MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN …

MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN SISTEMA PROPULSIVO (PEQUEÑO MOTOR-COHETE)

CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA MIM-2002-II-05

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA AREA DE CONVERSIÓN DE ENERGIA

2003

MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN SISTEMA PROPULSIVO (PEQUEÑO MOTOR-COHETE)

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGÍSTER EN INGENIERIA MECANICA

ASESOR MSc. JOSE RAFAEL TORO

COASESOR

PhD, MSc FABIO ROJAS

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA AREA DE CONVERSIÓN DE ENERGIA

2003

DEDICATORIA

Con todo mi amor, sacrificio y entrega a mi hijo Joseph...

Por toda tu comprensión y apoyo Andrea...

A mi eterno consejero, amigo y compañero...

...El viento...

AGRADECIMIENTOS

El autor del presente proyecto de grado , expresa su eterno agradecimiento a todos aquellos quienes manifestaron una verdadera voz de aliento durante el largo camino que se recorrió hasta que este proyecto tuviera luz propia. A todos con quienes la amistad se fortaleció en los duros momentos, en los de duda y en los de felicidad, quiero expresarles mi voz de afecto y agradecimiento, por ser ellos quienes permitieron que alcanzara mi destino, aún contra los fuertes vientos que arreciaron en el trayecto, gracias a sus oportunas contribuciones, manifestaciones de apoyo, o simplemente con sus verdaderas expresiones de desinteresada ayuda. A todos ellos, mis más profundos deseos de alegría, éxito y felicidad, pues su apoyo merece eso y mucho más. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Ingeniero Fabio Rojas, Ingeniero Rafael Toro, y demás miembros de la universidad que me prestaron su invaluable conocimiento y apoyo. A mi amigo, compañero y leal consejero. Ingeniero Gabriel Meluk, por su apoyo y creencia en un final diferente. A él mis eternos agradecimientos y deseos de que su universo permanezca como un halo de luz en nuestras vidas. Al Ingeniero Julio Sierra, quien me apoyó y fortaleció en los momentos de duda y quien estuvo siempre creyendo en mí. A él mis eternas gracias...

OBJETIVOS

• Elaboración de un modelo que cubra las geometrías y valores característicos de la tobera de escape.

• Determinación de las características de temperatura y presión al interior de la tobera de escape mediante simulación numérica analítica.

• Presentación de un modelo computacional con el fin de obtener mapas de temperatura, velocidad y presión para el diseño de una plataforma de experimentación.

MIM-2002-II-05 CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA

TABLA DE CONTENIDO

LISTA DE FIGURAS OBJETIVOS INTRODUCCIÓN 1. INTRODUCCIÓN AL COHETE Y AL MOTOR COHETE 8 1.1 DESCRIPCION Y ANÁLISIS DINAMICO DEL COHETE 8 1.1.1 Parámetros estáticos 9 1.1.1.1 Empuje 9 1.1.1.2 Impulso específico 9 1.1.2 Parámetros dinámicos 10 1.1.2.1 Aceleración del vehículo 10 1.1.2.2 Gravedad 10 1.1.2.3 Arrastre 11 1.1.2.4 Cálculo numérico del coeficiente de arrastre en función del número

de Mach 11

1.2 Ecuación dinámica caracterísitca 12 1.2.1 TIPOS DE MOTOR COHETE Y DESCRIPCIÓN DEL

FUNCIONAMIENTO 13

1.2.2 Descripción y operación de un motor cohete 13 1.2.2.1 Tipos de motor cohete 14 1.2.2.1.1 Motor cohete químico 14 1.2.2.1.1.1 Motor cohete químico de propelente líquido 14 1.2.2.1.1.2 Motor cohete químico de propelente sólido 15 1.2.2.1.1.3 Motor cohete químico híbrido 15 1.2.2.1.3 Motor cohete nuclear 16 1.2.2.1.4 Motor cohete eléctrico 16 1.2.2.1.5 Motor cohete solar y fotónico 17 1.2.2.1.6 Motor cohete fotónico 17 2. DUCTO PROPULSIVO : TOBERA DE LAVAL 18 2.1 FLUJO Y REQUERIMIENTOS EN LA TOBERA (Breve análisis del

proceso de expansión 18

2.2 TEORIA DEL COHETE IDEAL 19 2.3 RESUMEN DE RELACIONES TERMODINÁMICAS 20 2.3.1 Relaciones de un gas perfecto 20 2.3.2 Relaciones de entropía – Procesos termodinámicos 21 2.4 COMPRESIBILIDAD, VELOCIDAD DEL SONIDO Y NUMERO DE

MACH 23

2.5 ECUACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE, INVISCIDO Y CONDICIONES TOTALES (Estancamiento) 24

2.6 FLUJO ISOENTROPICO, COMPRESIBLE CUASI-UNIDIMENSIONAL 26

2.6.1 Flujo de masa y velocidad de escape 29 2.7 ONDAS DE CHOQUE 31


2.7.1 Ondas de choque normales estacionarias 31 2.7.2 Ondas de choque oblícuas estacionarias 32 2.8 FLUJO DE PRANDTL & MEYER ALREDEDOR DE UNA ESQUINA 35 2.9 TEORIA MATEMÁTICA DE LAS CARACTERÍSTICAS 36 2.9.1 Ecuaciones de compatibilidad 38 2.10 PROCEDIMIENTO DE SOLUCION DEL MÉTODO DE LAS

CARACTERÍSTICAS (MOC) PARA DUCTOS SUPERSONICOS 39

2.10.1 Puntos internos 39 2.10.2 Puntos de frontera sólida 40 2.10.3 Frontera de presión constante 41 2.11 DISEÑO DE TOBERAS SUPERSÓNICAS 42 2.11.1 Intersección de ondas de expansión 43 2.11.2 Reflexión de las ondas de expansión por una pared 44 2.11.3 Neutralización de las ondas de expansión 44 2.11.4 Toberas de mínima longitud 44 2.12 CONSIDERACIONES FINALES SOBRE EL FLUJO INVISCIDO,

ESTACIONARIO EN UN DUCTO CONVERGENTE-DIVERGENTE 45 2.12.1 Tipo 1: Flujo subsónico en toda la tobera 46 2.12.2 Tipo 2: Flujo supersónico y ondas de choque normales en la sección

divergente 46 2.12.3 Tipo 3: Flujo isoentrópico y supersónico a través de toda la tobera 47 3. DISEÑO DEL DUCTO PROPULSIVO: TOBERA DE LAVAL 48 3.1 RELACIONES BASICAS PARA UN DISEÑO PRELIMINAR.

Coeficiente de Empuje y Velocidad Característica 48

3.2 CÁLCULOS PRELIMINARES Y DISEÑO INICIAL 50 3.2.1 Definición de la Misión. 50 3.2.2 Primeras consideraciones: Empuje de diseño 50 3.2.3 Procedimiento de solución 51 4. CARACTERIZACION EXPERIMENTAL DEL MOTOR COHETE 58 4.1 LA CAMARA DE EMPUJE: CAMARA DE COMBUSTIÓN Y

TOBERA DE ESCAPE 58

4.2 VARIABLES DEL PROPELENTE 61 4.2.1 Formulación 61 4.2.2 Datos de los componentes 61 4.2.3 Mezcla y preparación 62 4.3 PRUEBAS DE LA MEZCLA 62 4.3.1 Caracterización de propiedades: diseño del experimento 63 4.3.2 Elección del tamaño de la muestra

64

4.3.3 Esquema de montaje

65 4.4 DESARROLLO DE LOS EXPERIMENTOS 66 4.4.1 Combustión frontal sin tabique 66 4.4.2 Combustión frontal con tabique 66 4.4.3 Combustión de propelente con geometría interna sin tabique 67 4.4.3.1 Primer experimento 67


4.4.3.2 Segundo experimento 68 4.4.3.3 Tercer experimento 68 4.4.4 Combustión de propelente con geometría interna con tabique 69 4.4.4.1 Primer experimento 69 4.4.4.2 Segundo experimento 70 4.4.4.3 Tercer experimento 70 4.5 ANÁLISIS ESTADÍSTICO 71 4.5.1 Prueba de idoneidad del modelo 71 4.5.2 Análisis matemático 71 4.5.3 Reducción del problema bifactorial a unifactorial con dos niveles 73 4.5.3.1 Análisis estadístico para el tiempo de ignición (Start-up) 73 4.5.3.2 Análisis estadístico para el tiempo de estado estable 74 4.5.3.3 Análisis estadístico para el tiempo de corte (Tail-off) 75 4.5.3.4 Análisis estadístico para el empuje 76 4.5.4 Idoneidad del Modelo unifactorial 76 4.5.4.1 Suposición de normalidad 76 4.5.4.2 Suposición de homogeneidad e independencia temporal 78 4.6 EVALUACION CUALITATIVA DE LA EXPERIMENTACION 79 4.7 CONCLUSIONES 81 5. MODELAMIENTO NUMERICO DEL FLUJO DE GASES AL

INTERIOR DEL MOTOR COHETE 82

5.1. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 82 5.2 SISTEMAS HIPERBOLICOS 84 5.2.1 Solución de las ecuaciones hiperbólicas 87 5.2.1.1 Caso general del sistema de conservación 87 5.2.1.2 Choques y Rarefacciones 89 5.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN 92 5.3.1 Método de las características 92 5.3.2 Principales Métodos de Diferencias Finitas 93 5.3.2.1 Método de Lax – Wendroff 93 5.3.2.2 Método de Lax 93 5.3.2.3 Método Upwind 94 5.4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EULER DE DINÁMICA DE

GASES 94

5.4.1 Ecuaciones de Euler unidimensionales en diferencias finitas 95 5.4.2 Análisis de la cámara de combustión 95 5.4.3 Resultados de la simulación mediante Diferencias Finitas por

MATLAB 97

5.4.3.1 Momentum 97 5.4.3.2 Velocidad 100 5.4.3.3 Densidad 101 5.4.3.4 Presión 102 5.4.4 Modelamiento computacional mediante elementos finitos 105


5.4.4.1 Elementos para la simulación 105 5.4.4.2 Consideraciones y generalidades 105 5.4.4.3 Construcción del modelo. geometría 106 5.4.4.4 Construcción del Modelo: Enmallado 107 5.4.4.5 Construcción del modelo. Condiciones de carga 107 5.4.4.6 Condiciones de solución del modelo 108 5.4.5 Solución por elementos finitos del conjunto cámara – Tobera – zona

de descarga - Modelo de cámara de combustión con core: 109

5.4.5.1 Velocidad 109 5.4.5.2 Presión 112 5.4.5.3 Densidad 113 5.4.5.4 Número de Mach 114 5.4.5.5 Temperatura 115 5.4.5.6 Velocidad Axial – Dirección X 116 5.4.5.7 Velocidad Radial – Velocidades en la dirección Y. 117 5.4.5.8 Traza de las velocidades en la dirección axial 118 5.4.5.9 Viscosidad 119 5.4.5.10 Progresión de la velocidad 120 5.4.5.11 Progresión de la presión 120 5.4.5.12 Progresión de la velocidad axial 121 5.5 CONCLUSIONES 121 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXO1 ANEXO 2


LISTA DE FIGURAS

1-1 Coeficiente de arrastre en función del número de Mach 1-2 Motor cohete químico de propelente líquido 1-3 Motor cohete químico de propelente sólido 1-4 Motor cohete nuclear 1-5 Motor cohete eléctrico 2-1 Onda de choque normal estacionaria 31 2-2 Relación de cambio de entropía-Número de Mach 32 2-3 Ondas de Choque oblicuas estacionarias - ilustración 1 33 2-4 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 2 33 2-5 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 3 33 2-6 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 4 33 2-7 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 1 35 2-8 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 2 35 2--9 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 3 36 2-10 Teoría Matemática de las características- ilustración 1 37 2-11 Teoría Matemática de las características- ilustración 2 38 2-12 Solución al método de las características-Puntos internos-- ilustración

1 40

2-13 Solución al método de las características-Puntos internos-- ilustración 2 40

2-14 Solución al método de las características-Puntos de frontera sólida-- ilustración 1 40



2-17 Solución al método de las características-Frontera de presión constante -- ilustración 1 41

2-18 Tobera Supersónica 42 2-19 Intersección de ondas de expansión 43 2-20 Reflexión de las ondas de expansión por una pared 44 2-21 Neutralización de las Ondas de Expansión 44 2-22 Toberas de Mínima Longitud 45 2-23 Consideraciones finales sobre el flujo inviscido, estacionario en un

ducto convergente-divergente 45

2-24 Principales regímenes de flujo que se presentan en un ducto propulsivo Tipo Tobera de Laval 46

3-1 Curva velocidad – tiempo. Solución por Runge-Kutta de ecuación

(1.21) 51

3-2 Relación de longitud de tobera con factor de expansión de área 54 3-3 Plano final configuración geométrica tobera de descarga 55 3-4 Diseño constructivo de la tobera de descarga 55


3-5 Tobera de descarga construida 55 3-6 Variaciones isoentrópicas en sección diverente 56 4-1 Fases de operación de un motor cohete de propelente sólido 59 4-2 Barra de propelente sólido 62 4-3 Esquema del montaje experimental 4-4 Foto del montaje 66 4-5 Representación de propelente sin geometría interna (sin Core) 66 4-6 Representación de propelente sin geometría interna con tabique 66 4-7 Lecturas de empuje de las pruebas de emisión frontal con y sin

tabique 67

4-8 Representación de propelente con geometría interna sin tabique 67 4-9 Lecturas de empuje del primer experimento con core y sin tabique 67 4-10 Lecturas de empuje del segundo experimento con core y sin tabique 68 4-11 Lecturas de empuje del tercer experimento con core y sin tabique 68 4-12 Representación de propelente con geometría interna con core y

tabique 69

4-13 Lecturas de empuje del primer experimento con core y con tabique 69 4-14 Lecturas de empuje del segundo experimento con core y con tabique 70 4-15 Lecturas de empuje del tercer experimento con core y con tabique 70 4-16 Foto del experimento con core y con tabique 71 4-17 Foto del experimento con core y con tabique 71 4-18 Comportamiento de los residuos de probabilidad acumulada del

empuje 77

4-19 Comportamiento de los residuos ajustados del empuje 78 4-20 Comportamiento de los residuos ajustados del empuje en el tiempo 79 4-21 Fotos visualización gases de escape 80 4-22 Fotos visualización gases de escape 80 4-23 Fotos visualización gases de escape 80 5-1 Propagación de características 88 5-2 Propagación de rerefacciones 89 5-3 Rarefacción en tres dimensiones 89 5-4 Propagación de rarefacción 90 5-5 Zona de choque en características 90 5-6 Zona de choque en características en tres dimensiones 91 5-7 Región de choques de la ecuación (líneas características del choque 91 5-8 Esquema del sistema a modelar por diferencias finitas 95 5-9 (a) Momentum en vista tridimensional 98 5-9 (b) Contornos del momentum y líneas características 98 5-9 (c) Líneas características de momentum 99 5-9 (d) Contornos de momentum en función del tiempo para diferentes

posiciones 99

5-10 (a) Velocidad para la cámara de combustión 100 5-10 (b) Contornos y líneas características de la velocidad 100 5-10 (c) Líneas características de velocidad 101


5-10 (d) Contornos de velocidad en función del tiempo para diferentes posiciones. 101

5-11 (a) Densidad para la cámara de combustión 102 5-11 (b) Contornos y líneas características de la densidad 102 5-11 (c) Contornos de densidad en función del tiempo para diferentes

posiciones 103

5-12 (a) Presión al interior de la cámara de combustión 103 5-12 (b) Contornos y líneas características de la presión 104 5-12 (c) Comportamiento de la presión en función del tiempo para diferentes

posiciones 104

5-13 Modelo geométrico del problema del motor cohete 106 5-14 Detalle del enmallado 107 5-15 Condiciones de frontera para la simulación tipo core 108 5-16(a) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete

mediante ANSYS 110

5-16(b) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS 110

5-16 (c) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS 111

5-16 (d) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS 111

5-17 (a) Distribución de presión al interior de la tobera 112 5-17 (b) Distribución de presión al interior de la cámara y la tobera 113 5-18 (a) Distribución de densidad al interior de la tobera y cámara 113 5-18 (b) Distribución de densidad al interior de la tobera 114 5-19 (a) Solución para el número de Mach en la tobera, cámara y zona de

descarga 114

5-19 (b) Solución para el número de Mach en la tobera 115 5-20 (a) Distribución de Temperatura en la tobera y en la cámara 115 5-20 (b) Distribución de Temperatura en la tobera 116 5-21 (a) Distribución de velocidad axial en la tobera y la cámara 116 5-21 (b) Distribución de velocidad axial en la tobera, cámara y zona de

descarga 117

5-22 Distribución de velocidad radial en la tobera 117 5-23 (a) Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera,

cámara y ambiente 118

5-23 (b) Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera, cámara y ambiente 118

5-24 (a) Distribución de viscosidad en la tobera y la cámara 119 5-24 (b) Distribución de viscosidad en la tobera 119 5-25 Progresión de la velocidad dentro de la tobera y la cámara 120 5-26 Progresión de la presión dentro de la tobera y la cámara 120 5-27 Progresión de la velocidad axial dentro de la tobera y la cámara 121

INTRODUCCIÓN.

Recientemente han crecido los requerimientos de tecnologías de propulsión de "alto desempeño", dentro de las cuales se encuentran especialmente los ductos propulsivos tipo cohetes. Esta creciente industria, así llamada aeroespacial, fomenta en forma suma el progreso de ramas de estudio de las que se valió para su propio desarrollo, surge así un afán por precisión y seguridad, que ha conllevado a que la industria aeroespacial se convierta en uno de los principales frentes de avance del trabajo investigativo mundial. Sin embargo, pese a los sofisticados modelos, teorías y demás infraestructuras montadas alrededor de este tema, los conceptos que soportan el funcionamiento de un cohete son de relativa baja complejidad.

Es así como se exponen de manera general los principios de funcionamiento de un cohete y su respectivo motor-cohete, su relación con los requerimientos de flujo en una hipotética misión propuesta y se indican rápidamente los parámetros bajo los cuales se evalúan las condiciones de trabajo de esta máquina. Finalmente se presentan datos y valores del diseño y desempeño calculados teóricamente, que luego son contrastados con aquellos obtenidos de la experimentación, de la misma manera que son presentados modelos computacionales del fenómeno, que confrontan los resultados experimentales llevados a cabo.

Valga la pena señalar que, junto con otra serie de actividades que han comenzado ha efectuarse en el departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Los Andes, al momento de la realización del presente trabajo, todos los esfuerzos de este proyecto van encaminados a la motivación de nuevos frentes de trabajo, tanto investigativos como industriales, para que nunca se dejen de enfrentar nuevos retos, que aunque distantes, suelen estar más cerca de lo que se cree.


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1. INTRODUCCION AL COHETE Y AL MOTOR COHETE

1.1 DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DINÁMICO DEL COHETE

El cohete es un conjunto de dispositivos que conforman un sistema de propulsión, constituido principalmente por un sencillo motor para impartir movimiento a un vehículo (el vehículo cohete) y por una carga útil. En general, se aplica esta denominación a todo vehículo completo que se encuentre impulsado por un tipo de motor en el que tanto la masa propulsada como la fuente de energía para impulsar esa masa se encuentren contenidas en el motor mismo, denominando por consiguiente Motor-cohete a las plantas propulsoras que reúnan la anterior característica. El cohete es de esta manera, directamente análogo a todos los otros motores térmicos en los que altas temperaturas de trabajo son requeridas para una alta disponibilidad de energía en el ciclo del motor. Este tipo de vehículos se caracterizan por su capacidad para funcionar en ausencia de atmósfera y por el uso de motores que contrastan con la mayoría de los motores convencionales, los cuales someten la energía química del combustible a varias transformaciones antes de ser aprovechada en la conducción misma del vehículo, no así en un cohete, en el que la conversión de la energía química a movimiento es directa. En un cohete la materia, inicialmente estacionaria con respecto al contenedor, es expulsada usualmente como un fluido continuo con una "velocidad de escape" ue, y con una rata de flujo másico:

!"#

$%&=

•

dt

dmm (1.1)

esta masa expulsada experimenta por tanto una rata de cambio de momentum con respecto al tiempo:

eum ⋅! (1.2) En virtud del principio de acción y reacción, este momentum es transmitido a la porción restante de masa total instantánea del cohete (m), como una fuerza de "empuje", dada por:

eum ⋅= !τ (1.3)

donde, τ y ue están en sentidos opuestos; esta ecuación es válida si la masa es expulsada al vacío, resultando entonces un mecanismo básico de funcionamiento bastante simple. Sin embargo, si la masa no es expulsada al vacío, se requerirá una mayor fuerza para acelerar los gases, e igualmente , esta fuerza es igual al empuje mismo; este último, viene dado por las suma de dos componentes, una debida al momentum (como en la ecuación 1.1) y otra debida a la diferencia de presiones entre un punto a la salida del ducto y la presión del medio circundante:

( ) eaee APPum ⋅−+⋅= !τ (1.4) En esta última relación, el primer término es igual a la suma axial de todas las fuerzas producidas por las presiones internas en la cámara de empuje1, el segundo término es la

1 Entiéndase por cámara de empuje el ensamble de cámara de combustión y tobera de descarga, términos que son


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suma de las presiones externas actuando sobre el área de salida de la tobera, la cual es el área efectiva proyectada, de la cámara de empuje.

1.1.1 Parámetros Estáticos

1.1.1.1 Empuje Es sencillo mostrar, como se hizo anteriormente, como el empuje desarrollado depende del flujo de propelente, la velocidad de escape, y la presión y las condiciones ambientales (atmosféricas). Ya que el fluido expelido puede ser considerado continuo (y constante), es necesario considerar las presiones justo en el plano de salida del ducto de escape pe, y en el entorno de éste, patm. El área transversal de salida del ducto es Ae, la cual se supone es la misma de la sección del chorro. El empuje resulta ser, por lo tanto, el resultado de una distribución de esfuerzos y/o presiones, sobre las superficies interior y exterior. De esta manera la ecuación de momentum permite el cálculo completo del empuje en términos de las condiciones del plano de escape. Además, dicho empuje resulta ser máximo para unas condiciones dadas de cámara y área de garganta, cuando el fluido es expandido hasta la presión atmosférica. Entonces resulta conveniente definir una velocidad de escape equivalente, ueq, como se ve a continuación:

eae

eeq Am

ppuu ⋅'

()

*+, −+=

! (1.5)

Con esta definición se puede escribir la ecuación del empuje como:

equm ⋅= !τ (1.6)

1.1.1.2 Impulso Específico El impulso que logre desarrollar el cohete, por unidad de masa de propelente expelida, resulta ser una variable, y a su vez característica, muy importante dentro del desempeño general de un cohete. Si la velocidad ueq es constante en la ecuación (1.6), esta ecuación demuestra que el impulso total (I) impartido al vehículo durante la aceleración resulta ser:

eqp uMdtI ⋅=⋅-= τ (1.7)

donde Mp es la masa total de propelente expelido. El impulso por unidad de masa de propelente es por lo tanto:

eqp

umM

I ==!

τ (1.8)

El término impulso específico, Isp, es usualmente definido como:

e

eq

esp g

u

gm

II =

⋅=

!! (1.9)

donde ge es la aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre. La presencia de ge en la definición es arbitraria, pero ofrece la ventaja que en cualquier sistema de medida o de unidades, el impulso específico resulta expresado en segundos.

explicados más adelante, así como en el trabajo d grado “ANÁLISIS Y DISEÑO DE UNA CÁMARA DE COMBUSTIÓN PARA UN PEQUEÑO MOTOR COHETE”, de Diego Garzón – Magíster Ing. Mecánica, Universidad de Los Andes, actualmente en desarrollo.


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1.1.2 Parámetros Dinámicos

1.1.2.1Aceleración del vehículo

Debido a que una gran parte de la masa total del cohete antes del lanzamiento puede ser propelente, la masa del vehículo varía fuertemente durante el vuelo. Este aspecto debe ser tenido en cuenta en el momento en que se quiera establecer la velocidad alcanzada por el vehículo durante el lapso en el que consuma el propelente. En algún instante t, su masa es instantáneamente m y su velocidad u, y a su vez durante un corto intervalo de tiempo dt se expele un incremento de masa dm con una velocidad de escape ue relativa al vehículo (no confundir con ueq de (1.5)), o cohete en la medida en que la velocidad cambia a u+du. El cambio de momentum, (en la dirección de u) del vehículo durante el intervalo de tiempo dt es:

( ) dummduum u ⋅=−+⋅ (1.10) El cambio de momentum de la masa dm es:

( ) ee udmudmuudm ⋅−=⋅−−⋅ (1.11)

Dado que: dtdtdm

dtmdm ⋅−=⋅+= ! (1.12)

donde m! es la rata de flujo de propelente, y usando la definición de ueq se obtiene:

dtgdtm

F

m

dmudu D

eq ⋅⋅−⋅−⋅−= θcos (1.13)

donde FD es la fuerza de arrastre, y θ es el ángulo de inclinación del vehículo con respecto a la dirección vertical (medida en la dirección de la gravedad); En ausencia de arrastre y gravedad, mediante integración de la ecuación (1.13), y considerando que el valor de equ es constante, se tiene que:

mm

umm

uu eqeq0

0

lnln ⋅+=⋅−=∆ (1.14)

donde ∆u es el cambio en la velocidad del vehículo y m0 es su masa inicial, valor el cual, si se analiza entre el tiempo de quemado, suministrará la aceleración impartida al vehículo.

1.1.2.2 Gravedad

La variación de la atracción gravitacional desde la superficie terrestre, puede ser deducida de la ley de gravitación de Newton:

2

!"

#$%

&+

=RR

Rgg

e

ee (1.15)]

donde: g = aceleración local debida a la gravedad, ge= aceleración debida a la gravedad en la superficie de la tierra, Re = radio de la tierra, R = distancia desde la superficie de la tierra. La etapa de empuje de los cohetes químicos usualmente termina cuando la distancia viajada por el vehículo es una pequeña fracción del radio de la tierra y la aceleración gravitacional no ha sido muy alterada (o simplemente su valor no ha variado


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bastante con respecto al valor promediado sobre la superficie de la tierra). por ejemplo, a una altitud de 100 millas, el valor de la gravedad resulta ser de 0.95 veces ge (g = 0.95 ge). Asumiendo constante el valor de la velocidad de escape (de los gases), arrastre de valor cero, y un valor en la aceleración de la gravedad constante, se puede obtener la ecuación

beq tsoCgRuu ⋅⋅−⋅=∆ θln (1.16)

donde, tb es el período de quemado, y θsoC es el valor promedio integrado de Cos θ. Esta aproximación es conveniente para períodos de empuje relativamente cortos, únicamente. Cuando es considerada la gravedad, es claro que el nivel de empuje absoluto es importante tanto como la velocidad de escape (de los gases) y la relación de masas. Según datos experimentales, cuando un vehículo es lanzado desde la superficie de la tierra, el empuje del vehículo debería ser entre una o una y media veces el peso inicial del vehículo, o hasta dos veces este valor, si se desea que el vehículo pueda despegar de la tierra con una aceleración razonable.

1.1.2.3 Arrastre

La resistencia de la atmósfera al paso del cohete a través de ella, puede ser estimado por medio de información empírica del valor del coeficiente de arrastre;.en forma convencional se expresa el arrastre sobre cualquier cuerpo atravesando un fluido real, de la siguiente forma:

fDD AuCF ⋅⋅⋅= 2

21 ρ (1.17)

donde: FD = fuerza de arrastre debida a fuerzas viscosas y de presión, ρ = densidad local del aire, u = velocidad del vehículo, Af = área frontal de una sección transversal del vehículo, CD = coeficiente de arrastre. El coeficiente CD depende de la forma del vehículo, velocidad e inclinación, θ, con respecto a la dirección del vuelo. La densidad atmosférica varia considerablemente durante el período de empuje de un cohete. La densidad varia con la altitud, aproximadamente como:

( ) ( )15.15109.22014.1 heh ⋅⋅− −

⋅=ρ (1.18) donde ρ = densidad atmosférica en kg/m3, h= distancia sobre la tierra en m. La densidad atmosférica se reduce al 1% del valor de ella sobre el nivel del mar en una latitud de cerca de 100.000 pies. Con datos adecuados sobre el coeficiente de arrastre y la variaciones de densidad, es posible calcular cuidadosamente el desempeño real de un vehículo dado, elevándose contra las fuerzas gravitacionales a través de la atmósfera, sabiendo que tanto el empuje como el arrastre están siempre paralelos a la velocidad del vehículo.

