MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR ...

MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES P OR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTO S DE

INFRAESTRUCTURA

MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL

MAESTRIA EN GERENCIA DE LA CONSTRUCCION

BOGOTA

2010

MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES P OR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTO S DE

INFRAESTRUCTURA


Proyecto de grado para optar por el titulo de Magís ter en Ingeniería Civil

Asesor:

ING. HERNANDO VARGAS CAICEDO

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL

MAESTRIA EN GERENCIA DE LA CONSTRUCCION

BOGOTA

2010

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFIACIÓN ....................... .......................................... 9

2. OBJETIVOS ......................................... .......................................................... 11

2.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................... 11

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................... 11

3. ANTECEDENTES ...................................... .................................................... 12

4. BASES TEORICAS .................................... .................................................... 21

4.1 LEY DE PARETO – REGLA DEL 80-20 ........................................................................................... 21

4.1.1 Diagramas de Pareto ......................... .................................................... 22 4.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................................................... 24

4.2.1 Distribución Normal ......................... ...................................................... 26 4.3. MÉTODO DE MONTECARLO. ........................................................................................................... 27

4.4 MODELO RANDOM WALK .................................................................................................................. 29

4.5 DEFINICIONES BÁSICAS ........................................................................................................... 31

5. DATOS Y ANÁLISIS DE DATOS......................... ......................................... 33

5.1 ÍNDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA - ICCP ........................... 33

6. DESARROLLO DEL MODELO ............................. ......................................... 49

6.1 EJEMPLO 1 – INVIAS PUENTE SAN JORGE ................................................................... 49

6.1.1 Datos ..................................................................................................... 49 6.1.2 Ley de Pareto ............................... ......................................................... 50 6.1.3 flujo de caja de ítems representativos ..... ............................................. 52 6.1.4 Método de Montecarlo, Asignación distribució n de probabilidad f(x) .... 53 6.1.5 Metodología de caminata aleatoria, para calcu lar los indicies durante la ejecución del proyecto ............................ ........................................................ 53 6.1.6 Calculo del flujo de caja ajustado con los ín dices calculados ................ 54 6.1.7 Calculo del escalonamiento del proyecto ..... ......................................... 55 6.1.8 Comparación con la metodología determinística ................................... 56

6.2 EJEMPLO 2 – METROPLUS ESTACIONES SITM METROPLUS FASE II .......... 57

6.2.1 Datos ..................................................................................................... 57 6.2.2 Resultados ............................................................................................. 58

6.3 EJEMPLO 3 – INVIAS TRONCAL CENTRAL DEL NORTE (TCN) ........................... 59

6.3.1 Datos ..................................................................................................... 59 6.3.2 Resultados ............................................................................................. 59

7. CONCLUSIONES ...................................... ..................................................... 61

8. REFERENCIAS ....................................... ....................................................... 63

ANEXOS ............................................ ................................................................... 65

LISTA DE CUADROS

CUADRO 1 PROYECTO 1 PRESUPUESTO .................................................................... 22

CUADRO 2 PROYECTO 1 PRESUPUESTO ORDENADO CON PORCENTAJES ...................... 23

CUADRO 3 RESULTADOS ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO

PUENTE SAN JORGE .......................................................................................... 57

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 DIAGRAMA DE PARETO DEL PROYECTO 1 ....................................................................................... 23

FIGURA 2 VARIACIÓN DIAGRAMA DE PARETO DEL PROYECTO 1 .................................................................... 24

FIGURA 3 FORMA TÍPICA CAMPANA DE GAUSS ................................................................................................ 26

FIGURA 4 TRAYECTORIAS RANDOM WALK DE 6 PARTÍCULAS. ......................................................................... 30

FIGURA 5 DISTRIBUCIÓN MÁXIMO EXTREMO CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1990 A 2010 ................................................................................................................................................................. 34

FIGURA 6 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1990 A 2010 .. 35

FIGURA 7 DISTRIBUCIÓN MÁXIMO EXTREMO CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1995 A

2010 ........................................................................................................................................................ 36

FIGURA 8 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1995 A 2010 ... 37

FIGURA 9 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 2000 A 2010 .... 38

FIGURA 10 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 2005 A 2010.. 39

FIGURA 11 VARIACIÓN ANUAL DEL ICCP ........................................................................................................ 40

FIGURA 12 VARIACIÓN MENSUAL I DEL ICCP VS VARIACIÓN MENSUAL I-1 ..................................................... 41

FIGURA 13 VARIACIÓN MENSUAL I DEL ICCP VS VARIACIÓN MENSUAL I-1 ..................................................... 42

FIGURA 14 VARIACIÓN MENSUAL DEL ICP VS VARIACIÓN MENSUAL ICCP .................................................... 43

FIGURA 15 DISTRIBUCIÓN LOGISTIC CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1954 A 2010 ....... 44

FIGURA 16 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1954 A 2010.. 45

FIGURA 17 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIACIÓN PORCENT UAL MENSUAL DEL ICCP

AJUSTÁNDOLO A UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, DATOS DESDE 1990 HASTA 2010. ......................... 46







FIGURA 21 LEY DE PARETO PUENTE SAN JORGE ($COP) ............................................................................ 50

FIGURA 22 LEY DE PARETO PUENTE SAN JORGE (%) .................................................................................... 51

FIGURA 23 CRONOGRAMA DEL PUENTE SAN JORGE ...................................................................................... 52

FIGURA 24 FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO PUENTE SAN JORGE .................................................................. 52

FIGURA 25 SIMULACIÓN DE MONTECARLO PUENTE SAN JORGE ..................................................................................... 53

FIGURA 26 ÍNDICES AJUSTADOS PUENTE SAN JORGE .................................................................................... 54

FIGURA 27 FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO SAN JORGE AJUSTADO .............................................................. 54 FIGURA 28 RANGO DE VALORES DE ESCALONAMIENTO ASOCIADOS CON UNA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

DEL PUENTE SAN JORGE, RESULTADOS 1000 ITERACIONES ORACLE ® CRYSTAL BALL ..................... 55

FIGURA 29 AJUSTE ICCP GENERAL FUNCIÓN POLINÓMICA 2° GRADO ......................................................... 56

FIGURA 30 AJUSTE ICCP GENERAL FUNCIÓN LINEAL .................................................................................... 56

FIGURA 31 LEY DE PARETO METROPLUS II (%) .............................................................................................. 58

FIGURA 32 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO METROPLUS II ........................................................ 58

FIGURA 33 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO TCN ............................................ 59

FIGURA 34 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO TCN ............................................ 60

ANEXOS

ANEXO A INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) DESDE

ENERO 1990 HASTA NOVIEMBRE 2010 ...................................................... 66

ANEXO B INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP)

CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2000 – 2001 -2002.......................... 67

ANEXO C INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP)

CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2003 – 2004 - 2005 ........................ 68

ANEXO D INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP)

CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2006 – 2007 - 2008 ......................... 69

ANEXO E INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP)

CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2009 - 2010 .................................... 70

MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES P OR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS D E

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1. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFIACIÓN

Un vez realizados los presupuestos de obras de infr aestructura, es de suma importancia la distribución de costos y recursos en el tiempo, porque esta permite ver la forma como se invertirían los dineros del pr oyecto y consecuentemente las necesidades de capital y el costo del mismo; tambié n gracias a dicha distribución se pueden estimar los extra-costos provenientes de la inflación y/o el cambio de precios. Estos extra-costos, producto del aumento de precios de insumos, materiales, tarifas de maquinaria, mano de obra y salarios a me dida que pasa el tiempo, resultan de vital consideración ya que este fenómen o no solo afecta los costos directos de construcción, también tiene unos efecto s considerables en los costos de financiación y de capital de los proyectos.

El instituto Nacional de Vías INVIAS, en sus presup uestos más recientes ha incluido un ítem llamado “previsión estimada para a justes”, el cual está entre el 1 y el 5% del valor básico de las obras dependiendo de la duración del proyecto. En el proyecto Doble Calzada Bucaramanga Cúcuta, proyecto de $378.658.000.000 la previsión estimada para ajustes fue de $17.468.418 .603 lo que representa el 4.6% del valor del presupuesto. En este ejemplo se puede ver la importancia que puede llegar a tener el cálculo de la previsión por ajustes y el impacto que tiene esta en el presupuesto.

HB Estructuras Metálicas S.A. (La Empresa) empresa perteneciente a la alianza estratégica GRUPO ETHUSS es una firma que dentro de su línea de negocios en infraestructura están mayormente: puentes, obras de infraestructura vial, obras de estaciones de sistemas integrados de transporte mas ivo SITM y edificaciones. Muchas veces se presentan presupuestos para entidad es en las cuales los contratos se encuentran sujetos a ajustes, estas en tidades toman como base índices estadísticos que por lo general son los Índ ices de Costos de la Construcción Pesada ICCP calculados por el DANE. En este tipo de contratos no se tendría el riesgo por cambio de precios por infl ación, ya que los presupuestos se ajustan mensualmente con dichos índices para el pago de las actas de obra.

El caso contrario sucede cuando se presentan oferta s a entidades que no incorporan en sus contratos formulas de ajustes por inflación, por lo general entidades privadas. En estos casos a los presupuest os calculados a valor presente se les realiza una corrección multiplicánd olos por un factor que tiene por objeto cubrir el mayor valor producto del aumento d e precios por inflación durante


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10 MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR

el desarrollo del proyecto. En estos momentos la em presa no tiene definido un procedimiento para realizar dicha corrección y lo q ue normalmente hace es que a los precios calculados a valor presente se les cast iga aumentándolos en un porcentaje que suele ser del 5 al 20% dependiendo de la actividad y el tiempo de ejecución, valor que surge de la experiencia de qui enes intervienen en la elaboración del presupuesto y de la incertidumbre q ue se tiene por parte de los socios sobre el futuro de la ejecución del proyecto .

Las consecuencias de no realizar un análisis detall ado para estimar la forma en que los ajustes afectan al presupuesto, se pueden v er en dos escenarios.

El primero es el escenario en el que se sobreestima n los costos de previsión de ajustes por ende los costos del proyecto, teniendo en cuenta que el precio en las ofertas es en el mayor de los casos el factor deter minante, el que hace más favorable la oferta para la entidad contratante, po r ende es este el que define su posterior adjudicación. El sobrevalorar estos costo s puede estar afectando la competitividad de las ofertas que presenta La Empre sa, poniendo a dichas ofertas en situaciones desfavorables en la que su valor es más alto que la ofertas ganadoras, cuando realmente se tenían ofertas compe titivas que de haberse estimado los ajustes de una manera más acertada los resultados hubieran sido diferentes.

El segundo escenario, el caso contrario, cuando se subvaloran los costos por previsión de ajustes, en este escenario se está afe ctando el equilibrio económico del proyecto y por ende el de La Empresa. Se puede llegar a casos en los que se termine siendo adjudicatario de un contrato aparent emente bueno, pero en la realidad al haber calculado improcedentemente los a justes, se está en contra de la liquidez y las utilidades del proyecto.

Se busca realizar un modelo el cual basado en datos históricos e incorporando un análisis de riesgo permita proyectar un flujo de ca ja general, para que a través de dicho flujo se pueda estimar de maneras más fidedig nas el valor presente de los ajustes por cambio de precios por inflación en el t iempo, valor el cual pueda llegar a ser más aterrizado con las características de los escenarios más probables de los proyectos a ejecutar y no sea sobrevalorado o s ubvalorado supliendo la falta de un análisis de riesgos. La idea es que este mode lo pueda ser incorporado por la empresa o por cualquier otra persona o compañía que tenga que enfrentarse al desarrollo y cálculo de presupuestos de este tipo d e proyectos.


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2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIVO GENERAL

Por medio de la interacción con una empresa constru ctora colombiana, la cual de ahora en adelante será denominada LA EMPRESA, se re alizará un modelo el cual permita calcular el valor presente de la previsión de ajustes producto del cambio de precios en el tiempo de proyectos de infraestruc tura. El objetivo es incorporar dicha previsión como un ítem para los presupuestos que no están sujetos a ajustes. Para esto se identificaran los proyectos d e infraestructura más comunes dentro de la línea de negocios de la empresa, se re alizará una sensibilidad de variables, con las variables más importantes se pro yectaran flujos de caja de los proyectos teniendo en cuenta su programación y una serie de datos históricos para los diferentes grupos de obra de los Índices d e Costos de la Construcción Pesada -ICCP- del Departamento Administrativo Nacio nal de Estadística –DANE, se generará un modelo para la proyección del flujo de caja general y a través de este incorporando un análisis de riesgo se estimará el valor presente de los ajustes por cambio de precios en el tiempo por infl ación. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

- Dentro de los diferentes tipos de proyectos ident ificar los proyectos de infraestructura más comunes dentro de la línea de n egocios de La Empresa.

