Modelos de Redes: Problema Modelos de Redes: Problema del flujo mdel flujo mááximoximo

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

2

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

Este modelo se utiliza para reducir los Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.destino en una red.Existe un flujo que viaja desde un Existe un flujo que viaja desde un úúnico lugar de nico lugar de origen hacia un origen hacia un úúnico lugar destino a travnico lugar destino a travéés de arcos s de arcos que conectan nodos intermediosque conectan nodos intermediosCada arco tiene una capacidad que no puede ser Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaexcedidaLa capacidad no debe ser necesariamente la misma La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada direccipara cada direccióón del arco.n del arco.

4

Considere una red con un nodo de Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida entrada (o fuente) y un nodo de salida (o (o antifuenteantifuente). ). El problema del flujo mEl problema del flujo mááximo pregunta:ximo pregunta:¿¿CuCuáál es la cantidad ml es la cantidad mááxima de xima de vehvehíículos, lculos, lííquido, peatones o llamadas quido, peatones o llamadas teleftelefóónicas que pueden entrar y salir del nicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de sistema en un periodo determinado de tiempo?tiempo?

5

En este tipo de problemas se intenta En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma de la red en forma óóptima, aunque ptima, aunque dicho flujo estdicho flujo estáá limitado por limitado por restricciones diversas tales como: restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asfcondiciones de la carpeta asfááltica, ltica, didiáámetros de tubermetros de tuberíía, etc. a, etc. Al lAl líímite mmite mááximo de flujo de una rama ximo de flujo de una rama se le denominarse le denominaráá capacidad de flujo.capacidad de flujo.

6

Se quiere transportar la mSe quiere transportar la mááxima cantidad de flujo desde xima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ieie..

Al respecto diremos que existen muchos algoritmos Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar soluciespecializados para dar solucióón a los n a los P.F.MP.F.M..

7

ObservaciObservacióón:n:1.Se debe considerar una red dirigida.1.Se debe considerar una red dirigida.2.Tiene una fuente y un pozo. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo.3.Los otros nodos son de trasbordo.4.Capacidad de los arcos.4.Capacidad de los arcos.5.El objetivo es determinar el patr5.El objetivo es determinar el patróón factible de flujo a travn factible de flujo a travéés de la s de la

red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. red que maximice el flujo total desde la fuente de destino.

DefiniciDefinicióón del Probleman del Problema

-- Existe un nodo origen (con el nExiste un nodo origen (con el núúmero 1), del cual los flujos mero 1), del cual los flujos emanan.emanan.

-- Existe un nodo terminal (con el nExiste un nodo terminal (con el núúmero n), en el cual todos los mero n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.flujos de la red son depositados.

-- Existen nExisten n--2 nodos (2 nodos (nnúúmeradosmerados del 2, 3,....,ndel 2, 3,....,n--1), en el cual el 1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.flujo que entra es igual al flujo que sale.

-- La capacidad CLa capacidad Cij ij que transita del nodo i al nodo j, y la que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad capacidad CCjiji para la direccipara la direccióón opuesta.n opuesta.

El objetivo es encontrar la mEl objetivo es encontrar la mááxima xima cantidad de flujo que salga del nodo cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.de los arcos.

10

El problema consiste en encontrar la El problema consiste en encontrar la mmááxima cantidad de flujo total que xima cantidad de flujo total que puede circular a travpuede circular a travéés de la red en una s de la red en una unidad de tiempo.unidad de tiempo.

El El úúnico requerimiento en ellos es que nico requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relaciel destino) la relacióón de equilibrio debe n de equilibrio debe cumplirse:cumplirse:

flujo que sale = flujo que entra flujo que sale = flujo que entra

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Dicho en tDicho en téérminos formales, siendo f = flujo, n = rminos formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen:destino, l = origen:

Maximizar f sujeto a:Maximizar f sujeto a:

de la redde la red

capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversocapacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.s arcos.