1.1.2.4 Cálculo Numérico del Coeficiente de Arrastre en Función del Número de Mach

Varios investigadores han dedicado sus esfuerzos al problema conocido como el problema de Goddard, que consiste en maximizar la altitud de un cohete en vuelo vertical en un medio que se resista a su avance, cuando la carga de propelente es especificada.


12

Los esfuerzos se han encaminado a la resolución de una serie de ecuaciones que utilizan factores adimensionales, los cuales permiten, a partir de un conjunto de ecuaciones dinámicas, definir el vector de estado, el cual describe la altura, la velocidad y la masa del cohete, uno de los principales logros de estos estudios ha sido determinar la dependencia del coeficiente de arrastre en función del número de Mach del vuelo del cohete, lo cual presenta la ventaja de tener implícita cualquier variación en las propiedades del fluido en el que se mueve el cohete (ecuación (1.19))

CD (M) = N1 • tan-1 (N2 (M –N3))+ N4 (1.19) donde: CD = Coeficiente de arrastre; M = Número de Mach; Ni= Constantes experimentales para la solución de la ecuación: N1=0,0095, N2=25, N3=0,953467778N4,= 0.036.

Figura. 1-1

Los valores de los coeficientes han sido determinados experimentalmente2, para el caso de un cohete que se encuentre en reposo en la superficie de la tierra y cuya masa de combustible sea en total un 40% de la masa inicial del cohete. Sin embargo es importante anotar que pequeñas variaciones de estos coeficientes no influyen en la determinación global del coeficiente de arrastre, cuya gráfica para los valores dados se muestra en la Figura 1-1.

1.1.3 Ecuación Dinámica Característica

Con ayuda de los resultados de la discusión anterior se puede entonces escribir toda la ecuación dinámica completa así:

maWFD =−−τ (1.20) en donde, al reemplazar los términos indicados anteriormente, se obtiene:

2

2

2

1

dt

xdmmgA

dt

dxCum fDe =−'

()

*+,⋅⋅⋅−⋅

α

ρ! (1.21)

Dado que la masa total del cohete depende de la rata de flujo másico expelida (masa de los gases de combustión), entonces puede ser escrita como m = mo – β t;donde: β= m! = rata de flujo másico de los gases de combustión .mo= Masa inicial del cohete.

2 Los datos han sido obtenidos de los trabajos en aerodinámica de Zlatskiy y Kiforenko (1983).


13

Al dividir la ecuación (1.21) entre esta última expresión, y reorganizando, se puede obtener finalmente:

tm

ug

dt

dx

tm

AC

dt

xd

o

e

o

fD

⋅−=+'

()

*+,⋅

⋅−⋅

⋅'()

*+,+

ββ

βρ 2

2

2

2

1 (1.22)

Esta última relación es la ecuación característica del cohete, la cual expresa de manera adecuada la dependencia del movimiento del cohete con respecto al empuje suministrado por el motor cohete. Esta ecuación diferencial es de segundo orden no-homogénea y no-lineal, por lo que su solución analítica resulta bastante compleja. Sin embargo, mediante métodos numéricos es posible obtener una pronta solución cuantitativa, a partir de unas condiciones iniciales aparentemente obvias: la posición y la velocidad.

1.2 TIPOS DE MOTOR COHETE Y DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO

1.2.1 Descripción y Operación de un Motor Cohete

Luego de la anterior revisión sobre los conceptos generales del desempeño del cohete, resulta conveniente conocer un poco más acerca del funcionamiento del motor-cohete. La descripción del funcionamiento de un motor-cohete, en forma general, es la siguiente: la energía química calienta la materia de trabajo en una cámara rígida a altas temperaturas; la materia es entonces expulsada a través de un ducto en una dirección específica, por lo general en forma de un chorro que coloca al cohete en movimiento gracias únicamente a la reacción, sin intervención de partes complementarias, ni la conversión mecánica ó eléctrica de un movimiento rotacional a movimiento lineal o viceversa. Además, mientras que un motor convencional esta diseñado para propulsar una carga casi permanente a una velocidad aproximadamente constante, la masa de un cohete decrece continuamente tanto como su materia es expulsada, alcanzando rápidamente la aceleración necesaria durante el tiempo de quemado como para que su velocidad terminal al final de éste sea la suficiente para llevarlo en vuelo libre. En la cámara rígida, llamada de manera frecuente cámara de combustión, y que por lo general es cilíndrica, los propelentes son inyectados y quemados (en el caso del motor cohete con propelente líquido), ó fundidos e ignitados “in situ” (en el caso del motor cohete a base de propelentes sólidos), fenómenos que generalmente se suponen ocurren a presión constante; además dependiendo de la naturaleza del propelente utilizado, variará el tipo de desempeño que presente el motor-cohete, así como los gases de escape que se presenten como fluido de trabajo. Independiente de la acción de permitir la quema de los propelentes, la cámara de combustión también sirve como mecanismo de desarrollo y estabilización del flujo, al menos de manera teórica. De esta forma, los gases producto de la combustión que contienen un elevado contenido energético, manifestado en su temperatura y presión, llegan a la entrada de un ducto de sección variable, llamado difusor-tobera, en el cual proceden a expansionarse para luego ser descargados al medio ambiente, que por lo regular es la atmósfera. Estos gases ya expansionados poseen una elevada energía cinética producto de la conversión de temperatura y presión en velocidad, la cual finalmente en virtud del momentum de los gases, suministra la fuerza impulsora, llamada empuje, que propulsa el vehículo, el vehículo cohete.


14

1.2.2.1 Tipos de Motor Cohete

La clasificación de los cohetes se ha adoptado en función de las fuentes de energía empleadas para la propulsión, las cuales son: por reacciones de combustión, por reacción nuclear, por energía radiante y por energía eléctrica creada o almacenada en el vehículo. De esta manera se denominan los motores cohetes: químicos (que pueden ser de propelente sólido, líquido o híbrido), nuclear, fotónico y solar y motor cohete eléctrico ( que pueden ser electrotérmico, electromagnético y electrostático.

1.2.2.1.1 Motor cohete químico:

Presenta dos características: !" La reacción química dentro de la cámara de empuje produce un gas de alta presión

y alta temperatura a la entrada de una tobera de escape convergente-divergente. !" El gas propelente caliente se expande al fluir por la tobera de escape, convirtiendo

parte de la energía térmica generada por la reacción química en energía cinética, que produce un chorro de escape de gases con alta velocidad.

1.2.2.1.2 Motor cohete químico de propelente líquido

Es el que utiliza para su funcionamiento la energía termoquímica de los ergoles, que son las sustancias que componen los propergoles o propelentes, (propelente es cualquier sustancia líquida, sólida gaseosa o plasma empleada en la propulsión del cohete). Estos motores cohete pueden ser: !"monopropelentes, consta de un solo componente, un propelente mezclado

previamente, por lo cual el oxidante no necesita ser suministrado. Sin embargo, es peligroso que la combustión se desarrolle en el tanque de almacenamiento, además posee bajo poder calorífico. Estos se dividen a su vez en catergoles, son líquidos que contienen el combustible y el oxidante en la misma molécula (p.e, peróxido de hidrógeno H2O2 o nitrometano CH3NO2; monoergoles, son líquidos que contienen el oxidante y el combustible en una disposición molecular inestable (p.e., hidracina N24 H4); y las mezclas sintéticas de oxidante y combustible líquido (p.e, el nitrato de metilo CH3ONO2 mezclado con alcohol metílico).

!" bipropelente, consta de dos componentes líquidos oxidante y combustible que se suministran separadamente en la cámara de combustión y se mezclan allí mismo o en los inyectores. Estos se dividen en: hipergólicos o autoinflamables que reaccionan cuando sus chorros entran en contacto y diergólicos o no-autoinflamables que necesitan un sistema de ignición para iniciar la combustión.

!" La figura 1-2 muestra las partes de un motor cohete químico bipropelente, en el cual los líquidos se abastecen a presión el inyector de la cámara de combustión donde se mezclan y reaccionan para producir gases a altas presiones y temperaturas. Para una combinación dad de propelentes, la temperatura de combustión, depende de la relación en peso entre el comburente y el combustible, es decir de la relación de la mezcla y de la presión estática a la que se realiza la combustión. Cuando el gasto de los propelentes líquidos iguala al de los gases de escape, la presión de combustión permanece constante.


15

Figura 1-2

1.2.2.1.1.2 Motor cohete químico de propelente sólido

En este tipo de motor cohete el propelente está contenido en forma sólida dentro de la cámara de combustión, el cual necesita de un ignitor que inicia la combustión en la superficie expuesta de la masa física o cuerpo de propelente o también llamado grano, el cual contiene todo el material necesario para llevar a cabo la combustión, mezclado y compactado como se muestra en la figura 1-3. Una vez el propelente es encendido el grano se quema en una dirección normal a la superficie de quemado y la combustión se propaga radialmente con velocidad constante. En general en diseño de la malla de propelente sólido debe permitir una mayor área superficial u que el parea de la superficie quemada varíe de acuerdo con una curva empuje-tiempo predeterminada.

Figura 1-3

Estos motores cohete pueden ser: #"De doble base, si los propelente se encuentran en las moléculsa que forman el

propelente. #"compuesto o heterogéneo, cuando el propelente esta formado por la mezcla mecánica

de un combustible sólido con otro combustible sólido.

1.2.2.1.1.3 Motor cohete químico híbrido

El propelente consta de una componente sólido y otro líquido, en el cual el componente sólido se introduce en la cámara de combustión en forma de cartuchos sólidos y el


16

componente líquido se introduce a la cámara a través de un ducto desde el tanque de almacenamiento.

1.2.2.1.3 Motor cohete nuclear:

Son aquellos con energía nuclear que emplean un reactor de núcleo sólido. En el cual el sistema de abastecimiento hace circular el propelente a través de pasajes de enfriamiento en la tobera, en el reactor, en la celda de presión y en la coraza hasta llegar al intercambiador de calor del reactor, donde el propelente se calienta antes de pasar a la tobera en el cual sufre un proceso de expansión y es descargado al exterior, como se muestra en Figura 1-4. El motor se enciende ajustando los tambores de control del reactor neutrónico para incrementar la cantidad de neutrones, donde el calor generado por la

Figura 1-4

fisión de los núcleos, principalmente de uranio se utiliza para calentar un propelente gaseoso como el hidrógeno, hasta alcanzar una temperatura de 200 K a la entrada de la tobera de escape. El gas se descarga al exterior después de expandirse en una tobera de escape convergente-divergente. La fuente de energía esta dada por la fisión nuclear.

1.2.2.1.4 Motor cohete eléctrico

El motor cohete eléctrico convierten la energía necesaria directamente de la energía cinética del propelente sin elevar la temperatura del fluido de trabajo. En los cohetes eléctricos la fuente de energía puede ser por fusión nuclear y solar o por radioisótopos y además requieren una planta generadora de electricidad como de baterías de celdas solares, termoeléctrica, química de pila termoeléctrica, de generador turboeléctrico o de inducción de plasma en movimiento Las partes del motor se observan en la Figura 1-5. En general en los cohetes eléctricos sus propelentes constan de cualquier partícula discreta cargada la cual es acelerada por fuerzas electromagnéticas o de presión. Los motores cohetes eléctricos pueden clasificarse en: !"Motor cohete electrotérmico, emplea energía eléctrica para calentar, a altas

temperaturas, un propelente gaseoso antes de inyectarlo a una tobera de escape convergente-divergente.

!"Motor cohete electromagnético o de plasma, opera con un gas conductor neutral o ionizado, es decir un plasma, que se acelera por medio de su interacción con un


17

campo magnético variable o estacionario. Se emplea la conductividad de los propelentes de plasma para crear una fuerza de aceleración electromagnética actuando como una fuerza de cuerpo dentro del plasma.

!"Motor cohete electrostático, emplea campos electrostáticos para acelerar y expulsar partículas cargadas eléctricamente y con velocidades altas. La idea fundamental es transformar la energía térmica (nuclear) en energía cinética, que se aplica a una corriente de partículas eléctricamente neutras de muy alta velocidad que salen de una o más cámaras de empuje.

Figura 1-5

1.2.2.1.5 Motor cohete solar y fotónico

Emplea la energía del sol para calentar un fluido de trabajo que se inyecta posteriormente en la tobera y se descarga a alta velocidad. La vela solar usa la presión de los fotones del sol para crear una fuerza de propulsión, sin embargo uno de los problemas de diseño es que el colector solar debe apuntar al sol todo el tiempo y la energía solar disponible en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del sol.

1.2.2.1.6 Motor cohete fotónico

Consta de una fuente lumínica de alta intensidad con un reflector de colimación. En el motor fotónico “ideal” se obtienen grandes cantidades de energía con pequeñas cantidades de materia convirtiendo la masa en energía de acuerdo con la ecuación de Einstein. Una vez presentados los principios básicos y la ecuación característica del funcionamiento de un cohete, así como los diferentes tipos de motor-cohete que se pueden encontrar en la actualidad, a continuación se van a presentar las relaciones termodinámicas y de mecánica de fluidos, apropiadas, para encontrar los patrones de comportamiento dentro de la tobera de descarga. En general, a continuación se presenta la fundamentación teórica para la solución analítica del flujo al interior del ducto propulsivo, así como se presentan ciertos métodos de resolución del flujo, mediante métodos numéricos, en un patrón bidimensional.


18

2. DUCTO PROPULSIVO: TOBERA DE LAVAL

Como se mencionaba anteriormente, es la tobera de descarga el elemento que permite convertir toda la energía química de la combustión de la propelentes en energía cinética y así poder impartir movimiento al cohete. En las siguientes líneas se presenta una breve y rápida discusión acerca del proceso de expansión de los gases, de las relaciones termodinámicas de los procesos al interior de la tobera y de algunas herramientas matemáticas para el análisis de la misma. Los primeros análisis se hacen basados en la teoría del cohete ideal, y en especial, sobre las consideraciones de una expansión isentrópica unidimensional, para luego comenzar a abordar el problema de los choques y expansiones, terminando con una discusión sobre el método de las características para flujo bidimensional.

2.1 FLUJO Y REQUERIMIENTOS EN LA TOBERA (Breve análisis del proceso de expansión).

Durante el diseño del sistema propulsivo de un motor-cohete de tipo químico, conocido también como tobera, se pueden seguir varios métodos de análisis con respecto al comportamiento del flujo al interior de la tobera, los cuales tienen en cuenta el equilibrio químico durante el recorrido del gas y, por tanto, también las propiedades del mismo; la expansión de los gases es otro de los fenómenos que altera la geometría de la tobera, pérdidas de energía, condiciones a la salida de la tobera, etc. La consideración de todos estos factores podrían llegar a elevar el grado de complejidad del “problema” a tal punto que se necesitarían cientos de horas de cálculo en equipos de cómputo avanzado. Sin embargo existen ciertas consideraciones (suposiciones ideales), que permiten diseños preliminares de geometrías de expansión que pueden ser luego, de una manera relativamente sencilla, refinados mediante las consideraciones y correcciones del flujo real. De manera general se describe a continuación la expansión y el proceso de manera simple: Una vez los gases producto de la combustión (Cohetes Químicos) alcanzan la entrada a la sección convergente de la tobera, estos experimentan una expansión adiabática y reversible, y por tanto isoentrópica, de manera que comienza un proceso de caída en la presión y la temperatura, fenómeno que permite la conversión de la energía térmica acumulada en los gases en energía cinética, y así traducirse en un aumento de la velocidad. Dicho proceso de incremento en la energía cinética se mantiene hasta un punto en el cual, aún cuando continuara la disminución en la sección transversal, la velocidad no aumenta más. En este punto se dirá que se ha alcanzado el estado crítico o estación de condiciones críticas: la garganta de la tobera; el estado crítico es, de manera general, el punto en donde el flujo alcanza la velocidad del sonido, a esas condiciones críticas (Temperatura y Presión), y por tanto se considera el flujo como sónico. A partir de este punto la tobera toma un gradual aumento de su sección transversal, la región divergente donde los gases continúan el proceso de expansión si llegaron con las condiciones ya mencionadas en la garganta, ó presentaran un proceso gradual de compresión si no alcanzaron el estado crítico. En cualquiera de los dos casos el flujo ya ha alcanzado suficiente energía cinética para continuar su recorrido y a su vez, en la gran mayoría de los casos, para suministrar un impulso suficiente para desplazar al cohete.


19

Dentro del análisis de la tobera, uno de los principales objetivos resulta ser la determinación del flujo másico de los gases de escape que van a ser expansionados a través de la misma. Tanto si se trata de un motor-cohete de propelente sólido como uno de propelente líquido, es conveniente establecer de manera coherente, y lo más aproximada posible, dicha tasa de flujo en función de parámetros geométricos del ducto propulsivo, para, de esta manera, poder caracterizar dicho ducto y a su vez determinar las condiciones que gobernarán el empuje del vehículo (cohete). La generación de gases de escape, que es el fluido de trabajo del motor-cohete, está relacionada directamente con la tasa de quemado del propelente, la cual está influenciada por diferentes factores que deben ser considerados. En los motores-cohete de tipo líquido dicha tasa de quemado está relacionada con la velocidad de inyección de los propelentes y con la velocidad de reacción de combustión que generará finalmente los gases calientes a ser expansionados. En el motor-cohete de tipo sólido dicha tasa de quemado se relaciona más directamente con factores como el tamaño de grano, la composición del propelente, entre otros, y al igual que en el líquido, con la reacción de combustión.

2.2 TEORÍA DEL COHETE IDEAL

Un cohete ideal es un dispositivo para la producción de una rata máxima de cambio de momento (y por esto la fuerza de empuje) por medio de un mínimo gasto másico. De manera breve se puede mostrar que para mantener un empuje constante, la rata a la cual la energía cinética es suministrada para expeler la masa varia inversamente a la rata de flujo másico. El análisis y diseño de los motores cohete requiere de un cierto grado de idealización, y bajo determinadas consideraciones su desempeño puede ser predicho con un pequeño margen de error con respecto al desempeño real. Tales consideraciones son:

A. El fluido de trabajo (gases de la combustión de los propelentes), es homogéneo, e invariante en su composición a lo largo de la tobera del cohete. Para cohetes bipropelentes, se asume un sistema de inyección en el cual el oxidante y el combustible son mezclados perfectamente.

B. No existe fricción, considerándose el proceso reversible. C. No hay transferencia de calor a través de las paredes de la tobera (flujo

adiabático). Esta consideración en conjunto con la anterior, proveen las condiciones para flujo isoentrópico.

D. El flujo del propelente es estacionario y constante. E. La sustancia de trabajo obedece las leyes de los gases perfectos, debido a las

altas temperaturas de combustión encontradas en estos dispositivos (del orden de 3000-8000 ºF), donde los gases producto de la combustión están muy por encima de las condiciones de vapor saturado.

F. Todos los gases de escape dejan la tobera del cohete teniendo una velocidad dirigida axialmente. (Suposición mantenida hasta el desarrollo de flujo cuasiunidimensional)


20

G. La velocidad del gas es uniforme a través de cualquier sección transversal al eje de la tobera.

Las consideraciones B, C, F, y G permiten la directa aplicación al flujo de la tobera de las relaciones para una expansión isoentrópica unidimensional, en tanto que con las suposiciones A, D y E el gas y su tratamiento analítico se elabora con las relaciones para gas perfecto, aún calóricamente. 2.3 RESUMEN DE RELACIONES TERMODINÁMICAS A continuación se presenta de manera breve algunas de las relaciones termodinámicas básicas que son necesarias en el análisis de flujo en toberas, y en general, y en el de cualquier proceso termodinámico. Debe notarse ( como se infirió en la discusión del cohete ideal), que al analizar la tobera en principio sin choques, ni fricción, y bajo un proceso adiabático el cambio de entropía al interior de ésta es cero, y por lo tanto, todas las relaciones serán derivadas para un flujo isoentrópico, en donde se cubren inicialmente las relaciones para una gas perfecto y en flujo cuasi-unidimensional. Posteriormente se analizan las ondas de choque y la aproximación a flujo bidimensional). Igualmente cabe señalar que el flujo siempre es considerado en estado estacionario, con lo que se pretende examinar el flujo estabilizado ya en la tobera, y no el proceso transitorio previo ni de finalización.

2.3.1 Relaciones de un Gas Perfecto

Un gas perfecto es definido como un fluido que tiene calores específicos constantes y cuyas propiedades obedecen y están relacionadas por una ecuación de estado, generalmente escrita como::

TRp ⋅⋅= ρ (2.1) en donde, p es la presión absoluta, T es la temperatura absoluta del gas, ρ es la densidad del gas y R es la constante específica universal del gas. Además se define como calor específico a volumen constante cV, a la relación:

vv T

ec '

()

*+,

∂∂= (2.2)

en la cual e es la energía interna por unidad de masa, Este calor específico cv es la cantidad de incremento de energía interna requerido por unidad de masa de un gas, para permitir incrementar su temperatura en un grado, cuando el volumen en mantenido constante. Se puede demostrar que en termodinámica e es una función únicamente de la temperatura para un gas perfecto. El calor específico a presión constante cp esta definido como:

pp T

hc '

()

*+,

∂∂= (2.3)


21

en donde, h es la entropía por unidad de masa, dada por h = e + p/ρ. Dado que p/ρ es igual a RT y que e es una función solo de la temperatura, entonces h también es una función solo de la temperatura. Utilizando las anteriores relaciones y la definición de entalpía, se tiene que:

vp ccR −= (2.4)

relación que sólo es válida para un gas perfecto que obedezca la ecuación de estado (2.1). Resulta conveniente en este punto definir la relación de calores específicos, γ, la cual esta dada por:

v

p

c

c=γ (2.5)

Si se utiliza la relación (2.5) entonces la ecuación (2.4) se convierte en:

1−=

γR

cv (2.6)

ó Rcp −−

=1γ

γ (2.7)

estas últimas relaciones resultan ser muy útiles, por contener valores que se pueden considerar constantes en un gas perfecto dado, γ y R

2.3.2 Relaciones de entropía – Procesos termodinámicos

La entropía de un sistema dado está definida como:

rev

H

Tdq

ds '()

*+,= (2.8)

en donde el flujo del sistemas es considerado reversible ( sin fricción). una de las formas de la primera ley de la termodinámica para un sistema dado es:

depddqH +=ρ1

(2.9)

relación obtenida de la ecuación de energía del flujo de un tubo de corriente que no efectúa trabajo, y en donde se han despreciado los términos debidos al flujo sin fricción. Así combinando (2.8) y (2.9)

depdTds +''(

)**+

,=ρ1

(2.10)

relación que debe mantenerse aún para casos de flujo no-reversible. El cambio de energía interna, para un gas perfecto, esta dada por:

( ) ( )1212 TTcee v −=− (2.11)

y en el caso de la entalpía, la relación resulta ser: ( ) ( )1212 TTchh p −=− (2.12)

Ahora, para el cambio de entropía se utiliza la ecuación (2.10), la cual, al ser integrada, se convierte en:


22

1

2

2

112 lnln

TT

cRss v+⋅!"

#$%

&=−

ρρ

,

ecuación que puede ser manipulada en conjunto con las ecuaciones (2.6) y (2.7), y con la ecuación de estado y expresarla como:

!!"

#

$$%

&''(

)**+

,⋅=−

−1

2

1

1

212 ln

γ

ρρ

TT

css v (2.13)

ó como: !!"

#

$$%

&''(

)**+

,⋅=−

γ

ρρ

2

1

1

212 ln

pp

css v (2.14)

Las ecuaciones (2.13) y (2.14) son formas de la segunda ley de la termodinámica. Dado que todos los análisis anteriores han sido basados en la suposición de un proceso reversible (flujo sin fricción), entonces a partir de (2.8) se puede ver que ds = dqH/T ó que Tds=dqH. Igualmente, basado en la teoría del cohete ideal, si el proceso es además adiabático, entonces dqH=0 y por tanto ds=0 o s= constante, con lo que se pueden obtener relaciones para el flujo reversible, adiabático y por tanto isentrópico, al interior de la tobera. Así, ya que s2=s1, entonces:

γγ ρρ 2

2

1

1 pp = (2.15)

esta relación en conjunto con la ecuación de estado de los gases, permite obtener: 1

1

2

1

1

2

1

2

−−

''(

)**+

,=''

(

)**+

,=

γγ

γ

ρρ

pp

TT

(2.16)

en el caso del cambio de entalpía para el proceso isoentrópico en la tobera, se tiene que:

!!!

"

#

$$$

%

&−''

(

)**+

,=−

−

1

1

1

2112

γγ

pp

Tchh p (2.17)

Finalmente se debe señalar que en un proceso politrópico cualquiera:

ctepk =ρ , (2.17a)

y sólo en el caso isoentrópico, en donde no existe transferencia de calor, es cuando k=γ, como se mostró anteriormente. En general, durante el análisis del sistema motor cohete, se tienen tres tipos principales de procesos: #"Proceso adiabático, en el cual no existe intercambio alguno de calor desde o hacia el

sistema. #"Proceso reversible, en el que ningún fenómeno disipativo se sucede, tales como los

producidos por la viscosidad, conductividad térmica o difusión de masa. #"Procesos isoentrópicos, siendo éste el proceso que es tanto adiabático como

reversible.


23

la principal importancia de este tipo de procesos radica en el hecho que en el flujo en la tobera, la capa límite presente en las paredes es muy delgada, comparada con el flujo total, con lo cual el grueso del flujo no sufre de los fenómenos disipativos que implica la capa límite, y dado que no existe adición de calor, se puede asumir el fenómeno finalmente, como flujo isoentrópico, al igual que en varias aplicaciones de flujo compresible.

2.4 COMPRESIBILIDAD, VELOCIDAD DEL SONIDO Y NUMERO DE MACH

En el estudio de cualquier sustancia real se encuentra que absolutamente todas las sustancias de la naturaleza son compresibles, en una mayor o menor medida cada una de ellas. Al expandir o presionar a las sustancias, la densidad de estas cambia de manera que sus demás propiedades relacionadas con la densidad también cambiarán. Esto resulta particularmente cierto para los gases, en menor medida para los líquidos y de manera casi imperceptible para los sólidos. Existen dos tipos de compresibilidades, la isotérmica y la isoentrópica, dependiendo de las condiciones en la que se determine esta propiedad de la sustancia, aún cuando los valores de ambas, para diferentes sustancias, se encuentran en diferentes textos sobre propiedades. La importancia de determinar si las condiciones de un flujo dado corresponden a una condición compresible o incompresible, radica en la diferencia del tratamiento de las ecuaciones y de las relaciones a utilizar. En el estudio de gases, como es el caso del presente trabajo, resulta sumamente importante determinar las condiciones del flujo, en cuanto a compresibilidad del mismo. Para esto resulta importante definir el número de Mach, el cual es una medida de cuan compresible es un fluido en un punto dado. Para esto es conveniente comenzar definiendo la velocidad de una pequeña perturbación en un flujo como:

ρddp

c =2 (2.18)

así que un cambio súbito o perturbación en un flujo estacionario puede ocurrir únicamente

cuando la velocidad particular ρddpc = ocurre en el fluido. Dado que una onda de

sonido en un fluido compresible corresponde a una movimiento oscilatorio con pequeña amplitud, a esta velocidad de propagación de una pequeña perturbación se le denomina velocidad del sonido del medio en cuestión. La velocidad del sonido puede ser expresada en varias formas. Introduciendo el módulo de elasticidad:

∀∀−=

ddp

E (2.19)

en donde: ∀ es el volumen del fluido sometido al cambio de presión dp; así, ya que:

ρρd

vdvd −==

∀∀

entonces la ecuación (2.19) puede ser expresada como


24

ρρ

ρρ d

dpddp

E⋅== (2.20)

de esta manera, a ecuación (2.18) se puede escribir:

ρE

c = (2.21)

relación para la velocidad del sonido que aplica tanto para gases como para líquidos. Igualmente, dado que los cambio de presión y temperatura a través de una onda de sonido son despreciables ( la suposición de “pequeña perturbación” es la base de todo este análisis), se puede considerar como un proceso reversible. El rápido paso a través de la onda, con los cambios despreciables de temperatura, hacen que el proceso se considere “casi” adiabático. En total, el proceso del paso del fluido a través de una onda de sonido , puede considerarse isoentrópico, y así empleando la ecuación (2.17a):

ργργ

ρp

pddp ⋅=⋅⋅= −1 (2.22)

y así: ρ

γ pc

⋅=

de la ecuación (2.1) se tiene: TRc ⋅⋅= γ (2.23) relación bastante útil y conocida por expresar la velocidad del sonido en términos de la temperatura absoluta. En un flujo dado, la temperatura cambia entre puntos diferentes, debido a los efectos viscosos, de fricción y a los cambios de densidad, por lo que resulta evidente que en un flujo compresible, el número de Mach variará entre dos puntos diferentes del flujo. Habiendo definido la velocidad del sonido en un medio, se puede definir el número de Mach, el cual es:

c

uM = (2.24)

donde, u es la velocidad del fluido y c la velocidad del sonido, en un punto dado. En general, si M > 0.3 , el fluido debe considerarse compresible, y los efectos de la compresibilidad debes ser tenidos en cuenta, y considerados en el tratamiento del flujo 2.5 ECUACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE, INVISCIDO Y CONDICIONES

TOTALES (Puntos de Estancamiento) Como en el estudio de cualquier flujo, las ecuaciones que lo gobiernan cubren tres principios fundamentales: conservación de la masa, conservación de momentum y conservación de la energía, que sumadas a las ecuaciones de estado y a la de energía interna, permiten el estudio del flujo de un gas caloríficamente perfecto, como es la suposición general para los gases de escape a través de la tobera. Las ecuaciones se presentan a continuación, en forma diferencial:


25

Ecuación de continuidad: (Principio de conservación de masa)

0=•∇+∂∂

Vt

"ρρ

(2.25)

donde •∇ es la divergencia = div Ecuación de momentum:(Principio de conservación del momentum)

xfxp

DtDu ⋅+

∂∂−= ρρ (2.26a)

yfyp

DtDv ⋅+

∂∂−= ρρ (2.26b)

zfzp

DtDw ⋅+

∂∂−= ρρ (2.26c)

Ecuación de energía: (Principio de conservación de la energía) ( ) ( ) ( )VfVpdivq

DtVeD """

! •+−⋅=+ ρρρ 22

(2.27)

Ecuación de estado: TRp ⋅⋅= ρ (2.1) ecuación de energía interna: Tce v= (2.28)

Ahora se examinan los conceptos de las condiciones de estancamiento o condiciones totales. Cuando un flujo es detenido isoentrópicamente o desacelerado lentamente en un proceso adiabático, los valores de p, T y ρ cambian a medida que el fluido es llevado al reposo. Los nuevos valores, del fluido desacelerado son llamados las condiciones de estancamiento o totales y son indicados con un cero como subíndice. Así, To y po representan la temperatura y presión de estancamiento o totales, respectivamente. Igualmente, la entalpía del fluido en este estado en llamada la entalpía de estancamiento, y se puede escribir como:

opo Tch = (2.29)

para un gas perfecto caloríficamente. Mediante un corto tratamiento matemático a la ecuación de energía (2.27), despreciando los términos de generación de calor y de fuerzas externas, se puede obtener:

( )0

22

=+Dt

VhDρ

en el caso de un flujo estacionario. por lo tanto, se puede establecer que:

cteV

h =+2

2

(2.30)

para la línea de corriente dada, a lo largo de ella. Así, aplicando el concepto de las condiciones de estancamiento definidas cuando el flujo es llevado al reposo, se puede concluir que:

cteV

hh =+=2

2

0 (2.31)

expresión que define la entalpía de estancamiento.