- Realizar un análisis de sensibilidad de variables de los diferentes grupos de obra en los presupuestos de los proyectos infraestr uctura más comunes dentro de la línea de negocios de La Empresa.

- Por medio del Principio de Pareto, identificar cu áles son las variables más sensibles dentro de los presupuestos en dichos proy ectos.

- Recopilar datos históricos de Índices de Costos de la Construcción Pesada -ICCP- del Departamento Administrativo Nacional de Estadística –DANE.

- De acuerdo al comportamiento histórico de los índ ices, hacer regresiones que permitan realizar una proyección de estos a fut uro.

- Realizar un modelo incorporando un análisis de ri esgo a través de la Simulación de Montecarlo, el cual permita proyectar el flujo de caja general del proyecto, teniendo en cuenta la tendencia de lo s datos históricos.

- Poder incorporar al modelo una variable la cual r epresente el riesgo que a discreción de quien realiza el presupuesto está dis puesto a asumir de acuerdo a la experiencia que tenga en determinado t ipo de proyectos.

- A través del flujo de caja general del proyecto q ue genere el modelo, estimar el valor presente de los ajustes por cambio de precios por inflación en el tiempo.


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3. ANTECEDENTES

Halpin, Daniel W. (1985) En su libro Financial & Cost Concepts for Construct ion Management desarrollo un capitulo al que llamo integración de tiempos y cost os, en este haba de la importancia centrar los flujos de caja en las activ idades principales, considera necesaria la utilización de flujos de caja para pro yectos superiores a 3 meses de duración. De resaltar el énfasis que hace sobre la importancia de realizar los flujos de caja teniendo en cuenta los compromisos contract uales como lo son: pagos del cliente, anticipos y pagos de avance de ejecución, de estos últimos se acostumbra hacer una retención en garantía. Es de suma importa ncia reproducir de la manera más fidedigna tanto las inversiones hechas por el c ontratista como los pagos durante el tiempo hechos por el contratante, ya que de esto las necesidades financieras que requiera el proyecto y los escalona mientos de los pagos hechos por el cliente.

Fellows, R.F. (1991)

La unidad de estudio de la construcción, de la escu ela de arquitectura e ingeniería de construcción de la universidad de Bath, presento en su artículo “Escalation Managment: Forecasting the effects of inflationon b uildings projects” publicado en Construction Management and Economics en 1991 la im portancia de las técnicas de predicción estocástica ya que estas al ofrecer u n rango de resultados más amplio brinda ventajas considerables a la industria de la construcción. Presento una metodología basada en métodos estocásticos para la predicción de las series de tiempo. El desarrollo de dicha metodología tiene en cuenta los resultados de los estudios previos más significativos en materia de inflación en la construcción y predicción de índices. Del estudio realizado se con cluye:

- Los modelos generados por series de tiempo histór icas que muestran los índices de construcción son influenciados principal mente por los efectos anuales mientras que son los efectos no temporales los que tienen una mayor incidencia en los comportamientos de estos ín dices.

- El error en la predicción del escalonamiento por inflación de los modelos de predicción requerido por los clientes está entre un (5% y un 7.5%)

- Los modelos de predicción estocástica ayudan a di sminuir dicho error.


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- Se deben incluir primas o ítems para riesgos inca lculables, los cuales no son predecibles ni ajustables en los modelos, (ítem de imprevistos).

- Los constructores históricamente han creído que e l cálculo de los costos directos de construcción es la variable más importa nte sobre el costo total del proyecto, descuidando el observar las condicion es de mercado. Los constructores que aspiren a permanecer por largo ti empo en el negocio, tienen que realizar como mínimo análisis de riesgo en base a las condiciones del mercado.

Ranasinghe, Malik. (1995) En 1995 Malik Ranasinghe profesor del departamento de ingeniería civil de la Universidad de Moratuwa, Sri Lanka, presentó motiv ado por múltiples solicitudes de los inversionistas de Sri Lanka en su artículo “ Total Project cost: a simplified model for decision makers" , un modelo simplificado para el cálculo del precio total de un proyecto (TPC) el cual es la suma de un costo base (base cost), más la escalonamiento durante la construcción (EDC), más l os intereses durante la construcción (IDC). Dicho modelo tiene 5 supuestos básicos: I) Los fluj os de caja son conocidos y son valores constantes, II) Los flujos de caja son dis cretos y las tasas de inflación también, III) No se tiene en cuenta el valor del te rreno en el costo base, ya que este se valora a la misma tasa que la tasa de descu ento, IV) Ningún interés es pagado durante la construcción y las tasas de inter és permanecen constantes durante el tiempo de construcción, V) El monto de l os préstamos es igual a la financiación total requerida por el proyecto.

El modelo parte de la siguiente formula básica para el costo total del proyecto (TPC).

(1)

El costo base (base cost) es el valor que resulta d e sumar los flujos de caja en los diferentes periodos del proyecto en pesos constante s.

El costo de escalonamiento durante la construcción (EDC) “Escalation During Construction” es la resta del costo del proyecto en pesos corrien tes calculado con las predicciones de las tasas de inflación y el cos to del proyecto en pesos constantes, en otras palabras los efectos de la inf lación en el proyecto hacen referencia al escalamiento durante la construcción.

IDCEDCtbaseTPC ++= cos_


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(2)

Donde: EDC (Escalonamiento durante la construcción) , C (Costo del proyecto en pesos corrientes), Co (Costo del proyecto en pesos constantes)

El costo en pesos corrientes del proyecto se calcul a con la siguiente fórmula:

(3)

Donde: C (Costo del proyecto en pesos corrientes), Aj (Valor constante del proyecto dado por el flujo de caja en un periodo j), Ѳ

dk(Tasa de inflación discreta en el periodo k)

El interés durante la construcción se calcula de la resta del valor a futuro del proyecto con el costo del proyecto en pesos corrien tes, afectado por el porcentaje de deuda del proyecto.

(4)

Donde: IDC (Intereses durante la construcción), f ( porcentaje de equity en función del costo del proyecto en pesos corrientes), FV (Valor futuro de los flujos de caja), C (Costo del proyecto en

pesos corrientes)

El valor futuro de los flujos de caja en un instant e T del proyecto se calcula con la siguiente fórmula:

(5)

Donde: Aj (Valor constante del proyecto dado por el flujo de caja en un periodo j), Ѳd

k(Tasa de

inflación discreta en el periodo k), r( tasa compue sta)

∑−

==

+= 1

00

)1(n

j

j

k

d

kjAC C θ

∑ ∏==

−++= 1.

00

)1)(1(n

j

J

k

jTdk rAjVF θ

CoCEDC −=

))(1( CFVfIDC −−=


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Remplazando en la fórmula (5) en la ecuación (4) y luego la (3) en la ecuación (2) y luego el resultado de estas en la ecuación (1) te nemos la siguiente ecuación para el costo total:

(6)

La ecuación (6) constituye un modelo sencillo para calcular el costo total del proyecto. En lo que respecta a la investigación de la predicción de flujos futuros, la ecuación (2) EDC permite calcular los efectos de la inflación en el proyecto, bajo supuestos de predicciones de índices que asume el a utor, La ecuación (4) IDC permite calcular los efectos de la financiación de l proyecto.

Willmot, c.g., y Cheng, g.. (2003) Presentaron un modelo el cual busca reproducir los factores que afectan los costos en los proyectos de infraestructura de carre teras y predecir dichos costos a futuro, el articulo fue publicado por Construction Engenieering and management “Estimating future highway construction costs ”. Encontraron que el supuesto común que los costos de construcción cambian con el incremento de la tasa de inflación, puede genera r pobres estimativos de los costos de construcción del futuro. A través de graf icas que relacionan el ICP con índices de construcción de carreteras del FHWA desd e 1974 hasta 1996, se aprecia que los indicies de carreteras tienen un co mportamiento más errático en comparación con el IPC, esto puede llegar a afectar considerablemente proyectos de duración de media a larga que se hayan hecho est imativos proyectando el ICP, en proyectos de duración corta utilizar la proyecc ión de la inflación no tiene mayor incidencia ya que el escalonamiento no es tan signi ficativo. Las variables que afectan los costos futuros del lo s proyectos son los cambios en los precios de material, mano de obra y equipo, adi cional a estas se encontró una fuerte influencia de la ubicación de los proyectos, duración de los contratos, tamaño del contrato, oferta y demanda en el medio d e la construcción, cambios en normatividad y leyes. Ya que estas últimas variable s también tienen una alta incidencia en el aumento de los costos de construcc ión no resulta fidedigno calcular el escalonamiento de precios en el tiempo basados en el IPC, ya que como fue demostrado por los autores, los costos de construcción tienen un

∑ ∏ ∑ ∏−

==

==

−

++−++= 1

00

1.

00

)1)(1()1()1(n

j

j

K

n

j

J

k

jTdk

dk rAjfAjFTPC θθ


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comportamiento más errático el cual requiere un aná lisis de cada una de las variables por separado de manera más especifica. La extrapolación de tendencias pasadas es un método acertado para predecir escalonamientos en el tiempo de los precios en proy ectos de duración corta, para proyectos de duración media a alta se hace necesari o un método el cual realice predicciones de las variables en función de los fac tores que afectan a estas. Basados en datos históricos del Departamento de Tra nsporte de Louisiana desde 1984 hasta 1997, en un total de 2827 proyectos, enc ontraron que las actividades más representativas en los proyectos de carreteras son: Explanaciones, Pavimento Asfaltico, Pavimento de Concreto, Concret o reforzado y Estructuras. Con estas actividades a las que llamaron actividade s principales desarrollaron un modelo el cual costa de cinco submodelos uno para c ada actividad, para cada submodelo se tiene un ítem representativo y con est e se estimara el incremento de costos teniendo en cuenta el comportamiento hist órico de este ítem. Los ítems representativos para el estudio fueron los siguient es:

- Explanaciones: Material de terraplén. - Pavimento Asfaltico: Concreto asfaltico. - Pavimento de concreto: Concreto clase AA. - Concreto reforzado: Acero de refuerzo. - Estructuras: Concreto clase AA.

Para cada ítem se hace un análisis diferente y se r elaciona con el factor que influye en su variación, por ejemplo en el material de terraplén el factor que más incide son los equipos, en el concreto asfaltico es el valor del petróleo. Se realizan predicciones extrapolando los factores y utilizando métodos estocásticos. Para cada uno de los submodelos se ex aminan tres escenarios el optimista, el pesimista y el esperado, luego se int egran los resultados de los submodelos para hacer un análisis de modelo total. El estudio muestra la importancia de hacer análisis separados de las variables más significativas, ya que llevando a cabo dicho pr ocedimiento es más factible predecir variaciones puntuales en actividades del p resupuesto, por ejemplo el pavimento asfaltico por una alza súbita del petróle o.

