a0 -0.018 -0.021 -0.028

a1 -0.01850 +0.1358 +0.2756

a2 +0.001105 -0.002296 -0.004103

a3 -1204 E-8 +4349 E-8 +5534 E-8

a4 +144 E-9 - 89.0 E-9 +124 E-9

a5 -285 E-12 -879 E-13 -142 E-11

De esta forma es posible llegar a la relacin entre la precipitacin efectiva y

precipitacin total:

donde:

C = Coeficiente de escurrimiento

Q = Caudal anual

P = Precipitacin Total anual

5. RETENCION DE LA CUENCA

12

1

)9(i

i

P

PE

P

QC

12

1i

i mensualefectivainprecipitacladeSumaPE


Bajo la suposicin de que exista un equilibrio entre el gasto y el abastecimiento de la

reserva de la cuenca y adems que el caudal total sea igual a la precipitacin efectiva anual, la

contribucin de la reserva hdrica al caudal se puede calcular segn las frmulas:

Donde:

CMi = Caudal mensual (mm/mes)

PEi = Precipitacin Efectiva Mensual (mm/mes)

Ri = Retencin de la cuenca (mm/mes)

Gi = Gasto de la retencin (mm/mes)

Ai = Abastecimiento de la retencin (mm/mes)

Ri = Gi para valores mayores que cero (mm/mes)

Ri = Ai para valores menores que cero (mm/mes)

Sumando los valores de G o A respectivamente, se halla la retencin total de la cuenca

para el ao promedio, que para el caso de las cuencas de la sierra vara de 43 a 188 (mm/ao).

6. RELACION ENTRE DESCARGAS Y RETENCION

Durante la estacin seca, el gasto de la retencin alimenta los ros, constituyendo el

caudal o descarga bsica. La reserva o retencin de la cuenca se agota al final de la estacin

seca; durante esta estacin la descarga se puede calcular en base a la ecuacin:

Donde:

Qt = descarga en el tiempo t

Qo = descarga inicial

a = Coeficiente de agotamiento

t = tiempo

Al principio de la estacin lluviosa, el proceso de agotamiento de la reserva termina,

comenzando a su vez el abastecimiento de los almacenes hdricos. Este proceso est descrito

por un dficit entre la precipitacin efectiva y el caudal real. En base a los hidrogramas se ha

determinado que el abastecimiento es ms fuerte al principio de la estacion lluviosa

continuando de forma progresiva pero menos pronunciada, hasta el final de dicha estacin.

)1.10(iii PCMR

)2.10(iiii AGPECM

)11()(0ta

t eQQ


7. COEFICIENTE DE AGOTAMIENTO

Mediante la frmula (11) se puede calcular el coeficiente de agotamiento "a", en base a

datos hidromtricos. Este coeficiente no es constante durante toda la estacin seca, ya que va

disminuyendo gradualmente.

Con fines prcticos se puede despreciar la variacion del coeficiente "a" durante la

estacin seca empleando un valor promedio.

El coeficiente de agotamiento de la cuenca tiene una dependencia logartmica del rea

de la cuenca.

El anlisis de las observaciones disponibles muestran, adems cierta influencia del

clima, la geologa y la cobertura vegetal. Se ha desarrollado una ecuacin emprica para la

sierra peruana:

En principio, es posible determinar el coeficiente de agotamiento real mediante aforos

sucesivos en el ro durante la estacin seca; sin embargo cuando no sea posible ello, se puede

recurrir a las ecuaciones desarrolladas para la determinacin del coeficiente "a" para cuatro

clases de cuencas:

- Cuencas con agotamiento muy rpido. Debido a temperaturas elevadas (>10C) y retencin que va de reducida (50 mm/ao) a mediana (80 mm/ao):

- Cuencas con agotamiento rpido. Retencin entre 50 y 80 mm/ao y vegetacin poco desarrollada (puna):

- Cuencas con agotamiento mediano. Retencin mediana (80 mm/ao) y vegetacin mezclada (pastos, bosques y terrenos cultivados):

)12(ARLnfa

86.0

).12(671249.3429.1369.3336.191144.0

r

aRTEPAREa

)1.12(034.000252.0 LnARa

)2.12(030.000252.0 LnARa


- Cuencas con agotamiento reducido. Debido a la alta retencin (> 100 mm/ao) y vegetacin mezclada:

donde:

a = coeficiente de agotamiento por da

AR = rea de la cuenca (km2)

EP = evapotranspiracin potencial anual (mm/ao)

T = duracin de la temporada seca (das)

R = retencin total de la cuenca (mm/ao)

8. ALMACENAMIENTO HIDRICO

Tres tipos de almacenes hdricos naturales que inciden en la retencin de la cuenca son

considerados:

- Acuferos - Lagunas y pantanos - Nevados

La determinacin de la lmina "L" que almacena cada tipo de estos almacenes est dado

por:

- Acuferos:

Siendo:

LA = lmina especfica de acuferos

I = pendiente de desage : I


- Nevados

Siendo:

LN = lmina especfica de nevados

Las respectivas extensiones o reas son determinadas de los mapas o aerofotografas.

Los almacenamientos de corto plazo no son considerados para este caso, estando los mismos

incluidos en las ecuaciones de la precipitacin efectiva.

