Desarrollo matemático“El proceso para obtener la modulación OFDM se ilustra en la siguiente figura:

X()...

Figura 1: Proceso de modulación OFDM

A[m] son el conjunto de símbolos a transmitir y el x(t) representado en la figura se obtiene a

partir de la señal s(t) de la forma habitual, x (t )=√2 ℜ {s (t ) e jwct}

En este esquema, se emplea un conjunto de pulsos que se generan multiplicando un filtro prototipo por un conjunto de N portadoras distintas.

s (t )=∑n

AT [ n ]∅ (t−nT )=∑n∑1=0

N −1

A 1 [N ]∅ 1( t−nT )

Donde las funciones base Φ (t) son de la forma anterior, siendo wT(t) una ventana temporal

rectangular de duración T.

Estas funciones base, forman una base ortonormal. Así, observamos como la OFDM en realidad es la superposición de N modulaciones paso banda que se transmiten simultáneamente.

Esta modulación descrita como hemos hecho, tiene el inconveniente de que su implementación práctica resulta difícil debido a que es necesario generar N portadoras complejas (2N reales) perfectamente enganchadas en fase. Si esta condición no se cumple, las funciones base dejan de ser ortogonales y aparece el efecto conocido como Interferencia entre portadoras (“Inter Carrier Interference”, ICI). Para evitarlo, muestreamos s(t) con periodo T/N obteniendo:

∅ 0(t)

∅ 1( t) ∑❑

∅ N−1(t)

S/PA[m]

Ao[n]

AN-1[n]

A1[n]

AN-1[n]

s [ m ]=∑l=o

N 1

A 1 [0 ]∅ 1(mTn )= 1

√T∑l=o

N 1

A 1 [0] e− j 2 πlm

N ;m=0 , …. , N−1

Donde podemos comprobar que el término de la derecha, no es más que la DFT inversa de la secuencia Al multiplicada por un factor constante. [1]

DF T−1; x [ n ]= 1N∑l=o

N 1

X (m)e− j 2 πlm

N

Por tanto, aprovechando además la eficiencia que nos prestan los algoritmos que calculan la transformada de Fourier en tiempo discreto, como la FFT, llegamos a la implementación del sistema modulador.

Ortogonalidad de las subportadoras

“El principal concepto de las señales OFDM es la ortogonalidad de las subportadoras. Si se usa

como portadora una señal sinusoidal, el área de un periodo es cero ya que la parte positiva de la

señal se cancela con la negativa, como se muestra en la figura.

Figura 2.- Señales sinusoidales de área nula

Si se considera una onda sinusoidal de frecuencia m y se multiplica por otra de frecuencia n,

con m y n enteros. Su producto viene dado por:

f ( t )=sen (mwt ) . sen (nwt )=12

cos ( ( m−n ) wt )−12

cos ¿

Cada una de estas dos componentes también es una sinusoide, por lo que la integral bajo su

área es cero. Se puede concluir entonces que en general para todos los números enteros n y m

las señales sinusoidales de frecuencias n y m son ortogonales entre sí. Este concepto de

ortogonalidad es la clave de OFDM ya que permite la trasmisión simultánea en un estrecho

rango de frecuencias y sin que se produzcan interferencias entre ellas. “[2]

Figura 3.- Producto de dos señales sinusoidales

La transformada discreta de Fourier en los sistemas OFDM

“Un problema asociado con el esquema OFDM es que, para obtener una alta resistencia cuando

se presentan desvanecimientos en el canal, el tamaño del bloque, N, debe estar en el orden de

100, lo cual hace que se requiera un gran número de módems de subcanal. Este problema se

puede solucionar mediante el uso de la transformada discreta de Fourier (DFT), con la

transformada discreta de Fourier se logra una simplificación en el hardware de un módem

OFDM. La transformada de Fourier descompone o separa una forma de onda en sinusoides de

frecuencias diferentes, las cuales al ser sumadas resultan en la forma de onda original.”[3]

La transformada de Fourier de f(x) está definida por:

F ( w )=∫−∞

∞

f ( x ) e− jx dx

Y su inversa está dada por:

f (x)= 12 π

∫−∞

∞

F (w )e− j wx dw

“Sin embargo, la era digital exigió un cambio en la forma tradicional de la transformada de

Fourier para que se ajuste a los valores discretos que existen en todos los sistemas digitales.