Ali, Rashed (2005)

Presenta un modelo utilizando la metodología RMP (R isk Management Process) para estimar el costo total de proyectos de infraes tructura. Compara los métodos


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tradicionales para estimar costos empezando por el deterministico, en el cual se obtiene un costo base y se le agrega un ítem de imp revistos, ítem que incorpora el riego en base a la experiencia de los dueños o de l a persona que habilitada para tomar decisiones. El segundo método es el método es timativo que utiliza el análisis de riesgo (ERA – Estimating Using Risk Ana lysis), basado en datos históricos se hacen tres escenarios el esperado, pe simista y optimista y se presenta a los socios del proyecto para que estos t omen decisiones en base a dichos escenarios. La metodología RMP, parte de un costo base, después estima los riesgos asociados con el proyecto, los valora y se les asig na una distribución de probabilidad de ocurrencia, Rashed Ali propone una distribución triangular con los siguientes parámetros, mínimo, más probable y máxim o. Utilizando la simulación de Montecarlo y con el programa Risk, se obtienen l os resultados. El proceso de evaluación de riesgo consiste en dos partes análisi s e interpretación, y decisión. Para el análisis e interpretación se utiliza una cu rva de distribución acumulada de probabilidad vs el costo del proyecto, dicho gráfic o muestra un rango de valores que el costo del proyecto puede tomar asociados con una probabilidad de ocurrencia. Para la decisión se analiza la curva de distribució n acumulada y los socios o las personas habilitadas para tomar decisiones en base a esta concluirán. Se pueden establecer procedimientos o políticas para las comp añías, por ejemplo que el valor objetivo o valor esperado corresponde al percentil 50, y que el valor total del proyecto sea el percentil 90, es decir la probabili dad que el valor del proyecto sea menor es del 90%. La metodología RMP tiene ventajas sobre la determin istica ya que esta última es muy subjetiva, y resulta poco practica para proyect os de gran envergadura. Grandes proyectos exigen análisis de riego, la vent aja de la metodología de gestión de riesgos RMP sobre la de análisis de rieg os ERA, es que bajo un marco más concreto y estudiado presenta resultados en ran gos menores, lo que hace más fácil a las personas que toman decisiones sobre el costo total del proyecto.

TOURAN, Ali, y LOPEZ, Ramon. (2006) Inspirados en los históricos sobrecostos de los pro yectos de infraestructura, Ali Touran, M.ASCE; and Ramon Lopez desarrollaron un mo delo para estimar el escalonamiento de los costos durante la construcció n en estos proyectos, se basan en índices de construcción y en la estrecha r elación que tienen estos en dos periodos consecutivos, con datos históricos cre aron un modelo donde con la simulación de Monte Carlo predicen los índices de a ños futuros. El modelo fue


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presentado en la Publicación Construction Engineeri ng And Management © ASCE en agosto de 2006. Después de mostrar las ventajas y desventajas de lo s métodos (estadísticos y cuantitativos) que a lo largo del tiempo han sido usados para determinar el factor de escalonamiento, usando índices de costos de cons trucción BCI “Building Cost Index” de “The Engineering News Record ENR” present aron una metodología que incorpora un análisis de riesgo para predecir el es calonamiento de costos durante la construcción. El factor de escalonamiento es la tasa de cambio de l BCI de un año a otro año, el cual puede ser calculado con la siguiente ecuación:

(7)

Donde: ∆i (Porcentaje de cambio del periodo i), Ii (Índice del periodo I), Ii (Índice del periodo previo I -1)

El valor promedio de ∆ para un periodo de tiempo se calcula con la siguie nte ecuación:

(8)

Donde: r (Promedio de la tasa de cambio), Ie y Ib ( Índice del periodo final y el periodo inicial respectivamente), n (Número de peri odos entre e y b)

Para modelar la incertidumbre del valor del factor de escalonamiento propusieron el uso de una distribución normal, con los últimos 60 datos de los índices se define la media (u) y la desviación estándar ( σ) parámetros de la distribución.

Luego con una hoja de cálculo de Excel definen las variables de entrada básicas: costo base, duración de actividades, relaciones de precedencia entre actividades, parámetros de la distribución estándar de probabili dad; para finalmente con el software Risk utilizando números aleatorios para lo s indicies futuros estimar el factor de escalonamiento de la siguiente manera.

Usando los valores de ei factor de escalonamiento para cada periodo se calcu la es factor de escalonamiento medio eim tomando el promedio de los valores del factor de escalonamiento del principio y el final del peri odo eim = (ei + e i+1)/2. El factor de escalonamiento En para cualquier periodo n en el futuro es:

( )[ ] %10011 ×−−=∆ −iii II

%1001/1

×

−

=

n

b

e

I

Ir


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(9)

Para cualquier proyecto j con duración Dj, un periodo inicial s, y un periodo final f, el escalonamiento promedio es calculado como:

(10)

Con el factor de escalonamiento promedio Ej y el costo base del proyecto BCj del proyecto J, se obtiene el costo escalonado del proyecto EC J:

(11 )

Con la ayuda del software Risk se hacen varias simu laciones (1000 a 5000 por ejemplo) para determinar el costo escalonado del pr oyecto ECJ el resultado es un rango de datos a los cuales se les asocia una proba bilidad de ocurrencia.

El método de una manera sencilla, incorporando un a nálisis de riesgo permite estimar el escalonamiento de un proyecto de constru cción. Al presentar un rango de resultados con una probabilidad de ocurrencia le da posibilidades a los socios del proyecto de tomar decisiones en base a su nivel de confianza.

Butts, Glenn. (2007) Presenta el método de Montecarlo examinando índices históricos y tendencias pasadas. Enmarca el análisis en la alta cantidad de factores que afectan el escalonamiento de costos en los proyectos, por ejem plo actos de la naturaleza, tasas de interés, precio del petróleo, condiciones del mercado, guerras, oferta y demanda, estado de la economía mundial, salarios en tre otros. Para Butts existen dos métodos para estimar costos futuros, el primero es la extrapolación de índices, el cual según él funciona para proyectos de menos de un año de duración. El segundo es la simulación de Mon tecarlo usando distribuciones de probabilidad derivadas de índices históricos. Pa ra Butts el escalonamiento a mediano y largo plazo no es posible predecirlo extr apolando índices, ya que como se mencionaron son muchos los factores que afectan dicho escalonamiento.

)1(...)1()1()1( 321 mnmmmn eeeeE +××+×+×+=

jfsssj DEEEEE /)...( 321 ++++= +++

jjj BCEEC ×=


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Suponiendo que la predicción es imposible, propone el modelo de caminata aleatoria. Utilizando los Construction Cost Index (CCI) de En gineering News Record (ENR), datos desde 1914 hasta 2006, encontró las distribuc iones de probabilidad que más se ajustan a la ocurrencia de estos índices, la dis tribución que más se ajusto fue la Logistic arrojando como resultado un crecimiento an ual promedio del 4.04% con un 90% de probabilidad que el escalonamiento sea en tre el -5.8% y el 13.8%. En homenaje al teorema del límite central, la distr ibución normal fue seleccionada para otro análisis con los mismos datos, adicional fue la que tuvo el segundo mejor ajuste. El 90% de las veces el escalonamiento tien e valores entre el -7.9% y el 15.8% teniendo como media el 3.9%. Se sugiere que e l teorema del límite central es una instancia correcta, y que la distribución no rmal es una distribución también correcta para realizar las predicciones. Al igual que muchos autores siguiere hacer análisis separados dividiendo el proyecto en muchos subproyectos de acuerdo a activi dades similares, desafortudandamente los CCI, están disponibles por actividades de obra desde 1977. Con datos desde 1984 hasta el año 2004 (20 añ os), utilizando la distribución normal se encontró uns media de escalamiento anual del 2.5% y el 90% de los valores están entre el 1% y el 3.8%. Lo que es un r ango pequeño teniendo en cuenta que se está hablando del 90%. Trataron de hacer lo mismo con el análisis de redes neuronales, alternativa de predicción que simula las funciones del cerebro hum ano, desafortunadamente después de muchas iteraciones, no fue posible encon trar resultados lógicos, pequeños cambios en las variables de entrada, creab an predicciones ampliamente divergentes, con rangos de inflación exageradamente bajos (negativos) y colosalmente altos (positivos). La simulación de Montecarlo puede ser muy útil en l a gestión de proyectos, ya que permite decidir cuánto escalonamiento usar, depende de cuánto riesgo se está dispuesto a asumir.


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4. BASES TEORICAS

4.1 Ley de Pareto – Regla del 80-20

En 1906, el economista italiano Vilfredo Pareto cre ó una fórmula matemática para describir la distribución desigual de la riqueza en su país, observando que el 20% de las personas poseían el 80% de la riqueza. En l os años 40 el Dr. Joseph M. Juran atribuyó (no del todo acertadamente) el regl a del 80/20 a Pareto, llamándola "Ley de Pareto". Más allá de lo correcto de su nombre, El principio de Pareto puede ser una herramienta muy efectiva para ayudar a administrar de manera efectiva. Después de que Pareto hizo sus observaciones y esta bleció su fórmula, otros observaron fenómenos similares en sus propias áreas de conocimiento. El Dr. Juran, pionero del movimiento por la Calidad Total en los años 40, estableció la existencia de un principio universal que denominó " los pocos esenciales y los muchos triviales". Como resultado, la observación del Dr. Juran sobre el principio de que "20% de algo siempre es responsable del 80% de los resultad os se conoció como Ley de Pareto o "Regla del 80/20". Qué significa La Regla del 80/20 significa que el 20% de algo es esencial y el 80% es trivial. Juran estableció que el 20% de los defectos causaba n el 80% de los problemas. Los Gerentes de Proyecto saben que el 20% del traba jo (el 10% inicial y el 10% final) consume el 80% del tiempo y los recursos. La regla del 80/20 también se aplica a las ventas ( el 20% de los clientes produce el 80% de los beneficios; o el 20% de los vendedore s realiza el 80% de las ventas) o a cualquier otra cosa (el 20% del diario trae el 80% de las noticias importantes, o que el 20% de los empleados causan el 80% de los pr oblemas). En los proyectos también se puede aplicar esta regl a, con el 20% de los ítems del presupuesto del proyecto se puede alcanzar el 80% del valor total del proyecto. La aplicación de la Ley de Pareto cobra importanci a en encontrar los ítems representativos del proyecto, ya que con base en es tos se puede determinar el escalonamiento del mismo. Teniendo en cuenta que son un sinnúmero de variable s las que afectan los costos de las actividades en el tiempo, y que como Wilmot y ChenG señalan para poder tener en cuenta la incidencia de la mayor cantidad de variables lo mejor es crear submodelos con las actividades principales, para co ncentrarse en los factores que


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afectan cada submodelo. La manera de determinar las actividades e ítems principales es la Ley de Pareto, a través de diagra mas de Pareto. El valor de la Ley de Pareto es que nos recuerda qu e debemos dar preferencia al 20% que importa y que produce el 80% de los resulta dos.

4.1.1 Diagramas de Pareto

Los diagramas de Pareto son usados para mostrar grá ficamente la importancia relativa de un grupo o segmentos de datos. A través de este se hace fácil identificar cuales actividades o ítems son los más importantes dentro del presupuesto. Típicamente los datos son mostrados co mo histogramas de las barras verticales, y se ubican en orden descendent e de valor o importancia de izquierda a derecha. Par visualizar mejor el procedimiento para elaborar el diagrama, se mostrará través de un ejemplo. Supongamos el proyecto 1 con un valor total de $20.000.000 cuyo presupuesto es mostrado en la el cuadro 1.

Cuadro 1 Proyecto 1 Presupuesto

Proyecto 1

No Ítem Valor Total

1 A $ 3,000,000

2 B $ 1,000,000

3 C $ 6,000,000

4 D $ 600,000

5 E $ 5,000,000

6 F $ 2,000,000

7 G $ 1,400,000

8 H $ 800,000

9 I $ 200,000

TOTAL $ 20,000,000 Fuente: (Piedrahita, Salazar)

Para hacer un Diagrama de Pareto lo primero que hay que hacer es ordenar los ítems o actividades del presupuesto de mayor a meno r en una tabla. Después a cada uno de estos se calculo el peso porcentual den tro del total del proyecto. Después se calcula el peso acumulativo porcentual d el proyecto. El resultado de este procedimiento se puede apreciar en el cuadro 2 .


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Cuadro 2 Proyecto 1 Presupuesto ordenado con porcen tajes

Proyecto 1

No Ítem Valor Total Porcentaje Porcentaje Acumulado

3 C $ 6,000,000 30% 30%

5 E $ 5,000,000 25% 55%

1 A $ 3,000,000 15% 70%

6 F $ 2,000,000 10% 80%

7 G $ 1,400,000 7% 87%

2 B $ 1,000,000 5% 92%

8 H $ 800,000 4% 96%

4 D $ 600,000 3% 99%

9 I $ 200,000 1% 100%

TOTAL $ 20,000,000 100% Fuente: (Piedrahita, Salazar)

En el cuadro 2. se puede apreciar que con los ítems C, E, A y F se acumula el 80% de valor total del proyecto. Después se grafica un histograma de barras vertical es, donde los ítems se ubican en el Eje X ordenados de mayor a menor en relación a su valor. Los valores de porcentaje se representan como Barras. Los valores acumulados se representan como puntos y se unen a través de una línea. Ver fi gura 1.