26

Además la temperatura de estancamiento puede ser definida como:

po c

VTT

2

2

+= (2.32)

que en el caso de gases perfectamente calóricos resulta ser constante, al igual que en flujos adiabáticos. En flujos no adiabáticos se debe tener en cuenta que se sigue manteniendo el concepto de entalpía y temperatura de estancamiento, aún cuando entre dos puntos diferentes sus valores no sean iguales (condición que define el flujo no adiabático).

2.6 FLUJO ISOENTRÓPICO, COMPRESIBLE CUASI-UNIDIMENSIONAL

El flujo adiabático, reversible o isoentrópico es una aproximación ideal que suele ser aplicada a flujos a través de transiciones, de toberas, de difusores o medidores vénturi, en los cuales los efectos de fricción son menores y el calor transferido se puede despreciar, ya que las distancias recorridas son muy cortas y los gradientes de velocidad y temperatura son pequeños (por ejemplo, en vecindades muy cercanas, entre partículas continuas). En el estudio del flujo cuasi-unidimensional, la variable que se agrega, generalmente, es el área transversal del ducto, normal a la dirección del flujo. Esta área es variable a lo largo de la dirección del flujo, y por tanto es dependiente de una variable espacial, por ejemplo A=f(x). En términos de esta mueva variable , en un régimen estacionario, la ecuación de continuidad se puede escribir como:

cteAu =⋅⋅ρ (2.33) La ecuación de momentum se puede expresar como:

duudp ⋅⋅−= ρ (2.34) y la ecuación de energía como:

cteu

h =+2

2

(2.35)

Dado que es conveniente ver la influencia de la nueva variable A, se desarrollará la forma diferencial de la ecuación de continuidad así: De (2.33), se tiene que ( ) 0=⋅⋅ Aud ρ ó 0=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ρρρ duAduAdAu y dividiendo entre Au ⋅⋅ρ , se tiene:

0=++ρρd

udu

AdA

(2.36)

Ahora bien, la ecuación (2.34) se puede expresar también como:

ρρ

ρρd

ddp

ududp ⋅=−=

recordando la definición de la velocidad del sonido se tiene que:

ududp

c −=ρ

2 ó ducudp

2−=

ρ


27

que finalmente resulta en: udu

Mudu

cudp 2

2

2

−=⋅−=ρ

(2.37)

sustituyendo (2.37) en (2.36), se tiene:

( )udu

MA

dA12 −= (2.38)

ecuación que es llamada relación de área-velocidad, y la cual es muy importante por el hecho de relacionar los cambios de área con las variaciones de velocidad. En general, el análisis es el siguiente: 1. Cuando el flujo es subsónico, es decir 0 ≤ M <1, el factor M 2 – 1 es negativo, así que

(2.38) se convierte en:

udu

AdA −=

y de esta forma un incremento en la velocidad solo es posible si existe una disminución del área y, una disminución en la velocidad, está asociada únicamente con un aumento del área.

2. Cuando el flujo es supersónico, es decir M>1, entonces el factor M 2 – 1 es positivo, y por tanto, dA y du son directamente proporcionales. De esta forma un aumento de la velocidad estará asociado con un aumento del área y una disminución de la velocidad con una disminución del área.

3. Para flujos que son sónicos (M=1), el factor se convierte en cero, y aya que u =0, (ya que M =1), entonces se obtiene que dA =0. aún cuando exista un du finito. es así como en régimen sónico se obtiene el mínimo local (o transición ) entre la zona convergente y la divergente.

Ahora bien, se puede concluir que para poder llevar un fluido en reposo o a baja velocidad, hasta una velocidad supersónica, es necesario hacerlo pasar a través de un ducto convergente inicialmente, y luego, alcanzada la velocidad sónica, hacerlo pasar a través de un ducto divergente, hasta el punto deseado de número de Mach. Por el momento es claro que el análisis a las ecuaciones de continuidad y momentum fue llevado a cabo bajo el supuesto de un proceso isoentrópico; así solo resta presentar las relaciones para las demás propiedades (ρ, p, T), en un flujo isoentrópico. Recordando la ecuación (2.32), en la cual se relaciona la temperatura en un punto cualquiera con la temperatura de estancamiento, se puede determinar la relación de temperaturas para un flujo isoentrópico:

20

2

11 M

T

T!"#

$%& −+= γ

(2.39)

igualmente, basado en las relaciones (2.16) y utilizando la anterior ecuación se puede encontrar que:

120

2

11

−

''(

)**+

,!"#

$%& −+=

γγ

γM

p

p (2.40)


28

1

1

20

2

11

−

''(

)**+

,!"#

$%& −+=

γγρρ

M (2.41)

La importancia de las relaciones (2.39), (2.40) y (2.41) radica en relacionar los valores de T0, p0, ρ0, con condiciones en un punto dad, en donde se deberá conocer M y γ, Dado que en general se asumen gases perfectamente calóricos, básicamente, γ permanece constante, por lo que los valores de estancamiento o totales, pueden ser encontrados a partir del número de Mach en un punto dado. en particular, resulta de interés obtener la relación de los valores de estancamiento con los valores del punto en donde M =1. Este punto puede ser relacionado con la garganta de la tobera aún cuando en general se le denomina punto sónico o de condiciones críticas. Las relaciones (2.39), (2.40) y (2.41), para el punto crítico resultan ser:

1

2*0

+=

γT

T (2.42)

1

*0

2

1 −'()

*+, +=

γγ

γp

p (2.43)

1

1

*0

2

1 −'()

*+, +=

γγρρ

(2.44)

en donde T*, p* y ρ* son la temperatura, presión y densidad del fluido( flujo) en el punto crítico. Dado que las condiciones de estancamiento o totales representan ( como se había indicado en la sección 2.4) al fluido desacelerado adiabáticamente, puede hacerse la analogía en que representan las condiciones del fluido en el reservorio, en este caso la cámara de combustión. Por esta razón, las relaciones anteriores pueden entenderse como proporciones o razones de los valores de las propiedades termodinámicas en la garganta a los valores en el reservorio o cámara de combustión. El análisis para la relación de áreas, basados en las relación (2.33), sigue así:

*** AuAu ⋅⋅=⋅⋅ ρρ donde A*, es el área transversal en la garganta, o punto de condiciones sónicas. Puede mostrarse que la densidad total (al igual que la presión total) es constante a lo largo de un campo de flujo isoentrópico. Por tal razón se puede escribir la anterior relación como:

u

u

A

A *

*0

0

*

*⋅⋅⋅=

ρρ

ρρ

(2.45)

de donde se puede encontrar que:

( )!"

#$%

&+−+=''

(

)**+

,1

121 2

2

2*

γγ M

Mu

u (2.46)

Finalmente (2.45) combinando las ecuaciones (2.46), (2.44) y (2.41), y luego de un manejo algebraico, esta expresión resulta en:


29

( ){ } 1

1

22

2

*12

1

11 −+

!"

#$%

&⋅−+⋅

+='

()

*+, γ

γ

γγ

MMA

A (2.47)

este última relación es de suma importancia en el diseño de toberas supersónicas, dado que relaciona el área de cualquier sección de la tobera con el de la garganta, a condición de conocer tan sólo dos propiedades del flujo M y γ. Sin embargo, las relaciones establecidas anteriormente sólo son útiles cuando el perfil del ducto estudiado es conocido, es decir, cuando la relación A= f(x) es determinada y por tanto las relaciones de flujo isoentrópico supersónico pueden proporcionar una predicción bastante aceptable acerca del comportamiento del flujo. A pesar de esto, si la tobera en la sección divergente no presenta una configuración adecuada, el flujo se adaptará a los cambio únicamente mediante ondas de choque oblicuas ( lo que se discutirá más adelante). Para el diseño de toberas de escape que se adapten a una característica o modo de desempeño particular, que no presenten ondas de choque al interior de las mismas, se debe recurrir a métodos que permitan evaluar al condición bidimensional, al menos, a lo largo del flujo. Para esto se discutirá en la sección 2.9 el concepto del método de las características aplicado, en este caso, exclusivamente a toberas de escape.

2.6.1 Flujo de masa y velocidad de escape

Una vez establecidas las relaciones de flujo isoentrópico solo resta determinar el comportamiento del flujo másico y de la velocidad de escape, parámetros de suma importancia en la evaluación del empuje desarrollado por una tobera dada, y así mismo del motor cohete que se esté diseñando. A partir de la ecuación de continuidad, es claro que el flujo de masa que puede pasar a través de cualquier sección de la tobera está dado por

Aum ⋅⋅= ρ! (2.48) En general, a medida que se aumenta la relación de presiones de reservorio a escape, la densidad de fluido disminuye, pero la velocidad aumenta, siendo esta última variación más significativa. es así como al aumentar la relación de presiones aumenta la velocidad en un punto dado, y por tanto el flujo másico que pasa a través de él. existe sin embargo, una condición de flujo máximo, que se presenta precisamente cuando se alcanzan las condiciones críticas o sónicas. Dado que ningún pulso de presión puede viajar por encima de la velocidad del sonido local, cualquier variación de presiones que se presente corriente abajo del punto crítico, será imperceptible para el flujo subsónico, presente corriente arriba del punto sónico. Ya que el punto crítico debería corresponder con la garganta ( para un flujo sónico en sección variable), se puede decir que, por lo tanto, el máximo flujo másico solo se puede obtener cuando en la garganta se obtengan condiciones sónicas, es decir cuando M=1 en A*. Expresando así , entonces se tiene que:

*** Aummáx ⋅⋅= ρ! (2.49)

Cuando el flujo ha alcanzado este punto, independiente de seguir aumentando la relación de presiones, el flujo máximo permanecerá constante, ya que no podrá determinar la


30

presencia de gradientes adicionales de presión, más allá de la garganta. En este punto se dice que la tobera ( o el flujo) está “chocada” (choked nozzle). Si se remplazan las relaciones (2.23), (2.42) y (2.44), para ρ*, u* y A* y luego de un corto manejo matemático se puede encontrar que

⋅''(

)**+

,+

⋅=−+

1

1

0

*0 1

2 γγ

γγ

RTApmmáx! (2.50)

en donde el flujo másico “chocado” o máximo para cualquier tobera dada, dependerá de las condiciones de la cámara o reservorio ( en tanto p0, T0), de la geometría misma (debido a A*) y de las propiedades del fluido de trabajo (R y γ). Básicamente, esta relación establece el valor de flujo másico que debe utilizarse en la ecuación característica del cohete, descrita en el primer capítulo. Por otro lado, para determinar la velocidad de escape de los gases, el otro factor determinante del empuje del motor, basta con resolver la relación (2.30), entre dos estaciones relevantes: una de ellas es precisamente la descarga y la otra estación significativa es la entrada de la tobera. Dado que las condiciones en la cámara de combustión varían muy poco ( pues el análisis en la cámara de combustión corresponde a presión constante y adiabático), éstas mismas condiciones son las que pueden suponerse, alimentan la tobera, es decir, las condiciones a la entrada de la tobera pueden suponerse iguales a las de estancamiento ( las del reservorio). Bajo estas suposiciones, se tiene que:

cteu

h =+2

2

(2.30)

y entre la entrada (estancamiento) y la descarga se tiene:

2

2

0e

e

uhh += (2.31)

y para la velocidad de escape: ( )ehhu −= 02 (2.51)

se tiene que luego de cierto tratamiento matemático mediante la definición (2.29) y para un gas perfectamente calórico en función de γ, R y Te/T0, y mediante (2.16) se obtiene finalmente que:

!!!

"

#

$$$

%

&

''(

)**+

,−⋅

−=

−γ

γ

γγ

1

00 1

12

p

pRTu e

e (2.52)

Ecuación que permite establecer el valor de la velocidad de escape de los gases de combustión en función del gradiente de presiones en la tobera, de las propiedades del gas y las condiciones en la cámara. Todos los factores enunciados, deben conocerse en el momento de comenzar un análisis básico o diseño preliminar de un ducto propulsivo dado. Las condiciones en la cámara son obtenidos a partir de los cálculos de combustión, en tanto que las condiciones a la salida, pueden ser estimadas a partir del medio en el que se planea operar el motor-cohete. El análisis de los productos de la combustión debería también suministrar datos preliminares del fluido de trabajo.


31

2.7 ONDAS DE CHOQUE

2.7.1 Ondas de Choque Normales Estacionarias

Para el análisis del flujo a través de una onda de choque normal se deben recordar las ecuaciones para flujo adiabático unidimensional, estacionario, no viscoso (isoentrópico), (2.25), (2.26) y (2.30); para poder cerrar el sistema, dos expresiones más son necesarias, la relación de estado para gases perfectos y la definición de entalpía (ecuaciones (2.1) y (2.29) respectivamente. Ecuaciones estudiadas primero por Rankine en 1870 y luego por Hugoniot en 1877. Si se conoce p1, u1, T1, ρ1, h1 se puede encontrar p2, u2, T2, ρ2, h2 y en este caso se tiene 5 ecuaciones y 5 incógnitas. Debido a que u2 persiste se tienen dos soluciones (pero una de ellas disminuye la

Figura 2-1 entropía por tanto no es real), luego combinando las ecuaciones (2.25) y (2.1) y después de complejas relaciones algebraicas se obtienen las relaciones para el salto en una choque normal estacionario:

( )1

12 21

1

2

+−−⋅⋅

=γ

γγ M

P

P (2.53)

22

21

1

2

1

1

M

M

P

P

⋅+⋅+

=γγ

(2.54)

( )( )12

212

1

212

2 −−⋅⋅+−

=γγ

γM

MM (2.55)

( )( )

21

2

21

21

1

2

1

2

121

11

22

11

M

MM

h

h

T

T

⋅−

+

''(

)**+

,−⋅

−⋅⋅'

()

*+, ⋅−+

==

γγ

γγγ

(2.56)

( )( ) 21

12

1

21

2

1

1

2

+⋅−⋅+

==M

M

h

h

γγ

ρρ

(2.57)

( ) 1

21

211

1

21

1

2

1

2

21

1

21

1

1

1

2−

−

!!!!

"

#

$$$$

%

&

−+

+

⋅!"

#$%

&+−−

+⋅==

γγ

γ

γ

γ

γγ

γγ

ρρ

M

MM

P

P

o

o

o

o (2.58)


32

de esta forma, si se tienen el número de Mach (M), y la relación de calores específicos γ, como información del flujo corriente arriba, todas las demás propiedades corriente abajo (en especial las relaciones de propiedades), pueden ser determinadas. Finalmente, la ecuación (2.14) en términos de cp, insertada en las relaciones de salto de choque, se convierte en:

( )( ) .

/0

123

++

+−=

−γγ

γ 1

1

21ln

21

2112

M

M

c

ss

p

(2.59)

relación que indica

Relación de Cambio de entropía - Número de MachGamma = 1.4 Cp=Kte.

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Figura 2-2

En particular se debe notar que en la región de transición sónica, el cambio de entropía es suave. Mas aún, según la segunda ley de la termodinámica, según la cual la entropía siempre aumenta, es de resaltar que en flujo subsónico NO es posible que exista un choque (o cambió de entropía a través de un salto), dado que esto implicaría un cambio de entropía negativo.

2.7.2 Ondas de Choque Oblicuas Estacionarias

Como se mostró anteriormente, las ondas de choque siempre están dirigidas de manera perpendicular a la dirección del flujo; de esta manera la dirección del flujo no cambia al atravesar una onda de choque normal. Considere un flujo supersónico y estacionario alrededor de la nacela de un vehículo. En la figura 2-3, se puede ver como el flujo debe cambiar de dirección para poder bordear el cuerpo. En un flujo supersónico este cambio solo se sucede a través de una onda de choque curva. Igualmente se puede ver que una parte de esta onda de choque curvada es normal, sucediéndose esto a lo largo de la línea de corriente del punto de estancamiento. Se debe recordar que el choque curvado es una onda de choque oblicua y por lo tanto causa que las líneas de corriente cambien su dirección al pasar a través de ella.


33

En la figura 2-4, contrario de la figura 2-3, el choque curvado esta adherido a la superficie del cuerpo. En este caso el choque curvado u oblícuo es una onda de choque oblícua pero recta, causando un mismo cambio en la dirección de dos líneas de corriente adyacentes.

Figura 2-3 Figura 2-4

De esta manera, desarrollando las relaciones para ondas de choque oblícuas rectas bidimensionales (figura 2-5 y 2-6)

Figura 2-5 Figura 2-6 donde: θ = ángulo de deflexión o giro, β = ángulo de choque (Medidos relativos a la dirección del flujo antes (corriente arriba) de la onda de choque. En la figura 2-5 se han resuelto las velocidades en sus componentes normal y tangencial a la onda de choque. aplicando las ecuaciones de conservación para flujo estacionario no viscoso a un volumen de control alrededor del choque, se tiene la ecuación de continuidad desarrollada sobre la dirección normal al flujo:

nn vv 2211 ⋅=⋅ ρρ (2.60)

Esta relación es la misma obtenida para la onda de choque normal. La ecuación de momentum, resulta independientemente para cada una de las dos direcciones tangencial y normal. Nótese que las velocidades tangenciales antes y después del choque son las mismas que las obtenidas para un choque normal : ν 1T=ν2T; y para la velocidad normal:

2222

2111 nn vpvp ⋅+=⋅+ ρρ (2.61)


34

que resulta ser la misma que la obtenida para una onda normal de choque. Finalmente para la ecuación de energía se tiene:

22

22

2

21

1nn v

hv

h +=+ (2.62)

que de igual manera es la misma que la obtenida para una onda normal de choque. Por lo tanto las ecuaciones (2.60), (2.61), (2.62) resultan ser las mismas que las obtenidas para una onda normal de choque excepto por que el termino de velocidad en estas relaciones es la velocidad normal a la onda de choque y no a la velocidad del flujo. Igualmente, debe notarse que la componente tangencial permanece invariable. Algunas relaciones geométricas útiles alrededor de un volumen de control sobre el choque son:

( )

( )θββ

θββ

−⋅=⋅=

−⋅=⋅=

Cosvv

Cosvv

Senvv

Senvv

T

T

n

n

22

11

22

11

4 ( )

( )θββ

θββ

−⋅=⋅=

−⋅=⋅=

CosMM

CosMM

SenMM

SenMM

T

T

n

n

22

11

22

11

Observe que: Aunque v1T = v2T, M1T no es igual a M2T asi como T1 es diferente de T2 A veces es necesario encontrar relaciones entre las proporciones de propiedades antes y después del choque, entre las que se tienen: !"Se determina el ángulo β de choque o bien resolviendo relaciones θ, β, M

( ) !"

#$%

&++

−⋅=22

12tan 2

1

221

βγββθ

CosMSenM

Cot (2.63)

!" o bien utilizando las tablas para choque oblícuo que se pueden encontrar en los libros de texto guía y luego mediante las respectivas relaciones, las cuales resultan ser similares a las de choque normal excepto por el hecho de utilizar M1*sen β, en lugar de M1 y M2*sen (β -θ) en lugar de M2 en las relaciones ya obtenidas:

( )1

12 221

1

2

+−−⋅⋅⋅=

γγβγ SenM

pp

( )( ) 21

122

1

221

2

1

1

2

+⋅⋅−⋅⋅+==

βγβγ

ρρ

SenMSenM

vv

n

n

y así con las demás relaciones obtenidas para los choques normales. Un método alternativo se presenta a continuación: !" Luego que β sea determinado, se calcula M1n = M1*Sen β !"Utilizando las tablas de choque normal, determine los valores de p2/p1, ρ2/ρ1, T2/T1, y

po2/po1, utilizando el valor de M1n, en lugar del valor de M. Se debe tener precaución en el hecho que po2/po1 no es el valor correcto (obtenido de esta manera), ya que como se había indicado anteriormente, para un Choque Oblicuo v2 ≠ v2n.


35

!"Por último, se determinan las condiciones del número de Mach corriente abajo (luego del choque), mediante la relación:

( )θβ −=

SenM

M n22 (2.64)

2.8 FLUJO DE PRANDTL & MEYER ALREDEDOR DE UNA ESQUINA

El flujo alrededor de una esquina convexa formada por dos líneas rectas intersecándose ha sido tratado analíticamente por Prandtl & Meyer. Para tal configuración, existen tres regiones de flujo, las cuales se indican en la figura 2-7. el flujo es uniforme y paralelo corrientes arriba y abajo de la esquina en las regiones I y III, delimitadas por la superficie y por las respectivas líneas de Mach. En la región II, entre estas líneas de Mach, los parámetros de flujo son constantes a lo largo de líneas radiales (cada una de las cuales es una línea de Mach) emanando del vértice de la esquina.

Figura 2-7

Figura 2-8

La ecuación fundamental para el flujo alrededor de una esquina esta dada por (Fig. 2-8)

( )µκ

µκν −°−'()

*+,= − 90

cottan 1 (2.65)

Donde ν es el ángulo de expansión o el ángulo a través del cual el flujo es acelerado desde un número de Mach local unitario (de magnitud 1), a cualquier número de Mach dado o M, µ es el correspondiente ángulo de Mach:

Msen

11−=µ (2.66)

y 112

−+=

γγκ

Obviamente, si ν es conocido en cualquier región, el número de Mach puede ser determinado por la ecuación (2.65). Siendo los subíndices 1 y 2 referidos a las condiciones en las regiones I y III, respectivamente de la figura 2-7, entonces el ángulo a través del cual el flujo es acelerado desde un número de Mach M1 a uno M2, esto es: ir de la región I a III es:

12 ννδ −=


36

En otras palabras, el cambio en el ángulo de expansión es igual al valor absoluto del cambio en la deflexión de la corriente a través de una región de expansión debido a una esquina singular. Si el ángulo de deflexión de la corriente δ es pequeño, entonces se puede considerar que toda la expansión toma lugar a lo largo de la línea de Mach promedio (figura 2-9). Esta línea, no mayor que una línea de propagación de una perturbación infinitesimal, ahora toma ciertas características de una onda de choque; principalmente, el flujo a través de ella sufre un cambio finito en la dirección y número de Mach. Esta línea es referida como una onda de expansión. Un pequeño error se introduce a hacer estas suposiciones, pero a medida que δ se aproxima a cero, el error es despreciable. Es conveniente definir la intensidad de una onda como la deflexión angular de la corriente que esta produce. Esto puede ser evaluado numéricamente de manera sencilla para ondas de expansión y ondas de choque oblicuas débiles.

Figura 2-9

Las condiciones de flujo están completamente determinadas por los parámetros ν, ángulo de expansión y θ el ángulo de corriente relativo a alguna línea conocida. Usualmente tomada como la dirección de flujo en la garganta. Estas coordenadas son

usualmente escritas como ''(

)**+

,θν

.

2.9 TEORIA MATEMATICA DE LAS CARACTERISTICAS. Este método suministra un medio de solución para ecuaciones diferenciales parciales no-lineales, aunque es eficaz únicamente con ecuaciones hiperbólicas. En particular, cuando se están resolviendo ecuaciones de medio fluido, este método solo es aplicable al estudio de flujos que sean supersónicos, y bien estacionarios bidimensionales, o transitorios unidimensionales. Resulta conveniente comenzar definiendo que es una característica, aunque este concepto será ampliado en el capítulo 5. Una línea característica, o en general, una característica es una curva sobre la cual la derivada de una propiedad física es indeterminada, y la cual puede o no ser discontinua, aunque la propiedad misma permanezca continua sobre su dominio. A lo largo (sobre) estas características, en un flujo bidimensional, las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que gobiernan el flujo pueden ser manipuladas de manera tal que se pueden expresar como unas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden. Estas últimas ecuaciones son llamadas las "ecuaciones de compatibilidad", las cuales resultan útiles por varias razones, como: !"Sobre las características, las variables dependientes deben satisfacer las ecuaciones

de compatibilidad.


37

!"El sistema de EDO de primer orden puede ser integrado para resolver las propiedades del flujo.

Cabe señalar que de cierta forma, estas características pueden ser vistas como trayectorias de propagación de las perturbaciones. En particular, en los flujos bidimensionales, se deberán identificar las características como las ondas de Mach. Al efectuar el análisis de características sobre un flujo potencial total, se puede obtener:

012

12

2

2

=!!"

#

$$%

&'()

*+,−+!"

#$%&−+

!!"

#

$$%

&'()

*+,− xyxyxx U

av

Uauv

Uau

(2.67)

donde el primer factor se denominará A, el segundo B y el tercero C. Mediante cierto tratamiento matemático, (2.67) puede ser escrito como:

( ) ( ) ( ) 022 =⋅−+ carcarcar uyuxBdxCdyA (2.68) En donde el subíndice “car” indica que es una propiedad evaluada sobre las características. Finalmente, luego de ciertos “reemplazos”, se puede encontrar que:

''(

)**+

,−

−±−='

()

*+,

2

2

22

1

1

au

Mauv

dxdy

Car

(2.69)

Con base en esta última relación, en cada punto del flujo se tiene: Si M < 1, se presentan dos características imaginarias, por lo tanto la EDP es Elíptica Si M =1, Se obtiene una característica real aunque repetida, por lo tanto la EDP es Parabólica Si M > 1, entonces se presentan dos características reales, y la EDP es clasificada como Hiperbólica.

Figura 2-10

Con base en la figura 2-10 , se puede escribir la ecuación (2.69) en una forma diferente. En esta figura, V= magnitud de la velocidad, θ = Dirección del flujo relativo al eje x Entonces: u = V * cos θ v = V *senθ Luego de un gran trabajo de manipulación algebraica se puede obtener:

( )µθ ±='()

*+, tan

Cardxdy

(2.70)

donde: µ = ángulo de Mach La ecuación (2.70) es un resultado importante ya que muestra como a partir de las características el sistema de EDP, se convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Igualmente es importante notar que a través de un punto xy en el campo de flujo atraviesan dos líneas características con pendientes Tan (θ - µ) y Tan (θ + µ).


