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Modelos de Espera
M. En C. Eduardo Bustos Farías
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2
Introducción
Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema.
Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema
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Ejemplos de Líneas de Espera• Redes de Comunicaciones y Computadores• Tareas en un Computador • Cajas en Supermercado o Bancos• Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)• Líneas de Producción e Inventario• Talleres de Reparación• Hospitales• Estaciones de Bomberos• Sistemas de Distribución o Logísticos
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Introducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y las llegadas de las transacciones al sistema.
Debido a que las variables están fuera del control del
tomador de decisiones, será necesario realizar el
modelado utilizando procesos estocásticos.
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Esquema Líneas de Espera
Población o Fuente deEntrada deClientesAl Sistema
Instalacionesde Servicio
SISTEMA
Clientes Servidossalen del Sistema
de Servicio y vuelven a laPoblación
Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos
Algunos Clientespueden no entrar
al sistema deServicio
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Definición Básica
Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se
define como el número de transacciones en el
sistema en un momento dado.
El conjunto de valores que puede tomar dicha variable
es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene
asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN }
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Objetivo del EstudioDeterminar el nivel de desempeño del sistema:
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
Interesa minimizar el costo total del sistema
Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por
tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del
sistema.
Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los
salarios, energía, mantención, etc.
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Objetivo del estudioMatemáticamente :
Min {Ct} = Ce S + C q Lq
dondeS = 1,2,3,4.........Lq= f {S,E(t),.......}
Donde:S: Número de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.Lq: : Número de transacciones en espera.Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.Ct : Costo total por unidad de tiempo
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Optimización de Costos
No. de Servidores
Costo de servicio
Ce.S
Costo de servicio
Ct
Costo de espera
Cq.Lq
$/tiempo
Ct mínimo
S*
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Líneas de Espera (LE)• Los modelos de LE nos permitirán estudiar
este tipo de fenómeno y determinar:
Tiempo de Espera Promedio de los ClientesLargo Promedio de la LEFactor de Utilización de ServidoresDistribución Tiempos de Espera (Difícil)Tiempos OciososEficiencia del SistemaPérdidas de Clientes
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Elementos Básicos de M-LE
• Población: Fuente de Entradas– Tamaño Poblacional:
→ Infinito ; Finito– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada– Patrón de Salidas :
→ Cliente Satisfecho→ Cliente vuelve a la LE.
– Actitudes de los Clientes→ Cambios→ Renuncias etc.
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Estructura General Sistema Espera
Salida delSistema
Entrada al Sistema
Servidores en paralelo
Fuente deTransacciones potenciales
Fila
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EstructuraLos elementos básicos constituyentes de un sistema de espera son los siguientes:
ServidorFila o ColaTransacciones Potenciales
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ServidorRepresenta el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.
Sus principales características son:La Cantidad asignada a cada fila existente en
el sistema.La distribución de probabilidad del Tiempo de
Atención a las transacciones o (Velocidad de Servicio)
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FilaEs el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.
Sus principales características son:
Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.
De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.
Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la fila para su atención.
Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.
Forma de salir : como sale de la filamediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfacción,
desesperación, etc.
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Transacciones Potenciales
Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema.
Sus principales características son:
El Tamaño del conjunto de potencial de clientes.
La distribución de probabilidad del Tiempo entre llegadas o tasa de entrada promedio.
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NomenclaturaS número de servidoresn número de clientes en el sistemaN número máximo de clientes permitidos en el sistemaλn flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistemaµn capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t) tiempo promedio de proceso por clienteV(t) varianza del tiempo de procesoE(a) tiempo promedio entre llegadasV(a) varianza del tiempo entre llegada
C a
2
C s
2
C p
2
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio. Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.
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Nomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempoPn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistemaL Número promedio de clientes en el sistemaLq Número promedio de clientes en la filaW Tiempo promedio de permanencia en el sistemaWq Tiempo promedio de permanencia en la filaρ Factor de utilización promedio del servicioCt Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempoCe Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempoCq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
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Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
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Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones
b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial
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Clasificación de Kendall y Leec número de servidores
d orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general
e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo
f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera
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Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
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Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribución.