Figura 1 Diagrama de Pareto del Proyecto 1

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

C E A F G B H D I

3 5 1 6 7 2 8 4 9

Diagrama de ParetoÍtems del proyecto 1 en porcentaje del valor total

Porcentaje Porcentaje Acumulado

Po

rce

nta

je

Po

rce

nta

je A

cum

ula

do

Ítems

Fuente: (Piedrahita, Salazar)


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Se puede hacer una variación en el Diagrama, grafic ando en las barras el valor

total de cada ítem. Ver figura

Figura 2 Variación Diagrama de Pareto del Proyecto 1

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

$ -

$ 1,000,000

$ 2,000,000

$ 3,000,000

$ 4,000,000

$ 5,000,000

$ 6,000,000

C E A F G B H D I

3 5 1 6 7 2 8 4 9

Diagrama de ParetoÍtems del proyecto 1 en valor total

Valor Total Porcentaje Acumulado

Val

or T

ota

l

Po

rce

nta

je A

cum

ula

do

Ítems


4.2 Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad indica toda la gam a de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si é ste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la pros pectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros con siderando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por u na variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el va lor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

•Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ello. Tiene las siguientes propied ades:

- 0≤p(xi)≤1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los va lores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o ig uales a 1.

- Σp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asocia das a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.


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•Variable aleatoria continua (x). Porque puede toma r tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Tiene las siguientes propiedades:

- p(x)≥0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los va lores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra f orma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

- El área definida bajo la función de densidad de p robabilidad deberá ser de

1. ∫∞

∞−

= 1)( dxxf

Dentro de las distribuciones de probabilidad de var iable continua las más comunes son:

- Uniforme - Normal - Lognormal - Logística - Beta - Gamma - Exponencial - Ji-cuadrado - t de Student - F de Snedecor

La distribución normal es, sin duda, la distribució n de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolid ada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas del límite centr al. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, med icina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de dat os continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se apro ximan a la distribución normal. El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la su ma de variables aleatorias tiende a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande. Por esta razón analizaremos la distribución Normal de probabilidades ya que esta será propuesta como función de probabilidad de los datos históricos analizados.


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4.2.1 Distribución Normal

La distribución normal es también un caso particula r de probabilidad de variable aleatoria continua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

∫∞−

−−

Π=

x x

dxexFiσµ

σ2

)( 2

2

1)(

(12 )

Que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos.

Fuente: (SOLIS REYNA, Norma I., et al. Distribución de probabilidad )

Existen dos razones básicas por las cuales la distr ibución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística: • Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencia s mediante la toma de muestras.

Figura 3 Forma típica campana de Gauss


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• La distribución normal casi se ajusta a las distr ibuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo caracter ísticas humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado. Propiedades: No importa cuáles sean los valores de µ y σ para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, d e manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidade s. Matemáticamente es verdad que:

- Aproximadamente el 68% de todos los valores de un a población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

- Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población

normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

- Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población

normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

4.3. Método de Montecarlo. El método de Montecarlo es un método no determiníst ico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas comple jas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del jueg o de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Montecarlo como herramient a de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Ál amos en EE.UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilístic os de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el mate rial de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.


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En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de d ivisión" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas t uvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los v alores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrone s a nivel nuclear usando este método. El método de Montecarlo proporciona soluciones apro ximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una co mputadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea esto cástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una soluc ión aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimac ión que decrece como en virtud (1/√n) del teorema del límite central. El método de Montecarlo es una técnica para obtener muestras aleatorias simples de una variable aleatoria X, de la que conocemos su ley de probabilidad (a par tir de su función de distribución F). Con este método, el modo de elegir aleatoriamente un valor de X siguiendo usando su ley de probabilidad es a partir de la variable aleatoria uniforme en el intervalo ( 0,1) o sea U ≈ U(0,1).

1. Usando un método de obtención de números aleator ios se toma un valor U de una variable aleatoria.

2. Si X es continua tomar como observación de X, la cantidad x=F -1(u). En el caso en que X se toma x como el percentil 100- u de X, es decir el valor más pequeño que verifica que F(x) ≥ u.

Este proceso se debe repetir n veces para obtener una muestra de tamaño n. Al aplicar el método se realiza un “sorteo” del fen ómeno casual con ayuda de un procedimiento especialmente organizado que incluya la casualidad del resultado aleatorio. En realidad la realización concreta del proceso aleatorio se produce cada vez de distinta manera; de la misma manea, tam bién como resultado de la simulación estadística (“Sorteo”) obtenemos cada ve z una nueva, diferente de otras, realización del proceso investigado. Una vez terminado el tratamiento se pueden obtener, por supuesto, aproximadamente, cualquier característica que presenten interés, probabilidad de sucesos, esperanzas matemáticas, variaciones de var iables aleatorias, etc. Simulado los fenómenos de carácter casual con ayuda del método de Montecarlo utilizamos la casualidad como elemento de investiga ción haciéndola trabajar para nuestro fin.


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Este procedimiento resulta, a veces más simple que la tentativa de construir un modelo analítico, para las operaciones complejas en las cuales participa una gran cantidad de elementos (máquinas, hombres, organismo s, medias auxiliares) y para nuestro caso índices de costos, cuyos factores causales están entrelazados en forma compleja. Cualquier problema probabilístico puede ser resuelt o por medio del método de Montecarlo, pero resulta justificado sólo cuando el procedimiento de sorteo es más simple que el cálculo analítico.

4.4 Modelo Random Walk

El camino aleatorio o paseo aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la traye ctoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Los resultados del anál isis de paseo aleatorio han sido aplicados a la computación, la física, la ecología o la economía. En particular en este último campo la teoría del paseo aleatorio de Burton G. Malkiel en su obra A Random Walk Down Wall Street (traducción castellana Un Paseo Aleatorio Por Wall Street) se fundamenta en la hipótesis de los m ercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipótesis. En el figura 4. se muestran las trayectorias (posic ión en función del número de pasos) de 6 partículas que hicieron un random walk de 200 pasos. Todas parten de la posición 0.


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Figura 4 Trayectorias random walk de 6 partículas.

Fuente: (RODRIGUEZ, Luis Mariano y FERMIN, José Sim ón. Mercado eficiente y caminata

aleatoria en la Bolsa de Valores de Caracas .)

Las caminatas aleatorias son cualquier proceso alea torio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su pos ición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecue nte dirección y la longitud de paso. Se considera la caminata aleatoria con proceso "dri ft" caracterizada por Yt = Yt-1 + b + et ó rt = DYt = b + et, donde Yt es el precio d el índice observado en el tiempo t, b es un parámetro drift arbitrario, rt es el cambio en el índice y et es un error aleatorio que satisface E(et) = 0E(etet-g) = 0, g ¹ 0, para todo t. Bajo la hipótesis de caminata aleatoria, un mercado es eficiente (en su forma débil) si el más reciente precio contiene toda la información disponible y po r eso el mejor predictor de precios futuros es el precio más reciente. Existen tres versiones del modelo de caminata aleat oria, de acuerdo con la clasificación que para el efecto sugieren Campbell, Lo y MacKinlay (1997). Una primera versión de caminata aleatoria, denomina da RW1, exige que los incrementos en los precios sigan una distribución i ndependiente e idéntica, con Yt =µ + Yt-1 +et y siendo et ~IID(0,s2), donde µ es el valor esperado del cambio en el


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precio y s es la desviación estándar. Como los incr ementos son independientes, la caminata aleatoria es un juego justo pero más exige nte que la martingala, pues la independencia implica que los incrementos no solo n o están correlacionados, sino que funciones no lineales de los mismos tampoco est án correlacionadas. Asumir que los precios siguen una distribución norm al implica que se puede tener precios negativos. Luego se parte de que el logarit mo natural de los precios, representado por Pt=logYt, es el que sigue una cami nata aleatoria con incrementos que siguen una distribución normal, est o es, Pt =µ + Pt-1 +et con et ~IIDN(0,s2), lo cual da lugar al modelo de Bachelie r (1900). Una segunda versión de la caminata aleatoria, la RW 2, exige únicamente que los incrementos sean independientes, sin requerir que p resenten la misma distribución. Luego, esta versión tiene en cuenta h eterocedasticidad en los incrementos, característica común en las series de tiempo financieras. Finalmente, una tercera versión (RW3) del modelo de caminata aleatoria, solo exige que los incrementos no estén correlacionados, es decir, Cov(et, et-k) =0, aunque admita que exista dependencia entre ellas, e s decir, Cov(et, et-k) =0 para k¹0. Esto proporciona un número complementario de proced imientos de prueba de caminatas aleatorias o eficiencia del mercado en su forma débil.

4.5 DEFINICIONES BÁSICAS

Costo base del proyecto: Es el costo del proyecto en el momento de su inicio. Momento cero “0”.

Escalonamiento de costos en la construcción: Es el incremento del costo en el tiempo de cualquier elemento de constru cción sobre el costo original del contrato, o el costo base del proyecto . Estocástico: Aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar . Flujo de caja: Es una herramienta que posibilita anticipar los sa ldos en dinero de una empresa a partir de los ingresos y eg resos proyectados para un período determinado Grupos de obra: Los grupos de obra se refieren a las actividades realizadas en un tramo de carretera o puente.


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Índice de precios: Medida que refleja los cambios en el nivel medio d e precios. Medida estadística del cambio porcentual promedio en algún grupo de precios respecto a algún periodo base.

Índice de costos de la construcción pesada – ICCP: Es un instrumento estadístico que permite conocer el cambio porcentua l promedio de los precios de los principales insumos requeridos para la construcción de carreteras y puentes, en un período de estudio. Índice de Precios al Consumidor - IPC.: Indicador que expresa las variaciones en los precios de los productos y servi cios de una canasta seleccionada y que sirve como referencia para medir la inflación. Presupuesto general: es un formato en que se resumen los costos totales de un proyecto, cada proyecto está descompuesto en partidas de trabajo agrupadas por grupos de obra; cada partida de traba jo consta de unidad de medida, cantidad, valor unitario y valor total.

Precios unitarios: son las partidas de trabajo que vienen en el presupuesto general definido en términos de costos unitarios, discriminados por elementos del costo: equipo, materiales, transp orte, mano de obra y costos indirectos. La suma de estos valores parcial es da el precio unitario total de cada partida de trabajo.

Proyecto de corto plazo: Proyecto de duración inferior a 3 meses. Proyecto de medio plazo: Proyecto de duración de 4 meses a 2 años. Proyecto de largo plazo: Proyecto de duración superior a 2 años.

Tasa de inflación : Expresa la variación porcentual del índice de pre cios entre dos fechas determinadas.

Tasa de interés: Es un porcentaje de la operación de dinero que se esté realizando. Si se trata de un depósito, la tasa de interés expresa el pago que recibe la persona o empresa que deposita el din ero por poner esa cantidad a disposición del otro.