38

Figura 2-11

Estas dos líneas pasan por encima o por debajo de la dirección de la línea de corriente en el punto xy, según sea su pendiente. Entonces las líneas características extendidas por encima y por debajo de la dirección del flujo se ven como se muestra la figura 2-11 Por convención, la característica que se encuentra subtendiendo el ángulo µ en sentido contrario a la rotación de las manecillas del reloj es una característica C (+). Por el contrario, una característica encontrada subtendiendo el ángulo µ

en el sentido de la rotación de las manecillas del reloj es una característica C (-). 2.9.1 Ecuaciones de Compatibilidad Se puede encontrar la pendiente característica (dirección) haciendo mediante D=0 en Uxy =N/D, y se pueden encontrar las ecuaciones de compatibilidad mediante N=0 a lo largo de las direcciones en las cuales D=0, dividiendo por: dx du y rearreglando:

Cardxdy

CA

dudv

'()

*+,−= (2.71)

Que esta definida sólo en la característica debido a que se forzó N = 0, únicamente cuando D = 0. Luego, al sustituir (2.69) en (2.71) se tiene:

2

2

22

1

1

av

Mauv

dudv

−

−±= (2.72)

Esta última relación resulta ser la ecuación de compatibilidad para el sistema, y la cual describe la variación de las propiedades del flujo a lo largo de las características. Utilizando de nuevo las definiciones de velocidades de acuerdo a la dirección del flujo en la ecuación (2.72) y rearreglando se puede obtener la siguiente forma alternativa de la ecuación de compatibilidad

VdV

Md 12 −±=θ (2.73)

relación que luego de ser integrada, y de cierto reordenamiento de términos, se convierte en:

MdM

M

MM

M- −+

−±=−2

12

2

12

21

1

1γθθ (2.74)

, ya que la función de Prandtl-Meyer se define como:

ν (M)= M

dM

M

MM

- −+

−

1 2

2

21

1

1γ (2.75)


39

Entonces, ( ) ( )[ ]1212 MM ⋅−⋅±=− ννθθ (2.76)

Finalmente al despejar se obtiene: ( ) ( )2211 MM ⋅±=⋅± νθνθ (2.77) Curvas características constantes

En particular, la característica C- y la característica C+, se definen como:

+

−

=−=+

C

C

νθνθ

De donde se obtienen las ecuaciones de compatibilidad algebraicas para un flujo bidimensional, irrotacional, isoentrópico y supersónico.

( )

( )µθ

µθ

+='()

*+,

−='()

*+,

+

−

tan

tan

C

C

dx

dy

dxdy

(2.78)

Debe notarse que las ecuaciones de compatibilidad se reducen a ecuaciones diferenciales ordinarias en un flujo inviscido, supersónico y estacionario, y sólo en flujos irrotacionales bidimensionales, estas ecuaciones se reducen adicionalmente a relaciones algebraicas. Es así como se puede ver que el problema inicial de resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden ha sido reemplazado por la resolución de dos ecuaciones algebraicas, en donde nunca se necesitará resolver el sistema de ecuaciones que plantea (2.67). Para determinar las condiciones de flujo, bastará con resolver la relaciones para θ y ν; una vez se conozca ν se podrá obtener M (para una relación de cp y cv dada, o en general, para un gas determinado), y finalmente, con M y las propiedades de estancamiento se obtiene p, T, y ρ. Para el caso de flujo irrotacional bidimensional, las ecuaciones de compatibilidad no dependen de la ubicación geométrica o de la longitud de las características. Sin embargo, en otros casos de variación de las características (por ejemplo, en flujos axisimétricos), la ubicación espacial afecta a las ecuaciones de compatibilidad.

2.10 PROCEDIMIENTO DE SOLUCION DEL METODO DE LAS CARACTERISTICAS (MOC) PARA DUCTOS SUPERSONICOS

En un flujo irrotacional, estacionario y bidimensional, se debe comenzar el análisis a partir de condiciones de flujo conocidas. A partir de allí se construye un entramado de características, mediante la resolución de las propiedades delo flujo en puntos en donde características intersectan otras características, fronteras sólidas (bordes o paredes) o bordes de chorros del flujo. Uno de los mecanismos es mediante los puntos internos, como se describe a continuación.

2.10.1 Puntos Internos

Se comienza asumiendo como conocidas TODAS las propiedades (físicas) en dos puntos (1 y 2), cuyas posiciones respecto al flujo están también ya determinadas. A partir de aquí se busca determinar las condiciones del flujo en un punto 3 (corriente abajo), el cual se


40

encuentra (y por tanto comparte) sobre las características C- del punto 1 y C+ del punto 2. De esta forma se tiene que, sobre C+:

3322 νθνθ −=− (2.79)

y en C-, 3311 νθνθ +=+ (2.80)

con lo que se tienen 2 incógnitas y 2 ecuaciones para resolver:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]22113

22113

2121

νθνθν

νθνθθ

−−+=

−++=

Figura 2-12 de donde se observa, se pueden obtener θ3 y ν3. No es difícil ver el procedimiento en este punto: Si se conoce el valor de ν3, es posible determinar el valor de M3 (a partir de tablas), y así sumado éste último resultado a las propiedades de estancamiento corriente arriba de éste punto, se pueden obtener los valores p3, ρ3, T3. en este punto es necesario, encontrar la ubicación del punto 3.

Figura 2-13 En general, las características C+ y C- que pasan por este punto son curvadas, debido a que los valores de θ y ν cambian desde los puntos 1 a 3 y de 2 a 3. Sin embargo, estas líneas son aproximadas mediante líneas rectas con los valores promedio de θ y ν. (Figura 2-13). Por lo tanto, las pendientes θ13 y θ23 son conocidas gracias a que las ubicaciones de los puntos 1 y 2 se conocen. Así, el problema de ubicar la posición del punto 3, se convierte en determinar la ubicación de la intersección de las líneas C+ y C-

2.10.2 Puntos de frontera sólida

Figura 2-14

Asumiendo que todas las propiedades y la posición en el punto 1 de la figura 2-13, son conocidas, así como, la pendiente de la frontera sólida en cualquier punto, se procede a determinar las condiciones en el punto 2 de la frontera sólida. Si se examina la característica C- que va del punto 1 al punto 2, se tiene: 2211 νθνθ +=+

donde, θ1, ν1 y θ2, son conocidos (por las razones expuestas anteriormente). Para la característica C-, se tiene entonces:

( ) 2112 wθνθν −+=

Si se considera una leve expansión a través de un ducto, se puede observar que existe


41

una característica C+ que pasa a través del punto que origina la expansión; realmente, pueden existir varias características pasando por el mismo punto, las cuales forman el abanico de expansión de Prandtl & Meyer. Se puede observar que el ángulo de flujo es θ2 de acuerdo a la figura 2-15, y éste comienza en la característica C+, siendo negativo ya que el flujo baja con respecto a la dirección original de flujo. Figura 2-15 Sin embargo en el punto de la pared opuesta a donde llega la característica, el flujo no puede pasar a través de ella, y así una característica C- se genera en este punto de tal manera que el flujo vuelve a su condición tangente a las paredes. Esta última característica C-, puede bien ser tomada como una onda de reflexión de la característica C+ a partir del punto inicial. Así pues, es fácil ver que la interacción de líneas características con fronteras de borde sólido generan compresión si la característica ha

Figura 2-16

sido generada por una compresión; igualmente una expansión del flujo se reflejará también como una expansión (rarefacción). Se ha mostrado que ambas ondas (inicial y reflejada) tienen la misma intensidad, es decir las variaciones ∆ν y ∆p a través de ambas son las mismas. Así, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión ( figura 2-16), resulta ser el mismo.

2.10.3 Frontera de presión constante

Figura 2-17

Para completar el análisis bidimensional, del flujo de gases en la tobera, resulta conveniente ver el comportamiento de las características en fronteras de presión constante, como podría ser el caso del chorro de los gases de escape al abandonar la tobera y encontrarse con la presión ambiental. Analizando la figura 2-17, es claro que la presión a lo largo de toda la frontera del chorro es constante y en este caso en particular igual a la presión

del chorro en el punto de salida. Si se supone que la pared inferior (física) se dobla un ángulo dado, se observa que en el punto de inflexión se genera una característica C+, a través de la cual la presión cae un valor dado. Debido a la condición misma de presión constante a lo largo de la frontera del chorro, el punto de reflexión de la característica C+ debe generar algún tipo de onda (característica) que regrese la presión de flujo a su condición original. En este caso, este punto generará una característica C- de compresión, de tal forma que la presión aumente nuevamente. Por lo tanto es claro que


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la frontera del chorro se debe inclinar de forma que se adapte a esta nueva compresión, lo que resulta en la configuración mostrada en la figura 2-17 Por lo tanto, contrario a la interacción de características con fronteras sólidas, en la interacción con fronteras de presión constante, una onda de compresión se reflejará como una expansión, y una de expansión lo hará como una de compresión. En particular, la deflexión de la frontera del chorro, en el punto de reflexión de la figura 2-17, es dos veces la deflexión de la pared, e igualmente, vale la pena aclarar que la anterior discusión es válida para los chorros de escape libres de choque en toberas. Debe recordarse que las expansiones y compresiones en el flujo ocurren realmente sobre un grupo (abanico) de ondas, más que sobre una única onda como se ha venido ilustrando; en flujos reales, por ejemplo, las ondas de compresión generalmente colapsan en una única onda de choque no isoentrópico.

2.11 DISEÑO DE TOBERAS SUPERSÓNICAS

Este tipo de ductos se diseñan tomando en consideración, como se mencionó en la teoría del cohete ideal, un flujo isoentrópico, que deberá suministrar una descarga uniforme, supersónica, dirigida axialmente, de gases. Una tobera supersónica bidimensional convencionalmente consta de cuatro secciones claramente distinguibles, dispuesta, en el sentido de la dirección del flujo, como sigue a continuación: 1. Una entrada subsónica, convergente en la dirección del flujo. 2. Una garganta o sección sónica, en la cual las líneas de corriente del flujo están

paralelas respecto del eje de la tobera, y donde es alcanzada la velocidad sónica

Figura 2-18

3. Una parte o sección de expansión, con un ángulo de inclinación constante o progresivo, de la pared con respecto al eje de la tobera. En esta sección el flujo acelera a velocidades supersónicas

4. Una sección de “enderezamiento”, en donde el área transversal continúa aumentando (respecto a la de la garganta), pero en donde el ángulo de inclinación de la pared disminuye hasta que se dirige paralelo al eje de la tobera. en esta sección, el flujo es direccionado paralelo al eje de la tobera, y con el número de Mach final deseado, a través de la sección de descarga.

En una tobera diseñada adecuadamente no existen ondas de compresión o expansión en el flujo corriente abajo de la sección de “enderezamiento”. Así, en la sección de


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expansión el ángulo de pared θ w (x) se incrementa hasta un valor máximo, dado por θ w máx (x). En los análisis, las características se reflejan sobre un plano de simetría, tal como si se tratara de una pared sólida, en este caso se considera el flujo tangente a dicho plano de simetría. En la sección de “enderezamiento” las paredes son curvadas de tal manera que las ondas de expansión son canceladas, pues no se producen expansiones. En la región 1234 (figura 2-18), se presentan ondas de los dos tipos de familias, C+ y C-, debido a las expansiones de las paredes inferior y superior respectivamente, razón por la cual se considera como una región No-simple. Se debe recordar que en esta zona las características con líneas curvas debido a la influencia de ambos tipos de familias, precisamente. En la región 345, se presentan ondas de expansión únicamente de la familia C+ , y por esta razón se considera una región simple y las características son solamente líneas rectas. Finalmente, en la región 456, el flujo es uniforme, dirigido axialmente, y por lo tanto, paralelo al eje de la tobera; igualmente, si las condiciones del flujo se han preservado, esto es, se han mantenido las relaciones de presiones críticas y la velocidad sónica en la garganta, entonces se ha alcanzado el número de Mach deseado. El contorno de la sección de expansión (1-3), en algunos análisis no-viscosos es considerado arbitrario, sin embargo, efectos viscosos tales como de transferencia de calor o de crecimiento y/o separación de la capa límite afectan el diseño en la sección de expansión, así como el peso mismo de la tobera y consideraciones de diseño (tamaño, de posición, entre otras).

2.11.1 Intersección de Ondas de Expansión

El problema de la interacción de las ondas de expansión que emanan de dos superficies convexas opuestas, tal como la porción inicial de una tobera, puede ser considerada en su forma elemental: La intersección de dos ondas de expansión como se ilustra en la figura 2-19. El cambio angular en la dirección de la corriente a través de una onda de expansión es constante a lo largo de su longitud independiente de la dirección o velocidad del flujo en el frente de la onda; esto es decir que las ondas de expansión pasan a través cada una de la otra (se cruzan), mutuamente sin afectar su intensidad entre si, aunque sus inclinaciones sean alteradas. Sus efectos sobre el flujo pueden ser determinados por la superposición de efectos individuales.

Figura 2-19

Considérese las ondas de expansión en la figura 2-19. Por conveniencia, ellas están indicadas como (a´) y (b´) y tienen intensidades de +ε y – δ respectivamente. La línea de corriente superior mostrada está deflectada hacia arriba un ángulo ε debido a (a´) y hacia abajo un ángulo δ debido a (b´). El ángulo total a través del cual está deflectada es por lo tanto +( ε – δ). igualmente la línea de corriente inferior está deflectada primero hacia abajo por (bb’) y luego hacia arriba por (aa´).


44

Su ángulo final es el mismo que el de la línea de corriente superior y es igual a θ +( ε – δ). De manera similar, el ángulo de expansión final puede ser encontrado como aumentado en (ε + δ) por ambas líneas de corriente.

2.11.2 Reflexión de las Ondas de Expansión por una Pared

Las condiciones resultantes de la reflexión de una onda de expansión por una frontera física pueden ser determinadas utilizando el concepto de espejo-imagen. Por lo tanto, la pared puede ser remplazada por una línea de corriente en un flujo ficticio compuesto de un flujo original, más un campo de flujo imagen, Figura 2-20. El problema de la reflexión de las ondas de expansión por una pared entonces se convierte en el de la intersección de ondas de expansión. El último problema fue tratado en la sección anterior. Este concepto puede ser aplicado de una manera inversa en el diseño de toberas simétricas. en este caso la línea central recta de la tobera es reemplazada con una pared. así la cantidad de trabajo es reducida a la mitad. Figura 2-20

2.11.3 Neutralización de las Ondas de Expansión

Si una onda de choque de intensidad infinitesimal es superpuesta sobre una onda de expansión de igual intensidad (y por definición opuesta en si), el flujo permanece igual después de pasar a través de ambas. Esto también es muy aproximado si las ondas tienen una intensidad finita pero pequeña.

Figura 2-21

Por lo tanto, si en el punto donde la onda de expansión golpea la pared una onda de compresión de igual intensidad es creada, la onda de expansión será neutralizada. Tal onda de compresión puede ser creada, como se ilustra en la figura 2-21, por un cambio angular en la dirección de la pared igual a la intensidad a la onda de expansión dada. La dirección de la deflexión debería ser tal que forme una esquina cóncava.

2.11.4 Toberas de Mínima Longitud

En el análisis de toberas supersónicas y ondas de choque, resulta interesante analizar cierto tipo de toberas que tienen la menor longitud posible, y aún así logran desarrollar el flujo axial descrito anteriormente. Si la sección de expansión se recoge o contrae, de manera tal que toda la sección colapse en un único punto, entonces se obtendrá una tobera con una garganta como se muestra en la figura 2-22.


45

Figura 2-22

Una tobera como este tipo presenta un abanico en la garganta de ondas de expansión centradas en la punta aguda, y las cuales no tienen reflexiones de pared. en este tipo de toberas, dado un Mach deseado, se puede determinar el θ wmáx (x) de la siguiente manera: De las relaciones de Prandtl-Meyer, para un Mach de diseño, se determina un νdiseño: !"A lo largo de la característica C+ entre los puntos 3 y 4, θ3 -ν3= θ4 - ν4; en donde:

θ3 = 0 por ser un punto que se encuentra en la “pared de flujo”, θ4 =0 por ser el ángulo de pared en la descarga. De esta forma se tiene que: ν3=ν4=νdiseño

!"A lo largo de la característica C- entre los puntos 1 y 3, θ1 -ν1= θ3 - ν3; en donde: θ1 = θw máx , θ3 = 0 por ser un punto que se encuentra en la “pared de flujo” y ν3=νdiseño.

!"Finalmente, a lo largo de la característica sónica θ0 -ν0= θ1 - ν1; en donde θ1 = θ w máx , θ0 = 0 por ser un punto que se encuentra en la “pared de flujo”, ν0 =0 por tratarse de la línea sónica.

Así: θ w máx = ν1 y combinando, 2max

diseñow

νθ =⋅ (2.81)

2.12 CONSIDERACIONES FINALES SOBRE EL FLUJO INVISCIDO,

ESTACIONARIO EN UN DUCTO CONVERGENTE-DIVERGENTE En este punto la discusión se ha centrado en un dispositivo configurado como sigue en la figura 2-23. En donde p0= presión de reservorio o cámara, p* = presión en la garganta, pe = presión de escape en el plano transversal, pamb = presión ambiente. Las características operacionales de un ducto de este tipo son: !"Número de Mach de la sección de mínima

área (garganta) puede ser ≤ 1.

Figura 2-23

!"El flujo en la tobera puede ser isoentrópico o no – isoentrópico. (caso en el cual existirán ondas de choque en algunos valores de presión de descarga o salida).

!"Se pueden presentar principalmente tres tipos de flujo, dependiendo del valor de la presión de descarga, para un valor de presión de entrada o de reservorio dada.


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Principales regímenes de flujo que se presentan en un ducto propulsivo Tipo Tobera de Laval

Figura 2-24 En lo que sigue se presenta una breve discusión sobre los principales regímenes de flujo que se pueden dar en un ducto propulsivo de este tipo, y los cuales están representados en la figura 2-24. 2.12.1 Tipo 1: Flujo subsónico en toda la tobera. !"CASO 1: Condición de no flujo, cuando la presión de descarga es igual a la del

reservorio y adicionalmente a la del medio ambiente. !"CASO 2: Condición de flujo subsónico, son alcanzar condiciones críticas. En este

caso se ha disminuido la presión de descarga ( que sigue siendo igual a la ambiente) algún valor por debajo de la presión del reservorio. El fluido comienza a “fluir”, pero no alcanza a las condiciones de choque.

!"CASO 3: Flujo subsónico a la descarga, alcanzando condiciones críticas en la garganta. En este régimen el flujo se convierte es “chocado” por primera vez, la presión de descarga ha disminuido hasta el valor de pchoque, y sigue siendo el valor de la presión ambiente. En este caso el flujo es subsónico tanto en la entrada como en la descarga, aunque en la garganta es ya sónico.

2.12.2 Tipo 2: Flujo supersónico y ondas de choque normales en la sección divergente.

(Figura 2.25 caso a) Si se continúa manteniendo la presión de descarga igual a la presión ambiente, por ejemplo, para un valor dado de preservorio, se continúa disminuyendo el valor de la misma (pe=pamb<pcrítico), se presentan dos situaciones diferentes así: !"CASO 4: Flujo supersónico en una porción de la sección divergente y un flujo

subsónico luego de un choque normal. La presión de descarga sigue siendo al ambiente, pero menor que la presión crítica (o de condiciones de choque).

!"CASO 5: Flujo supersónico en toda la porción divergente, y choque normal justo en el plano de salida. En ese punto, la presión de descarga es igual a la presión ambiente, y a su vez corresponde al valor de la presión para un choque normal a la salida de la tobera.


47

Debe notarse que la onda de choque normal, se desplaza hacia fuera de la tobera en la medida en que la presión de descarga diminuye, hasta un valor dado por la onda de choque normal, para un número de Mach específico. La presión de descarga es la presión en el flujo subsónico que se encuentra justo por detrás de la onda normal de choque. El flujo en esta categoría se puede considerar isoentrópico en el frente y por detrás del choque normal, pero no a través de la onda de choque misma: por esto la determinación de las relaciones de área debe hacerse con las respectivas consideraciones del flujo subsónico y supersónico respectivamente. 2.12.3 Tipo 3: Flujo isoentrópico y supersónico a través de toda la tobera. (Figura 2.25

caso b, c, d y e) A este tipo de flujos corresponden los casos de toberas subexpansionadas, idealmente expandidas y sobreexpansionadas. En este caso no se mantiene la presión de descarga igual a la presión ambiente, sino que por el contrario, dada una presión de escape, menor que la presión para un choque normal a la salida de la tobera, se procede a disminuir la presión ambiente, la cual está entre el valor de presión para choque normal a la descarga y un valor de cero. En general, se presentan tres situaciones diferentes así: !"CASO 6: Tobera sobre-expandida, Flujo supersónico en toda la sección divergente y

presencia de ondas de choque oblicuas afuera de la tobera. La presión de descarga es menor que la de choque a la salida y la ambiente; es similar a estar en la condición del caso 5, y manteniendo las presiones ambiente y de choque a la salida constante, se expande más el flujo, y así se disminuye la presión de descarga. Presencia de ondas de choque oblicuas afuera de la tobera.

!"CASO 7: Tobera idealmente expandida, Flujo supersónico en toda la porción divergente, y flujo totalmente normal al plano de salida. En este punto, la presión de descarga es igual a la presión ambiente, siendo ambas, a su vez, menores al valor de la presión para choque normal a la salida de la tobera.

!"CASO 8: Tobera Sub-expandida, Flujo supersónico en toda la porción divergente. En este punto, la presión de descarga es mayor que la presión ambiente, siendo ambas, a su vez, menores al valor de la presión para choque normal a la salida de la tobera. Presencia de ondas de expansión (de Prandtl-Meyer), afuera de la tobera.

Una vez presentada toda la fundamentación necesaria para el diseño del ducto propulsivo, y a su vez los requerimientos de flujo para un ducto de este tipo, en el siguiente capitulo se procederá a llevar a cabo el diseño cuasi-unidimensional de un ducto que cumpla con los requerimientos de empuje para una misión dada, que se presentará allí mismo. Igualmente se presentará una breve evaluación bidimensional con el método de las características, aplicado al ducto propuesto inicialmente.


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3. DISEÑO DEL DUCTO PRUPULSIVO: TOBERA DE LAVAL

El presente capitulo tiene por objeto presentar los cálculos efectuados para el diseño de un ducto propulsivo, el cual es una tobera de laval, que se acopla con una cámara de combustión apropiada1, todo con el fin de presentar la metodología a seguir en el diseño de ductos propulsivos de este tipo. Cabe anotar que existen múltiples métodos para el diseño de una tobera desde el punto de vista constructivo y de evaluación real, sin embargo, aún cuando básico, un método sencillo como el expuesto en las siguientes líneas y a lo largo de todo el presente proyecto, proporciona la información suficiente para un primer modelo, que con técnicas más sofisticadas puede ser corregido por factores relativos a efectos de capa límite, factores geométricos, de materiales y otros. En esta sección se presentan ciertas relaciones, que pueden ser derivadas de la discusión de flujo isoentrópico, las cuales resultan muy útiles al momento de efectuar evaluaciones rápidas de un primer diseño, que luego pueden ser refinadas mediante cálculos más complejos. Después se presenta el método seguido y los valores de diseño preliminar obtenidos.

3.1 RELACIONES BASICAS PARA UN DISEÑO PRELIMINAR:

Coeficiente de Empuje y Velocidad Característica

A continuación se presentan dos conceptos, que debido a su practicidad, suministran valores de diseño de manera casi inmediata. Igualmente, al estar directamente relacionados con valores ya conocidos o discutidos anteriormente que pueden ser controlados de manera externa para regular el desempeño del sistema, estos dos parámetros sirven para poder comenzar de manera clara y firme el proceso de diseño de la tobera de Laval. Una expresión muy usada para el empuje de un cohete, que puede ser derivada del flujo isoentrópico y de la ecuación (1.4), en función directa de su área de garganta, presión efectiva en la cámara y un coeficiente de empuje, es:

Fc CAP ××= *τ (3.1) donde τ = Empuje. A* = Area de garganta. CF = Coeficiente de empuje y viene dado por:

t

e

c

ae

c

eF A

A

P

pp

P

pC ⋅−+

!!!

"

#

$$$

%

&

'''

(

)

***

+

,

''(

)**+

,−⋅''

(

)**+

,+

⋅−⋅=

−−+

γγ

γγ

γγγ

1

1

12

11

21

2 (3.2)

donde γ = relación de calores específicos. 1 Para leer más acerca del proceso de diseño de la cámara de combustión, consulte la referencia 1, Cap. 3.


49

Pe = Presión a la salida de la tobera, presión absoluta. Pa = Presión atmosférica, presión absoluta. Pc = presión en la cámara de combustión, presión absoluta. Ae = Area de la sección transversal a la salida de la tobera. At = Area de la sección transversal en la garganta de la tobera. Esta última relación tiene dos términos, en donde de manera similar a la ecuación (1.4), el primer término representa la contribución del empuje por momento, y el segundo término el empuje por presión. Igualmente, vale la pena recordar que el desempeño de un sistema cohete, es comúnmente expresado por el impulso específico o Isp, el cual, como se indicaba anteriormente es el empuje desarrollado por cada libra por segundo de propelente expelido. Este está definido, como se indicaba, por la siguiente relación:

mIsp

!

τ= (1.9)

Ya que la eficiencia global del sistema cohete es independiente de las eficiencias combinadas de la cámara de combustión y de la tobera, entonces la siguiente expresión para el impulso específico suele ser usada:

g

CcI F

sp×=

*

(3.3)

donde c* = Velocidad característica, la cual puede ser expresada como sigue:

m

Apc c

!

** ⋅= (3.4a)

c* mide el desempeño de la combustión, indicando cuantas libras por segundo de propelente deben ser quemadas para mantener la presión en la cámara. Si el proceso de combustión es de alta energía y eficiencia, entonces el consumo de propelente requerido m! será bajo, y c* será, respectivamente, alto. Usando las relaciones para flujo isoentrópico, c* puede ser expresado como.

1

1

0*

1

2 −+

''(

)**+

,+

=

γγ

γγ

γRTc (3.4b)

Se observa que c* es una función únicamente de las propiedades de los gases producto de la combustión, a la salida de la cámara de combustión y entrada a la tobera


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3.2 CÁLCULOS PRELIMINARES Y DISEÑO INICIAL

El diseño de algún dispositivo eléctrico, mecánico, hidráulico o cualquiera en general, debe estar enmarcado en un contexto de evaluación ( bien sea un montaje completo, o una pequeña pieza constructiva), bajo el cual se puedan medir los efectos, resultado o en general el desempeño del dispositivo de manera completa, tanto individual como globalmente. El motor cohete como tal no escapa a esta metodología, por lo cual cualquier diseño que se desee elaborara debe estar basado en algún contexto, o en otras palabras, debe existir una misión de evaluación. Es así como para sustentar el diseño, se debe establecer una misión cualquiera que permita determinar los requerimientos de empuje ( a partir de la ecuación dinámica característica). Una vez establecido el empuje y con datos de los productos de la combustión se pueden correlacionar las ecuaciones de flujo isoentrópico, para luego finalmente dar paso al diseño preliminar. Por lo pronto, se presenta este proceso de manera genera, pero concisa.

3.2.1 Definición de la Misión.

El marco de evaluación es una pequeña misión de lanzamiento. Esta misión pretende contrastar los cálculos teóricos con los resultados experimentales mediante el lanzamiento de una carga útil de 500 gramos a una distancia vertical de 100 m. (aun cuando el alcance experimental es efectuado sobre un básico banco de pruebas presentado en el capítulo 4), utilizando un cohete impulsado con propelente sólido (con una mezcla nitrato de potasio-sorbitol en relación 65/35 en masa), con una tobera convergente-divergente a base de acero, un cuerpo de lamina delgada y un sistema de encendido eléctrico con un ignitor de encendido retardado. Según sea el desempeño de tal dispositivo se podrán llevar a cabo ajustes menores, o detectar los posibles errores en el modelo elaborado hasta el momento. Cabe anotar que dado que se requieren flujos supersónicos, las discusiones del capítulo 2, se seleccionan como ducto propulsivo una tobera convergente divergente de Laval.