=−∑∑ j jij ij xx

= f, si i = 1

= -f, si j = n

= 0 en otro caso

ji

Ux ijij

,

0

∀

≤≤

=ijU

12

El algoritmo de flujo mEl algoritmo de flujo mááximo se fundamenta ximo se fundamenta en pasos de sentido comen pasos de sentido comúún: encontrar un n: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en camino que inicie en la fuente y concluya en la la antifuenteantifuente, que tenga capacidad de flujo en , que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depvayan de fuentes a depóósitos y que sigan sitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo.las ramas en el sentido del flujo.

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PASOS DEL ALGORITMOPASOS DEL ALGORITMO

1. Encontrar un camino que vaya del origen 1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado.cero en el sentido deseado.2. Encontrar la rama de menor capacidad (2. Encontrar la rama de menor capacidad (PfPf) ) del camino seleccionado en el paso anterior y del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envprogramar el envíío de dicha capacidad (o de dicha capacidad (PfPf).).3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad la cantidad PfPf en las ramas involucradas y en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.contrario.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.

14

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Flujo mFlujo mááximoximo

15

Una ciudad es atravesada por una red Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 le permite alcanzar un nivel de 15,000 vehvehíículos/hora en el horario culos/hora en el horario ““picopico””. . Debido a un programa de mantenimiento Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vgeneral, el cual exige cerrar dichas víías, un as, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes.a sur, la cual incorpora avenidas importantes.

16

La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías.

17

1. 1. ¿¿Puede la red propuesta dar cabida a Puede la red propuesta dar cabida a un flujo mun flujo mááximo de 15,000 v/h de ximo de 15,000 v/h de norte a sur?norte a sur?

2. 2. ¿¿CuCuáál es el flujo ml es el flujo mááximo de vehximo de vehíículos culos que permite la red cada hora?que permite la red cada hora?

3. 3. ¿¿QuQuéé flujo se debe canalizar sobre flujo se debe canalizar sobre cada rama?cada rama?

18

SOLUCISOLUCIÓÓNN

19

3

2

0 5

1. 1-2-5-7 3

20

36

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 6

0 11

21

361

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 1

0 11

4

4

0

22

3611

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 1

0 11

4

4

0

3

3

0

4

23

3+6+1+1+2=13

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 15. 1-2-3-5-7 2

0 11

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

SOLUCIÓN FINAL

24

36112

2

0 5

0 1 1

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

3 65

2

2 26

2

61

7

25

EJERCICIO 2EJERCICIO 2

Flujo mFlujo mááximoximo

26

La compaLa compañíñía estatal de petra estatal de petróóleo cuenta con una red de leo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar petroleoductos que utiliza para transportar petróóleo desde su leo desde su refinerrefineríía (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. a (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:

¿Cuál es el flujo máximo?

27

Como puede observarse, las capacidades de flujo son Como puede observarse, las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos divariables como resultado de los diversos diáámetros metros de los de los ductosductos capscaps. en miles de . en miles de galgal. por hora.. por hora.

1.1. LaLa empresa desea abastecer el almacempresa desea abastecer el almacéén 7, n 7, ¿¿CuCuáál es l es el flujo mel flujo mááximo con el cual puede abastecerlo?ximo con el cual puede abastecerlo?

2.2. ¿¿CuCuáánto tiempo se requiere para satisfacer una nto tiempo se requiere para satisfacer una demanda de 95,000 galones para el mismo almacdemanda de 95,000 galones para el mismo almacéén?n?

3.3. SiSi se presentarse presentaráá una ruptura o cierre en el una ruptura o cierre en el ductoducto que que va de 2va de 2--3, 3, ¿¿CuCuáál serl seríía ahora el flujo ma ahora el flujo mááximo para el ximo para el sistema?sistema?