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5. DATOS Y ANÁLISIS DE DATOS

5.1 ÍNDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA - IC CP

Se utilizaron los Índices De Construcción Pesada – ICCP del Departamento Administrativo Nacional de Estadística DANE. Se esc ogieron estos índices ya que gozan de buena reputación en el territorio colombia no, donde La Empresa realiza trabajos mayormente. Es un instrumento estadístico que permite conocer e l cambio porcentual promedio de los precios de los principales insumos requerido s para la construcción de carreteras y puentes, en un período de estudio. Atendiendo la recomendación internacional de revisa r las canastas de referencia para seguimiento de precios cuando los índices son de tipo Laspeyres o de canasta fija y teniendo en cuenta las transformacio nes que ha tenido el país desde 1996 a nivel tecnológico y de las estructuras de co stos, el DANE destinó recursos para rediseñar la metodología del Índice de Costos de la Construcción Pesada buscando actualizar las canastas, las ponderaciones y la base, de tal manera que los índices ponderados reflejen los cambios en los precios de los distintos grupos de acuerdo a la nueva estructura. A partir del año 2000 se manejan las siguientes var iables de clasificación. Se manejan Grupos de costos y Grupos de Obra. Grupos d e costos (equipos, materiales, transporte, mano de obra y costos indir ectos), grupo de obra (obras de explanación, sub-bases y bases, transporte de mater iales, aceros y elementos metálicos, acero estructural y cables de acero, con cretos, morteros y obras varias, concretos para superestructuras de puentes y pavime ntación con asfalto). Las variables de análisis son los Precios de los in sumos en la construcción de carreteras y puentes. Las Variables calculadas son Índices tipo Laspayres, Los Indicadores son: Índices, variaciones, contribuciones y participaciones. Utilizando el programa Oracle ® Crystal Ball Se rea lizaron ajustes a los datos de variaciones mensuales porcentuales de los Índices D e Construcción Pesada general desde 1990, a diferentes funciones lineales de probabilidad. La variación mensual, es la relación del índice en el mes de referencia (Ii,t) con el índice del mes anterior (Ii-1,t), menos 1, por 100:


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1001__

__ ×

−=

anteriormesÍndice

referenciamesÍndiceVM

( 13)

Para el periodo entre 1990 hasta octubre de 2010, l a función de probabilidad que arrojo una mejor correlación fue “extremo máximo” c on un valor esperado del 8.30% efectivo anual y un percentil 90 de 30.39% ef ectivo anual. Las correlaciones con las funciones de probabilidad fueron analizadas con la prueba Anderson-Darling, en base a los resultados d e esta se determino el orden de distribuciones de acuerdo al valor de la prueba.

Figura 5 Distribución Máximo Extremo con parámetros , variaciones porcentuales 1990 a

2010

Maximum Extreme distribution with parameters:Likeliest 0.36Scale 0.83

Statistics: Assumption values DistributionTrials ---Mean 0.84Median 0.67Mode 0.36Standard Deviation 1.07Variance 1.14Skewness 1.14Kurtosis 5.40Coeff. of Variability 1.27Minimum -InfinitoMaximum InfinitoRange Width ---Mean Std. Error ---

Percentiles: Assumption values Distribution VARIACIÓN EFECT IVA0% -Infinito ANU AL10% -0.33 -3.93%20% -0.03 -0.42%30% 0.21 2.51%40% 0.43 5.34%50% 0.67 8.30%60% 0.92 11.63%70% 1.22 15.67%80% 1.61 21.14%90% 2.24 30.39%100% Infinito

End of Assumptions Fuente: (Piedrahita, Salazar)


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Teniendo en cuenta el teorema del límite central se analizó también el ajuste de la distribución LogNormal, a su vez fue la distribució n con segundo mejor ajuste. Para dicha distribución se encontró un valor espera do del 8.30% efectivo anual y un percentil 90 de 30.39% efectivo anual.

Figura 6 Distribución LogNormal con parámetros, va riaciones porcentuales 1990 a 2010

Lognormal distribution with parameters:Location -2.24Mean 0.85Std. Dev. 1.16

Statistics: Assumption values DistributionTrials ---Mean 0.85Median 0.65Mode 0.29Standard Deviation 1.16Variance 1.35Skewness 1.18Kurtosis 5.57Coeff. of Variability 1.37Minimum -2.24Maximum InfinitoRange Width ---Mean Std. Error ---

Percentiles: Assumption values Distribution VAR IACIÓN EFECT IVA0% -2.24 ANU AL10% -0.43 -4.99%20% -0.11 -1.32%30% 0.15 1.80%40% 0.4 4.86%50% 0.65 8.09%60% 0.93 11.74%70% 1.26 16.18%80% 1.68 22.20%90% 2.37 32.38%100% Infinito


Para las variaciones porcentuales desde 1990 hasta el 2010 la distribución normal fue la sexta mejor correlación, con un valor espera do del 11.18% efectivo anual y un percentil 90 de 43.30% efectivo anual, un rango mucho más alto que las dos distribuciones anteriores, demostrando que no se aj usta de la mejor manera a la variación real, por lo que queda descartada como fu nción de distribución de probabilidad a utilizar para hacer predicciones Este mismo proceso se realizo para los datos desde 1995 al 2010, al igual que para los datos desde 1990 al 2010, la función de pr obabilidad con mejor correlación fue la Extremo Máximo, seguida muy cerc a de la Lognormal. Para la


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Extremo Máximo el valor esperado fue de una variac ión mensual del 0.48% equivalente al 5.96% efectiva anual, y el percentil 90 es el 1.85% mensual 24.66% efectiva anual. Para la distribución Lognormal la v ariación mensual esperada equivalente al percentil 50 fue del 0.51% correspon diente al 6.25% efectivo anual, y el percentil 90 es el 1.74% mensual 23.07% efecti va anual.

Figura 7 Distribución Máximo Extremo con parámetros , variaciones porcentuales 1995 a 2010

Maximum Extreme distribution with parameters:Likeliest 0.22Scale 0.73


Percentiles: Assumption values Distribution VAR IACIÓN EFECT IVA0% -Infinito AN U AL10% -0.39 -4.58%20% -0.13 -1.54%30% 0.08 0.99%40% 0.28 3.42%50% 0.48 5.96%60% 0.71 8.80%70% 0.97 12.24%80% 1.31 16.88%90% 1.85 24.66%100% Infinito

End of Assumptions



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Figura 8 Distribución LogNormal con parámetros, var iaciones porcentuales 1995 a 2010

Lognormal distribution with parameters:Location -3.Mean 0.61Std. Dev. 0.86

Statistics: Assumption values DistributionTrials ---Mean 0.61Median 0.51Mode 0.32Standard Deviation 0.86Variance 0.74Skewness 0.7306Kurtosis 3.96Coeff. of Variability 1.42Minimum -3.Maximum InfinitoRange Width ---Mean Std. Error ---

Percentiles: Assumption values Distribution VAR IACIÓN EFECT IVA0% -3. ANU AL10% -0.41 -4.79%20% -0.12 -1.49%30% 0.1 1.19%40% 0.3 3.70%50% 0.51 6.25%60% 0.72 9.03%70% 0.97 12.26%80% 1.28 16.45%90% 1.74 23.07%100% Infinito

End of Assumptions


Para los valores de variaciones porcentuales mensua les desde el año 2000 hasta el año 2010, y desde el año 2005 hasta el año 2010, la distribución de probabilidad que tuvo una mejor correlación fue la Lognormal. E ntre el 2000 y el 2010 el valor esperado fue una variación mensual del 0.36% equiva lente al 4.43% efectiva anual, y el percentil 90 es el 1.31% mensual 16.96% efectiva anual. Entre el 2005 el rango se acorta y el valor esperado es de 2.47% efectivo anual y la probabilidad que el 90% de las veces la variación mensual porcen tual sea menor se da en el 15.76%.


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Figura 9 Distribución Lognormal con parámetros, var iaciones porcentuales 2000 a 2010



Percentiles: Assumption values Distribution VARIACIÓN EFECT IVA0% -2.42 ANUAL10% -0.35 -4.08%20% -0.13 -1.51%30% 0.05 0.56%40% 0.2 2.49%50% 0.36 4.43%60% 0.53 6.53%70% 0.72 8.96%80% 0.96 12.08%90% 1.31 16.96%100% Infinito

End of Assumptions



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Figura 10 Distribución Lognormal con parámetros, va riaciones porcentuales 2005 a 2010


Statistics: Assumption values DistributionTrials ---Mean 0.33Median 0.2Mode -0.02Standard Deviation 0.69Variance 0.47Skewness 1.34Kurtosis 6.34Coeff. of Variability 2.08Minimum -1.3Maximum InfinitoRange Width ---Mean Std. Error ---

Percentiles: Assumption values Distribution VARIACIÓN EFECT IVA0% -1.3 ANU AL10% -0.41 -4.76%20% -0.23 -2.74%30% -0.08 -1.01%40% 0.06 0.69%50% 0.2 2.47%60% 0.37 4.49%70% 0.56 6.93%80% 0.81 10.22%90% 1.23 15.76%100% Infinito


Se puede observar que a medida que se toman valores más recientes del las variaciones porcentuales mensuales, el rango de dat os entre el valor esperado percentil 50% y el percentil 90% es más estrecho. E sto se debe a que en la década de 1990, sobre todo a principios de este per iodo la economía Colombiana se caracterizo por tener las tasas de inflación his tóricamente las más altas, con variaciones porcentuales muy elevadas en relación a l promedio. Como la inflación está estrechamente relacionada con los índices de c onstrucción pesada, dichos índices a principios de los noventas sufrieron tamb ién altas variaciones. La variación anual del ICCP desde 1990 se puede observ ar en el figura 11. A su vez todas las distribuciones tienen un 20% de pr obabilidad que el valor de la variación mensual sea negativo. Lo que es coherente con la teoría que asegura


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que el mercado se ajusta mejormente a un modelo de caminata aleatoria Random Walk con drift el cual representa el crecimi ento de la economía. Este efecto se ve en que el 80% de las veces la variació n mensual toma valores positivos.

Figura 11 Variación Anual del ICCP

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

19

90

19

91

19

92

19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

20

03

20

04

20

05

20

06

20

07

20

08

20

09

Var

iaci

on

es

An

ual

es

ICC

P

Colombia, Indice de Costos de la Construcción Pesada (ICCP)

Variacion Anual ICCP


En el figura 11 se aprecia claramente que a princip ios de la década de los noventas se presentaron variaciones relativamente a ltas, que llegaron a estabilizarse en 1998, a partir de este año el incr emento anual del ICCP no ha superado el 10%. La variación anual se hace respecto a la relación e ntre el índice del mes de diciembre del año de estudio con el índice de dicie mbre del año inmediatamente anterior. De acuerdo a la teoría de mercado eficiente, los me rcados no tienen memoria, los precios del futuro no guardan ningún relación con e l pasado, y siguen un modelo de caminata aleatoria con drift, el cual representa el crecimiento de la economía.


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Se graficaron las variaciones porcentuales mensuale s de un mes i vs el mes i-1 de los ICCP desde 1990, se demostró que la variación e ntre un mes i y el mes anterior i-1 no tienen ninguna relación y son total mente independientes, la mejor correlación la arrojo una función polinómica de ter cer grado, con un coeficiente de correlación R2=0.1625 demostrando la teoría de mercados eficiente s sin memoria.

Figura 12 Variación mensual i del ICCP vs variación mensual i-1

Vxi = 0.0075Vxi-13 - 0.1869Vxi-12 + 1.1583Vxi-1 + 0.3166R² = 0.1625

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

Variacion mensual Xi-1 vs Xi

Variacion mensual …


Sin embargo se graficó el ICP vs el ICCP para evalu ar la relación que tienen entre un índice y el otro, se aprecio que tienen una rela ción muy estrecha ya que en ambos se ve la misma tendencia ascendente en el pe riodo observado entre 1990 y 2010. Ver el Figura 13.


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Figura 13 Variación mensual i del ICCP vs variación mensual i-1

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

Ene/

1990

Ene/

1991

Ene/

1992

Ene/

1993

Ene/

1994

Ene/

1995

Ene/

1996

Ene/

1997

Ene/

1998

Ene/

1999

Ene/

2000

Ene/

2001

Ene/

2002

Ene/

2003

Ene/

2004

Ene/

2005

Ene/

2006

Ene/

2007

Ene/

2008

Ene/

2009

Ene/

2010

Val

ore

s IP

C -

ICC

P

Meses-Años

IPC e ICCP VS TIEMPO 1990-2010

IPC

ICCP


Los valores de los índices IPC e ICCP se ajustan mu y bien a una función lineal. Ver figura 14.


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Figura 14 Variación mensual del ICP vs variación me nsual ICCP

y = 1.1391x + 6.5106R² = 0.9962

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00

IPC Vs ICCP

IPC Vs ICCP

Lineal (IPC Vs ICCP)

ICCP


A manera de ejercicio con ayuda de la función lineal del ICP vs el ICCP se encontraron los datos del faltantes del ICCP desde el año 1954 hasta el año 1990 aprovechando que sí se tienen registros para el ICP en estos años. Una vez calculados los datos, se estimaron las variaciones porcentuales mensuales del ICCP desde el año 1954 hasta el año 2010 (56 años). La función de probabilidad que tuvo un mejor ajuste fue la Logistic con un val or esperado del 3.32% efectiva anual, y el percentil 90 del 13.70% anual. La segun da función que más se ajusta es la Lognormal con un valor esperado del 4.48% y un percentil 90 del 18.98% variación porcentual anual. Los parámetros de las d istribuciones Logistic y Lognormal se pueden ver en las figuras 15 y 16.