Esta serie modificada fue llamada Transformada Discreta de Fourier (DFT). La DFT de un

sistema discreto en el tiempo está definida por:

X (k )=∑n=0

N −1

X (n)e− j 2 πlm

N 1 ≤ k ≤ N

Y su inversa está denotada como:

X (k )= 1N

∑n=0

N −1

X (k)e− j 2 πlm

N 1 ≤ n ≤ N

Sin embargo, en los sistemas OFDM se utiliza otra forma de la FDT llamada la transformada

rápida de Fourier (FFT), la cual es un algoritmo de la DFT que reduce el número de procesos

computacionales. “[4]

Estudio Espectral

“Como ya se ha comentado, los sistemas OFDM, se basan en la multiplexación en frecuencia, es decir, a la superposición de diferentes señales moduladas con portadoras a diferentes frecuencias.

En la figura 4 vemos el espectro de cada portadora, que es una sinc centrada en la frecuencia fn. La superposición de varias sinc nos da un espectro prácticamente plano en el rango de frecuencias del sistema.

Figura 4: Espectro de una señal OFDM Si los símbolos que se transmiten sobre cualquier par de subcanales están mutuamente incorrelados, podemos escribir el espectro como

Ss ( Jw )= 1T∑L=0

N −1

E 1|∅ 1 ( jw )|2

Donde Es,l es la energía media por símbolo transmitido sobre el subcanal l-ésimo.

Sustituyendo ∅ 1 ( jw ) en la ecuación por su valor correspondiente desarrollamos la expresión en frecuencia como sigue:

Ss ( Jw )= ET ∑

l−∞

∞

sin2((w−2 πT )T

2π )=ET

sin c2(WT2π ) .∑

l−∞

∞

δ(W−2πl

t )

En la siguiente podemos ver el resultado del cálculo de la ecuación anterior

SS(jw) N=8 SS(jw) N=64

Figura 5: Espectro de una señal OFDM para N=8 y N=64

Si llevamos a cabo el mismo estudio en tiempo discreto, llegamos a que si cada subcanal emplea la misma constelación con energía media Es, entonces:

S (Jw )={{EsO

|w|< NπT }

Por lo que el espectro es plano en la banda del filtro transmisor, tal como podemos observar en la figura 5 [5].

Figura 6: SSr(jw), espectro OFDM en tiempo discreto, N=8

Bibliografía:

[1] Aldis, J. P, Althoff, M. P y Van Nee (Nov. 1996), R, “Physical layer architecture and performance in theWAND user trial system,” in Proc. ACTS Mobile Summit’96, Granada, Spain, pp. 196-203.

[2] Breiling, M, Muller-Weinfurtner, S. Huber, H y J. B (Sep. 2000). “Peak-power reduction in ofdm without explicit side information”. 5th International OFDM-Workshop 2000, Hamburg, Germany.

[3] Chang, R.W (Dic. 1966), ”Synthesis of Band-Limited Orthogonal Signals for Multichannel Data Transmission”, Bell Syst. Tech. J., vol.45, pp. 1775-1796.

[4] Cimini, L.J, Jr. (Jul. 1985), “Analysis and simulation of a digital mobile channel using orthogonal frequency division multiplexing”, IEEE Trans. Commun.,vol. COM-33, pp. 665-675.

[5] Víctor P. Gil Jiménez, M. Julia Fernández-Getino García, Francisco J. González Serrano, and Ana García Armada. “Design and Implementation of Synchronization and AGC for OFDM-based WLAN Receivers”. IEEE Transactions on Consumer Electronics, Vol. 50, No. 4, Noviembre de 2004