MODELO NO LINEAL SISTEMA DE DOS TANQUES

La etapa hidráulica del sistema de dos tanques comunicantes que se analiza, está constituida por un tanque desde el cual se suministra líquido a través de una válvula proporcional accionada neumáticamente hacia el tanque sobre el cual se va a controlar el nivel, el cual descarga el líquido en la atmósfera. La válvula proporcional permite cambiar el área del flujo de líquido. Además el flujo del líquido será por caída libre.

Al analizar el sistema se despreciarán la presión que se da en las válvulas, la resistencia ejercida por lo elementos restrictores de flujo como válvulas, tubería y orificios, las turbulencias creadas en el líquido. La válvula de salida estará fija por lo que la proporción de flujo de salida no variará.

El tanque de suministro se considera siempre con suficiente líquido para alimentar el sistema.

La válvula a controlar es de tipo igual porcentaje, que tiene la propiedad de que iguales incrementos en la abertura de la válvula producen iguales aumentos relativos o en porcentajes en el coeficiente de apertura de la válvula.

Los elementos básicos para el diseño de ecuaciones representativas de un sistema de nivel líquidos son:

Flujo de entrada q i: es el flujo de entrada, variable y puede regularse a través de la válvula

proporcional. cm3/ s. Flujo de entrada qo: es el flujo de salida a través de la válvula manual. cm3/ s. Variación de nivel (h): son las variaciones de nivel de líquido dentro del tanque causadas

por la entrada y la salida de fluido q i y qo, cm.

El volumen de agua almacenado en cada tanque está dado por la ecuación 1

V=∫(q i−qo)dt

Ecuación 1. Volumen almacenado en función de caudales

Donde:

V es el volumen,

q i es el flujo de entrada,

qo es el flujo de salida

Los tanques tienen una sección transversal constante

V=AT ho

Ecuación 2 Volumen en función del área y la altura

Donde:

AT es el área del tanque, se asume que los tanques tienen la misma área,

h es el nivel de agua en el tanque.

Al reemplazar la ecuación 2 en la 1 se tiene que:

AT ho=∫(qi−qo)dt

Siendo AT constante y despejando h se obtiene:

d hodt

=qi−qoAT

Ecuación 3 Cambio del nivel en función de los flujos y el área del tanque.

Las ecuaciones de continuidad establecen que el flujo a través de un orificio viene dado por:

q=av

Ecuación 4 Caudal que fluye a través de un orificio.

Donde:

q es el flujo,

a es el área del orificio por donde pasa el fluido,

v es la velocidad del flujo.

Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 3, se tiene que:

d hodt

=ai v i−ao vo

AT

Ecuación 5 Cambio del nivel en función de las velocidades de flujo y las áreas de los orificios.

Es necesario hallar la velocidad de flujo en el tanque donde se va a controlar el nivel, vo.

Por el Principio de Bernoulli se sabe que en condiciones iniciales:

PA+ ρgh A+12ρ v A

2=PB+ ρghB+12ρ v B

2

Ecuación 6 Principio de Bernoulli.

Donde:

PA y PB son las presiones aplicadas en los puntos A y B,

hA y hB son las alturas en los puntos A y B,

vA y vB son las velocidades de los fluidos en los puntos A y B,

ρ es la densidad del fluído,

g es la gravedad (981cm

s2)

Con la ecuación 6 se analizará el flujo desde el tanque de suministro y el tanque a recibir el líquido. Se ubicará el punto A en el nivel máximo del tanque o, y el punto B al orificio de salida del mismo:

Po+ρgho+12ρ v A

2=Po+ρgho+12ρ v B

2

Ecuación 7 Principio de Bernoulli aplicado al tanque donde se realiza el control.

Donde:

Po es la presión atmosférica,

ho es la altura en el tanque en el punto A,

ho=0 es la altura en el punto B,

vB es la velocidad del flujo en el punto B,

vA=0 es la velocidad en el punto A,

ρ es la densidad del fluido, es la misma en ambos puntos,

g es la gravedad (981cm

s2)

Po+ρgho+12ρ (0 )2=Po+ρg(0)+

12ρ v2

2

Po+ρgho=Po+12ρ v B

2

Despejo vB

12ρ v B

2=Po+ρgho−Po

12ρ v B

2=ρgho

vB2=2 ρghoρ

vB=√2 ghovB=vo

vo=√2gho

Ecuación 8 Velocidad de flujo en el tanque donde se va a controlar el nivel.