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Clasificación de Kendall y Lee
Mediante cadenas deMarkov de estadofinito
Mediante el factor de corrección K
(G/G/1) (FCFS/∞ / ∞)
Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/ ∞ / ∞)
(M/M/S) (d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/:)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/:)
(M/M/S) (FCFS/N/N)
Mediante cadenas de Markov y series geométricas
(M/M/S) (d/ ∞ / ∞)
(M/M/1) (FCFS/ ∞ / ∞)
(M/M/S) (FCFS/ ∞ / ∞)Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS /∞/∞)
Mediante fórmulas generales
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Medidas de desempeño
Medidas de desempeño:Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
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Ecuaciones Generales
µλρs
=Utilización de Servicio
∑=
=N
nnnP
0λλTasa de entrada Promedio
ρSLL
nL
q
N
nnP
+=
= ∑=0
Número Promedio de clientes en el sistema
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Ecuaciones Generales
∑=
−=N
snnq PsnL )(Número promedio de
clientes en la fila
)( tEWW
LW
q +=
=λTiempo Promedio de
espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
λq
qLW =
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Ecuaciones Generales
Coeficiente cuadrado de variación
[ ])()(
22
aEaVCa =Tiempo entre llegadas
[ ])()(
22
tEtVC s =Tiempo de servicio
Tiempo entre salidas del servicio
22222 )1( ρρ sap CCC +−=
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Procesos MarkovianosEl proceso estocástico asociado a una línea de espera tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema.
Las probabilidades condicionales deben cumplir con
ip
jipN
jij
ij
∀=
∀≥
∑=0
1
,0
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Procesos Markovianos
Las probabilidades de estado estacionario Pj representan
el comportamiento Probabilístico de cada estado del
sistema a largo plazo y se calculan a partir de las
probabilidades de transición( del estado i al estado j) de
un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición
de acuerdo con
∑
∑
=
=
=
=
N
jj
N
jijij
P
pPP
0
0
10
lim
>
=∞→
j
jijn
n
P
Pp
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Matriz de probabilidades a un paso
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
NNNNN
N
N
N
pppp
pppppppppppp
..................
...
...
...
210
2221220
1121110
0020100
Estado Futuro
0 1 2 . . . N
0
1
2
. . .
N
Estado
Actual
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Procesos Markovianos
La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones independientes y una ecuación redundante que debe ser eliminada.
1............
..................
210
221100
22221120022
12211110011
02201100000
=++++++++=
++++=++++=++++=
N
NNNNNNN
NN
NN
NN
PPPPPpPpPpPpP
PpPpPpPpPPpPpPpPpPPpPpPpPpP
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Matriz de probabilidades
La solución a este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
N
N
N
N
PPPP
PPPPPPPPPPPP
..................
...
...
...
210
210
210
210
Estado Futuro0 1 2 . . . N
0
1
2
. . .
N
Estado
Actual
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34
Ejemplo
Datos del ejemplo: Consultorio de Salud• Número total de observaciones del SM: 73• Intervalo entre observación: 5 Minutos• Tabla de relaciones existente entre datos
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
10001001005555554107800253
Estado Futuro0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
Estado
Actual
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Ejemplo
La matriz anterior se explica como:
• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a los estados 3 y 4.
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36
Ejemplo
Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
5.00005.00066.0033.0
2.02.02.02.02.02.005.0035.04.0
002.05.03.0
Estado Futuro0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
Estado
Actual
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37
Ejemplo
Donde
4....1,010
==∑=
iparapN
jij
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones
15.02.02.0
2.005.066.02.02.02.035.05.0
5.033.02.04.03.0
43210
4214
213
3202
2101
432100
=++++++=
+=++=++=
++++=
PPPPPPPPP
PPPPPPP
PPPPPPPPPP
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38
Ejemplo
Resolviendo el sistema de ecuaciones
173.0041.0122.0310.0355.0
4
3
2
1
0
=====
PPPPP
Número promedio de transacciones en la cola
7179.0
)173.0(3)041.0(2)122.0(1)310.0(0)(
=
+++=−= ∑=
q
N
snnq
L
PsnL
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39
Procesos Markovianos
Característica principal:
Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: sigue una ley Poisson.
Para un intervalo de tiempo ∆t esta dado por:
....2,1,0
!)()|( 0
0
0
0
=
∆
=∆=
∆−
x
xettxXp
tx θ
θ
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40
Procesos Markovianos
Condiciones que se deben cumplir
•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y ∆t.•Solamente puede ocurrir una salida entre t y ∆t.•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y ∆t.
Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo al ocurrir una llegada. Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se produce una salida.
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41
Matriz de probabilidad a un paso
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
NNNN
NNNN
pppp
ppppp
ppppp
,1,
,11,1
...0000
...0000.......00...0000...000...000...00
3332
232221
121110
0100
Estado Futuro
0 1 2 3 . . . N-1 N
0
1
2
3
.
N-1
N
Estado
Actual
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42
Procesos Markovianos
Lo cual conduce a:
Nntn
tnnnp
Nntntetnnn
p
Nntntetnnn
p
n
n
,......,2,1,01,
,......,2,1,0)(1,
1,......,2,1,0)(1,
=∆−∆−=
=∆≈∆−∆=−
−=∆≈∆−∆=+
µλ
µµµ
λλλ
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43
Ecuaciones de Balance
De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance
1............10
1,1
1,11,121,2
2211110011
1100000
1
=+++
+=
++=++=
+=
−−
−−−−−−−−
N
NNNNNN
NNNNNNNNN
PPP
PpPpPPpPpPpP
PpPpPpPPpPpP
N
N
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44
Ecuaciones de Balance
Sustituyendo se obtiene
1............)1()1(
)111(2)1(
10
1
121
22111001
=+++∆−+∆−=
∆+∆−−∆−−+∆−=
)()1( 11000
∆+∆−∆−+∆=∆+∆−= PtPtP
µµλλµλ
−
−−−
N
NNNN
NNNNNNNN
PPPPtPtP
tPPtttPPtPPtttPP
N µλµµλλ
............4
321
02103
21
0102
1
001
=
=
=
=
P
PP
PP
PP
µµµλλλ
µµλλ
µλ
Resolviendo el sistema
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45
Ecuaciones de Balance
Generalizando
0321
13210
.....
..... PPn
nn µµµµ
λλλλλ −=
Finalmente se obtiene
1
321
1210
321
210
21
10
1
00 .....
....1−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++=
n
nPµµµµ
λλλλµµµλλλ
µµλλ
µλ
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46
Elementos Básicos de LE
• Cola de Espera– Infinita– Finita : Tamaño Máximo
• Instalaciones de Servicio– Número Instalaciones– Disposición Instalaciones de Servicio
→ En Serie→ En Paralelo→ Redes de Servidores
– Distribución Tiempos de Servicio
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47
Elementos Básicos de LE
• Disciplina de Servicio– LIFO– Aleatorio– FIFO– Asignación de Prioridades
A continuación realizaremos las definiciones de las cantidades que permitirán el estudio del comportamiento de un sistema de LE.
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48
LE : Definiciones Elementales
N(t): Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t
Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en elsistema se encuentren n clientes en el instante t
λn(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t
µn(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el instante t
S : número de servidores o estaciones de servicio delas instalaciones de servicio del sistema
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49
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
λn :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el sistemaµn :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario cuando hay n clientes en el sistemabi : Probabilidad que existan i servidores ocupados
b0 = P0 si hay cero servidor ocupado, entonceshay cero clientes en el sistema
bi = Pi probabilidad que existan i, i < s, servidores ocupados, es igual a queexistan i clientes en el sistema
bs = Pn probabilidad que existan s servidoresocupados, es igual a que existans o más clientes en el sistema
∑n=s
8
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50
LE : Definiciones y Cálculos Elementales
B Número Esperado de Servidores ocupados en uninstante cualesquiera
B = i * b i
esto resulta ser también al número esperado siendoatendidos en un instante dado cualquiera
Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema, en cualquier instante
Ls = n Pn
∑i=0
8∑n=0
8
[Servidores]
[Clientes]
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51
LE : Cálculos Elementales
qj Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola,en un instante dado
q0 = Pn Probabilidad que existan cero clienteshaciendo Cola; e.o.p., que existan s omenos clientes en el sistema
qj = Ps+j j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existanj clientes haciendo Cola.
Lq Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier instante. (no incluye a los que están siendo atendidos)
Lq= j q j Lq = (n-1)Pn∑j=0
8∑n=s+1
8
[Clientes]
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52
LE : Definiciones y Cálculos Elementales U Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio
de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio
U =
λ Tasa Promedio de Llegada de Clientes
λ = λn Pn
R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan: entran y salen del sistema. El número promedio de servicios completados por unidad de tiempo.