3.2.2 Primeras consideraciones: Empuje de diseño

Inicialmente se elaboró una simulación numérica de la ecuación diferencial (1.21), la cual resulta ser una EDO de segundo orden no-lineal, cuya resolución analítica es dispendiosa de obtener. Por lo anterior se optó por la simulación mediante métodos numéricos: se utilizaron en primera instancia métodos de diferencias finitas del modelo dinámico y posteriormente un programa en excel (corroborado luego con una rutina de Matlab, Anexo 1), bajo el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden. Para lo anterior se emplearon los siguientes parámetros y condiciones iniciales (los cuales a su vez se enmarcan dentro de la misión): !"La masa inicial a elevar del cohete no debe ser superior a 5 Kg. (diez veces la masa

útil, con una carga de 500 gramos), hasta una altura (mínima) de 100 metros. La velocidad inicial se considera cero, igual que la distancia inicial de recorrido vertical.


51

!"Se selecciona, según la gráfica No. 1, un coeficiente de arrastre (K) de 0.06, valor el cual suministra un favorable rango de confianza. Así mismo, se asume vuelo nivelado vertical, sin variaciones significativas en la dirección del mismo. Igualmente, el tiempo de modelado corresponde al tiempo estimado de quemado más un pequeño margen de error.

!"Como parámetros de combustión se toman los datos suministrados por el trabajo

paralelo, en el que se tiene una presión de cámara de 20 atm, aún cuando no son aún requeridos.

Los resultados obtenidos de la solución por métodos numéricos en un proceso iterativo, se presentan en la figura 3-1.

Figura 3-1

Curva velocidad – tiempo. Solución por Runge-Kutta de ecuación (1.21)

Con los valores suministrados se observa un crecimiento acelerado de la velocidad en los primeros 2 segundos, punto desde el cual, comienza a desacelerar de manera gradual. Así mismo es claro el alcance que tendría el primer modelo proyectado, de lograr mantenerse el suministro de combustibles y combustión. El valor obtenido de empuje deseado es de 21 Kgf aproximadamente por el método iterativo (empuje que suministra la figura 3-1), el cual es cuatro veces el valor del peso del cohete. Cabe anotar que los pasos que se describen a continuación no son únicos, sino que por el contrario representan apenas uno de los métodos que se pueden utilizar para el diseño preliminar de la tobera.

3.2.3 Procedimiento de solución.

El procedimiento seguido se ilustra brevemente así: A partir de la relación (3.4b), y contando con los datos pertinentes a la combustión (tales como la relación de calores específicos, la temperatura de cámara y la constante del gas especie principal de los gases de la combustión, entre otros), se puede obtener la velocidad característica c*, a


52

partir de la cual se puede obtener el área transversal de garganta A* (sección de flujo sónico, como se explico en el aparte 4.), para luego determinar m! y A/A*. A continuación se desarrolla este procedimiento: 1. A partir de los resultados de la simulación de la combustión del propelente escogido, se obtienen los siguientes valores para el gas de trabajo: Propellant composition Code Name mol Mass (g) Composition 765 POTASSIUM NITRATE 0.6429 65.0000 1N 3O 1K 840 SUCROSE (TABLE SUGAR) 0.1023 35.0000 22H 12C 11O Density : 1.900 g/cm^3 5 different elements N O K H C Total mass: 100.000000 g Enthalpy : -5447.24 kJ/kg 156 possible gazeous species 16 possible condensed species CHAMBER THROAT EXIT Pressure (atm) : 20.000 11.530 1.000 Temperature (K) : 1660.562 1552.727 1143.895 H (kJ/kg) : -5447.236 -5625.883 -6287.140 U (kJ/kg) : -5782.563 -5939.434 -6518.133 G (kJ/kg) : -17381.418 -16785.068 -14508.121 S (kJ/(kg)(K) : 7.187 7.187 7.187 M (g/mol) : 41.174 41.174 41.174 (dLnV/dLnP)t : -1.00000 -1.00000 -1.00000 (dLnV/dLnT)p : 1.00000 1.00000 1.00000 Cp (kJ/(kg)(K)) : 1.66369 1.64940 1.58165 Cv (kJ/(kg)(K)) : 1.46176 1.44747 1.37971 Cp/Cv : 1.13815 1.13951 1.14636 Gamma : 1.13815 1.13951 1.14636 Vson (m/s) : 612.31382 597.74070 512.74141 2. Ahora, como se indica se determinan CF y c* así:

γ = 1.13, R = 201.93 KJ/Kg K, To = 16660 K, pc =2026500 Pa y pe = pamb = 101325 Pa, entonces CF =1.4286 y c* 912.37 m/s; en donde la tobera se ha considerado idealmente expansionada.

3. Luego se determinan Isp y A* a partir de las relaciones (3.1) y (3.3) obteniendo: Isp =132.86 s y A* = 8X10-5 m2 (aprox).

4. Se determinan valores de m! , a partir de las relaciones (1.9) y (3.4a) obteniendo, respectivamente los siguientes valores: m! =0.1581 Kg/s y m! = 0.1606 Kg/s

5. A partir de la relación (2.50), se calcula máxm! , obteniendo un valor de 0.1776 kg/s 6. Dado que el valor de máxm! está por encima de los dos encontrados en el item 4. se

selecciona el mayor de estos valores redondeándolo al valor de 0.16 kg/s.


53

Hasta este punto se tiene conocida el área de garganta solo resta determinar el perfil propiamente dicho, para lo cual nuevamente existen varias alternativas, las cuales no son todas presentadas en el presente documento debido a su extensión, simplemente se hará mención al paso seguido (7.), el cual corresponden a un proceso de selección según criterios de diseño, a partir de la teoría base expuesta en la sección de configuraciones de tobera. Es pertinente recordar que gran parte de la discusión sobre la geometría de la tobera se centra en la sección divergente por la siguiente razón: Como es conocido, el flujo compresible ingresando a la sección convergente de la tobera generalmente está en condiciones subsónicas, rangos de velocidad a los cuales cualquier pulso de presión generado en cualquier punto del flujo viaja más “rápido” que el fluido mismo, debido a que este se transmite con la velocidad sónica; desde este punto de vista el fluido puede “saber” acerca de la proximidad de un obstáculo en la medida en que su presencia genera un pulso de presión sobre el fluido, y por tanto dicho fluido se acomodará al obstáculo aún antes de llegar a él, no importando por tanto la geometría de la sección convergente. Sin embargo en la sección divergente dichos pulsos de presión generalmente viajan a una menor velocidad que la del flujo, por lo que el flujo choca con el obstáculo antes de “saber” de él, fenómeno que es conocido como los flujos de Prandtl-Meyer, y que ocasionará ondas de choque, razón por la cual el diseño de la sección divergente resulta importante, ya que busca disminuir el efecto de dichas ondas sobre el flujo. Por el momento es necesario tener un número de Mach de diseño a la salida. Un criterio de fácil evaluación, propuesto en este trabajo es seleccionar un número de Mach que esté relacionado con la velocidad del sonido a condiciones estándar, así:

stestdiseño

RT

c

c

cM

⋅==

γ

**

donde. cets es la velocidad del sonido a condiciones estándar, 7. siendo c* = 912.37 y Tst = 293.15, así Mdiseño = 3.52, así el Mach seleccionado es:

Mdiseño escape = 3.5; ahora se determina el área de escape a partir de la ecuación (2.47), entonces:

='()

*+,

2

*A

Ae 428, y así: Ae = 20.6 A* = 1.655 X 10–3 m2, y por tanto el diámetro en el plano

de salida es: πe

eAd 4= = 4.5 X 10–2 m = 4.5 cm


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Hasta este punto solo se han determinado las área pero falta determinar el perfil de la pard( tipo campana, campana truncada, cónica, entre otras)2. Para la decisión acerca del tipo de tobera a utilizar se tuvieron en cuenta las facilidades de manufactura, siendo seleccionada una tobera cónica estándar, para luego, de acuerdo a una longitud de la sección divergente restringida por disponibilidad de material, seleccionar la relación de expansión de áreas más apropiada a partir de la siguiente gráfica3:

Figura 3-2 Relación de longitud de tobera con factor de expansión de área

A partir de este punto se tiene ya los datos mínimos para el trazado inicial del perfil de la tobera, teniendo en cuenta que están definidos el área de garganta (y por tanto el radio de la misma estación), la longitud de sección convergente, y el área de escape (obtenida de la relación de expansión de la Figura 3-3). Como se había dicho, dada la poca importancia del perfil de la sección convergente, este simplemente fue seleccionado como un cono interno de 45° de incisión, aunque los valores de diámetro interno de la tobera son obtenidos a partir del diseño de la cámara de combustión4. Los datos numéricos obtenidos son consignados en el formato de “Especificaciones técnicas del motor-cohete y el cohete para la primera misión”5 . Finalmente se presenta el plano de la geometría seleccionada para la tobera: 2 Para más información consulte la referencia 4. 3 Tomado de Sutton & Biblarz: Rocket Propulsion Elements, 7ª Edición, pag.77. 4 Ver referencia 1, cap. 3 5 Publicación interna del grupo de trabajo.


55

Figura 3-3 Plano final configuración geométrica tobera de descarga

Figura 3-4 Diseño constructivo de la tobera de descarga

Figura 3-5 Tobera de descarga construida


56

A manera de evaluación inicial, se presenta una grafica en donde se han determinado de manera isoentrópica y cuasiunidimensional los valores del número de mach a lo largo del eje de la tobera, desde la garganta o sección de condiciones críticas:

Figura 3-6

Debe tenerse en cuenta que existe un factor de corrección del empuje al diseñar toberas cónicas, el cual corrige las pérdidas de momentum al existir una componente radial. Puede encontrarse que el factor corresponde a:

( )αλ cos12

1 +=

donde α es el medio ángulo de diseño (en este caso 14°). En este trabajo este factor se despreció, pues su influencia es a penas de un 1.5% (aproximadamente) en la velocidad de escape, lo que no se consideró significativo en el empuje total del dispositivo. En el siguiente capitulo se presenta el estudio estadístico y el modelo realizado, para llevar a cabo la experimentación y comprobación acerca de los valores presentados en esta sección, así como algunos datos referentes al propelente utilizado, que servirán para confrontar el desempeño global del sistema.


58

4. CARACTERIZACION EXPERIMENTAL DEL MOTOR-COHETE

Una vez se ha llevado a cabo el diseño del ducto propulsivo es necesario efectuar comprobación experimental del desempeño del motor-cohete para validar el análisis. Hasta el momento tan solo se ha efectuado este análisis sobre la tobera misma, proceso expuesto en el capítulo 3, pero el experimento que se presenta a continuación para evaluar las condiciones de operación lo hace sobre todo el conjunto. Es claro que las condiciones de operación de la tobera estás gobernadas por el funcionamiento de la cámara de combustión expuesto y desglosado en un trabajo paralelo1. De esta forma, ciertos detalles, datos, técnicas o cualquier otra información, relevantes a la cámara de combustión son simplemente presentados, y no se dará mayor información al respecto. En caso de querer profundizar en el tema, deberá remitirse a la referencia1. Sin embargo ciertas relaciones básicas relevantes en la operación de la cámara de empuje serán presentadas. La experimentación del motor cohete se llevó a cabo la experimentación del motor cohete utilizando diferentes configuraciones del grano propulsor. Este análisis proveerá conclusiones importantes en cuanto al funcionamiento de la tobera, la dinámica de la cámara de combustión y las modificaciones esenciales a realizar para futuras experiencias. Se determina entonces, el efecto sobre el empuje real del cohete de las configuraciones analizadas. Es importante conocer la naturaleza del empuje desde el punto de vista de la cámara de combustión. Para ello, es necesario conocer como es la presión al interior de la cámara de combustión, como es la forma de la curva empuje – tiempo, las diferencias que existen entre el empuje teórico y el real. En el presente proyecto se desarrolla un diseño experimental de forma factorial para minimizar errores experimentales y concluir estadísticamente sobre los efectos reales de las diferentes configuraciones. Inicialmente, se analizan las curvas y el comportamiento de un motor cohete y al final del capítulo se presentan las pruebas finales.

4.1 LA CAMARA DE EMPUJE: CAMARA DE COMBUSTIÓN Y TOBERA DE ESCAPE

La cámara de combustión de un motor cohete es de vital importancia en el desarrollo del empuje. Su funcionamiento está influenciado por la rata de quemado del propelente, eficiencia termodinámica y las consideraciones de carga (esfuerzos y temperatura)2. La alta presión en la cámara se obtiene como resultado de la combustión (del propelente), la cual genera gases que deben escapar a través de la tobera; sin embargo, no siempre la parte convergente de esta deja escapar fácilmente los gases, por lo cual se produce una acumulación de estos, lo que genera presurización. Básicamente se pueden observar tres fases de la operación de un motor cohete cuando se correlaciona la presión de la cámara de combustión y el tiempo, como se ilustra en la figura 4.1.

1 Referencia 1 2 Como se encuentra enunciado en la referencia 1, capítulo 3


59

Como se observa, la curva de presión del motor cohete exhibe un comportamiento transiente y estable. La fase transiente se da cuando la presión varia sustancialmente con el tiempo, esto es, durante la ignición (fase start-up) la cual es seguida por un comportamiento aproximadamente estable, donde el grano se consume establemente para luego caer hasta presión ambiente en la fase de corte (tail off). La variación de la presión en la cámara se debe fundamentalmente a los cambios de la geometría del grano (superficie de emisión) con fluctuaciones asociadas a la rata de quemado. Otros factores pueden jugar un papel importante en la medición de la presión como son la erosión de la garganta de la tobera y un quemado erosivo del propelente.

Figua 4.1

Inicialmente, se considera la fase de ignición (Start-up) y de estado estable. La fase de ignición es hipotéticamente breve, sin embargo, el tiempo de encendido no ocurre instantáneamente. Esta fase (Stara-up) es función de la efectividad del sistema de ignición empleado. Por su parte, la fase de estado estable es dominada claramente por las características de funcionamiento del motor, y por tanto por las condiciones de diseño.

La determinación de la fase de ignición y de estado estable esta dado por el análisis de la rata de combustión, así

rAm bb ⋅⋅= ρ! (4.1)

Donde:ρb: es la densidad del propelente., Ab: Área de emisión, r: Velocidad de combustión. Es importante anotar que los productos de los gases de combustión consisten en general de especies condensadas y gaseosas. La fase condensada se manifiesta en forma de humo y vapores los cuales poseen partículas líquidas o sólidas. Sin embargo, únicamente los productos gaseosos contribuyen al desarrollo del empuje del motor cohete, lo cual se debe a su masa y velocidad. La rata a la cual los productos de la combustión se incrementan al interior de la cámara de combustión esta dada por:

dt

dvrA

dt

dMb

s 000

ρρ += (4.2)

Donde: ρ0 es la densidad instantánea del gas en la cámara, Ms es la masa acumulada en la cámara y υ0: es el volumen instantáneo del gas (el cual es igual al volumen libre al interior de la cámara). La tasa máxima a la cual los productos de la combustión pueden fluir a través de la garganta de la tobera esta limitado por la condición del flujo “chocado”, como se mencionaba anteriormente. Así, la rata a la cual los productos de combustión fluyen a través de la tobera, esta dada por:


60

⋅''(

)**+

,+

⋅=−+

1

1

0

*0 1

2 γγ

γγ

RTApmmáx! (2.50)

El principio de conservación de masa requiere que exista balance entre la tasa de generación de gases de combustión y la suma de la masa almacenada y la que fluye a través de la tobera, así:

ns

g mdt

dMm !! += (4.3)

Combinando (4.1), (4.2) y (4.3) se puede obtener:

nbbb mdt

dvrArA !++= 0

00ρρρ (4.4)

La tasa de quemado del propelente puede ser expresada en términos de la presión de la cámara de combustión mediante la Ley de Saint Robert3:

r = a Pon (4.5)

Donde a y n son coeficientes de la rata de quemado y el exponente de la presión, respectivamente. Considerando que la temperatura de la cámara de combustión es esencialmente independiente de la presión, e incorporando (4.5), se obtiene:

( ) 1

1

0000

0

0

0

1

2 −+

''(

)**+

,+

−−=γγ

γγρρ

RTApaPA

dt

dP

RT

vb

nb (4.6)

Esta relación es usada para determinar la rata de cambio de la presión en la cámara de combustión (dPo/ dt) durante la fase transiente de ignición (start up) en la operación del motor; de allí, la presión se incrementa rápidamente hasta la condición estable. Una vez la fase estable es alcanzada, la producción de gases y la masa expelida se equilibran, por lo cual, dPo/ dt = 0, y entonces, el miembro izquierdo de la ecuación (4.6) se convierte en cero. Para lo cual, la presión en la cámara puede ser expresada como:

n

bb

RT

a

A

Ap

−

−+

!!!!!!!

"

#

$$$$$$$

%

&

''(

)**+

,+

=

1

1

11

0

*0

1

2 γγ

γγ

ρ (4.7)

Nótese que la densidad de los productos de la combustión es pequeña comparada con la densidad del propelente. La ecuación (4.7) puede ser simplificada usando (4.5), introduciendo un factor Kn = Ab /A* y recordando el término de velocidad característica, definido como:

3 Ver referencia 1, capítulos 1 y 3


61

1

1

0*

1

2 −+

''(

)**+

,+

=

γγ

γγ

γRTc (4.8)

Luego la presión de estado estable esta dada por: *

0 crKp bn ⋅⋅⋅= ρ (4.9) Donde r es la rata de quemado a la presión de la cámara, po La fase final de la curva de presión (fase de corte) ocurre idealmente después de que el grano ha sido completamente consumido. En la experimentación se observa que la presión disminuye gradualmente y se puede estimar mediante:

*0

*0

cv

ART

boc epp−

= (4.10) Donde pbo es la presión de la cámara al final de la combustión, y t es el tiempo para el corte.

4.2 VARIABLES DEL PROPELENTE

Por conveniencia económica y de impulso4, se seleccionó un propelente cuya mezcla es 65% de nitrato de potasio y 35% de sacarosa. Esta mezcla tiene la ventaja de su fácil consecución en el mercado colombiano, por lo cual hace sencilla su manipulación y experimentación, además, no posee elevadas condiciones de seguridad (como si lo tiene por ejemplo, la nitroglicerina y la pólvora negra). La mezcla tiene también unas propiedades mecánicas “relativamente” buenas respecto a su consistencia, una vez es fundido el grano.

4.2.1 Formulación

Para la mezcla formulada anteriormente se tiene una temperatura de llama adiabática de 1660 K (1387 °C) la cual va a funcionar en una cámara de combustión y con una tobera de acero (con punto de fusión de 1500 °C), lo cual no genera erosión sobre esta última. La sacarosa (que se encuentra en estado líquido, sorbitol) contiene a su vez ciertas impurezas no determinadas en el presente proyecto, y por tanto son despreciadas, considerando una calidad del producto cercano al 100%. El nitrato de potasio es de fácil consecución ya que tiene un uso extensivo en cultivos hidropónicos y en jardinería como fertilizante. La pureza de venta esta entre el 95 y 99%. El precio varia dependiendo del grado de pureza.

4.2.2 Datos de los componentes

El primer paso de la preparación del propelente es homogenizar cada uno de los compuestos. En el caso del nitrato de potasio se lleva a un estado pulverizado y homogéneo Esto se puede hacer mediante un molino o por manipulación manual. Con esta pulverización, se reduce el tamaño de partícula a un promedio de 50 a 100 micras. El

4 Ver referencia 1, capítulo 1


62

nitrato de potasio es vendido típicamente entre 150 y 250 micras. Por su parte el sorbitol es sacarosa hidratada. Para llevarla a su estado de mezcla, se calienta hasta reducir la cantidad de agua presente en un 5 a 10% (aproximadamente). Cuando se eleva la temperatura, su aspecto toma un color amarillo, a la vez que su densidad y viscosidad aumentan notablemente. Cuando se utiliza azúcar en gránulos, es conveniente aumentar el área para mezcla mediante pulverización o utilizando azúcar en polvo.

4.2.3 Mezcla y preparación

El proceso de fundición seguido para preparar el propelente se controla mediante una continua adición de calor manteniendo la mezcla en una temperatura constante entre 125 y 135 °C. Como elemento solvente se utiliza el sorbitol líquido. Y como soluto el nitrato de potasio. Para realizar “coladas” de cuatro granos de propelente, cada uno de 400 gr, se utiliza la formulación presentada en la tabla 4-1. Tabla 4-1. Composición de la mezcla para la fabricación real.

Componente Uso Porcentaje másico

Peso (g) Pureza Peso corregido por

pureza (g) Nitrato de potasio Oxidante 65 1040 95% 1094

Sacarosa (sorbitol) Combustible 35 560 100%

(teórica) 560

El secado del sorbitol dura en promedio una hora hasta llegar al color amarillo luego se agrega el nitrato de potasio cada 10 minutos en un peso de 100 gramos hasta completar

Figura 4-2

el 65% de la mezcla. En este proceso se debe agitar vigorosamente la mezcla para evitar compactación, lo cual puede generar zonas sólidas, que con la alta temperatura ignitan, y a la postre resulta peligroso. Una vez se ha adicionado todo el nitrato de potasio, se sigue agitando para mantener la mezcla en estado fluido y llevar a cabo la colada. Se recomienda vaciar el producto en moldes con dimensiones próximas a las de la cámara de combustión a utilizar. Una vez fundido se debe esperar en promedio dos a tres días para que la mezcla adquiera la consistencia y las propiedades deseadas de propelente. El aspecto sólido es de color “blanco marfil” con una alta dureza y gran fragilidad (Figura 4-2). Gracias a la solidificación, la contracción es del orden del 5 al 10%.

4.3 PRUEBAS DE LA MEZCLA

Se han realizado pruebas de la mezcla con los siguientes objetivos: !"Generar un proceso convencional de fabricación del propelente. !"Obtener datos respecto a la velocidad de quemado, cantidad no quemada, color de los

gases entre otras variables. !"Probar estáticamente el motor cohete experimental.


63

El encendido se realiza mediante cortocircuito (a fin de obtener seguridad y mando a distancia de la ignición) de un filamento de ferroniquel. En las últimas mezclas se realiza la ignición utilizando como iniciadores pólvora negra con mecha lenta.

4.3.1 Caracterización de propiedades: diseño del experimento

Como se mencionaba, la presión cambia con el tiempo y por tanto el empuje también lo hace, el cual es medido en una prueba de carga. Se realiza la prueba en un dispositivo vertical, para determinar la curva de empuje – tiempo en función de la geometría del propelente y de la forma de presurización de la cámara de combustión, utilizando una sola tobera. Así mismo, con los valores suministrados por los cálculos para presión y temperatura alcanzados durante la combustión teórica de esta mezcla, se diseñó el conjunto de cámara de combustión y tobera de escape, de manera que empleando la energía suministrada por el propelente, y mediante los anteriores dispositivos, se alcanza la altura calculada para el cohete prototipo del proyecto. Antes de pasar a la fase de construcción, se establece un procedimiento de experimentación, mediante el cual se determina la influencia de ciertos parámetros sobre el valor de empuje del cohete, así como sobre el desempeño general del mismo. De esta forma, para la caracterización conjunta del propelente y del dispositivo utilizado (motor cohete) en esta fase del trabajo, se escogió un experimento bifactorial. Esto es, se utilizan como factores de experimentación la geometría del propelente y la utilización de un elemento presurizador de los gases de combustión, llamado tabique. Entonces, el experimento queda diseñado según la tabla 4-2: Tabla 4-2. Diseño del experimento

FACTORES DE EXPERIMENTACIÓN NIVELES DEL FACTOR

1. Con geometría interna cilíndrica (core cilíndrico) GEOMETRÍA DE LA BARRA DE PROPELENTE (Factor τ)

2. Sin geometría interna (tipo de quemado en forma de cigarrillo o tabaco)

1. Sin tabique PRESURIZADOR DE LOS GASES

DE COMBUSTIÓN (Factor β) 2. Con tabique de bajo espesor (espesor del presurizador: 0.2 mm)

Se decide que el experimento tenga la siguiente jerarquía: el primer factor es las variaciones en la geometría interna de la barra de propelente, y consta de dos niveles (barra con y sin núcleo), en tanto que el segundo es el espesor de la membrana de presurización, y esta conformado por dos niveles: sin membrana o espesor cero, y un espesor determinado, el cual es aproximadamente 0,2 mm. El modelo estadístico que describe los datos de este experimento puede indicarse así:

ijkijjiijky ετββτµ ++++= )( (4.11)


64

Donde los subíndices varían de acuerdo al número de niveles y elementos del submuestreo: i es el número de niveles del factor τ (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2) j es el número de niveles del factor β (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2) k es el número de elementos utilizados en cada experimento (valor a determinar, que es igual al número de elementos del submuestreo). Con el presente experimento se determina la influencia de los factores sobre el empuje del motor manteniendo las propiedades del propelente fijas, entonces se desean probar las siguientes hipótesis: H0: τ1=τ2=0; Η1: τι≠0, para al menos algún i. La hipótesis nula enuncia que el factor τ (geometría interna) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel i del factor τ existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete. La otra hipótesis a probar esta dada por el siguiente conjunto estadístico H0: β1= β2 =β3=0 y Η1: βj≠0, para al menos algún j. La hipótesis nula enuncia que el factor β (presurizador de la cámara de presión: tabique) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel j del factor β existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete. El último conjunto de hipótesis que se desea probar es referente a la interacción entre los factores: H0: (τβ)ι j= 0 y Η1: (τβ)ι j≠0, para al menos alguna pareja i, j. La hipótesis nula enuncia que la interacción entre los factores τ y β no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo (es decir, no interactúan), contra la hipótesis alterna que indica que para al menos alguna pareja de niveles de los dos factores influirán en la magnitud del empuje del cohete.

4.3.2 Elección del tamaño de la muestra

Para la elección del tamaño de las muestras se utilizaron el procedimiento y las curvas características de operación para el modelo de efectos fijos5, en los que se debe determinar al valor de φ2, que corresponde a una diferencia especificada, así: φ2=(nbD2)/(2aσ), en donde b representa el número de muestras del factor B sobre el cual se está basando la determinación del número de muestras, y a el número de muestras del factor A. Dado que en el caso del proyecto se trata de un experimento de dos factores desbalanceado, ya que cada factor contaba con diferente número de niveles (y por tanto con diferentes grados de libertad), se efectuó el análisis para cada uno de los factores por separado. Dado que el valor del empuje esperado es de 21 Kgf, y se estima una desviación estándar de 1 Kg-f, entonces la diferencia detectable, entre dos medias de cada nivel, debería ser 2 Kg-f (predeterminado por la experiencia de los experimentadores). Para el análisis se utilizó un nivel de confianza del 5% (= 0.05) y un poder de la prueba mayor al 80% (= 0.20), con lo cual se obtuvo que la cantidad mínima de muestras a efectuar para validar el experimento es 3. La tabla 4-3 resume los cálculos.

5 Montgomery, D. Diseño y Análisis de Experimentos. Grupo Editorial Iberoamérica. Págs., 192 y 547.


65

Tabla 4-3 Número de Niveles Numero de Grados de Libertad

Factor A (Geometría) 2 1 Factor B (Espesor Membrana) 2 2 Montgomery6 utiliza el siguiente procedimiento para hallar el número de muestras requerido: 1. Se calcula inicialmente el valor de Φ:

nn

2)1)(2(2

)2)(2(2

22 ==Φ

2. Recordando que los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son: Efecto Grados de Libertad

A a-1 B b-1 Interacción AB (a-1)(b-1) Error ab(n-1) Total abn-1

Se puede construir una tabla para la determinación del tamaño de muestra (utilizando la gráfica de la curva característica de operación para el análisis de varianza del modelo de efectos fijos, con α=0.05: Tabla 4-4 Tabla 4-4

n ΦΦΦΦ2 ΦΦΦΦ ωωωω1: Grados de libertad del

numerador

ωωωω2: Grados de libertad del error

ββββ

2 4 2 1 4 0.4 3 6 2.44 1 8 0.14

Montgomery recomienda que la potencia de la prueba (1-β) sea por lo menos 70%, por lo tanto se utilizan tres muestras por cada experimento, obteniendo con ello, una potencia de prueba del 84%.

4.3.3 Esquema de montaje

El esquema de montaje adoptado para llevar a cabo la experimentación se presenta en las figuras 4-3 y 4-4

6 Montgomery, D. Diseño y Análisis de Experimentos. Grupo Editorial Iberoamérica. Págs., 192 y 547.


66

Figura 4-3

Figura 4-4 En el esquema se observa que el cohete se encuentra sobre el sensor, el cual, es una celda de carga que mide hasta 500 lb de fuerza. El sensor se encuentra alimentado por una fuente de 10 V y la salida de la celda es del orden de fracciones de milivoltios (lo cual hace imprescindible el uso de un amplificador de voltaje). Este elemento registra el empuje del motor cohete mediante deformaciones de las resistencias internas en puente, la cual es convertida en señal eléctrica, que es conducida a un amplificador. Por su parte el amplificador de voltaje toma la señal proveniente de la celda de carga, la amplifica y la envía al osciloscopio para la medición del empuje. Este amplificador se encuentra alimentado directamente de la red eléctrica con voltajes de 110 V. Una vez la señal ha sido recibida en el osciloscopio, se gráfica (imprime) utilizando una escala adecuada previa calibración del experimento. La calibración se lleva a cabo utilizando pesas normalizadas de 500, 1000, 1500, 2000 g.