9. ABASTECIMIENTO DE LA RETENCION

El abastecimiento durante la estacin lluviosa es uniforme para cuencas ubicadas en la

misma regin climtica. En la regin del Cusco el abastecimiento comienza en el mes de

noviembre con 5%, alcanzando hasta enero el valor del 80 % del volumen final. Las

precipitaciones altas del mes de febrero completan el 20 % restante, y las precipitaciones

efectivas del mes de marzo escurren directamente sin contribuir a la retencin. Los

coeficientes mensuales expresados en porcentaje del almacenamiento total anual se muestran

en el cuadro 9.1

Cuadro 9.1

Almacenamiento Hdrico durante la poca de lluvias

(valores en %)

Regin Oct Nov Dic Ene Feb Mar Total

Cusco 0 5 35 40 20 0 100

Huancavelica 10 0 35 30 20 5 100

Junn 10 0 25 30 30 5 100

Cajamarca 25 5 0 20 25 35 100

La lmina de agua Ai que entra en la reserva de la cuenca se muestra en forma de

dficit mensual de la Precipitacin Efectiva PEi . Se calcula mediante la ecuacin:

Siendo:

)3.13()/(500 aommLN

)14(100

RaA ii


Ai = abastecimiento mensual dficit de la precipitacin efectiva (mm/mes)

ai = coeficiente de abastecimiento (%)

R = retencin de la cuenca (mm/ao)

10. DETERMINACIN DEL CAUDAL MENSUAL PARA EL AO PROMEDIO

Est basado en la ecuacin fundamental que describe el balance hdrico mensual a partir

de los componentes descritos anteriormente:

donde:

CMi = Caudal del mes i (mm/mes)

PEi = Precipitacin efectiva del mes i (mm/mes)

Gi = Gasto de la retencin del mes i (mm/mes)

Ai = abastecimiento del mes i (mm/mes)

11. GENERACIN DE CAUDALES MENSUALES PARA PERIODOS EXTENDIDOS

A fin de generar una serie sinttica de caudales para perodos extendidos, se ha

implementado un modelo estocstico que consiste en una combinacin de un proceso

markoviano de primer orden, segun la ecuacin (16) con una variable de impulso, que en este

caso es la precipitacin efectiva en la ecuacin (17):

Con la finalidad de aumentar el rango de valores generados y obtener una ptima

aproximacin a la realidad, se utiliza adems una variable aleatoria.

La ecuacin integral para la generacin de caudales mensuales es:

donde:

)15(iiii AGPECM

)16(1 tt QfQ

)17(tPEgQ

)18(1 2rSzZ

)19(1321 21 rSzPEBQBBQ ttt


Qt = Caudal del mes t

Q t-1 = Caudal del mes anterior

PE t = Precipitacin efectiva del mes

B1 = Factor constante o caudal bsico.

Se calcula los parmetros B1, B2, B3, r y S sobre la base de los resultados del modelo

para el ao promedio por un clculo de regresin con Qt como valor dependiente y Qt-1 y PEt,

como valores independientes. Para el clculo se recomienda el uso de software comercial

(hojas electrnicas) o de uso especfico (programas elaborados tales como el SIH).

El proceso de generacin requiere de un valor inicial, el cual puede ser obtenido en una

de las siguientes formas:

- empezar el clculo en el mes para el cual se dispone de un aforo - tomar como valor inicial el caudal promedio de cualquier mes, - empezar con un caudal cero, calcular un ao y tomar el ltimo valor como valor Qo sin

considerar estos valores en el clculo de los parmetros estadsticos del perodo

generado.

12. TEST ESTADISTICOS

Para determinar la calidad de la coincidencia de los caudales generados con los

observados, se desarrolla la comparacin de los promedios y desviaciones tipo de los valores

histricos y los generados.

Para probar si los promedios salen de la misma poblacin, se utiliza el test de

Student (Prueba "t"). Esta prueba debe ser desarrollada para cada mes.

Se compara el valor de t con el valor lmite tp,n que indica el lmite superior que, con

una probabilidad de error del P%, permite decir que ambos promedios pertenecen a la misma

poblacin.

La comparacin estadstica de promedios se realiza mediante el test de Fischer (Prueba

"F"). que se compara con el valor lmite Fp/2 (%) , (n1,n2)

13. RESTRICCIONES DEL MODELO

El modelo presenta ciertas restricciones de uso o aplicacin tales como:

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- El uso de los modelos parciales, nicamente dentro del rango de calibracin establecido.

- Su uso es nicamente para el clculo de caudales mensuales promedio. - Los registros generados en el perodo de secas presentan una mayor confiabilidad

que los valores generados para la poca lluviosa.

- La aplicacin del modelo se restringe a las cuencas en las que se ha calibrado sus parmetros (sierra peruana: Cusco, Huancavelica, Junin, Cajamarca)

Es importante tener en cuenta las mencionadas restricciones a fin de garantizar

una buena performance del modelo.

REFERENCIAS

[1] Fleming, G. 1979. "Deterministic models in hydrology". FAO Rome

[2] Schulze, R.E 1994 "Hydrological Models". IHE Delft.

[3] Linsley, R.K. & Franzini J.B. 3ra Impresin "Ingeniera de los Recursos Hidraulicos"

CECSA

[4] Clark, R.T. 1973 "Mathematicals Models in Hydrology". FAO Rome.

[5] Refsgaard, J.C. 1996 "Deterministic Hydrology". IHE Delft

[6] Aguirre N., M. 1992 "Anlisis y Aplicacin de Modelos Matemticos para la Generacin

de Caudales en Cuencas de la Regin". Cusco.

[7] Salas, J. 1976 "Modelos de Simulacin Estocstica". CIDIAT, Mrida.

[8] Scholz, Lutz. 1980, Generacin de Caudales Mensuales en la Sierra Peruana. Plan Meris II. Cusco

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