28

SOLUCISOLUCIÓÓNN

29

33

3

02

1. 1-2-5-7 3

30

3+2

3+2

3

02

4

0

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 2

31

3+2+2

3+2+2

3

02

4

0

2

1

0 3

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 2

32

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 1

3+2+2+1

3+2+2+1

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

33

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 1

3+2+2+1+1

3+2+2+1+1

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2

34

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 16. 1-2-3-5-7 1

3+2+2+1+1+1

3+2+2+1+1+

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2

21

0

0

35

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 16. 1-2-3-5-7 1

3+2+2+1+1+1

El Flujo máximo es:3+2+2+1+1+1=10

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2

21

0

0

36

4

3

511

63 1

2

32

El Flujo máximo es:3+2+2+1+1+1=10

37

Ejemplo 3Ejemplo 3

Flujo mFlujo mááximoximo

38

En una ciudad se va a construir una obra En una ciudad se va a construir una obra civil que inutilizarcivil que inutilizaráá vvíías primarias as primarias durante una temporada. Los ingenieros durante una temporada. Los ingenieros proponen una red alterna formada por proponen una red alterna formada por calles mcalles máás peques pequeññas para distribuir el as para distribuir el trtráánsito. nsito. Actualmente hay un flujo de 10 mil Actualmente hay un flujo de 10 mil autos por hora en las horas pico. autos por hora en las horas pico. ¿¿La red de desviaciLa red de desviacióón tendrn tendráá la la capacidad de canalizar este flujo?capacidad de canalizar este flujo?

39

1

1

1

1

1 1

0

4

0

6

0 2

6 00

6

0

0

30

4

02

1

2

3

4

5

6

40

SOLUCISOLUCIÓÓNN

USANDO EL TORAUSANDO EL TORA

41

42

43

44

DeducciDeduccióón del modelo de n del modelo de programaciprogramacióón lineal para el n lineal para el problema del flujo mproblema del flujo mááximoximo

45

El problema es enviar gas natural El problema es enviar gas natural desde un campo de produccidesde un campo de produccióón a n a una ciudad a travuna ciudad a travéés de s de gaseoductos.gaseoductos.

46

El planteamiento con estos datos El planteamiento con estos datos serseríía:a:MMááxx f sujeto a:f sujeto a:

fxxxxx

xxxxxxxfxx

=+=−+

=−−+=−−

=+

4535

453424

35342313

242312

1312

00

0

ijxxxxxxxx

ij ∀≥≤≤≤≤≤≤≤

,088753610

45

35

34

24

23

13

12

47

Este planteamiento no se ajusta a la Este planteamiento no se ajusta a la formulaciformulacióón estn estáándar de programacindar de programacióón lineal n lineal de costo mde costo míínimo, puesto que se desconoce f y nimo, puesto que se desconoce f y aparece simultaparece simultááneamente en la funcineamente en la funcióón n objetivo y en el lado derecho de las objetivo y en el lado derecho de las restricciones.restricciones.Si se plantea asSi se plantea asíí no es posible utilizar el no es posible utilizar el algoritmo de programacialgoritmo de programacióón lineal, por ello n lineal, por ello utilizaremos el artificio de agregar un arco utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con ello ahora el planteamiento serello ahora el planteamiento seríía:a:

48

49

fxxxxxx

xxxxxxxxxx

=++−=−+

=−−+=−−=−−

453551

453424

35342313

242312

131251

00

00

ijxxxxxxxx

ij ∀≥≤≤≤≤≤≤≤

,088753610

45

35

34

24

23

13

12

50

Ejemplo 4Ejemplo 4

COMPACOMPAÑÍÑÍA QUIMICA UNIDAA QUIMICA UNIDAAlgoritmo de flujo mAlgoritmo de flujo mááximoximo