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Figura 15 Distribución Logistic con parámetros, var iaciones porcentuales 1954 a 2010

Logistic distribution with parameters:Mean 0.27Scale 0.37


Percentiles: Assumption values Distribution VARIACIÓN EFECT IVA0% -Infinito ANUAL10% -0.53 -6.19%20% -0.23 -2.78%30% -0.04 -0.45%40% 0.12 1.50%50% 0.27 3.32%60% 0.42 5.17%70% 0.58 7.21%80% 0.78 9.76%90% 1.08 13.70%100% Infinito

End of Assumptions



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Figura 16 Distribución Lognormal con parámetros, va riaciones porcentuales 1954 a 2010



Percentiles: Assumption values Distribution VARIACIÓN EFECT IVA0% -4.48 ANU AL10% -0.53 -6.14%20% -0.24 -2.85%30% -0.02 -0.26%40% 0.17 2.11%50% 0.37 4.48%60% 0.56 6.99%70% 0.79 9.85%80% 1.06 13.47%90% 1.46 18.98%100% Infinito


Se observa un rango parecido en la distribución Log normal de los datos de 1954 hasta el 2010 y la de los datos desde el 2000 al 2 010. La tendencia histórica está más cerca a estos valores que a las altas variacion es de principios de los noventas. Es muy difícil trabajar con las distribuc iones de probabilidad de los datos ajustados desde 1990 al 2010, ya que debido a las altas variaciones de principio de década (90s) distorsiona el rango de valores en función de probabilidad, dando resultados muy altos que no obedecen a la tendencia histórica. Estos valores tan altos de variación como los que se presentaron a pr incipios de los noventas, resultan muy difícil de predecir y para poder inclu ir una valoración en los presupuestos que permita cubrir el riesgo que se pr esenten variaciones atípicas muy altas en los insumos de construcción, se debe i ncluir un ítem de imprevistos a parte del valor estimado del escalonamiento.


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La distribución Lognormal se ajusta de una buena ma nera a la distribución de probabilidad de la variación porcentual mensual del ICCP en concordancia al teorema del intervalo central. A continuación se mu estra en las figuras 17, 18, 19 y 20 las distribuciones de probabilidad reales del IC CP vs la distribución Lognormal para diferentes rangos de datos del ICCP desde 1990 .

Figura 17 Distribución de probabilidad de la variac ión porcentual mensual del ICCP ajustándolo a una distribución Lognormal, datos des de 1990 hasta 2010.



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Teniendo en cuenta la teoría de los mercados eficie nte en los que estos no tienen memoria, se recomienda para hacer las predicciones de escalonamiento trabajar datos de los últimos diez años, en este caso utiliz aríamos la distribución Lognormal ajustada a los datos de variación porcent ual mensual entre enero del 2000 y octubre de 2010, los parámetros de esta dist ribución se pueden apreciar en la figura 9. “Distribución Lognormal con parámetros , variaciones porcentuales 2000 a 2010”.


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6. DESARROLLO DEL MODELO

El desarrollo del modelo consiste en los siguientes seis pasos básicos:

1) Ley de Pareto, para determinar los ítems o activ idades representativas

2) Flujo de caja de los ítems representativos

3) Método de Montecarlo, teniendo en cuenta una dis tribución de probabilidad ajustada

4) Metodología de caminata aleatoria, para calcular los indicies durante la ejecución del proyecto

5) Calculo del flujo de caja ajustado con los índic es calculados.

6) Calculo del escalonamiento del proyecto.

Mediante un ejemplo se explicará la metodología par a el cálculo del escalonamiento.

6.1 EJEMPLO 1 – INVIAS PUENTE SAN JORGE

6.1.1 Datos Entidad Contratante: INVIAS Valor del Contrato: COP$ 7,210,317,496.00 Fecha de inicio: Octubre de 2009 Plazo: 15 meses Objeto: Construcción del nuevo puente San Jorge (Guayepo) e n la CARRETERA Achí – Guayepo – San Marcos – El Viajano, ruta 7403 y 7404. Tipo de estructura: Arco Metálico de 120m


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6.1.2 Ley de Pareto

6.1.2.1 Valores en pesos colombianos ($COP)

Figura 21 Ley de Pareto Puente San Jorge ($COP)

$ 4,433,100,000.00

$ 572,000,000.00 $ 345,104,760.00 $ 290,080,800.00

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%

$ 0$ 500,000,000

$ 1,000,000,000$ 1,500,000,000$ 2,000,000,000$ 2,500,000,000$ 3,000,000,000$ 3,500,000,000$ 4,000,000,000$ 4,500,000,000

Acero estructural A - 588 (arco

metálico atirantado ) grado

B

Acero de refuerzo fy=4200 kg/cm2

Pilotes preexcavados

Concreto clase C para zapatas

f 'c=280 kg/cm2

Total %Acumulado

Val

or T

otal

Por

cent

aje

Acu

mul

ado

Ítems



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6.1.2.2 Valores porcentuales (%)

Figura 22 Ley de Pareto Puente San Jorge (%)

64.56%

8.33% 5.03% 4.22%

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%

-5.00%

5.00%

15.00%

25.00%

35.00%

45.00%

55.00%

65.00%

Acero estructural A - 588 (arco

metálico atirantado )

grado B

Acero de refuerzo fy=4200

kg/cm2

Pilotes preexcavados

Concreto clase C para zapatas f 'c=280 kg/cm2

Total %Acumulado

Val

or T

otal

Por

cent

aje

Acu

mul

ado

Ítems


En la figura 22 se aprecia que el ítem más represen tativo es el acero estructural con cerca del 65% del proyecto. Acá se puede ver la importanc ia de hacer análisis y proyecciones con índices específicos para cada actividad, tenien do en cuenta los ítems representativos. Ya que al hacer un análisis con el valor total del proyecto e índices generales no se estaría diluyendo la fuerte influencia que tiene el ítem acero estructural para el proyecto.


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6.1.3 flujo de caja de ítems representativos Es necesario definir o tener el flujo de caja del p royecto, para los ítems representativos encontrados con la Ley de Pareto. El flujo se defin e a partir del cronograma figura 23.

Figura 23 Cronograma del Puente San Jorge

Acero y elementos

estructurales

Acero estructural A - 588 (arco metálico atirantado )grado B

KG 525,000.00 8,444.00$ 4,433,100,000.00$ 3 14

Acero estructural y

cables de aceroAcero de refuerzo fy=4200 kg/cm2 KG 220,000.00 2,600.00$ 572,000,000.00$ 5 14

Concretos, morteros y obras

variasPilotes preexcavados M3 260.00 1,327,326.00$ 345,104,760.00$ 5 7

Concretos, morteros y obras

variasConcreto clase C para zapatas f'c=280 kg/cm2 M3 720. 00 402,890.00$ 290,080,800.00$ 7 9

Inicio(mes)

fin(mes)

GRUPO O INDICE DE AJUSTES

DESCRIPCION UNID CANTIDAD VALOR

UNITARIO VALOR TOTAL

Fuente: (UT San Marcos – HB Estructuras Metálicas)

Figura 24 Flujo de caja del proyecto Puente San Jor ge

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Ene-11 Feb-11 Mar-11 Abr-11 May-11 Jun-11 Jul-11 Ago-11 Sep -11 Oct-11 Nov-11 Dic-11

369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$ 369,425,000$

57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$ 57,200,000$

115,034,920$ 115,034,920$ 115,034,920$

96,693,600$ 96,693,600$ 96,693,600$

369,425,000$ 369,425,000$ 541,659,920$ 541,659,920$ 638,353,520$ 523,318,600$ 523,318,600$ 426,625,000$ 426,625,000$ 426,625,000$ 426,625,000$ 426,625,000$

369,425,000$ 738,850,000$ 1,280,509,920$ 1,822,169,840$ 2,460,523,360$ 2,983,841,960$ 3,507,160,560$ 3,933,785,560$ 4,360,410,560$ 4,787,035,560$ 5,213,660,560$ 5,640,285,560$

Fuente: (UT San Marcos – HB Estructuras Metálicas)


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6.1.4 Método de Montecarlo, Asignación distribució n de probabilidad f(x) Como se definió en el capitulo V se asignará una va riación porcentual en los ICCP de acuerdo a una Distribución Lognormal variaciones porcentuales 2000 a 2010 ver figura 9, para cada uno de los periodos de los flujos de caja. Se tendrán varias distribuciones de probabilidad, todas Lognormal de acuerdo a los grupos de índices del ICCP de cada uno de los ítems represent ativos. Los grupos o índices de ajuste se pueden apreciar en la figura 23. Ya que se utiliza el software Oracle ® Crystal Ball , después de asignar la función de distribuciones de probabilidad, el programa real iza 1000 simulaciones, en las que la variación porcentual del ICCP varia para cad a periodo. El resultado de una de las mil simulaciones se muestra en la figura 25.

Figura 25 Simulación de Montecarlo Puente San Jorge

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


(0.96) 2.99 (0.10) (0.01) (0.97) 2.86 (1.27) (0.92) (1.86) 2.82 0.11 0.60

1.76 1.41 1.34 1.07 (0.04) 0.32 (0.15) (0.62) 0.26 0.43 0.38 1.31

(0.27) 0.50 0.54 0.60 1.16 0.77 0.13 0.27 (0.46) 1.05 0.27 0.15

(0.39) (0.13) 1.24 (0.53) 0.22 0.54 (0.30) 0.12 (0.18) 1.49 0.48 0.32

1.19 0.97 0.22 (1.01) (0.06) 1.41 0.98 0.50 0.06 1.49 0.75 (0.15)


6.1.5 Metodología de caminata aleatoria, para calcu lar los indicies durante la ejecución del proyecto

Con la metodología de caminata aleatoria, a partir de cada una de las 1000 simulaciones que realiza el software Oracle ® Cryst al Ball, calculo para cada ítem y periodo el valor ajustado del Índice con la sigui ente ecuación:

(14)

1_1100

__ −×

+= ii

i MesIndicemesVariación

MesIndice


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Los índices ajustados con la ecuación (14) se muest ran para una simulación en la figura 26.

Figura 26 Índices ajustados Puente San Jorge

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


111.29 115.71 112.24 112.35 111.27 115.58 110.93 111.33 110.27 115.53 112.48 113.03

120.22 119.80 119.72 119.40 118.10 118.51 117.96 117.41 118.44 118.65 118.59 119.69

127.94 128.94 128.99 129.06 129.78 129.28 128.45 128.64 127.70 129.63 128.64 128.48

127.79 128.13 129.88 127.61 128.57 128.99 127.90 128.45 128.06 130.20 128.91 128.70123.46 124.66 124.94 123.68 123.61 125.35 126.58 127.22 127.30 129.19 130.16 129.97


6.1.6 Calculo del flujo de caja ajustado con los ín dices calculados

Con los índices ajustados, se calcula el nuevo fluj o de caja para cada una de las 1000 iteraciones que realiza el software Oracle ® C rystal Ball con la ecuación (15).

(15)

Para una simulación el flujo de caja ajustado se mu estra en la figura 27.

Figura 27 Flujo de caja del proyecto San Jorge Ajus tado

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


377,871,343$ 374,081,195$ 377,353,831$ 373,517,432$ 372,725,912$ 380,378,888$ 389,607,035$ 396,220,478$ 398,266,362$ 395,752,408$ 404,840,456$ 399,393,833$

58,556,257$ 58,496,062$ 58,732,071$ 59,357,104$ 59,592,161$ 59,498,492$ 59,288,620$ 59,935,506$ 59,593,579$ 59,313,283$

117,344,091$ 117,754,403$ 117,050,842$

102,029,152$ 102,481,084$ 102,341,682$

377,871,343$ 374,081,195$ 553,254,178$ 549,767,896$ 650,537,976$ 542,217,076$ 551,540,879$ 455,718,970$ 457,554,982$ 455,687,914$ 464,434,035$ 458,707,116$

377,871,343$ 751,952,538$ 1,305,206,716$ 1,854,974,612$ 2,505,512,588$ 3,047,729,664$ 3,599,270,543$ 4,054,989,514$ 4,512,544,496$ 4,968,232,410$ 5,432,666,445$ 5,891,373,561$

251,088,001$ 4.45%ESCALONAMIENTO


−+×= 11

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basemes

imesimesimes Indice

IndiceFlujoBaseadoFlujoAjust


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6.1.7 Calculo del escalonamiento del proyecto

El escalonamiento del proyecto, se calcula restando para cada una de las mil iteraciones el valor acumulado en el periodo final del flujo de caja ajustado del proyecto, del valor acumulado en el mismo periodo f inal del flujo de caja original del proyecto. Los resultados en porcentaje del valo r total base del proyecto se pueden apreciar en la figura 28.