4.4 DESARROLLO DE LOS EXPERIMENTOS

4.4.1 Combustión frontal sin tabique

El esquema del propelente y montaje de este grupo de muestero este experimento se muestra en la figura 4-5. Los datos obtenidos se encontraban totalmente fuera de rango, por debajo, por lo que se determina que el empuje obtenido en esta configuración no es medible. Se considera empuje nulo bajo esta configuración. Figura 4-5

4.4.2 Combustión frontal con tabique

Al igual que en el caso de combustión frontal sin tabique, se observa que los datos no aparecen en la escala de lectura del osciloscopio, por lo tanto, no se registra empuje. El esquema se muestra en la figura 4-6. Además se presenta una gráfica que muestra las lecturas de empuje obtenidas de las pruebas de emisión frontal con y sin tabique (figura 4-7) Figura 4-6


67

Debido a que las gráficas de estos ensayos tienen un comportamiento similar al de la figura 4.6, no se presentan porque no muestran tendencias o valores prácticos, lo que se resume en la Tabla 4-5. Tabla 4-5

Tiempo de ignición (Star-up) 0

Tiempo de estado estable 0

Tiempo de corte (tail off) 0

Figura 4-7 Empuje medido No medible

4.4.3 Combustión de propelente con geometría interna sin tabique

Figura 4-8

En este muestreo, el propelente es modificado de manera que ahora tiene un orificio cilíndrico pasante, a través de su núcleo, y que será llamado “core” La configuración de esta prueba esta dada en la figura 4-8. En las secciones siguientes se muestran los resultados para esta geometría.

4.4.3.1 Primer experimento

Figura 4-9

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 17 kgf, el cual dura 1.6 segundos. El tiempo de subida (Start up) es 0,3 s y el tiempo de corte (tail – off) es 0,7 segundos. Se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (figura 4-9) donde se observan claramente los valores de estado estable e inestable. Los valores obtenidos se acercan a los teóricos para los cuales el

tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:


68

%201002

1.6-2 tiempo%elen

%1910021

21-17empuje% elen rror

==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 0,3 s Tiempo de estado estable 1,6 s Tiempo de corte (tail off) 0,7 s Empuje medido 17 kgf

4.4.3.2 Segundo experimento

Figura 4-10

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 14 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Start up) es 1,5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 0,7segundos al igual que en el anterior experimento, se puede observar que la gráfica de este experimento es similar a la curva teórica (Figura 4-10) . Los errores con los valores experimentales en este caso son:

%501002

1-2 tiempo%elen

%3.3310021


==

==

xError

xE

Tiempo de ignición (Start-up) 1,5 s Tiempo de estado estable 1,0 s Tiempo de corte (tail off) 0,7 s Empuje medido 14 kgf

4.4.3.3 Tercer experimento

Figura 4-11

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 13,5 kgf, el cual dura 1,0 segundos. El tiempo de subida (Start up) es 1,2 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1,3 segundos. El comportamiento sigue describiendo el mismo patrón teórico, pero mantiene las diferencias observadas en el segundo experimento (Fig. 4-11). Los errores con los valores experimentales son:

%501002

1.0-2 tiempo%elen

%7.3510021

21-13.5empuje% elen rror

==

==

xError

xE


69

Tiempo de ignición (Start-up) 1,2 s Tiempo de estado estable 1,0 s Tiempo de corte (tail off) 1,3 s Empuje medido 13,5 kgf

4.4.4 Combustión de propelente con geometría interna con tabique

Figura 4-12

Al igual que el anterior este grupo de propelentes fue modificado agregándoseles un “core”, pero en este caso se agrega una membrana o tabique entre la cámara de combustión y la tobera de descarga. (Figura 4-12). En las secciones siguientes se muestran los resultados para esta geometría.

4.4.4.1 Primer experimento

Figura 4-13

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 6,2 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Start up) es 0,5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1,5 segundos. En esta prueba el tiempo de corte es extremadamente largo en comparación con el de subida, teórico lo que hace pensar que quedaron residuos internos que tenian diferentes velocidades de combustión. Los valores obtenidos distan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable

es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

Tiempo de ignición (Start-up) 0,5 s

Tiempo de estado estable 1,0 s

Tiempo de corte (tail off) 1,5 s %501002

1-2 tiempo%elen

%7010021


==

==

xError

xE

Empuje medido 6,2 Kgf


70

4.4.4.2 Segundo experimento

Figura 4-14

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 13,8 kgf, el cual dura 1 segundo. El tiempo de subida (Start up) es 0,5 s y el tiempo de corte (tail – off) es 1,5 segundos. Aunque en este caso los valores difieren también, en esta réplica la diferencia entre empuje teórico y experimental es menor. Los valores obtenidos distan a los teóricos para los cuales el tiempo de estado estable es 2 segundos y el empuje de diseño es 21 kgf. Los errores con los valores experimentales son:

Tiempo de ignición (Start-up) 0,5 s

Tiempo de estado estable 1,0 s

Tiempo de corte (tail off) 1,5 s %50100

2

1-2 tiempo%elen

%3410021


==

==

xError

xE

Empuje medido 13,8 Kgf

4.4.4.3 Tercer experimento

Figura 4-15

El empuje observado alcanza un valor de estado estable de 10 kgf, el cual dura 0.2 segundos. El tiempo de subida (Start up) es 0.4 s y el tiempo de corte (tail – off) es 3,5 segundos. Los errores con los valores experimentales son:

%901002

0.2-2 tiempo%elen

%5210021


==

==

xError

xE

Se muestran a continuación dos

fotos tomadas de esta experimentación (figura 4-16 y 4-17):


71

Figura 4-16

Figura 4-17

4.5 ANÁLISIS ESTADÍSTICO

En este punto resulta muy importante la determinación del efecto de la configuración interna de la cámara de combustión. El experimento desarrollado es bifactorial con dos niveles de donde se desea conocer si el tabique de sobrepresión y la configuración interna del grano afectan el empuje y el tiempo de operación. A continuación se evalúan los resultados obtenidos y se presenta la fundamentación teórica básica.

4.5.1 Prueba de idoneidad del modelo

El modelo a utilizar es idóneo si cumple estadísticamente con los siguientes supuestos: 1. Homogeneidad de varianzas. 2. Independencia (del tiempo de realización de la prueba, del experimentador, del clima y

de otros factores no tenidos en cuenta en el desarrollo del experimento) 3. Normalidad.

4.5.2 Análisis matemático

Sea yi el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A (geometría) y yj el total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B (espesor de membrana: tabique), yij el total de las observaciones de la ij-ésima celda, e y el total general de todas las observaciones. Se definen, yi, yj, yij, y y como los promedios de fila, columna, celda (experimental) y general. Por otro lado, la suma de cuadrados está dada por:


72

a. Suma total de cuadrados:

abnSS

yy

a

i

b

j

n

kijkT

2

1 1 1

2 •••

= = =555 −= (4.12)

b. Suma de cuadrados para los efectos principales:

abnbnSS

yya

i

iA

2

1

2

•••

=

••5 −=

abnbnSS

yya

i

iA

2

1

2

•••

=

••5 −= (4.13)

c. Suma de cuadrados de los subtotales: abnn

SSyyb

j

a

i

ijSubtotales

2

1 1

2

•••

= =

•55 −= (4.14)

d. Suma de cuadrados del error: subtotalesTE SSSSSS −= (4.15)

Con estas relaciones se construye la tabla de análisis de varianza para el modelo bifactorial de efectos fijos, presentada por Montgomery7. Igualmente a continuación se resumen los resultados obtenidos: 1. Tiempo de ignición (Start-up) 2.Tiempo de estado estable:

Tabique Tabique Sin Con Sin Con

0,3 0,5 1,6 1 1,5 0,5 1 1

Core 1,2 0,4

Core

1 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0 G

eom

etrí

a

Tabaco 0 0

Geo

met

ría

Tabaco

0 0 Tabla 4.5 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de ignición (Start-up) en segundos.

Tabla 4.6 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de estado estable (s).

4. Tiempo de corte (Tail-off) 5. Empuje Tabique Tabique Sin Con Sin Con

Sin Con 17 6,2 0,7 1,5 14 13,8

Core 0,7 1,5

Core

13,5 10 1,3 3,5 0 0 0 0 0 0 G

eom

etrí

a

Tabaco 0 0

Geo

met

ría

Tabaco

0 0 Tabla 4.7 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al tiempo de corte (s)

Tabla 4.8 Tabla de resumen de resultados para los experimentos en cuanto al empuje (kgf).

7 Montgomery, D. Diseño y Análisis de Experimentos. Grupo Editorial Iberoamérica. Págs., 192 y 547


73

4.5.3 Reducción del problema bifactorial a unifactorial con dos niveles

Gracias a que el empuje del cohete en los experimentos con quemado frontal resultaron nulos se reduce el problema a un diseño unifactorial con dos niveles, esto es, un factor: geometría interna cilíndrica; con dos niveles: con y sin tabique. El modelo estadístico que describe los datos de este experimento puede indicarse así:

./0

123

==

++=)(3,2,1

)(2,1

nesobservacioj

factoresiy ijiij ετµ (4.16)

Donde los subíndices varían de acuerdo al número de niveles y elementos del submuestreo, esto es:

!" i es el número de niveles del factor τ (es decir, puede tomar el valor de 1 ó 2)

!" j es el número de elementos utilizados en cada experimento. Con el presente experimento se determina la influencia de los niveles sobre el empuje, tiempo de subida, de estabilización y de corte del motor manteniendo las propiedades del propelente fijas. Esto es, se desean probar las siguientes hipótesis: H0: τ1=τ2=0; Η1: τι≠0, para al menos algún i. La hipótesis nula enuncia que el factor τ (tabique) no ejerce influencia sobre el comportamiento global del modelo, contra la hipótesis alterna que indica que para al menos algún nivel i del factor τ existe influencia sobre la magnitud del empuje del cohete Utilizando un análisis de varianza con α=0.05, se obtiene el siguiente resultado: 4.5.3.1 Análisis estadístico para el tiempo de ignición (Start-up) Los datos experimentales son:

Tabique Sin Con 0,3 0,5 1,5 0,5 1,2 0,4

Donde el tiempo está en segundos. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen estadístico: Tabla 4.9. Resumen estadístico del tiempo de subida.

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza Sin Tabique 3 3 1 0,39 Con Tabique 3 1,4 0,46666667 0,00333333

De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de ignición, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la


74

utilización de tabique disminuye el tiempo de subida, es decir, la no utilización de membrana de presurización estabiliza el funcionamiento del motor cohete rápidamente. Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA: Tabla 4.10. Tabla de ANOVA para el tiempo de subida con αααα=0.05.

Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico

para F Entre grupos 0,426666667 1 0,426666667 2,16949 0,21476446 7,708649719 Dentro de los

grupos 0,786666667 4 0,196666667

Total 1,213333333 5 De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de subida en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización.

4.5.3.2 Análisis estadístico para el tiempo de estado estable

Los datos experimentales son: Tabique

Sin Sin 1,6 1,6 1 1 1 1

Donde el tiempo está en segundos. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen estadístico: Tabla 4.11. Resumen estadístico del tiempo de estado estable.

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza Sin Tabique 3 3,6 1,2 0,12 Con Tabique 3 2,2 0,733333333 0,21

De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de estado estable, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique disminuye el tiempo de estado estable Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA:


75

Tabla 4.12. Tabla de ANOVA para el tiempo de estado estable con αααα=0.05. Origen de las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F Probabilidad

Valor crítico para F

Entre grupos 0,326666667 1 0,326666667 1,96 0,2341006 7,708649719Dentro de los grupos 0,666666667 4 0,166666667 Total 0,993333333 5

De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de estado estable en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización.

4.5.3.3 Análisis estadístico para el tiempo de corte (Tail-off)


Sin Con 0,7 1,5 0,7 1,5 1,3 3,5

Donde el tiempo está en segundos. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen estadístico

Tabla 4.13. Resumen estadístico del tiempo de corte.: Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Sin Tabique 3 2,7 0,9 0,12 Con Tabique 3 6,5 2,16666667 1,33333333

De esta tabla se observa que el promedio del tiempo de corte, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique aumenta el tiempo de corte (tail off). Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA: Tabla 4.14. Tabla de ANOVA para el tiempo de corte con αααα=0.05.


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F Probabilidad

Valor crítico para F

Entre grupos 2,406666667 1 2,406666667 3,3119 0,1428987 7,708649719Dentro de los grupos 2,906666667 4 0,726666667 Total 5,313333333 5

De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el tiempo de corte en la operación


76

del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro de tiempo no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización.

4.5.3.4 Análisis estadístico para el empuje


Sin Sin 17 6,2 14 13,8

13,5 10 Donde el empuje está en kilogramos fuerza. Se debe tener en mente que no existe variación de la geometría interna. Hallando los valores promedio y la desviación estándar se obtiene: Resumen estadístico:

Tabla 4.15. Resumen estadístico del empuje. Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Sin Tabique 3 44,5 14,8333333 3,58333333Con Tabique 3 30 10 14,44

De esta tabla se observa que el promedio del empuje, en los experimentos llevados a cabo, es mayor cuando no se utiliza tabique. Este resultado “sugiere” que la utilización de tabique disminuye el empuje. Sin embargo, para afirmar estadísticamente si existe efecto o no, se observan los resultados del análisis de varianza ANOVA: Tabla 4.16. Tabla de ANOVA para el empuje con αααα=0.05.


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los cuadrados F Probabilidad Valor crítico

para F Entre grupos 35,04166667 1 35,04166667 3,89 0,1199052 7,708649719Dentro de los

grupos 36,04666667 4 9,011666667

Total 71,08833333 5 De la tabla de ANOVA se observa que Fν=1,ν=4,α=0.05 es mayor que Fcalculado por lo cual no se puede concluir estadísticamente que el tabique afecte el empuje en la operación del motor cohete y por tanto se “acepta” la hipótesis nula que enuncia que este parámetro no se ve afectada por la utilización o no de membrana de presurización.

4.5.4 Idoneidad del Modelo unifactorial

4.5.4.1 Suposición de normalidad

Una forma de comprobar la suposición de normalidad consiste en hacer histogramas de los residuos. Si la suposición de que los errores están normalmente distribuidos con


77

media cero y varianza conocida se satisface, esta gráfica debe ser semejante a la de una muestra extraída de una distribución normal centrada en cero. El procedimiento seguido en este trabajo consiste en construir una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Una gráfica de este tipo es la representación de la distribución acumulada de los residuos sobre papel de probabilidad normal, en donde, las ordenadas se concentrarán en una línea recta. Para ello se dispone los residuos en orden ascendente y se gráfica el k-ésimo de estos residuos ordenados contra su punto de probabilidad acumulada PK=(k-1/2)/N. Si la distribución de los errores es normal, está gráfica “parecerá” una línea recta. Al visualizar dicha línea hay que poner más énfasis en los valores centrales de la gráfica que en los extremos. Se analiza únicamente para los datos de empuje:

Tabla 4.14. Tabla de residuos normalizados k Residuo Pk=(k-1/2)/6

1 -6,21666667 0,08333333

2 -2,41666667 0,25

3 1,08333333 0,41666667 4 1,38333333 0,58333333 5 1,58333333 0,75 6 4,58333333 0,91666667

Figura 4-18

De la figura 4-18 se puede concluir que los datos se aproximan a una distribución normal, debido a que se ajustan de cierta forma a una recta.


78

4.5.4.2 Suposición de homogeneidad e independencia temporal

Si la suposición de homogeneidad no se cumple, la prueba F es afectada sólo ligeramente en los modelos balanceados de efectos fijos. Si el modelo es correcto y las suposiciones se satisfacen, los residuos no deben tener algún patrón, ni bien estar relacionados con alguna otra variable. Para comprobar en forma sencilla se grafican los residuos contra los valores ajustados de la respuesta. En esta gráfica no debe verse ningún patrón obvio. Se presenta la figura 4-19 de residuos versus valores ajustados de los grupos, es decir, el valor promedio de los datos del empuje entre cada uno de los grupos a saber: con y sin tabique. De la cual no se observa patrón alguno, por lo cual se comprueba el supuesto de homogeneidad.

Figura 4-19

En la figura 4-19 se observa los valores de residuos en función del tiempo para comprobar el supuesto de independencia temporal y en la cual se observa que no existe tendencia en función del tiempo de los residuos, por lo tanto las pruebas son independientes de la secuencia de realización. Una vez comprobado el modelo se puede concluir al respecto de las pruebas.


79

Figura 4-20

4.6 EVALUACION CUALITATIVA DE LA EXPERIMENTACION

Además e los análisis estadísticos presentados anteriormente, se pudieron efectuar ciertos análisis cualitativos respecto del funcionamiento de la tobera. En las figuras 4-20 a 4-23, se pueden observar los perfiles del chorro de los gases de escape. El tiempo de duración de estos chorros, se observó, concuerda con el tiempo de estado estable, por lo que se supone es el lapso de empuje efectivo del motor cohete. Como se ilustró en el capítulo anterior, la tobera fue diseñada con flujo “chocado” y sobre expandida, fenómeno qu no logra visualizarse pues los gases de escape describen un cono perfecto durante el tiempo de estado estable, que se ajusta a la pared de la tobera de manera casi perfecta. Esto comprueba el régimen de flujo en el que se encuentra operando el dispositivo, y a su vez junto con los resultados estadísticos, suministra información sobre el adecuado desempeño del motor cohete en conjunto.


80

Figura 4-21

Figura 4-22

Figura 4-23


81

4.7 CONCLUSIONES

Es claro, a partir de los experimentos, que el área de quemado es un parámetro importante que influye en el empuje del motor cohete. Es así como en el caso del propelente con superficie de emisión frontal no se presentó un valor de empuje medible por los instrumentos utilizados; sin embargo, las pruebas efectuadas con propelentes que poseían “core” o agujero central, y por tanto mayor área de emisión, mostraron resultados satisfactorios. Por lo anterior, se afirma que un empuje para aplicaciones prácticas es logrado únicamente en aquellos propelentes donde existe un área de emisión apreciable. La utilización de membrana presurizadora, o tabique, no afectó los valores de tiempo y empuje medidos en el cohete. Esto es, estadísticamente no se halló evidencia de que este efecto representara cambios significativos en las mediciones (utilizando ANOVA con prueba F), sin embargo, un análisis estadístico simple basado en los promedios de los datos “sugiere” que la membrana reduce el tiempo de ignición (subida), aumenta el tiempo de estado estable y genera menores empujes. Aunque se ha concluido que no existen efectos significativos (con α=0.05) de la utilización de membrana, la sugerencia de los promedios encontrados indica que se debe realizar nuevos experimentos para corroborar que el efecto del tabique es nulo, con una población de muestreo aún mayor, aumentando el poder de la prueba de ser necesario. Los datos de empuje obtenidos difieren de las condiciones de diseño y de los datos teóricos principalmente por la pureza de los químicos utilizados, la sensibilidad de los instrumentos, los errores de fabricación y compactación, las condiciones de la cámara y la tobera entre otros factores, generándose errores del 30% en el empuje y hasta 50% en el tiempo de estabilización. Sin embargo, dados los valores presentados, se puede afirmar que el motor cohete, con alguno ajustes constructivos, presentará el empuje esperado para una condición de diseño dada.


82

5. MODELAMIENTO NUMERICO DEL FLUJO DE GASES AL INTERIOR DEL MOTOR COHETE

El objetivo del presente capítulo es abordar de manera descriptiva el comportamiento del sistema de ecuaciones de la dinámica de gases que gobierna el proceso de funcionamiento del flujo en el conjunto motor-cohete. Una vez descrito el sistema de ecuaciones se procede a resolver el fenómeno del flujo con el objeto de hallar el mapa de velocidad, densidad y presión que gobierna la dinámica del gas tanto en la cámara de combustión como en la tobera, utilizando un apropiado método numérico. Aquellos fenómenos que varían con más de una dimensión espacial o lo hacen con el tiempo y el espacio simultáneamente son en general modelados como ecuaciones diferenciales parciales, que contienen derivadas parciales de una o más variable dependientes. Los principales problemas físicos se pueden clasificar como problemas de equilibrio, de valores propios o de propagación. En los problemas de equilibrio, la variable a determinar responde inmediatamente a las condiciones de frontera impuestas. Algunos ejemplos de equilibrio son los flujos de fluido estables y los esfuerzos en materiales. Los problemas de propagación en general se denominan problemas con valores iniciales en la frontera (o simplemente problemas con valores iniciales). La ecuación diferencial que gobierna este tipo de fenómenos físicos es en general una ecuación parabólica o hiperbólica, y contienen condiciones iniciales y (algunas veces) condiciones en la frontera. Entonces, se puede pensar que un problema de propagación es uno en el que la solución sale de un estado inicial y es modificada por condiciones en la frontera en instantes posteriores. A diferencia de los problemas parabólicos (en los cuales las respuestas son amortiguadas), los problemas hiperbólicos permiten oscilaciones. Entre estos tipos de problemas se encuentra el presente proyecto que determina mediante simulación las condiciones de flujo compresible al interior de la cámara de combustión y la tobera de un pequeño motor cohete.

5.1 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES.

Los términos antes enunciados (parabólico, elíptico e hiperbólico) se definen y clasifican gracias a los conceptos de características, como se había mencionado en el capítulo 21. Sean entonces ai, bi, ci, di, fi con i=1,2; funciones de x, y, u y v considérese el sistema simultáneo de primer orden cuasi lineal (5.1):

22222

11111

fvdvcubua

fvdvcubua

yxyx

yxyx

=+++

=+++ (5.1)

Estas ecuaciones son la representación de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que pueden describir un problema físico.

1 Para información complementaria lea el capítulo 2, sección 2.9


83

Obsérvese que las derivadas totales de , u y v se pueden expresar a su vez mediante (5.2):

dyvdxvdv

dyudxudu

yx

yx

+=

+= (5.2)

Entonces, se puede introducir una matriz que contenga las derivadas totales (para satisfacer las condiciones de continuidad de las variables u y v ) y el sistema de ecuaciones diferenciales, esto es (5.3):

'''''

(

)

*****

+

,

=

'''''

(

)

*****

+

,

'''''

(

)

*****

+

,

dv

du

f

f

v

v

u

u

dydx

dydx

dcba

dcba

y

x

y

x

2

1

2222

1111

00

00 (5.3)

Este sistema de ecuaciones esta bien definido si el determinante de la matriz anterior es diferente de cero (por lo cual obtiene una solución única). En el caso en que el determinante de dicha matriz sea igual a cero, el sistema tendría múltiples soluciones. Igualando el determinante de la matriz a cero se hallará la ecuación característica del sistema de ecuaciones, esto es la ecuación (5.4), la cual es una ecuación cuadrática para dy/dx. :

0))(()())(( 2122112211221

21221 =−+−+−−− dxdbdbdxdycbcbdadadycaca (5.4)

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son denominadas direcciones características y pueden ser: !" Reales y distintas. !" Reales e idénticas. !" No reales. El discriminante de la característica puede ser entonces negativo (caso en el cual genera soluciones no reales para la ecuación característica), igual a cero (caso en el cual genera soluciones reales e idénticas) o positivo (generando soluciones reales y diferentes para la ecuación característica). Este discriminante clasificará entonces a los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales en sistemas de ecuaciones parabólicos, elípticos e hiperbólicos, esto es:

- Si el discriminante es positivo se denominará ecuación hiperbólica. - Si el discriminante es cero se denominará ecuación parabólica. - Si el discriminante es negativo se denominará ecuación elíptica

De forma semejante, se puede clasificar una ecuación diferencial parcial de segundo orden, por ejemplo (5.5):

1fcuubua yyxyxx =++ (5.5)

Donde a, b, c y f son funciones de x, y, u, ux y uy . Esta ecuación se puede clasificar reduciéndola a una ecuación de primer orden y llevando a cabo un tratamiento similar al efectuado arriba (5.6):


84

'''

(

)

***

+

,

='''

(

)

***

+

,

'''

(

)

***

+

,

)(

)(

0

0

y

x

yy

xy

xx

ud

ud

f

u

u

u

dydx

dydx

cba (5.6)

La ecuación característica de la anterior matriz esta dada entonces por (5.7): 0)()( 22 =+− dxcbdxdydya (5.7)

De igual forma, el discriminante es dado por:acb 42 −

Donde: !"Si el discriminante es positivo se denominará ecuación hiperbólica. !"Si el discriminante es cero se denominará ecuación parabólica. !"Si el discriminante es negativo se denominará ecuación elíptica

5.2 SISTEMAS HIPERBOLICOS

El conjunto de ecuaciones con las cuales se puede describir el fenómeno del flujo de gases al interior de una cámara de combustión y su respectiva tobera (conjunto motor- cohete) es el de Navier-Stokes y esta dado por:

Euler de ecuaciones

)( 0))(()(

)( 0)()(

)( )(

2

1

2

1

2

1

''''''''''

(

)

**********

+

,

=+∂∂+

∂∂

=+∂∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂

5

5

5

=

=

=

cvpext

e

bpvvx

vt

agvxt

jj

j

jijji

ji

jj

j

ρρ

δρρ

ρρ

(5.8)

Donde: • ρ representa la densidad másica de la corriente de gases. • vi representa la velocidad del flujo de gases en la dirección i. • g es la tasa de generación de gases producto de la combustión. • p es la presión del flujo. • e es la energía total específica.

Este sistema de ecuaciones en un flujo irrotacional, puede ser resumido en un sistema de ecuaciones de Euler, al ignorar los términos viscosos del conjunto de Navier-Stokes. Por lo tanto se tiene un sistema de Euler para la dinámica de gases en dos dimensiones. La ecuación (a) de (5.9) es la ecuación de continuidad; la ecuación (b) es la ecuación de momentum y la ecuación (c) es la de conservación de energía, como se han venido presentando a lo largo de este texto. Por lo tanto, para hallar un mapa del comportamiento del flujo de gases en cuanto a sus propiedades (densidad, velocidad, presión y energía) se deben resolver simultáneamente estas ecuaciones. El anterior sistema contiene cuatro incógnitas a determinar, pero se cuenta solamente con tres ecuaciones, lo que obliga a obtener una cuarta ecuación, que resulta ser la ecuación de estado. Por comodidad de tratamiento, en esta sección la ecuación de estado está dada por:


85

ep ⋅−= ργ )1( (5.9) Donde:

• γ es una constante. • e es la energía interna específica del gas.

Inicialmente se considera el caso unidimensional de las ecuaciones de Euler, por lo cual el sistema se reduce a:

Euler de ecuaciones

)( 0))(()(

)( 0)()(

)( 0)(

2

'''''''

(

)

*******

+

,

=+∂∂+

∂∂

=+∂∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂

cvpext

e

bpvx

vt

avxt

x

xx

x

ρρ

ρρ

ρρ

(5.10)

Donde: • ρ representa la densidad másica de la corriente de gases. • v representa la velocidad del flujo de gases en la dirección x. • g es la tasa de generación de gases producto de la combustión. • p es la presión del flujo. • e es la energía total específica.

Se debe notar que el sistema de ecuaciones de Euler permite solución de problemas de dinámica de gases bajo apropiadas condiciones de frontera y condiciones iniciales. Una propiedad importante del sistema de ecuaciones de la dinámica de gases es su posibilidad de describirse en términos de una ecuación conservativa, esto es:

0)(u =

∂∂+

∂∂

ufxt

(5.11)

En donde los vectores u y f(u) están dados por (5.13):

)(

)( 2

1'''

(

)

***

+

,

++=

'''

(

)

***

+

,=

vpe

vp

v

uf

e

vu

ρρ

ρ

ρρρ

(5.12)

Hasta este momento se han descrito las ecuaciones de Euler sin considerar su naturaleza, y por ende su clasificación, que permitirá hallar un método específico de solución. Para clasificar las ecuaciones de Euler se lleva a cabo un procedimiento similar al enunciado anteriormente donde:

))(()()(

0)(u

ufddxx

u

u

ufdt

t

u

u

ufx

uf

t

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂∂

(5.13)

A su vez, x

uf

∂∂ )(

se puede escribir como:


86

x

u

u

uf

x

uf

∂∂

∂∂

=∂

∂ )()( (5.15)

Con lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones :

[ ] ( )

( )( )'''

(

)

***

+

,

=''''

(

)

****

+

,

'()

*+,

∂∂

'()

*+,

∂∂

'''''

(

)

*****

+

,

!"