R = λ
Bs
∑n=0
8
[Clientes][Tiempo]
[Clientes][Tiempo]
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53
LE : Definiciones y Cálculos Elementales µ Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando
en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa de atención del sistema es menor)
µ = µn bn n ≤ s
Ws tiempo esperado que un cliente cualquiera estaráen el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él.
Ws =
Wq Tiempo promedio que un Cliente esperará antes de ser atendido
Wq =
s
Ls
∑n=1
λ
Lq
λ
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54
LE : Medidas de Desempeño Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema
Ls = nPn
Lq Número Esperado de Clientes en la cola
Lq = (n-s)Pn
Ws Tiempo Estimado de Espera en el Sistema
Ls = λ Ws
λ Tasa Estimada de Llegada de Clientes
λ = λnPn
∞
∑n=0
∞
∑n=s+1
∞
∑n=0
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55
LE : Medidas de Desempeño Relación Tiempos de Espera
Ws = Wq + 1 / µ
Relación Número Esperado de Clientes
Ls = Lq + λ / µ
Número Esperado de Servidores Ocupados
B = Ls - Lq = λ / µ
Tasa Esperada de Utilización de los Servidores
U = µ / s
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56
X X , x , X , X, X
PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang
PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang
NUMEROSERVIDORES
1: un servidors: s servidores
en paralelo
TAMAÑO POBLACION
: InfinitaP : Finita
8
TAMAÑO COLA: Infinita
K : Finita
8
Notación en LEDISCIPLINA
DE SERVICIODG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
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57
Notación en L.E. : Distribuciones Llegadas y Salidas
• M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poissono Markoviana. (Distribución Exponencial de tiempos de servicio)
• D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista
• EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma de parámetro k entre llegadas o de servicio
• GI : Distribución de Llegadas General Independiente (o tiempo entre llegadas)
• G : Distribución de Salidas General (o tiempo de servicio)
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58
Estudio de L.E.
• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores, junto con suposiciones acerca de las distribuciones de llegada y salida nos permitirán realizar el estudio de un sistema de l.e. en el régimen transiente.
• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el primer paso el cálculo de Pn como función de λn y µn y así sucesivamente hasta lograr calcular todas las medidas de desempeño definidas antes.
• La deducción de una expresión para Pn se logra en base al diagrama de tasas de transición.
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59
Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición• Dado que hay n clientes en el sistema en un
instante t, el número de clientes luego de un ∆t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada
n-1 n+1
λn−1
µn
n
λn
µn+1
... ...
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:λn-1Pn-1 + µn+1Pn+1= ( λn + µn) Pn
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60
Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en base a Diagramas Tasas de Transición
• A continuación ejemplificaremos el proceso de cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4 tipos de sistemas de colas definidas por tasas de llegadas y tiempos de atención poissonianos:
M / M / 1 / DG /∞ / ∞M / M / s / DG / ∞ / ∞M / M / 1 / DG / P / ∞M / M / 1 / DG / ∞ / K
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61
M / M / 1 / DG /∞ / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
0 1 2 4 n
λ∆t λ λ λ λ λ
µ∆t µ µ µ µ µ
3
λ
µ
....... ....
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62
M / M / s / DG / ∞ / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
1 2 s+1 n
λ∆t λ λ λ λ λ
1µ∆t 2µ (s−1)µ
s-1 s
λ λ
sµ sµ sµ sµ sµ
.... .... ....
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63
M / M / 1 / DG / P / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita
0 1 2 n
Pλ (P−1)λ
µ µ µ µ µ
3
µ
.... ....(P−2)λ (P-n+1)λ (P-n)λ λ
P
µ
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64
M / M / 1 / DG / ∞ / K :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita
0 1 2
λ λ
µ µ µ
n
µ µ
3
µ
....λ λ
K
µ
....λ λ
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65
Estudio de otros ME• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los
casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros ejemplos de Poisson o Markovianos de interés:
M / M / s / DG / ∞ / KM / M / s / DG / P / ∞Caso Finito: M / M / s / DG / P / ∞ s ≤ PAutoservicio: M / M / ∞ / DG / ∞ / ∞Modelo de Servicio de Máquinas:
M / M / s / DG / P / P s ≤ P