Figura 28 Rango de valores de escalonamiento asocia dos con una probabilidad de ocurrencia del Puente San Jorge, resultados 1000 it eraciones Oracle ® Crystal Ball


Como propuso Ali, Rashed (Ver capitulo 3 Antecedent es) el valor esperado corresponde al percentil 50, y que el valor total d el proyecto sea el percentil 90, es decir la probabilidad que el valor del proyecto sea menor es del 90%. Podríamos hablar que el rango de escalonamiento haciendo un a nálisis de riesgo y estando dentro de valores confiables estaría entre el perce ntil 50 y el percentil 90, representando el primero un valor arriesgado y el s egundo un valor conservador dentro de los límites confiables.

El percentil 50% para el ejercicio proyectando los ICCP de acuerdo a los grupos de obra para el Puente San Jorge arrojó como result ado un valor de escalonamiento esperado (Percentil 50) en relación al valor base del proyecto de 4.62% ($317.257.604) y el percentil 90 está en el 9 .0% ($670.464.313).


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6.1.8 Comparación con la metodología determinística

Para poder comparar con la metodología tradicionalm ente utilizada que es la determinística, que consiste en proyectar los índic es ajustándolos a una función continua. Se ajustaron los ICCP generales a una fun ción polinómica de 2° grado y a una función lineal, figuras 29 y 30 respectivamen te

Figura 29 Ajuste ICCP General función Polinómica 2° Grado

y = -3E-05x3 + 0.0047x2 + 0.2605x + 72.21R² = 0.9845

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

0 20 40 60 80 100 120 140

Series1

Polinómica (Series1)


Figura 30 Ajuste ICCP General función Lineal

y = 0.4532x + 71.03R² = 0.9778

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

0 20 40 60 80 100 120 140

Series1

Polinómica (Series1)



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Los resultados se pueden apreciar en el cuadro 3.

Cuadro 3 Resultados Escalonamiento % sobre el valor base del proyecto Puente San Jorge


6.2 EJEMPLO 2 – METROPLUS ESTACIONES SITM METROPLUS FASE II

6.2.1 Datos Entidad Contratante: Metoplus Valor del Contrato: $ 21,354,820,002.00 COP Fecha de inicio: Marzo de 2010 Plazo: 12 meses Objeto: Construcción de 12 estaciones para el proyecto de S ITM Metroplus Fase II

Método Valor esperado 50%

Valor en pesos COP

Percentil 90%

Valor en Pesos COP

Estocástico con el ICCP de acuerdo a los grupos de obra

4.62% $ 317,257,604 9.88% $ 678,464,313

Estocástico con el ICCP General 3.59% $ 246,527,012 5.87% $ 403,095,700

Determinístico con el ICCP General, ajuste función poli nómica

2.43% $ 166,869,259

Determinístico con el ICCP General, ajuste función general

2.74% $ 188,157,107


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6.2.2 Resultados

Figura 31 Ley de Pareto Metroplus II (%)

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%

$ 0$ 1,000,000,000$ 2,000,000,000$ 3,000,000,000$ 4,000,000,000$ 5,000,000,000$ 6,000,000,000$ 7,000,000,000$ 8,000,000,000$ 9,000,000,000

Total Acumulado

Val

or T

otal

Por

cent

aje

Ítems


Figura 32 Escalonamiento % sobre el valor base del proyecto Metroplus II

MétodoValor esperado 50%

Valor en pesos Percentil 90% Valor en Pesos

Estocastico con el ICCP de acuerdo a los grupos de obra 2.31% $ 493,296,342 5.51% $ 1,176,650,582Estocastico con el ICCP General 2.86% $ 610,747,852 4.85% $ 1,035,708,770Deterministico con el ICCP General, ajuste función polinomica 1.88% $ 401,470,616Deterministico con el ICCP General, ajuste función lineal 2.36% $ 503,973,752



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6.3 EJEMPLO 3 – INVIAS TRONCAL CENTRAL DEL NORTE (T CN)

6.3.1 Datos Entidad Contratante: INVIAS Valor del Contrato: $ 130,630,865,346.00 COP Fecha de inicio: Septiembre de 2009 Plazo: 48meses Objeto : Estudios Y Diseños, Gestión Social, Predial, Ambien tal Y Mejoramiento Del Proyecto “Troncal Central Del Norte”.

6.3.2 Resultados

Figura 33 Escalonamiento % sobre el valor base del proyecto TCN

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%

$ 0$ 10,000,000,000$ 20,000,000,000$ 30,000,000,000$ 40,000,000,000$ 50,000,000,000$ 60,000,000,000

Total % Acumulado

Val

or T

otal

Por

cent

aje

Ítems



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Figura 34 Escalonamiento % sobre el valor base del proyecto TCN

MétodoValor esperado 50%

Valor en pesos Percentil 90% Valor en Pesos

Estocastico con el ICCP de acuerdo a los grupos de obra 7.21% $ 1,539,682,522 10.01% $ 2,137,617,482Estocastico con el ICCP General 7.22% $ 1,541,818,004 10.09% $ 2,154,701,338Deterministico con el ICCP General, ajuste función polinomica 4.35% $ 928,934,670Deterministico con el ICCP General, ajuste función lineal 6.04% $ 1,289,831,128



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7. CONCLUSIONES

- En los proyectos estudiados los valores de escalon amiento estimados por métodos determinísticos, son por lo general menores que el valor esperado (Percentil 50%) de los métodos estocásticos.

- Realizando un análisis de datos de los ICCP en los últimos veinte años, se obtiene que la variación mensual se ajusta a una di stribución de probabilidad Lognormal, siendo consecuentes con el teorema del límite central.

- El valor esperado (P50%) para la distribución log normal de la variación mensual de los índices es de 0.32% y el valor inclu yendo el escalonamiento (P90%) es de 1.39%, Lo que quiere decir 4.43% y 16. 96% efectivos anuales respectivamente.

- Con el simple hecho de calcular los escalonamiento s teniendo en cuenta los flujos de caja, se pueden hacer mejores acercamient os de estos al tener en cuenta la distribución de recursos en tiempo de eje cución del proyecto. Contrarresta la mala práctica de ajustar los proyec tos al final del periodo.

- Al hacerlo solo sobre ítems representativos reduzc o el problema, tiene ventaja sobre hacerlo teniendo en cuenta la totalid ad de los ítems de un presupuesto.

- Es importante tener en cuenta el tiempo que hay mi entras se presenta la oferta, la adjudican y empieza la ejecución del con trato.

- El rango de valores de escalonamiento como resulta do le otorga más elementos de juicio al socio o la persona facultada para tomar decisiones, en aras de tomar posturas más agresivas o conservad oras sobre un determinado negocio.

- Para proyectos cortos de menos de 6 meses de durac ión, se recomienda proyectar los índices, con métodos determinísticos, ya que los resultados son muy similares a los métodos estocásticos, adici onal en este tipo de proyectos el valor del escalonamiento no tiene gran incidencia sobre el costo final del proyecto.


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- Una ventaja sobre el método determinístico comúnme nte usado, es que con el mismo trabajo obtengo en vez de un valor un rang o de valores de escalonamiento asociados a una probabilidad de ocur rencia, teniendo en cuenta las variaciones del los últimos diez años. E s decir de manera sencilla puedo hacer un análisis de riesgo para el proyecto.

- El método estocástico que usa la simulación de Mon tecarlo y la metodología Random Walk es apropiado para proyecto s de medio a largo plazo, es decir de 6 meses hasta máximo 5 años. Sie ndo recomendable utilizarlo en proyectos con plazos hasta de 3 años.

- Proyectos superiores a 3 años, son grandes obras q ue por su enorme valor y extensos periodos de ejecución, requieren de anál isis de riesgo mucho más complejos que tengan en cuenta mayor cantidad d e variables que el modelo propuesto en este trabajo.

- Los ICCP fueron hechos para proyectos de INFRAESTR UCTURA, para otros proyectos del país no se tienen registros his tóricos.

- Para el caso del acero (Estructura Metálica) aunqu e el grupo del ICCP “Acero y elementos estructurales” reproduce relativ amente bien el comportamiento del mercado colombiano, es bueno pod er hacer el análisis con Índices internacionales que tienen en cuenta la s condiciones a nivel global del mercado del acero

- Importante seguir trabajando en:

- Validarlo.

- Aplicarlo a más variedad de proyectos

- Incluir costos financieros

- Acoplarlo con los pagos del cliente, por ejemplo el INVIAS no paga ajuste s sobre los anticipos.


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8. REFERENCIAS

ALI, Rashed. The Application of Risk Management in Infrastructur e Construction Projects. En: Cost Engineering. Vol. 47, No. 8 (Agosto. 2005 ); p. 20-27. Aragon, John Jairo. La Evolución de la Industria Metalmecanica en Colom bia. El Caso de HB Estructuras Metálicas S.A. y Sadelec S.A . Universidad de los Andes. Tesis de Maestria. Asesor: Vargas Caicedo Hernando. 2006 BUTTS, Glenn. Escalation: How Much is Enough?. En: AACE International Transactions. EST.08, (2007); p. 1-9.

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DANE, Departamento Administrativo Nacional de Estad ística, Índice de costos de la construcción pesada – ICCP. Colombia. http://www.dane.gov.co/daneweb_V09/index.php?option=com_content&view=article&id=90&Itemid=57

DANE, Departamento Administrativo Nacional de Estad ística. Metodología Índice de Costos de la Construcción Pesada . Diagramación Dirección de Difusión, Mercadeo y Cultura Estadística del DANE. Bogotá, D.C., 2009.

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PEÑA SÁNCHEZ DE RIVERA, Daniel. Deducción de distribuciones: el método de Montecarlo, en Fundamentos de Estadística. Madrid: Alianza Ed itorial, 2001. RANASINGHE, Malik. Total Project cost: a simplified model for decision makers. En: Construction Management and Economics. Vol. 14, (19 96); p. 497-505.


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REH, F. John. Pareto's Principle - The 80-20 Rule. En: About.com Guide, a part of The New York Times Company [En Linea]. (2010). Disponib le en < http://management.about.com/cs/generalmanagement/a/Pareto081202.htm > RODRIGUEZ, Luis Mariano y FERMIN, José Simón. Merca do eficiente y caminata aleatoria en la Bolsa de Valores de Caracas. INCI, Vol.31, No. 12 (dic. 2006); p.888-893. ISSN 0378-1844. SOLIS REYNA, Norma I., et al. Distribución de probabilidad. Disponible en < http://www.scribd.com/doc/2249724/DISTRIBUCION-DE-PROBABILIDADES > TOURAN, Ali, y LOPEZ, Ramon. Modeling Cost Escalation in Large Infrastructure Projects. En: Construction Engineering and Management . Vol. 132, No. 8 (Agosto. 2006); p. 853-860. VILLAREAL, Julio. Notas de clase curso Aspectos Fin ancieros en la Construcción. Maestría en Ingeniería Civil. Universidad de los An des. Bogotá. 2009.