#$%

&∂

∂!"

#$%

&∂

∂

!"

#$%

&∂

∂

)(

0

)(

)(

)()(

)(

ufdx

ut

u

dxu

ufdt

u

ufu

ufI

(5.16)

De la anterior ecuación se puede observar que:

'()

*+,

∂∂

t

u)(y '

()

*+,

∂∂

x

u)(son vectores

y ''(

)**+

,∂

∂u

uf )( es una matriz.

Por lo cual, siguiendo el procedimiento ya enunciado para conocer la naturaleza de las ecuaciones de Euler (para dinámica de gases) se llega a:

''(

)**+

,∂

∂==

u

uf

dt

dxutxa

)(),,( (5.17)

Los autovalores de la anterior ecuación permiten clasificar el sistema de acuerdo a los parámetros descriptivos de las ecuaciones diferenciales parciales. De manera explícita, la ecuación anterior toma la forma (introduciendo la ecuación de estado) :

( ) ( ) ( ) '''''''

(

)

*******

+

,

''(

)**+

,++−''

(

)**+

,+−−

−−−=''(

)**+

,∂

∂==

vPevpev

v

vvu

uf

dt

dxutxa

γρρ

γρρ

γ

γγγ

11

2

1

1)3(2

3010

)(),,(

23

2 (5.18)

De donde se puede demostrar que los autovalores están dados por :

ργλλλ P

ccvvcv =∴+==−= , , 321 (5.19)

De donde c es la velocidad del sonido, como se ha indicado. De la naturaleza de los autovalores hallados se concluye que son reales y diferentes entre sí, por lo cual, se clasifica el sistema de ecuaciones de Euler de dinámica de gases como un Sistema Hiperbólico. El problema de la dinámica de gases unidimensional esta dado entonces por:


87

( ) ( ) ( )'''

(

)

***

+

,=

'''

(

)

***

+

,

∂∂

'''''''

(

)

*******

+

,

''(

)**+

,++−''

(

)**+

,+−−

−−−+'''

(

)

***

+

,

∂∂

0

0

0

11

2

1

1)3(2

3010

23

2

e

vx

vPevpev

v

vv

e

vt

ρρρ

γρρ

γρρ

γ

γγγ

ρρρ

(5.20)

La anterior ecuación se puede reemplazar, por comodidad de manejo matemático respecto a las derivadas, por:

( ) ( )

( ) ( )

'''

(

)

***

+

,=

'''

(

)

***

+

,

∂∂

''''''''''''

(

)

************

+

,

'''

(

)

***

+

,−+''

(

)**+

,

'''

(

)

***

+

,

''(

)**+

,+'''

(

)

***

+

,

∂∂

−+−

−−−

0

0

0

2

13

010

12

21

3

311

21

1132

21

23

E

mx

E

E

mt

mmmEm

mm ρ

γρ

γ

ρ

ργρρ

γρ

γ

γρ

γρ

γ (b)

Donde: m es el momentum del flujo en la dirección x., E es la energía total del flujo. De donde se ha eliminado la presión mediante la ecuación de estado :

''

(

)

**

+

,−−

ργ

2

2)1(=

mEp (5.21)

5.2.1 Solución de las ecuaciones hiperbólicas

Se especifican a continuación los métodos numéricos que solucionan las ecuaciones hiperbólicas. Para ello, se describe brevemente el comportamiento y las características de los sistemas de ecuaciones diferenciales que se encuentran en esta categoría.

5.2.1.1 Caso general del sistema de conservación

Considérese el problema de valor inicial para una ecuación conservativa, de primer orden, dado por :

∞<<∞−Φ=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

xxoxu

txx

uutxa

t

u

),(),(

0,,0),,( (5.22)

Del sistema de ecuaciones y de la definición de sistema hiperbólico se concluye que:

''(

)**+

,∂

∂==

u

ufutxa

dt

dx )(),,( (5.23)


88

Las soluciones a la anterior ecuación son denominadas curvas características, o simplemente características de la ecuación hiperbólica. A lo largo de estas curvas se propaga la solución del sistema (Figura 5-1).

Figura 5-1

La ecuación (5.22) se puede escribir a su vez como (5.24):

∞<<∞−−Φ=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂=

xatxoxu

txx

u

dt

dx

t

u

dt

du

),(),(

0,,0

(5.24)De la anterior ecuación se observa que

0=dt

du, lo que demuestra que la solución

es constante, con )(),(),( atxoxutxu −Φ== , y se propaga

a través de las curvas características. Si u(x,t) esta totalmente determinada por la condición inicial, el punto (xo,0) es denominado dominio de la dependencia de u(x,t). A su vez todos los puntos sobre la característica C, se denominan dominio de influencia. Para solucionar la anterior ecuación se requiere que u(x,t) sea diferenciable simultáneamente en el dominio de la dependencia y de la influencia. Sin embargo, las condiciones iniciales y de frontera de un problema hiperbólico generalizado pueden fallar en cuanto a su diferenciabilidad en el dominio. Para debilitar la solución, se debe integrar la ecuación de conservación con respecto a x entre dos puntos arbitrarios (dados por las necesidades de solución) con lo cual se obtiene :

)),(()),((

:obtiene se sidentidade mediante ,0)(

21

2

1

2

1

2

1

txuftxufudxdt

d

dxx

ufdx

t

u

x

x

x

x

x

x

−=

=∂

∂+∂∂

-

-- (5.25)

De igual forma integrando con respecto al tiempo la anterior ecuación, entre dos puntos arbitrarios del tiempo se obtiene :

---- −=−2

1

2

1

2

1

2

1

)),(()),((),(),( 2112

t

t

t

t

x

x

x

x

dttxufdttxufdxtxudxtxu (5.26)

Cada solución de la ecuación diferencial parcial es también solución de (5.25) y (5.26) y cada solución de (5.26) es también solución de (5.25), por lo cual se concluye que: !" Si ),( txu es diferenciable y satisface la ecuación diferencial parcial, se denomina

solución fuerte


89

!" Si ),( txu es no diferenciable y satisface las ecuaciones integrales, se denomina solución débil

!" Una solución fuerte es también solución débil.

5.2.1.1 Choques y Rarefacciones

Figura 5-2

Los sistemas hiperbólicos pueden presentar a su vez dos características importantes conocidas como: choques y rarefacciones. Una Rarefacción es un lugar geométrico donde no existen características, por lo cual no existe evaluación de la función en dicha región (ver líneas características de rarefacción figura 5-2). Considérese el ejemplo:

123

<≥

=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

0,1

0,0),(

0,,0

x

xoxu

txx

uu

t

u

(5.27)

En las figuras 5-3 se puede observar el comportamiento de la ecuación (5.27) y la figura 5.4 muestra la región donde se encuentra la rarefacción (en el plano x-t) mediante líneas de color .

Figura 5-3


90

Figura 5-4

Un choque es una región de intersección de las características de la ecuación, lo que origina problemas de puntos multievaluados en el dominio de la influencia (ver figura 5-5 de líneas características con choque). Considérese por ejemplo:

123

<≥

=

≥∞<<∞−=∂∂+

∂∂

0,0

0,1),(

0,,0

x

xoxu

txx

uu

t

u

(5.28)

Figura 5-5 En la figura 5-6 y 5-7 se puede observar el comportamiento de la ecuación (5.28).


91

Figura 5-6

Definiendo ),( txuA como la solución a la ecuación (5.28) basado en las características

izquierdas, esto es, utilizando la condición inicial impuesta en 0≤x , y, ),( txuB como la solución al problema (5.27) basado en las características derechas, esto es, utilizando la condición inicial impuesta en 0>x , se puede reconocer que existe una región multivaluada sobre la cual se presenta el choque. Para evitar este problema numérico, se halla una función S que permita evaluar unívocamente la función en dicha región Esta línea S tiene como condición: u = uA a la izquierda de S y u = uB a la derecha de S. Por tanto, la curva S satisface las condiciones por la izquierda y por la derecha de la solución u(x,t), lo cual se denomina Condición de salto de Rankine – Hugoniot.

Figura 5-7

Región de choques de la ecuación (líneas características del choque)


92

5.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

5.3.1 Método de las características

El método de las características soluciona numéricamente el problema de valor inicial dado por la ecuación (5.22) mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

),,(

0

utxadt

dxdt

du

=

= (5.29)

Donde las funciones desconocidas son x(t) y u(x(t),t). Se aproxima

entonces ),,( nnn txu mediante ),,( nnn txu∧∧

sobre la característica C utilizando una secuencia

de valores ),,( nnn txu∧∧

con n=0,1,2,3,… iniciando el procedimiento con

)(y 0 , 000 xutxx on Φ===∧∧

.

El paso ),,(),,( 111 +

∧

+

∧

+

∧∧→ nnnnnn txutxu esta dado por el siguiente algoritmo.

INICIO: 1. Se escoge el tamaño del paso tn+1.

2. Se soluciona: nnnnnnn xtttxuax∧

+

∧∧

+

∧+−= ))(,,( 1

0

1

3. Se hace nn uu∧

+

∧=

0

1 ITERACIÓN: Para s=0,1,2,…

4. Se soluciona: nnnns

ns

nnnn

s

n xtttxuatxuax∧

++

∧

+

∧

+

∧∧+

+

∧+−''

(

)**+

,+= )(),,(),,(

2

11111

1

1 .

5. Se hace n

s

n uu∧+

+

∧=

1

1

Las iteraciones terminan cuando las diferencia 11

1s

ns

n xx ++

+ − sea “suficientemente

pequeña” (tal que la función converja).


93

Este método es flexible debido a que representa “fácilmente” las condiciones de borde y las condiciones iniciales, sin embargo, tiene algunas limitaciones entre las que se cuentan: !" Genera grilla irregular. !" No es generalizable a sistemas de ecuaciones hiperbólicas de más de dos

ecuaciones. !" Es inaplicable a problemas que involucren choques o rarefacciones.

5.3.2 Principales Métodos de Diferencias Finitas

5.3.2.1 Métodod de Lax – Wendroff

El método de Lax – Wendroff aplicado a la ecuación (5.22) se fundamenta en el desarrollo en series de Taylor de ui,n+1 alrededor del punto (i,n), que se usa para indicar los valores en (xi,tn). El desarrollo esta dado por:

[ ]{ } nitttnini udtudtuu ,2

,1, ...)!2/)()( +++=+ (5.30a)

Una vez obtenido este desarrollo, se sustituyen las derivadas con respecto al tiempo en el desarrollo en series de Taylor para derivadas espaciales y la serie se trunca después del término de la segunda derivada, con lo cual se obtiene:

[ ]{ } nixxxnini uutxadtutxuadtuu ,22

,1, ...)),,((()!2/)()),,()(( ++−+=+ (5.30b)

Finalmente se utilizan las aproximaciones de diferencia central para las derivadas espaciales con las que se obtiene el método de Lax-Wendroff:

dx

dtutxapuppuppupu nininini

),,(,)2/)(()2/)(()1( ,1

2,1

2,

21, =∴−+++−= +−+ (5.30c)

Donde dt es el paso de tiempo y dx es el paso en el espacio. El esquema de Lax- Wendroff es por tanto de segundo orden tanto en el espacio como en el tiempo, y su condición de estabilidad está dada por:

10 ≤≤ p (5.31) La recta característica de la ecuación a solucionar está dada por:

tutxaxx ),,(0 += (5.32)

5.3.2.2 Método de Lax

Otros esquemas explícitos para la aproximación de (5.22), usan una diferencia directa. Para ux la aproximación común es:

( ))(2

)( ,1,1, dx

uuu nini

nix−+ −

≈ (5.33)


94

Lo anterior se combina con cualquiera de las fórmulas para ui . Si por ejemplo se usan las diferencias hacia delante:

( ))(

)( ,1,, dx

uuu nini

nit

−≈ + (5.34)

El esquema resultante es inestable. No obstante, si ui,n se sustituye en la ecuación (5.34) se obtiene:

( ))(2

)( ,1,11,, dx

uuuu nini

ninit−+

+

−−≈ (5.35)

Método que es conocido como Método de Lax. Las condiciones de estabilidad son iguales al método de Lax-Wendroff.

5.3.2.3 Método Upwind

El método Upwind que aproxima el problema (5.22), impone una grilla regular con los puntos:

,...2,1,0 ,...2,1,0 )),(),((),( =±±=∀= njdtndxjtx nj (5.36)

Donde (dt) y (dx) determinan los pasos de tiempo y espacio respectivamente. El método Upwind es unilateral y está definido por (5.38):

( )njnjnjnj ffdx

dtuu ,1,,1, −+ −−= (5.37)

Esta ecuación se puede escribir a su vez en términos de la matriz jacobiana como :

dx

dtauuu njnjnjnjnjnjnj ,,,1,,,1, )1( =∴+−= −+ ρρρ (5.38)

El método Upwind debe cumplir con la condición CFL, igual que los anteriores métodos de diferencias finitas. La ventaja de ese método frente a los métodos explícitos antes enunciados es su facilidad de manejo y su estabilidad. A continuación, se expone la solución de las ecuaciones de la dinámica de gases (ecuaciones de Euler) utilizando el método Upwind de diferencias finitas. La condición CFL está dada por:

métododx

dt

txua≥

),,(1

(5.39)

5.4 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EULER DE DINÁMICA DE GASES

El sistema hiperbólico que gobierna la dinámica del gas al interior del motor cohete dado por la ecuación (5.20b) que llevado a diferencias finitas se convierte en :


95

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

−''(

)**+

,

+−!!

"

#

$$

%

&

''(

)**+

,'()

*+, −++−

!!

"

#

$$

%

&

''(

)**+

,−+−

−=

!!

"

#

$$

%

&−−+−'

'(

)**+

,−+−'

'(

)**+

,'()

*+, −−=

−−=

−

−−

+

−−−+

−+

njnjnj

nj

njnjnj

nj

nj

njnjnj

nj

nj

nj

njnj

njnj

njnjnjnjnj

njnjnj

nj

njnjnj

njnjnjnj

EEm

mmmEmEm

dx

dtEE

EEmmmm

dx

dtmm

mmdx

dt

,1,,

,

,1,

2

,

,

,

,,1,

3

,

,

2,

,,

,1,

,1,,1,,

,,1,

2

,

,,1,

,1,,1,

2

131

)(

132

3

ργ

ργ

ργρρ

ργ

ργ

γρ

γρρρ

γ

ρρ

(5.40) Donde dt y dx son los pasos de la diferencia finita. Se debe notar que las diferencias finitas requieren condiciones de borde e iniciales adecuadas para la iteración. La anterior ecuación esta escrita para el caso unidimensional. 5.4.1 Ecuaciones de Euler unidimensionales en diferencias finitas El motor cohete que inicialmente se analiza está dado por la configuración de propelente en forma de tabaco (figura 5-8), es decir, la superficie de emisión permanece constante. Se debe notar que la configuración inicial al interior de la cámara de combustión y la tobera son las condiciones ambientales. Se aplica el método de Diferencias Finitas y específicamente Diferencias Upwind para elaborar los mapas de comportamiento del flujo de gases tanto en la cámara de combustión como en la tobera.

Figura 5-8

Inicialmente se analiza la cámara de combustión.

5.4.2 Análisis de la cámara de combustión

La cámara de combustión con la disposición del propelente en forma de tabaco tiene como características2:

2 Ver referencia 1, capítulo 3


96

!" Presión al interior de la cámara de combustión (inicial) Pc = 1 atm !" Presión en la superficie de emisión (borde) Pc = 20 atm !" Diámetro de la cámara de combustión: D = 2.0 in (50.8 mm). !" Longitud de la cámara de combustión (inicialmente fija): L = 4.0 in (100 mm). !" Densidad del aire en la condiciones iniciales (1 atm): ρ=1.1117 kg/m3. !" Densidad del gas en la condicion de borde (20 atm) ρ=6.04365 kg/m3. !" Relación de calores específicos para el gas: γ=1.13815 !" Tiempo estimado de duración de combustión: tb = 2 s Mediante simulación son obtenidas las propiedades generales del gas, que resultan ser:

Propellant composition Code Name mol Mass (g) Composition 765 POTASSIUM NITRATE 0.6429 65.0000 1N 3O 1K 840 SUCROSE (TABLE SUGAR) 0.1023 35.0000 22H 12C 11O Density : 1.900 g/cm^3 5 different elements N O K H C Total mass: 100.000000 g Enthalpy : -5447.24 kJ/kg 156 possible gazeous species 16 possible condensed species CHAMBER THROAT EXIT Pressure (atm) : 20.000 11.530 1.000 Temperature (K) : 1660.562 1552.727 1143.895 H (kJ/kg) : -5447.236 -5625.883 -6287.140 U (kJ/kg) : -5782.563 -5939.434 -6518.133 G (kJ/kg) : -17381.418 -16785.068 -14508.121 S (kJ/(kg)(K) : 7.187 7.187 7.187 M (g/mol) : 41.174 41.174 41.174 (dLnV/dLnP)t : -1.00000 -1.00000 -1.00000 (dLnV/dLnT)p : 1.00000 1.00000 1.00000 Cp (kJ/(kg)(K)) : 1.66369 1.64940 1.58165 Cv (kJ/(kg)(K)) : 1.46176 1.44747 1.37971 Cp/Cv : 1.13815 1.13951 1.14636 Gamma : 1.13815 1.13951 1.14636 Vson (m/s) : 612.31382 597.74070 512.74141 Ae/At : 1.00000 3.91732 A/dotm (m/s/atm) : 45.49676 178.22521 C* (m/s) : 909.93529 909.93529 Cf : 0.65690 1.42436 Ivac (m/s) : 1122.30036 1474.29914 Isp (m/s) : 597.74070 1296.07393 Isp/g (s) : 60.95259 132.16276 Las ecuaciones a resolver son entonces:


97

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) !!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

−''(

)**+

,

+−!!

"

#

$$

%

&

''(

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,'()

*+, −++−

!!

"

#

$$

%

&

''(

)**+

,−+−

−=

!!

"

#

$$

%

&−−+−'

'(

)**+

,−+−'

'(

)**+

,'()

*+, −−=

−−=

−

−−

+

−−−+

−+

njnjnj

nj

njnjnj

nj

nj

njnjnj

nj

nj

nj

njnj

njnj

njnjnjnjnj

njnjnj

nj

njnjnj

njnjnjnj

EEm

mmmEmEm

dx

dtEE

EEmmmm

dx

dtmm

mmdx

dt

,1,,

,

,1,

2

,

,

,

,,1,

3

,

,2

,

,,

,1,

,1,,1,,

,,1,

2

,

,,1,

,1,,1,

2

131

)(

132

3

ργ

ργ

ργρρ

ργ

ργ

γρ

γρρρ

γ

ρρ

Sujeto a las siguientes condiciones de borde: ρ1,n = 6.04365 Kg/m3 para todo n m1,n = 0.0678 Kg/m3 *s = 0.0678 N/m3/s para todo n p =20 atm = 2.0265 MPa, para todo n.

Condiciones iniciales: ρj,1 = 1.1117 Kg/m3 para todo j mj,1 = 1 Kg/m3 *s para todo j p =1 atm = 0.101325 MPa, para todo j.

El tiempo de simulación total es de 2 segundos. El número de divisiones en el tiempo son 2000 y 10 en el espacio (cada cm), con lo que se cumple la condición CFL. Se utiliza longitud infinita de cámara de combustión, por lo tanto, no se imponen condiciones de frontera a la descarga. El código del programa en MATLAB (programa comercial para resolución de problemas matemáticos) se presenta en el anexo 2.

5.4.3 Resultados de la simulación mediante Diferencias Finitas por MATLAB

5.4.3.1 Momentum

En las figuras 5-9 (a), (b), (c) y (d) se observan los resultados del momentum (kg/(m2 s)) en función del tiempo + y el espacio (cm) en la cámara de combustión. A excepción de la frontera (en donde permanece constante e igual a 0.6 (kg/(m2 s)), el momentum presenta un aumento de su magnitud en el tiempo desde cero hasta un valor pico, para luego disminuir y estabilizarse. Nótese que el valor de estabilización es igual al valor de la condición de contorno. El tiempo total de estabilización del momentum a lo largo de la cámara de combustión es aproximadamente 0.75 s. Por su parte, el valor pico aumenta a mayor distancia de la condición de frontera, el cual presenta su máxima magnitud en 0.48 s, en el extremo de la cámara, con un valor de 1.3 (kg/(m2 s)). En la figura 5.9 (b) se observa los gradientes de momentum. En esta gráfica se nota que esta cantidad aumenta hacia la salida de la cámara y se estabiliza en el tiempo.


98

Figura 5-9 (a)

Momentum en vista tridimensional

Figura 5-9 (b)

Contornos del momentum y líneas características


99

Figura 5-9 (c)

Líneas características de momentum

Figura 5-9 (d)

Contornos de momentum en función del tiempo para diferentes posiciones

Tabla 5.1. Tiempo de estabilización de momentum Distancia a la

condición de borde (cm)

Tiempo de estabilización (s)

Distancia a la condición de borde

(cm)

Tiempo de estabilización (s)

0 0 6 0.55

1 0.20 7 0.60

2 0.35 8 0.65

3 0.40 9 0.70

4 0.45 10 0.75

5 0.50


100

En la figura 5-9 b se observa, gracias a la escala de colores, las zonas “isomomentum” que constituyen las líneas características del problema.

5.4.3.2 Velocidad

En las gráficas 5-10 (a), (b), (c) y (d) se observan los resultados de la simulación para la velocidad en la cámara de combustión.

Figura 5-10 (a)Velocidad para la cámara de combustión

En las gráficas se observa que la velocidad al interior de la cámara de combustión aumenta desde cero en el tiempo t=0 hasta su estabilización en t=0.8 s. Nótese además, que las curvas de velocidad en función del tiempo aumentan hasta un valor máximo y se estabilizan en el tiempo. A diferencia de las gráficas de momentum no se presentan picos pronunciados. El valor de estabilización de la velocidad es 0.25 m/s en el extremo de la cámara

Figura 5-10 (b)Contornos y líneas características de la velocidad


101

Figura 5-10 (c)

Líneas características de velocidad

Figura 5-10 (d)

Contornos de velocidad en función del tiempo para diferentes posiciones.

5.4.3.3 Densidad

En las gráficas 5-11 (a), (b), (c) y (d) se observa el comportamiento de la densidad al interior de la cámara de combustión.


102

La densidad tiene un comportamiento similar al del momentum, presentando valores pico que aumentan a mayor distancia de la condición de contorno, luego disminuye para estabilizarse en un valor de 3 kg/m3 en promedio. Debido a que el contorno de la cámara no esta acotado en la descarga, es decir, es infinito, la densidad al interior de esta no adquiere un valor igual al de la frontera.

Figura 5-11 (a) Densidad para la cámara de combustión

Figura 5-11 (b) Contornos y líneas características de la densidad


103

Figura 5-11 (c) Contornos de densidad en función del tiempo para diferentes posiciones

5.4.3.4 Presión En las gráficas 5-12 (a), (b) y (c) se observa el comportamiento de la presión en el espacio y el tiempo al interior de la cámara de combustión.

Figura 5-12 (a) Presión al interior de la cámara de combustión


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Figura 5-12 (b) Contornos y líneas características de la presión

Figura 5-12 (c) Comportamiento de la presión en función del tiempo para diferentes posiciones.

Al igual que la densidad, la presión no alcanza el valor de su condición de borde. Para una presión como condición de contorno de 2.02 MPa en x=0, se observa que la presión disminuye en el espacio y se estabiliza en el tiempo en un valor de 1.0 MPa en 0.8 segundos. Se presentan también un valor pico pronunciado en la descarga de la cámara (el valor máximo es 2.5 MPa).


105

5.4.4 Modelamiento computacional mediante elementos finitos

Una alternativa para llevar a cabo la simulación de manera completa y ágil es la utilización de programas comerciales de Modelamiento por Elementos Finitos. En la actualidad, comercialmente, se encuentra un sinnúmero de programas que se pueden clasificar en Software de Alto, Medio y Bajo nivel que dependiendo de su versatilidad, rapidez y seguridad son más o menos utilizados en investigaciones de este tipo a diferentes niveles. Programas comerciales como COSMOS, ANSYS, ABAQUS, PATRAN, NASTRAN, ALGOR entre otros poseen módulos específicos para el análisis computacional de fluidos (CFD) que solucionan problemas “relativamente sencillos”. La herramienta que se utilizó para la simulación es ANSYS 5.7 cuyo modulo para CFD es denominado FLOTRAN, el cual tiene la posibilidad de resolver problemas de dinámica de fluidos compresibles e incompresibles en regímenes turbulento o laminares para condiciones estables o transientes. Se resuelve el sistema Motor - Cohete utilizando esta técnica numérica, para lo cual se explica el procedimiento y sus resultados.

5.4.4.1 Elementos para la simulación

Brevemente, el método de elementos finitos es una herramienta numérica para la solución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de borde adecuadas. Se utiliza este método en la solución de problemas de elasticidad, transferencia de calor, mecánica de fluidos, vibraciones etc. El método consiste en la discretización del medio continuo en elementos finitos para linealizar las ecuaciones diferenciales a un sistema matricial. Como se ha mencionado, la solución numérica por elementos finitos es una herramienta “sencilla” en su utilización, solución y visualización de resultados. Para llevar a cabo la simulación se dibuja inicialmente la geometría que contiene físicamente el fluido de trabajo, se enmalla con algún elemento apropiado (es decir, se crean los elementos finitos), se aplican las cargas y se soluciona numéricamente, proceso que llevan a cabo la CPU y el programa. Se explica entonces el proceso para modelar bajo este método.

5.4.4.2 Consideraciones y generalidades

Inicialmente se construye la geometría utilizando el PREPROCESADOR, que esta constituido por una interfaz gráfica mediante la cual se introduce la geometría de forma similar a un programa CAD (por ejemplo, AUTOCAD o SOLID EDGE). Es conveniente simplificar el modelo por economía computacional, lo cual se ve reflejado en disminución de tiempo de solución y en memoria disponible. Utilizando el concepto de economía computacional se llega a las siguientes consideraciones:

1. El problema se puede modelar en forma bidimensional gracias a la simetría con respecto al eje del motor - cohete, al igual que en capítulo 3.

2. Se modela como estado estable, esto es, considerando que el tiempo de estabilización y de agotamiento de combustible es “pequeño” en comparación con el tiempo de estado de funcionamiento estable.


106

3. Se utiliza zona de descarga del fluido para asegurar que las condiciones ambientales no están afectadas a una distancia convenientemente lejana de la ubicación de la salida del flujo de gases del cohete. Esta consideración asegura que el modelo no es forzado numéricamente con cargas irreales.

Una vez se obtiene el modelo geométrico se debe llevar a cabo el proceso de enmallado (en el Preprocesador) el cual crea los elementos a utilizar en el análisis previa escogencia del tipo de elemento. Una vez se enmalla, se selecciona el tipo de fluido a analizar. Enmallado el modelo, se procede a colocar las cargas de velocidades, temperatura, energía cinética, presión etc., como condiciones de borde. Se soluciona utilizando un “solver” específico en este caso FLOTRAN (que es un módulo de ANSYS), el cual soluciona las ecuaciones de Navier Stokes para el caso incompresible y Euler para el caso compresible. Respecto al modelo de turbulencia el FLOTRAN utiliza el modelo κ-ε. Una vez solucionado el modelo bajo las condiciones de carga impuestas, se requiere observar los resultados del modelamiento utilizando el POSTPROCESADOR, el cual es una herramienta incluida en este software y que permite listar y plotear los resultados de velocidades, temperaturas, presiones etc. A continuación se describe brevemente el procedimiento que se sigue para la solución del modelo.

5.4.4.3 Construcción del modelo. geometría

Bajo las consideraciones antes listadas, se llega a obtener el siguiente modelo geométrico en ANSYS:

Figura 5-13 Modelo geométrico del problema del motor cohete


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Como se puede observar, el modelo geométrico tiene una zona de descarga que asegura que las condiciones en su borde mantienen las condiciones ambientales. Nótese además, que el modelo es bidimensional gracias a la primera consideración. La geometría corresponde al fluido de trabajo y se encuentra limitado en el cohete físicamente por las paredes de la cámara de combustión y de la tobera, y por las condiciones ambientales, en la zona de descarga.

5.4.4.4 Construcción del Modelo: Enmallado

Una vez realizada la geometría se selecciona el tipo de elemento finito a utilizar. En el caso de dinámica de fluidos se tiene la opción de escoger los elementos FLUID 141 (para problemas bidimensionales) y FLUID 142 (para problemas tridimensionales). A continuación se observa el enmallado utilizando FLUID 141, para el problema bidimensional.