Analógicamente se halla la velocidad del flujo en el tanque de suministro, se ubicará el punto A en el nivel máximo del tanque de suministro, y el punto B al orificio de salida del mismo:

Po+ρghi+12ρ vA

2=Po+ ρgh i+12ρ vB

2

Ecuación 7 Principio de Bernoulli aplicado al tanque de suministro.

Donde:

Po es la presión atmosférica,

hi es la altura en el tanque de suministro en el punto A,

hi=0 es la altura en el punto B,

vB es la velocidad del flujo en el punto B,

vA=0 es la velocidad en el punto A,

ρ es la densidad del fluido, es la misma en ambos puntos,

g es la gravedad (981cm

s2)

Po+ρghi+12ρ (0 )2=Po+ρg(0)+

12ρ v B

2

Po+ρghi=Po+12ρ vB

2

Despejo vB

12ρ v B

2=Po+ρgh I−Po

12ρ v B

2=ρghi

vB2=2 ρghiρ

vB=√2 ghivB=v i

v i=√2ghi

Ecuación 9 Velocidad de flujo en el tanque de suministro.

Reemplazo la ecuación 8 y 9 en la ecuación 5

d hodt

=ai√2 ghi−ao√2 gho

AT

Ecuación 10 Cambio del nivel en función de las alturas y las áreas de los orificios.

De aquí se observa que los cambios en en el flujo influyen directamente sobre la variable de

estado (nivel) del sistema (la dinámica principal). Caracterizando además el flujo de entrada (q i )en

términos de la acción de la válvula de control mediante un balance de energía mecánica (ecuación de Bernuolli), se encuentra una relación en términos del coeficiente de apertura de la válvula (C v)

y una función del desplazamiento del vástago (f x), el nivel de entrada hi, el nivel de salida ho, y el área del tanque.

q i=C v f x√2ghi

Ecuación 11

El coeficiente de apertura de la válvula C v=a i cuyo valor es proporcionado por el fabricante,

mientras que f x es una función que depende del desplazamiento total del vástago, que a su vez es dependiente de la presión de control aplicado al diafragma de la válvula:

f x=f ( x )=ea−x

Ecuación 12

Siendo a=1.1, un parámetro empírico y “x” la fracción de desplazamiento total del vástago en la válvula de control, dada por:

x=Pcont−312

Ecuación 13

Donde Pcont es la presión de control aplicado al diafragma. Nótese que x considera el “span” propio del protocolo neumático (3-15 psig). Al reemplazar 11 en 12 se tiene:

f x=f ( x )=ea−Pcont−312

Ecuación 14

Reemplazando 14 en 11 y el resultado en 10, se obtiene:

d hodt

=C v e

a−Pcont−312 √2gh i−ao√2g ho

AT

Ecuación 10 modelo no lineal del sistema.

ho→variable a manipular

Pcont→variable a controlar

C v→gal /min coeficiente de apertura de la válvula proporcional

a=1.1→ parámetro que depende de la amplitud de caudales que puede manejar la válvula

g=981cm /s2

hi=100cm→altura tanque suministro

ao=7.98cm2→área del orificio de salida

AT=36323.09cm→área del tanque

El diámetro del tanque de suministro es 82cm

AT=2πr (hi+r )=2 π (41 ) (100+41 )=36323.09cm2

Do=2' '=2

' '∗2.54cm1' '

=5.08cm→diámetroorificiode sal ida

ao=π r2=2.54 π=7.98cm2

Análisis dimensional

d hodt

=C v e

a−Pcont−312 √2gh i−ao√2g ho

AT

d hodt

=

(gal /min)√( cms2 )(cm)−cm2√( cms2 )(cm)

cm2

d hodt

=(gal /min)√( cm2s2 )−cm2√( cm2s2 )

cm2

d hodt

=( galmin )cm /s−cm2cm / s

cm2

d hodt

=( galmin )cm /s−cm2cm / s

cm2