COMPACOMPAÑÍÑÍA QUIMICA UNIDAA QUIMICA UNIDAQuQuíímica unida produce pesticidas y otros productos mica unida produce pesticidas y otros productos de control agrde control agríícola.cola.El veneno quEl veneno quíímico necesario para la produccimico necesario para la produccióón es n es depositado en grandes tambores.depositado en grandes tambores.Una red de tubos y vUna red de tubos y váálvulas regula el flujo del lvulas regula el flujo del ququíímico de los tambores a las diferentes mico de los tambores a las diferentes ááreas de reas de producciproduccióón.n.El departamento de seguridad debe diseEl departamento de seguridad debe diseññar un ar un procedimiento que vacprocedimiento que vacííe los tambores de la forma e los tambores de la forma mmáás rs ráápida posible dentro de los tubos del pida posible dentro de los tubos del áárea de rea de depdepóósito, usando la misma red de tubos y vsito, usando la misma red de tubos y váálvulas.lvulas.El procedimiento debe determinar:El procedimiento debe determinar:-- QuQuéé vváálvulas deben abrirse y cerrarselvulas deben abrirse y cerrarse-- Estimar el tiempo total de descarga.Estimar el tiempo total de descarga.

DatosDatos

Tambores con químico Tubo de Seg.

1 7

4

2

3

6

5

10

0

80

0

0

0

0

0

0

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

No se permite flujo de 4 a 2.

SoluciSolucióón n -- AnalogAnalogíía de un problema de programacia de un problema de programacióón n lineallineal–– Variables de decisiVariables de decisióónn

XXijij -- Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a travFlujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a travéés s del arco que conecta ambos nodos.del arco que conecta ambos nodos.

–– FunciFuncióón Objetivo n Objetivo -- Maximizar el flujo que sale del nodo 1Maximizar el flujo que sale del nodo 1Max X12 + X13Max X12 + X13–– RestriccionesRestricciones

[Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]en el nodo 7]

X12 +X13 = X47 + X57 + X67X12 +X13 = X47 + X57 + X67[Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]sale]

Nodo 2: X12 + X32Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26 = X23 +X24 + X26 Nodo 3:Nodo 3:X13 +X23 + 63X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36= X32 +X35 + X36Nodo 4:Nodo 4:X24 +X64X24 +X64 = X46 + X47= X46 + X47Nodo 5:Nodo 5:X35 +X65X35 +X65 = X56 + X57= X56 + X57Nodo 6:Nodo 6:X26 +X36 + X46 +X56 X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67= X63 +X64 +X65 + X67

EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcosEL flujo no puede exceder la capacidad de los arcosX12 >= 10; X13 >= 10; X23 >= 1; X24 >= 8; X26 >= 6; X12 >= 10; X13 >= 10; X23 >= 1; X24 >= 8; X26 >= 6; X32 >= 1; X32 >= 1;

X35 X35 >=>= 15; X36 15; X36 >=>= 4; X46 4; X46 >=>= 3; X47 3; X47 >=>= 7; X56 7; X56 >=>= 2; X57 2; X57 >= >= 8; 8;

X63 X63 >=>= 4; X64 4; X64 >=>= 3; X65 3; X65 >=>= 2; X67 2; X67 >=>= 2; 2;

Los flujos no pueden ser negativos: Todos Los flujos no pueden ser negativos: Todos XXijij >= 0>= 0

Se debe tener presente que este problema es Se debe tener presente que este problema es relativamente pequerelativamente pequeñño y la solucio y la solucióón puede ser obtenida n puede ser obtenida rráápidamente usando el modelo de programacipidamente usando el modelo de programacióón lineal.n lineal.

Sin embargo para problemas de mayor envergadura se Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.aconseja usar el modelo de redes.

SoluciSolucióónn--AnalogAnalogíía con un problema de redesa con un problema de redes

-- La idea bLa idea báásica es la siguiente:sica es la siguiente:

* Encontrara un camino de capacidad * Encontrara un camino de capacidad mmíínimaennimaen cada uno cada uno de sus arcos.de sus arcos.

* Aumentar el flujo de esos arcos por la m* Aumentar el flujo de esos arcos por la míínima capacidad nima capacidad de uno de los arcos de la ruta.de uno de los arcos de la ruta.* Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva.residual positiva.*Designar un nodo origen y un nodo de flotaci*Designar un nodo origen y un nodo de flotacióónn* Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos)ambos sentidos)* A continuaci* A continuacióón se muestra la solucin se muestra la solucióón obtenida usando n obtenida usando WINQSB.WINQSB.