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ANEXOS


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Fuente: (DANE)

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10

ANEXO A INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) DESDE ENERO 1990 HASTA NOVIEMBRE 2010


INFRAESTRUCTURA

MIC 2011-I0-49


ANEXO B INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2000 – 2001 -2002

Índices 2000 Base Diciembre de 2005 = 100,00

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembr e Octubre Noviembre Diciembre

Total ICCP 70.63 71.47 71.75 72.33 72.52 72.89 73.12 73.80 74.82 75.42 75.57 75.64Canasta General Equipos 80.77 80.81 80.89 80.93 81.34 81.43 81.42 81.42 81.60 81.60 81.59 81.58 Materiales 62.96 63.68 64.11 65.47 65.64 66.46 66.76 67.81 69.93 71.05 71.33 71.51 Transporte 70.08 70.08 70.09 70.10 70.88 70.88 70.89 70.89 70.98 70.99 71.05 71.05 Mano de obra 71.45 73.24 73.56 73.56 73.57 73.57 73.98 75.06 75.32 75.87 75.90 75.90 Costos indirectos 76.57 77.93 77.99 77.99 77.99 77.99 78.10 78.10 78.29 78.36 78.56 78.61Grupos de obra Obras de explanación 85.82 86.39 86.55 86.58 86.91 86.91 87.01 87.18 87.26 87.36 87.35 87.35 Sub bases y bases 78.35 78.76 78.87 78.85 79.17 79.19 79.34 79.42 79.61 79.71 79.73 79.68 Transporte de materiales 70.86 71.06 71.24 71.74 71.9 9 71.99 72.41 72.62 72.79 72.98 73.67 73.76 Aceros y elementos metálicos 53.24 54.38 55.52 56.07 56.09 57.05 58.09 59.18 59.30 59.55 59.79 59.82 Acero estructural y cables de acero 60.10 60.57 61. 07 61.07 61.97 61.99 62.04 63.78 63.85 63.92 64.04 64.05 Concretos, morteros y obras varias 70.78 71.85 72.0 5 72.53 72.76 73.02 73.17 73.54 75.03 75.22 75.40 75.54 Concreto para superestructuras 67.46 67.94 68.08 68.35 68.48 68.51 68.63 68.77 71.85 71.94 72.24 72.32 Pavimentaciones con asfalto 54.73 55.01 55.01 58.58 5 8.13 59.97 60.06 64.20 64.38 70.42 70.52 70.56







Fuente: (DANE)


INFRAESTRUCTURA

MIC 2011-I0-49


ANEXO C INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2003 – 2004 - 2005



Total ICCP 87.13 88.35 89.13 89.73 89.83 89.88 89.90 90.08 91.07 91.26 91.90 92.08Canasta General Equipos 88.02 88.55 89.07 89.05 89.38 89.38 89.41 89.65 93.32 93.41 93.43 93.46 * Materiales 86.65 88.77 89.63 91.03 91.06 91.00 91.02 91.21 91.41 91.74 93.21 93.62 Transporte 77.22 77.22 77.37 77.38 77.91 77.91 77.94 78.27 78.55 79.92 79.92 79.92 Mano de obra 88.53 89.13 90.35 90.40 90.40 90.40 90.40 90.56 90.57 90.63 90.63 90.63 Costos indirectos 85.03 85.62 85.81 85.83 85.83 86.61 86.61 86.61 86.61 86.61 86.61 86.61Grupos de obra Obras de explanación 93.48 93.88 94.66 94.69 94.99 95.10 95.12 95.35 95.76 95.86 95.88 95.88 Sub bases y bases 87.14 87.75 87.88 87.88 88.12 88.22 88.36 88.55 90.53 90.95 91.04 91.40 Transporte de materiales 83.75 83.88 85.91 86.23 87.8 9 87.98 88.90 89.15 89.11 89.46 89.40 89.40 Aceros y elementos metálicos 68.61 71.59 74.11 76.02 76.96 76.81 76.63 77.06 77.50 77.47 78.16 78.85 Acero estructural y cables de acero 68.36 71.45 71. 68 71.69 76.15 76.22 76.69 76.71 78.61 78.63 78.63 78.63 Concretos, morteros y obras varias 88.59 89.89 90.4 4 90.42 90.55 90.62 90.66 90.78 91.96 92.04 92.86 93.03 Concreto para superestructuras 85.60 85.90 86.17 86.21 86.23 86.32 86.32 86.48 88.55 88.58 90.25 90.78 Pavimentaciones con asfalto 91.43 92.75 93.25 98.59 9 5.97 95.95 96.03 96.11 96.81 98.46 98.63 98.28* Revisada serie de empalme.






Total ICCP 98.67 98.70 99.48 99.29 99.66 99.64 99.76 99.73 99.50 99.54 99.56 100.00Canasta General Equipos 97.70 98.20 98.77 99.00 99.19 99.22 99.45 99.45 99.50 99.72 99.72 100.00 Materiales 100.37 99.71 99.91 99.25 99.86 99.78 99.88 99.77 99.21 99.07 99.11 100.00 Transporte 96.31 96.31 96.31 96.31 96.31 96.31 96.30 96.33 96.32 100.00 100.00 100.00 Mano de obra 98.60 99.05 99.60 99.75 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 Costos indirectos 94.25 95.14 99.47 99.57 99.59 99.70 99.86 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00Grupos de obra Obras de explanación 97.68 97.99 98.98 99.24 99.41 99.42 99.68 99.70 99.70 99.71 99.71 100.00 Sub bases y bases 96.39 97.29 98.42 98.49 98.60 98.71 98.99 99.04 99.14 99.65 99.72 100.00 Transporte de materiales 94.90 94.97 96.50 97.23 97.6 4 97.66 98.16 99.12 99.09 99.09 99.09 100.00 Aceros y elementos metálicos 100.94 100.56 100.73 10 0.64 100.82 100.58 101.85 101.43 99.71 99.39 99.36 100.00 Acero estructural y cables de acero 100.65 101.58 1 01.99 101.95 101.92 102.26 102.22 101.85 100.51 99.85 100.00 100.00 Concretos, morteros y obras varias 98.97 98.89 99.6 4 99.26 99.70 99.61 99.44 99.42 99.34 99.43 99.43 100.00 Concreto para superestructuras 98.25 98.26 99.14 98.38 99.32 99.67 99.58 99.57 99.53 99.64 99.65 100.00 Pavimentaciones con asfalto 96.91 97.16 98.27 98.44 9 8.67 98.88 98.94 99.29 99.51 99.79 100.01 100.00

Fuente: (DANE)


INFRAESTRUCTURA

MIC 2011-I0-49


ANEXO D INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2006 – 2007 - 2008

Base Diciembre de 2005 = 100,00Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Total ICCP 102.27 103.15 103.91 104.53 105.31 106.50 108.69 109.53 109.92 110.01 109.77 109.44Canasta General Equipos 101.11 102.67 102.94 103.21 103.45 103.69 103.85 104.11 104.23 104.59 104.72 104.87 Materiales 102.33 102.76 103.77 104.68 105.84 107.82 111.56 112.99 113.58 113.66 113.18 112.56 Transporte 100.56 100.96 101.03 101.17 101.18 101.19 101.21 101.49 101.50 101.50 101.50 101.50 Mano de obra 102.93 104.59 104.71 104.88 105.10 105.12 105.18 104.88 104.95 104.95 104.96 104.96 Costos indirectos 102.65 104.08 104.78 105.05 105.33 105.37 105.38 105.37 105.49 105.49 105.59 105.59Grupos de obra Obras de explanación 101.60 103.40 103.83 104.16 104.37 104.41 104.55 104.80 104.91 105.21 105.40 105.59 Sub bases y bases 101.77 102.61 103.06 104.59 104.71 104.62 105.09 105.66 106.08 106.45 106.96 107.33 Transporte de materiales 101.95 105.12 105.44 106.04 106.23 106.25 106.52 106.97 107.00 107.24 107.60 107.93 Aceros y elementos metálicos 101.17 102.18 104.64 10 6.08 108.16 111.87 118.17 120.44 120.03 119.71 118.10 116.42 Acero estructural y cables de acero 101.19 101.23 1 01.37 101.75 102.50 103.54 104.64 104.91 105.07 105.18 105.09 105.01 Concretos, morteros y obras varias 104.27 105.08 10 5.31 105.59 105.90 106.46 108.08 108.80 110.16 110.46 110.63 110.60 Concreto para superestructuras 102.46 103.21 103.47 103.81 104.09 104.40 105.32 105.75 106.16 106.34 106.44 106.46 Pavimentaciones con asfalto, pinturas, geotextil es 102.24 103.63 104.02 104.42 105.33 106.05 107.04 107.15 107.88 107.97 108.38 108.54

Fuente: DANE



Fuente: DANE


Total ICCP 116.88 118.97 119.89 120.62 121.32 123.33 124.01 124.73 125,11 124.59 124.05 123.69Canasta General Equipos 112.76 113.95 114.65 115.10 115.43 116.12 116.26 116.59 117,36 117.45 117.80 117.93 Materiales 118.30 120.79 121.96 122.90 123.98 127.09 128.16 129.24 129,66 128.73 127.71 127.04 Transporte 109.48 109.89 110.72 110.62 110.62 111.08 112.27 112.54 112,54 112.54 112.54 112.87 Mano de obra 117.24 119.15 119.78 120.38 120.44 120.99 121.00 121.09 121,33 121.34 121.36 121.37 Costos indirectos 115.45 117.12 117.49 117.87 118.03 118.28 118.53 118.69 118,71 118.72 118.72 118.73Grupos de obra Obras de explanación 117.00 118.82 119.43 120.19 120.55 120.83 121.08 121.50 121,58 121.61 121.69 121.99 Sub bases y bases 122.76 124.95 125.74 125.98 126.61 127.37 127.46 127.72 127,99 127.98 128.02 128.52 Transporte de materiales 121.76 124.14 124.73 125.68 125.99 126.12 126.39 127.19 127,19 127.42 127.43 127.90 Aceros y elementos metálicos 119.29 123.15 125.20 12 7.34 129.24 135.32 136.96 137.21 136,35 134.45 132.29 129.92 Acero estructural y cables de acero 108.66 109.89 1 10.75 110.96 111.74 114.32 114.50 114.16 116,48 117.25 117.49 115.95 Concretos, morteros y obras varias 119.26 120.60 12 1.13 121.45 121.65 121.90 121.94 123.08 123,46 123.26 123.29 124.46 Concreto para superestructuras 113.53 114.79 115.38 115.75 116.05 116.43 116.42 116.87 117,09 116.62 116.32 116.59 Pavimentaciones con asfalto, pinturas, geotextil es 124.01 127.21 127.51 127.62 127.90 129.81 132.94 136.54 138,35 138.11 137.89 137.82

Índices 2008

Índices 2007

Índices 2006

Fuente: (DANE)


INFRAESTRUCTURA

MIC 2011-I0-49


ANEXO E INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2009 - 2010



Fuente: DANE


Total ICCP 121.58 122.64 123.14 123.42 124.12 124.38 124.33 123.33 122.70 122.57Canasta General Equipos 119.59 119.82 119.99 120.16 120.26 120.27 120.27 120.30 120.27 120.30 Materiales 118.35 119.67 120.29 120.64 121.78 122.20 122.08 120.33 119.20 118.93 Transporte 113.80 112.52 112.62 112.62 112.72 112.72 112.69 112.69 112.69 112.97 Mano de obra 131.19 131.89 132.48 132.55 132.59 132.67 132.70 132.70 132.98 132.98 Costos indirectos 128.64 129.81 130.28 130.37 130.53 130.58 130.65 130.69 130.70 130.85Grupos de obra Obras de explanación 127.34 128.01 128.36 128.53 128.69 128.78 128.84 128.86 128.91 129.02 Sub bases y bases 133.23 135.21 135.71 136.23 136.18 136.21 136.22 135.43 135.51 135.77 Transporte de materiales 132.54 133.37 133.78 133.96 134.22 134.30 134.28 134.29 134.35 134.25 Aceros y elementos metálicos 111.48 111.90 113.21 11 4.32 117.07 118.62 118.10 115.48 112.96 112.36 Acero estructural y cables de acero 116.15 116.82 1 17.21 117.38 118.37 117.88 118.54 117.70 117.66 118.14 Concretos, morteros y obras varias 128.49 129.83 13 0.04 129.81 129.66 129.43 129.42 128.77 128.56 128.29 Concreto para superestructuras 119.32 120.08 120.32 120.27 120.29 120.27 120.23 119.68 119.54 119.45 Pavimentaciones con asfalto, pinturas, geotextil es 136.04 139.45 139.93 140.10 140.06 140.23 140.21 139.89 139.93 140.07

Fuente: DANE

Índices 2010

Índices 2009

Fuente: (DANE)

MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR ...

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