Figura 5-14 Detalle del enmallado

El detalle del enmallado antes expuesto permite observar que el elemento utilizado tiene cuatro nodos. Gracias al enmallado se obtienen 150500 elementos, 151561 nodos y 89311 restricciones o cargas impuestas al modelo.

5.4.4.5 Construcción del modelo. Condiciones de carga

Se restringen entonces las condiciones de carga del modelo, es decir, se adicionan las condiciones de borde que reflejen el medio circundante. El modelo simulado es el de cámara de combustión con core, en el que se tienen las siguientes restricciones: !"Sobre las paredes de la cámara de combustión del cohete se imponen condiciones de

presión de diseño (en este caso 20 atm = 2.02 MPa) y temperatura de llama adiabática (1660 K). Estas condiciones se aplican teniendo en cuenta que sobre estas líneas se encuentra la superficie de emisión que gracias a la combustión eleva la presión y temperatura de los gases a analizar (en este caso los gases de combustión).


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!"Sobre las líneas de contorno del cohete se aplica velocidad cero en todas las

direcciones; esto se debe a que estas fronteras físicas del fluido se encuentran en contacto directo con las paredes del motor cohete y por tanto se deben cumplir las condiciones de no-deslizamiento.

!"Sobre las líneas de contorno de la zona de descarga se aplican las condiciones

ambientales, es decir, presión atmosférica relativa (en éste caso 0 atm) y temperatura ambiente atmosférica (293 K).

Con los anteriores datos se obtiene el modelo de la figura 5.15.

5.4.4.6 Condiciones de solución del modelo

Como se mencionó en párrafos anteriores, una vez obtenidas las condiciones de contorno se procede a determinar el tipo de modelo a resolver. En este caso, el flujo es compresible y turbulento. Cabe anotar, de nuevo, que las ecuaciones a resolver son las de Euler, así como las ecuaciones de turbulencia, ecuaciones de estado para el gas a utilizar y la ecuación de transferencia de calor. Dado la falta de tablas completas sobre relaciones de propiedades con la temperatura para el gas real, se utiliza entonces como fluido de trabajo aire en sistema internacional (AIR SI) permitiendo variaciones de densidad, viscosidad, conductividad y calor específico en el modelo, por disponer de datos completos en el programa.

Figura 5-15. Condiciones de frontera para la simulación tipo core

Debido a ciertos errores durante el calculo de propiedades de estancamiento, se debe lograr que el programa para converja, lo cual se logra al introducir el término de viscosidad artificial, que será removido de la solución de manera suave al ser reducido entre cada iteración del modelo. Más aún, para que el problema se estabilice se debe


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aumentar el número de iteraciones (por defecto el programa establece 10 iteraciones) para que entre cada una de las ,mismas se pueda llegar a un punto de estabilidad.

Tabla 5-2 Iteraciones y viscosidad artificial para la solución del modelo CORRIDA VISCOSIDAD ARTIFICIAL NUMERO DE ITERACIONES

1 1000 200 2 100 500 3 10 500 4 5 500 5 3 500 6 2 500 7 1 500 8 0.8 200 9 0.6 200 10 0.4 200 11 0.2 200 12 0.1 100 13 0.08 200 14 0.07 200 15 0.06 200 16 0.055 200

TOTAL ---- 4900 Por razones de convergencia y estabilidad en el modelo, la viscosidad artificial no se redujo hasta cero, la cual, para un valor menor de 0.055 de viscosidad artificial, produce valores negativos de temperatura absoluta. Hecho esto, se visualizan los resultados en el postprocesador, en donde se observan los valores para estado estable:

!"Velocidades del flujo en la dirección x y y. !"Velocidad absoluta del flujo !"Presión !"Densidad !"Número de Mach

5.4.5 Solución por elementos finitos del conjunto cámara - Tobera - zona de descarga

A continuación se presentan los resultados para el modelamiento del motor cohete, consistente de una cámara con propelente con core, y la geometría de tobera diseñada en el capítulo 3, y experimentada en el capítulo 4.

5.4.5.1 Velocidad

Las figuras 5-16 (a), (b), (c) y (d) muestran la velocidad absoluta del flujo de gases del cohete en velocidad de m/s. La velocidad se incrementa en la tobera desde cero (en la descarga desde la cámara) a valores que oscilan entre 549 y 617 m/s. En la cámara de combustión, en estado estable, se mantiene una velocidad aproximadamente igual a cero, lo cual refuerza la definición de punto de estancamiento, en la sección de cámara. Es de notarse en la representación vectorial de la velocidad, las fuertes zonas de vórtices que se


110

generan a la descarga, producto de los efectos viscosos de la pared de la tobera a la descarga, figuras (c) y (d).

Figura 5-16 (a) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS

ANSYS Figura 5-16 (b) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS


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Figura 5-16 (c) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS

Figura 5-16 (d) Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS


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5.4.5.2 Presión

En las figuras 5-17 (a) y (b) se presenta la distribución de presión al interior de la tobera. Nótese que la presión disminuye a lo largo del recorrido del flujo cayendo bruscamente en la zona crítica de la tobera. La presión al interior de la cámara de combustión, en aproximación a la entrada de la tobera se mantiene en constante disminución desde la presión de diseño del cohete, es decir, 2.0265 Mpa, hasta un valor de presión negativa. Debe recordarse que aunque el modelo fue alimentado con datos totales, los cálculos de presión los hace de manera diferencial, así que los valores negativos se refieren a disminuciones desde el valor de referencia, que para el caso del modelo era del mismo valor de la presión atmosférica: 101325 Pa. Es también importante notar la geometría de las líneas isobáricas, las cuales muestran una progresión del flujo de forma cónica, tal y como sería el análisis en un flujo potencial tipo fuente, aunque en este caso se incluyen los efectos viscosos.

Figura 5-17 (a) Distribución de presión al interior de la tobera


113

Figura 5-17 (b) Distribución de presión al interior de la cámara y la tobera

5.4.5.3 Densidad

La densidad en la cámara de combustión es constante, disminuyendo en la tobera gracias a la expansión. Es de notarse que en la cámara, como resultados de las consideraciones de entalpía total y por tanto condiciones de estancamiento, el modelo genera un fluido de altísima densidad al interior de la misma, aún cuando se estabiliza en la zona de descarga, lo cual se observa en las figura 5-18 (a) y (b).

Figura 5-18 (a) Distribución de densidad al interior de la tobera y cámara


114

Figura 5-18 (b) Distribución de densidad al interior de la tobera

5.4.5.4 Número de Mach

Los valores máximos obtenidos fueron de 1.6 a 1.78. Recordando que el valor de diseño original para el número de Mach a la descarga era de 3.5, se nota una inconsistencia con el valor obtenido en la simulación. Sin embargo no hay tal inconsistencia, pues el valor del número de Mach era precisamente de diseño, un valor estimativo que no reflejaba los efectos viscosos, de capas límites y turbulencia, ni cualquier otro efecto térmico. Por el contrario, con el número de Mach obtenido se ratifican los valores reales, que suministran el valor de empuje necesario de 21 Kgf (comparando con las velocidades del modelo). Esto se puede apreciar en las figuras 5.19(a) y (b)

Figura 5-19(a) Solución para el número de Mach en la tobera, cámara y zona de descarga.


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Figura 5-19(b) Solución para el número de Mach en la tobera

5.4.5.5 Temperatura

Los valores presentados las figuras 5-20(a) y 5-20(b), corresponden inicialmente a valores de una simulación de tipo adiabático, en donde estos son referenciados al valor de la temperatura de referencia. Una vez obtenidos estos resultados, se puede llevar a cabo una corta “corrida” (de pocas iteraciones), para resolver los valores finales de temperaturas. Aún así, el perfil de temperaturas está ya resuelto en este punto, en donde se observa el proceso de expansión del flujo, aún por fuera del cono de descarga

Figura 5-20 (a) Distribución de Temperatura en la tobera y en la cámara


116

Figura 5-20 (b) Distribución de Temperatura en la tobera

5.4.5.6 Velocidad Axial – Dirección X

A continuación se presenta de manera cualitativa el comportamiento de la velocidad axial de los gases de escape, entre simulaciones diferentes, que es la porción más importante de aporte en la cantidad de impulso impuesto al motor-cohete, y por tanto, al vehículo mismo. Debe notarse la extensa y fuerte influencia del desarrollo axial, aún a cierta distancia desde el plano de salida de la tobera. Las dos imágenes, corresponden a simulaciones diferentes, pero con los mismos parámetros generales de fluido.

Figura 5-21 (a) Distribución de velocidad axial en la tobera y la cámara


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Figura 5-21 (b) Distribución de velocidad axial en la tobera, cámara y zona de descarga

5.4.5.7 Velocidad Radial – Velocidades en la dirección Y.

Aunque de relativa poca importancia en el desempeño general del motor-cohete, la porción radial de velocidades resulta de interés en cuanto a la cantidad de momentum generado sobre las paredes, y a su vez, como parámetro para evaluar pérdidas debido a los esfuerzos viscosos sobre el fluido. Debe notarse la simetría de valores respecto al eje de la tobera de descarga.

Figura 5-22 Distribución de velocidad radial en la tobera


118

5.4.5.8 Traza de las velocidades en la dirección axial

En las figuras 5-23 (a) y (b) se presentan las trazas de progresión de la velocidad axial en todo el campo de flujo. Debe tenerse en cuenta que estas líneas no representan propiamente las líneas de corriente, dado que no se trata de un flujo irrotacional no viscoso, sin embargo ese concepto, por analogía, puede ser tenido en mente al examinar el siguiente par de gráficas.

Figura 5-23 (a) Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera, cámara y ambiente

Figura 5-23 (b) Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera, cámara y ambiente


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5.4.5.9 Viscosidad

Los valores que se recogen de la simulación no representan con exactitud los valores del fluido de trabajo, puesto que, como se ha mencionado desde un principio, todo el modelo computacional ha sido basado en el aire como fluido de gases de escape. Sin embargo las graficas representan la progresión de la viscosidad, en donde se puede observar la fuerte relación del comportamiento de esta con las temperaturas y números de Mach.

Figura 5-24 (a) Distribución de viscosidad en la tobera y la cámara

Figura 5-24 (b) Distribución de viscosidad en la tobera


120

5.4.5.10 Progresión de la velocidad

En la figura 5-25 se presenta la progresión cualitativa de la velocidad obtenida en estado estable, dentro de la cámara y la tobera del motor cohete.

Diapositiva 1

Diapositiva 2

Diapositiva 3

Figura 5-25 Progresión de la velocidad dentro de la tobera y la cámara

Diapositiva 4

5.4.5.11 Progresión de la presión

En la figura 5-26 se presenta la progresión cualitativa de la presión obtenida en estado estable, dentro de la cámara y la tobera del motor cohete.

Diapositiva 1

Diapositiva 2

Diapositiva 3

Figura 5-26 Progresión de la presión dentro de la tobera y la cámara

Diapositiva 4


121

5.4.5.12 Progresión de la velocidad axial

En la figura 5-27 se presenta la progresión cualitativa de la presión obtenida en estado estable, dentro de la cámara y la tobera del motor cohete.

Figura 5-27 Progresión de la velocidad axial dentro de la tobera y la cámara

5.5 CONCLUSIONES En este punto debe mencionarse que es claro que el Modelamiento por elementos finitos resulta ser un proceso simple comparado con el método de las diferencias finitas. Debido a que existen un número considerable de programas que solucionan problemas como el planteado en este trabajo, utilizando rutinas eficientes y entornos amables para el usuario, como por ejemplo ANSYS, procesos como los de diferencias finitas deben ser considerados únicamente cundo los requerimientos de máquina en un modelo por elementos finitos exceda las expectativas de recursos disponibles. Sin embargo, a diferencia de los elementos finitos, las diferencias finitas requieren experiencia de programación y conocimiento matemático del método lo que hace dispendioso y demorado la solución del problema. Los dos métodos predicen un comportamiento similar de la presión y la densidad. Esto es, predicen un gradiente hacia la descarga de la tobera que aumenta en el tiempo, sin embargo, la solución por elementos finitos no muestra valores pico de estas cantidades, como si se observa en el otro método. A diferencia de lo anterior, la velocidad presenta un comportamiento similar, pero numéricamente el método de elementos finitos presenta valores con dos órdenes de magnitud de diferencia.


122

Gracias a las ecuaciones de Euler, se puede obtener datos útiles del comportamiento de la velocidad, momentum, densidad y presión en la cámara de combustión, idealizándola como una cámara de longitud infinita (aunque solo se analice un tramo de ella) con condiciones de contorno solo en el extremo inicial (extremo cerrado). Allí, se idealiza el proceso que sigue el flujo en el tiempo y el espacio, teniendo en cuenta que la combustión se da de manera frontal (llamada también tabaco o cigarro) solucionando unidimensionalmente (problema que también es llamado tubo de choque). Mediante la simulación por medio de diferencias finitas, se puede concluir que las propiedades (presión, velocidad, momentum y densidad) aumentan su valor en el tiempo hasta llegar a un punto de estabilización, las cuales muestran en sus curvas en función del tiempo un aumento progresivo, un valor pico, una disminución del valor y su estabilización, valor que es igual al de la condición de borde en el caso del momentum. A diferencia de estas propiedades, la velocidad muestra una estabilización suave en el eje temporal. Debido a la imposibilidad de continuar con una simulación mediante diferencias finitas en campos de flujo diferentes al unidimensional, no se puede determinar la realidad de predicción del método en la tobera, por lo que en ese punto se hace indispensable, en cuanto a tiempo de diseño, una herramienta como ANSYS. El mapa de presiones y densidades muestra además, que las condiciones al interior de la cámara de combustión son diferentes con respecto a las de la tobera; en la cámara se encuentran condiciones de baja velocidad. Esto confirma como acertada la suposición de condiciones de estancamiento en la cámara de combustión. Dado que el problema no genera ondas de choque (como se mencionó en el capitulo 3), por la geometría misma de la tobera, la suposición de un proceso isoentrópico en el diseño preliminar resulta totalmente válida. La simplicidad del diseño de la tobera, hace que los mapas de gradientes de las diferentes propiedades muestren comportamientos suaves, lo que favorece la ausencia de regiones de turbulencia, y por tanto de disipación, con lo que se ratifica nuevamente como correcta la suposición de flujo reversible. El modelo computacional presenta comportamientos acordes al modelo experimental, y muestra por tanto una total compatibilidad con el diseño propuesto originalmente. Las diferencias pueden ser corregidas mediante simulaciones más “agresivas” en cuanto a recursos de máquina y de tiempo de simulación, aunque los resultados obtenidos son suficientes para una evaluación profesional del desempeño del sistema motor-cohete completo.


CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se ha propuesto de manera general y detallada a su vez, un sistema propulsivo tipo motor-cohete, en el cual se cubrió el diseño completo incluyendo parámetros referentes al propelente a analizar, así como la geometría de la tobera de descarga. Como marco general se utilizó la propuesta de una misión en la que se desea colocar una carga útil de 500g. a 100m. de altura. El problema se abordó desde el punto de vista puramente propulsivo, con lo que problemas anexos, como el vuelo o control del vehículo son dejados para otro tipo de trabajo. A partir de las relaciones básicas termodinámicas, y con la inclusión de ciertos factores de diseño se llevó a cabo el trazado bidimensional, de una tobera de Laval que permitiera cumplir con los requerimientos de la misión. Diseñada la tobera (y cámara de combustión), se procedió a efectuar el montaje de un pequeño banco de pruebas, sobre el que se realizó la caracterización del dispositivo, mostrando discrepancias razonables con el “armado” y la configuración propuestas teóricamente. Se logró determinar configuraciones de propelente y de mecanismos de quema del propelente. Se escogió un motor-cohete con propelente sólido debido a la disposición de la materia prima y al proceso de fabricación. Efectuadas las pruebas, se llevaron a cabo simulaciones computacionales del motor-cohete diseñado, obteniendo mapas completos de presión, temperatura, densidad, velocidades, entre otras características con las cuales se completó el marco de evaluación del motor-cohete. La simulación computacional arrojó valores acordes con los puntos de vista teórico y experimental, generándose todo un entramado de diseño sobre el desempeño del sistema propulsivo. Viendo este marco y los resultados obtenidos se concluye que: El método de diseño seleccionado resulta ser el adecuado, en cuanto a márgenes de tolerancia experimentales, ya que los valores de empuje obtenidos, salvo para el caso de quema frontal, se acercan bastante al empuje teórico predicho, incluso por la teoría unidimensional. Aunque la construcción del modelo físico carecía de bastantes refinamientos constructivos (tolerancias rigurosas, especificaciones de propelentes establecidas, materia prima de propelente, tolerancias dimensionales de ajuste y acabados superficiales, entre otros), por tratarse de un método de fabricación no-industrial del propelente y de manufactura simple en el caso de la tobera y cámara de combustión, el comportamiento general del dispositivo fue excelente en cuanto a descripción de curvas de empuje, logrando describir en tres ocasiones, mediante lecturas en tiempo real curvas de empuje teóricas, en donde los valores de empuje efectivo se vieron disminuidos por el desempeño de la quema del propelente y no por la del conjunto motor-cohete, como corroboran los análisis estadísticos.


El método presentado (y propuesto) para el diseño del ducto propulsivo resulta muy fácil de entender y evaluar, y con la información adecuada de los gases de la combustión (fluido de trabajo), el diseño se puede acercar a los valores de desempeño requeridos en un valor cercano al 80%. La ventaja del método propuesto radica en considerar sólo la tobera cónica, evitando así problemas de presencia de choques en la sección de descarga y por tanto, mayores refinamientos de diseño de los perfiles de pared. Es importante notar que para misiones “pequeñas” como la propuesta en el documento, las toberas cónicas demuestran su apropiado papel en el comportamiento general del sistema. Sin embargo debe tenerse en cuenta que para otro tipo de misiones (por ejemplo, de tipo suborbital), los requerimientos serán totalmente distintos, y por tanto el procedimiento de diseño será totalmente diferente. En referencia a la simulación computacional, es claro que resulta ser una herramienta apropiada en el proceso de diseño de este tipo de ductos, al encontrarse que suministra valores acordes con las lecturas reales en un banco de pruebas. La falta de una mayor exactitud en los resultados computacionales son un fuerte indicio que debe mejorarse la metodología de construcción del modelo para justificar una inversión en tiempos de simulación. A pesar de lo anterior, y por lo mencionado antes, debe señalarse cuanto camino ahorran este tipo de métodos de solución de los sistemas de ecuaciones que describen los campos de flujo. Este tiempo es valioso en cuanto a toma de decisiones bajo criterios más concretos. Esperando que en futuros trabajos se profundice en el tema se sugiere lo siguiente: En caso de existir un interés fuerte por dominar el comportamiento del desempeño de un motor cohete dado debe existir una mayor infraestructura de experimentación que permita medir un mayor número de variables sobre el modelo real, y que a la postre sirva de herramienta de calibración de un modelo computacional. Es decir, una vez se tenga un mayor número de datos sobre el patrón de flujo al interior del ducto, será más sencillo ajustar con mínimos parámetros, un modelo de simulación computacional que permita la variación de condiciones (de borde o iniciales) y a su vez genere resultados menos dispendiosos en cuanto a recursos de computo. Se recomienda atacar dos frentes concretos en el marco general del diseño del ducto óptimo: La aproximación de la simulación computacional en estado transitorio y la caracterización y fabricación de los propelentes. Dado que todo el análisis tanto analítico como computacional, ha sido en estado estable, el estudio del desempeño dinámico debe ser el siguiente punto a definir para corroborar diseños de construcción y manufactura de propelentes. Igualmente debe trabajarse en un método de diseño que mejore aún más la respuesta del motor-cohete ante las variaciones de altitud, y el cual no tendrá éxito hasta tanto no se haya examinado el estado transitorio.


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BIBLIOGRAFIA 1. GARZON, D.A., Análisis y Diseño de una cámara de combustión para un

pequeño Motor-Cohete. 2002 2. HILL & PETERSON, Mechanics and Thermodynamics of Propulsion, Addison-

Wesley Publishing, 1.995 3. KOELLE, H.H., Handbook of Astronautical Engineering, Mc. Graww Hill, 1991 4. SUTTON & BIBLARZ,. Rocket Propulsion Elements,. Ed. John Wiley and sons.

Séptima edición. 2000 5. ANDERSON, J.D., Fundamentals of Aerodynamics, Mc. Graw Hill, Tercera

Edicion, 2001. 6. DUQUE, C.A., Dinámica de Gases en un Pequeño Motor-Cohete – Modelación

por C.F.D., Trabajo de Grado, Ing. Mecánica Univ. Nacional, Colombia, 1.999 7. http://rocketworkbench.sourceforge.net/cgi-bin/cpropep-web.cgi/equil


ANEXO 1

El siguiente es el código en MATLAB para la resolución de la ecuación dinámica característica del cohete, expuesta en el capítulo 1. % ***************************************** Carlos Duque código 200017424 % % ***************************************** Diego Garzon código 200017229 % function [Y,V] = rocket(); clear all; clc; echo off; clear all; % **************************************************************************** % % Comenzamos la definicion de variables a utilizar en la simulacion ********** % % **************************************************************************** % V0=input('\n Escriba el valor de la velocidad inicial del cohete en [m/s]: ' ); % Definimos velocidad inicial Y0=input('\n Escriba la distancia vertical inicial del cohete en [m]: ' ); % Definimos posicion inicial beta=input('\n Cual es la tasa de quemado del propelente? (en [Kg/s]): ' ); % Definimos beta del propelente M0=input('\n Cual es la masa inicial del cohete?: ' ); % Definimos Masa cohete Mp=input('\n Cual es la masa total de propelente a emplear?: ' ); % Definimos Masa Propelente Tao=input('\n Cual es el empuje estimado del motor-cohete? (en [N]): ' ); % Definimos empuje del cohete Tsimula=input('\n Cuanto tiempo de vuelo desea simular? (en [s]): ' ); % Definimos tiempo simulacion Af=input('\n Proyeccion frontal del area transversal del vehiculo (en [m^2]): ' ); % Definimos Area efectiva arrastre % ------------------------------------------------------------------------------------- if M0 == beta error('Los valores de masa inicial y tasa de quemado no pueden ser iguales. La tasa de quemado deberia ser menor al valor de la masa total de propelente'); end % ------------------------------------------------------------------------------------- Vson0=Vson(Y0); Mach0=V0/Vson0; dens0=Dens(Y0); Drag0=Cd(Mach0); t=0; t_quemado=Mp/beta; h1=interval(Tsimula,Tao,M0,beta,Drag0,dens0,Af,t,V0); h2=interval(Tsimula,0,M0,0,Drag0,dens0,Af,t,V0); % ------------------------------------------------------------------------------------- Y=Y0;Ygraf=[]; V=V0;Vgraf=[]; Tgraf=[]; %if for i=0:h1:Tsimula; Vson0=Vson(Y); Mach0=V/Vson0; dens0=Dens(Y); Drag0=Cd(Mach0);


l1=h1*V; k1=h1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t,V); %--------------------------------------------- Vson0=Vson(Y+0.5*l1); Mach0=(V+0.5*k1)/Vson0; dens0=Dens(Y+0.5*l1); Drag0=Cd(Mach0); l2=h1*(V+0.5*l1); k2=h1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*h1,V+0.5*k1); %--------------------------------------------- Vson0=Vson(Y+0.5*l2); Mach0=(V+0.5*k2)/Vson0; dens0=Dens(Y+0.5*l2); Drag0=Cd(Mach0); l3=h1*(V+0.5*l2); k3=h1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*h1,V+0.5*k2); %--------------------------------------------- Vson0=Vson(Y+l3); Mach0=(V+k3)/Vson0; dens0=Dens(Y+l3); Drag0=Cd(Mach0); l4=h1*(V+k3); k4=h1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+h1,V+k3); %--------------------------------------------- t=t+i; Y=Y+(1/6)*(l1+2*l2+2*l3+l4); Ygraf=[Ygraf Y]; V=V+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); Vgraf=[Vgraf V]; Tgraf=[Tgraf i]; end % ------------------------------------------------------------------------------------- assignin('base','Ygraf',Ygraf); assignin('base','Vgraf',Vgraf); assignin('base','Tgraf',Tgraf); plot(Tgraf,Vgraf,'.-g'); hold on; plot(Tgraf,Ygraf,'-b'); % ------------------------------------------------------------------------------------- function h = interval(Hini,Tao,M0,beta,Drag0,dens0,Af,t,Y); k1=Hini*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t,Y); k2=Hini*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*Hini,Y+0.5*k1); k3=Hini*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*Hini,Y+0.5*k2); k4=Hini*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+Hini,Y+k3); Y2=Y+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); Hini1=(Hini/2); Y1=Y; for i=1:1:2; k1=Hini1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t,Y1); k2=Hini1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*Hini1,Y1+0.5*k1); k3=Hini1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+0.5*Hini1,Y1+0.5*k2); k4=Hini1*acel(Tao,M0,beta,9.81,Drag0,dens0,Af,t+Hini1,Y1+k3); Y1=Y1+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); end B=(16/15)*((Y2-Y1)/((Hini)^5)); h=(0.00000001/B)^0.2; function Velsonido = Vson(Y); % Parameter SonicV Value Error t-Value Prob>|t|


%--------------------------------------------------------------------------- A=342.21977; B1=-0.00582; B2=2.05073E-7; B3=-1.64083E-12; B4=-1.32844E-17; B5=2.83738E-22; B6=-2.252E-27; Velsonido=A+(B1*Y)+(B2*Y^2)+(B3*Y^3)+(B4*Y^4)+(B5*Y^5)+(B6*Y^6); % end of function Velsonido function Densidad = Dens(Y); % Parameter density Value Error t-Value Prob>|t| %--------------------------------------------------------------------------- A=1.22626; B1=-1.17897E-4; B2=4.16389E-9; B3=-6.20096E-14; B4=2.88961E-19; B5=6.48111E-25; Densidad = A + B1*Y + B2*Y^2 + B3*Y^3 + B4*Y^4 + B5*Y^5; % end of function Densidad function Arrastre = Cd(M); N1=0.0095; N2=25; N3=0.953467778; N4=0.036; Arrastre = N1*atan((N2*(M-N3)))+N4; % end of function Arrastre function Y_der = acel(A,B,C,D,E,F,G,t,Y); % Con X como tiempo y Y como dist. vertical. Y_der=A/(B-C*t)-D-((0.5)*((E*F*G)/(B-C*t)))*Y^2;


ANEXO 2

El siguiente es el código en MATLAB para la resolución del sistema de ecuaciones de la dinámica de gases unidimensional % ******************************************************** Código creado por: % % ***************************************** Carlos Duque y Diego Garzón********* % clear all; % Comenzamos la definición de variables a utilizar en la simulación ********** % L=0.10; T=2; J=10; I=2000; dt=T/I; dx=L/J; g=1.13815; % Valor de la relacion de cal. esp. gamma % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion de densidad rho=zeros(I,J); rho(:,:)=1.1117; rho(:,1)=6.04365; % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion en el eje X. m = momentum eje X. m=zeros(I,J); m(:,1)=0.6; % condiciones iniciales. Se inicializa la condicion de energía. e = energía flujo. E=zeros(I,J); E(:,1)=2; p=zeros(I,J); p(:,:)=101325; p(:,1)=20*101325; % Se inicia iteraciones. Se efectúa con el método upwind for i=2:I for j=2:J %Iteración para rho rho(i+1,j)=rho(i,j)-(dt/dx)*(m(i,j)-m(i,j-1)); %iteración para el momentum en la dirección x m(i+1,j)=m(i,j)-(dt/dx)*(((g-3)/2)*(m(i,j)/rho(i,j))^2)*(rho(i,j)-rho(i,j-1))-(dt/dx)*(-(g-3)*(m(i,j)/rho(i,j)))*... (m(i,j)-m(i,j-1))-(dt/dx)*(g-1)*(E(i,j)-E(i,j-1)); %Iteración para la energía E(i+1,j)=E(i,j)-(dt/dx)*((-g*(m(i,j)*E(i,j))/((rho(i,j))^2))+(g-1)*(m(i,j)/rho(i,j))^3)*(rho(i,j)-rho(i,j-1))-... (dt/dx)*((g*E(i,j)/rho(i,j))+(3*(1-g)/2)*(m(i,j)/rho(i,j))^2)*(m(i,j)-m(i,j-1))-(dt/dx)*(g*m(i,j)/rho(i,j))*(E(i,j)-E(i,j-1)); v(i,j)=m(i,j)/rho(i,j); p(i,j)=266065*(rho(i,j))^1.13; end end surf(m(:,:)) xlabel('Espacio en (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Momentum kg m/s'); shading interp colormap hsv view(-20,30) colorbar grid on rotate3d on

MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN …

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