El máximo flujo obtenido por WINQSB El máximo flujo obtenido por WINQSB

Tambores con químico

Tubo de Seg.

1 7

42

3

6

5

8

8

2

77

10

7

8

2

Flujo Máximo= 17

57

Ejercicio para resolverEjercicio para resolver

Flujo mFlujo mááximoximo

58

Un conjunto de vUn conjunto de víías ras ráápidas tiene las siguientes pidas tiene las siguientes capacidades (miles de vehcapacidades (miles de vehíículos/hora).culos/hora).

1. Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.2. ¿Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máximo?

59

SOLUCISOLUCIÓÓNN

60

3 3

3

5 3

6

4

2

1 2

ITERACIÓN CAMINO SELECCIONADO

Pf(vehículos/hora)

FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA ITERACIÓN

1 1-4-6 (1-4) 3,000 3,000

2 1-2-5-6 (1-2) 3,000 6,000

3 1-3-6 (3-6) 2,000 8,000

4 1-3-4-2-5-6 (2-5) 1,000 9,000

5 1-3-4-5-6 (3-4) 2,000 11,000

61

ITERACIÓN CAMINO SELECCIONADO

Pf(vehículos/hora)

FLUJO TOTAL DESPUÉS DE LA

ITERACIÓN

1 1-4-6 (1-4) 3,000 3,0002 1-2-5-6 (1-2) 3,000 6,0003 1-3-6 (3-6) 2,000 8,0004 1-3-4-2-5-6 (2-5) 1,000 9,0005 1-3-4-5-6 (3-4) 2,000 11,000

62

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

63

El alcalde del distrito Florencia de Mora desea conocer a travEl alcalde del distrito Florencia de Mora desea conocer a travéés s de los 15 postes de la de los 15 postes de la MzMz A para el alumbrado elA para el alumbrado elééctrico ctrico -- que es que es proveproveíída por una estacida por una estacióón central perteneciente a n central perteneciente a HidrandinaHidrandina , , que dista de esta que dista de esta MzMz entre los 4000 y 6000 entre los 4000 y 6000 mtsmts..-- , por donde , por donde circula la mayor cantidad de energcircula la mayor cantidad de energíía, teniendo en cuenta que a, teniendo en cuenta que sus habitantes consumen la mayor cantidad de luz por las sus habitantes consumen la mayor cantidad de luz por las mamaññanas, a diferencia de los fines de semana que el mayor anas, a diferencia de los fines de semana que el mayor consumo se da por las noches .consumo se da por las noches .La siguiente red representa la capacidad de cada poste La siguiente red representa la capacidad de cada poste ;expresando dicha capacidad en ;expresando dicha capacidad en WatsWats. . ¿¿Aplicar el algoritmo de flujo mAplicar el algoritmo de flujo mááximo para saber por dximo para saber por dóónde nde fluye la mayor cantidad de energfluye la mayor cantidad de energíía en esta red de distribucia en esta red de distribucióón n de alumbrado elde alumbrado elééctrico de la ctrico de la MzMz A perteneciente al distrito A perteneciente al distrito Florencia de Mora?Florencia de Mora?

64

65

SOLUCISOLUCIÓÓNN

66

67

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

68

El complejo hidroelEl complejo hidroelééctrico de la cuenca del ctrico de la cuenca del RimacRimac consta de 7 centrales hidroelconsta de 7 centrales hidroelééctricas ctricas que se encuentran en actual funcionamiento. que se encuentran en actual funcionamiento. La capacidad que genera es de 543000 Kw. La capacidad que genera es de 543000 Kw. La demanda que no se puede satisfacer de La demanda que no se puede satisfacer de las centrales hidroellas centrales hidroelééctricas se obtiene de las ctricas se obtiene de las plantas termoelplantas termoelééctricas (petrctricas (petróóleo), la energleo), la energíía a es llevada a traves llevada a travéés de conductores els de conductores elééctricos ctricos a hacia las ciudades. a hacia las ciudades. La figura resume los enlaces de la red junto La figura resume los enlaces de la red junto con la capacidad de cada conducto.con la capacidad de cada conducto.

69

70

SOLUCISOLUCIÓÓNN

71

Maximal flow = 110.0000Maximal flow = 110.0000

From To Arc Capacity Flow Amount Residue

---------------------------------------------------------------------------------------

N1 N2 70.00 50.00 20.00

N1 N3 50.00 20.00 30.00

N1 N4 60.00 40.00 20.00

N1 N5 0.00 0.00 0.00

N1 N6 0.00 0.00 0.00

N1 N7 0.00 0.00 0.00

N2 N1 70.00 0.00 70.00

N2 N3 0.00 0.00 0.00

N2 N4 30.00 30.00 0.00

N2 N5 0.00 0.00 0.00

N2 N6 20.00 20.00 0.00

72

N2 N7 0.00 0.00 0.00

N3 N1 50.00 0.00 50.00

N3 N2 0.00 0.00 0.00

N3 N4 20.00 0.00 20.00

N3 N5 20.00 20.00 0.00

N3 N6 0.00 0.00 0.00

N3 N7 0.00 0.00 0.00

N4 N1 60.00 0.00 60.00

N4 N2 30.00 0.00 30.00

N4 N3 20.00 0.00 20.00

N4 N5 0.00 0.00 0.00

N4 N6 20.00 20.00 0.00

N4 N7 50.00 50.00 0.00

N5 N1 0.00 0.00 0.00

N5 N2 0.00 0.00 0.00

N5 N3 20.00 0.00 20.00

N5 N4 0.00 0.00 0.00

N5 N6 0.00 0.00 0.00

N5 N7 70.00 20.00 50.00

N6 N1 0.00 0.00 0.00

N6 N2 20.00 0.00 20.00

N6 N3 0.00 0.00 0.00

N6 N4 20.00 0.00 20.00

N6 N5 0.00 0.00 0.00

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N6 N7 70.00 40.00 30.00

N7 N1 1.00 0.00 1.00

N7 N2 0.00 0.00 0.00

N7 N3 0.00 0.00 0.00

N7 N4 0.00 0.00 0.00

N7 N5 4.00 0.00 4.00

N7 N6 6.00 0.00 6.00

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EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

75

TelefTelefóónica quiere saber el flujo mnica quiere saber el flujo mááximo ximo que debe de salir de la ciudad 1 y llegar que debe de salir de la ciudad 1 y llegar a la ciudad 12 pasando por otros nodos a la ciudad 12 pasando por otros nodos o puntos de transmisio puntos de transmisióón de datos.n de datos.

76

77

SOLUCISOLUCIÓÓNN

78

EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER

79

80TOTAL = 2 + 3 + 6 + 2 = 13

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PROBLEMAS DE FLUJO MPROBLEMAS DE FLUJO MÁÁXIMOXIMOCONCON

GRAFOSGRAFOS

AANNEEXXOO

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Problemas de flujo en redesProblemas de flujo en redesSupongamos un grafo dirigido G=(V, A) con pesos en las aristas. Supongamos un grafo dirigido G=(V, A) con pesos en las aristas. Los Los pesos de cada arista C(v, w) representa el npesos de cada arista C(v, w) representa el núúmero mmero mááximo de unidades ximo de unidades que pueden que pueden ““fluirfluir”” desde el nodo v al w.desde el nodo v al w.Por ejemplo:Por ejemplo: C(v, w) puede ser la cantidad mC(v, w) puede ser la cantidad mááxima de agua que puede ir por xima de agua que puede ir por una tuberuna tuberíía que comunica v con w, o el na que comunica v con w, o el núúmero de coches mmero de coches mááximo que cabe en ximo que cabe en una calle.una calle.

Problema de flujo mProblema de flujo mááximo.ximo.Dado un nodo origen s y un nodo destino t en un grafo dirigido cDado un nodo origen s y un nodo destino t en un grafo dirigido con on pesos, encontrar la cantidad mpesos, encontrar la cantidad mááxima de flujo que puede pasar de s a t.xima de flujo que puede pasar de s a t.

s t

a c

b d2

3 3

41

23

2

s t

a c

b d2

3 2

10

23

2

La suma de entradas para cada nodo interior debe ser igual a la La suma de entradas para cada nodo interior debe ser igual a la suma de salidas.suma de salidas.Los valores de flujo en cada arista no pueden superar los valoreLos valores de flujo en cada arista no pueden superar los valores ms mááximos.ximos.

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Problemas de flujo en redesProblemas de flujo en redesAlgoritmo para calcular el flujo mAlgoritmo para calcular el flujo mááximo.ximo.1. Inicializar un grafo de flujo 1. Inicializar un grafo de flujo GGff con los mismos nodos y aristas de G, pero con los mismos nodos y aristas de G, pero

con pesos 0. Este grafo guardarcon pesos 0. Este grafo guardaráá el resultado del algoritmo.el resultado del algoritmo.2. Buscar un camino en G, desde s hasta t (camino creciente). Se2. Buscar un camino en G, desde s hasta t (camino creciente). Sea m el valor a m el valor

mmíínimo de los costes de las aristas por las que pasa el camino (ponimo de los costes de las aristas por las que pasa el camino (por este r este camino pueden fluir hasta m unidades de flujo).camino pueden fluir hasta m unidades de flujo).

3. Para cada arista (v, w) del camino, a3. Para cada arista (v, w) del camino, aññadir al costo de la arista adir al costo de la arista corresponcorrespon--diente en diente en GGff el valor m: el valor m: CCff[v[v, w] = , w] = CCff[v[v, w] + m., w] + m.

4. 4. DecrementarDecrementar el valor m en cada arista (v, w) del camino, en el grafo G. Si el valor m en cada arista (v, w) del camino, en el grafo G. Si la arista toma el valor 0, eliminarla de G.la arista toma el valor 0, eliminarla de G.

5. Volver al paso 2 mientras sigan existiendo caminos entre s y 5. Volver al paso 2 mientras sigan existiendo caminos entre s y t en G.t en G.

Ejemplos:Ejemplos:–– Caso 1: (s, b, d, t) con m=2; (s, a, c, t) con m=2; (s, a, d, t)Caso 1: (s, b, d, t) con m=2; (s, a, c, t) con m=2; (s, a, d, t) con m=1. FINcon m=1. FIN–– Caso 2: (s, a, d, t) con m=3. FINCaso 2: (s, a, d, t) con m=3. FIN

El algoritmo es no determinista y no garantiza una soluciEl algoritmo es no determinista y no garantiza una solucióón n óóptima.ptima.SoluciSolucióón:n: en el paso 4 aen el paso 4 aññadir una arista <w, v> a G con costo m adir una arista <w, v> a G con costo m (para permitir deshacer los caminos).(para permitir deshacer los caminos).

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EJEMPLO 5 EJEMPLO 5

FLUJO MFLUJO MÁÁXIMOXIMO

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Una ciudad es atravesada por una red de agua Una ciudad es atravesada por una red de agua potable que le permite alcanzar un nivel de 10 potable que le permite alcanzar un nivel de 10 mil litros por hora. mil litros por hora. Debido a un programa de mantenimiento Debido a un programa de mantenimiento general, hay que desviar el flujo por ciertas general, hay que desviar el flujo por ciertas vvíías. Un grupo de ingenieros propone una red as. Un grupo de ingenieros propone una red de rutas alternas para abastecer la ciudad. de rutas alternas para abastecer la ciudad. ¿¿Puede la red propuesta dar cabida al flujo de Puede la red propuesta dar cabida al flujo de 15 mil litros por hora? 15 mil litros por hora? ¿¿CuCuáál es el flujo ml es el flujo mááximo que permite la red ximo que permite la red cada hora? cada hora? ¿¿QuQuéé flujo debe canalizarse sobre cada rama?flujo debe canalizarse sobre cada rama?

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SOLUCISOLUCIÓÓNN

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