DieléctricosDieléctricos

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Potencial de un dipolo

, ,x y z Coordenadas del campo

', ', 'x y z Coordenadas de la fuente

P(x,y,z)( , , ) q qU x y z U U

r>>x’( ')

'q

q q

UU U dx

x

rr- r-~r+ ~ r

r>>xx

+

r+

-~+ ~x(x’,y’,z’)

(x’+x’ y’ z’)

CAMPOS Y ONDAS

-q +qx’

(x +x ,y ,z )

Potencial de un dipolo

( ') '' '

q qdipolo q q q q

U UU U U U U x x

x x

2 2 20

14 ( ') ( ') ( ')

qU qx x y y z z

x x

0 ( ) ( ) ( )y y

3/22 2 2

1 .( 2).( )́.' 2

qU q x x

3/22 2 2

0' 2 4 ( ') ( ') ( ')x x x y y z z

( ´)U q x x1/22 2 2 2 2 2

0

.( )' 4 ( ') ( ') ( ') . ( ') ( ') ( ')

qU q x xx x x y y z z x x y y z z

20

.cos( )' 4

qU qx r

2

. '.cos( )( , , )4

dipoloq xU x y z

r

CAMPOS Y ONDAS

04 r

Potencial de un dipolo

20

. '.cos( )( , , )4

dipoloq xU x y z

r

( . ') xq x p a 04 r

Definimos un vector p, cuyo modulo es el valor del módulo de una de las cargas del dipolo multiplicada por la separación entre una de las cargas del dipolo multiplicada por la separación entre ambas y la dirección es de la carga negativa a la positiva .

Sustituimos el cos () por el producto escalar de p y el vector rP(x,y,z)

Sustituimos el cos (), por el producto escalar de p y el vector r

p a 20

.4

dipoloUr

rp ar>>x’

rr+

r-

p

r-~r+ ~ r

CAMPOS Y ONDAS

-q +q

x’p

-~+ ~

Potencial de un dipolo

2

.dipoloU rp a

1 1a 204dipolo

r 2

1 1( ) '( )r r r

ra

0

. 1'( )4dipoloU

r

p Derivamos respecto de la

coordenadas de la fuente0

2

.1

rp aE Derivamos respecto de la d d d l 2

04 ( )r

Ecoordenadas del campo

El potencial de un dipolo varia con el cuadrado de la distancia y el campo con el cubo de la distancia.La acción de un dipolo es mucho menos intensa que la

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p qde la carga puntual

Modelo del Dieléctrico

• Los materiales dieléctricos no tienen cargas libres• Las moléculas de estos materiales son afectadas por

Elé t i d d f di l campos Eléctricos de modo que se forman dipolos que se orientan.

• Los dieléctricos tienen cargas ligada, esta no son lib l d l d t i libres como la de los conductores, sino que aparecen de a pares +- dentro de la escala molecular.

• El efecto macroscópico es un desplazamiento de cargas positivas + respecto de las negativas –, polarización.

• Un dieléctrico polarizado, aún cuando sea peléctricamente neutro en promedio produce un campo eléctrico en puntos exteriores o interiores al dieléctrico.

• Nuestro estudio no es de escala atómica, el efecto que analizaremos es MACROSCÓPICO (dimensiones mucho mayores que la del átomo y la molécula).

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Polarización

• Polarización moléculas No polares

• Polarización moléculas PolaresPolarización moléculas Polares

CAMPOS Y ONDAS

Campo de una Distribución cúbica de Dipolos

• Momento dipolar por Unidad de volumen

N

U(x,y,z)

1

0lim i

v

i

v

pP

pi: dipolos en el volumen

vo

- ++

p+

- +v

.j jv p P.j jvp

.Mj

rp aM

jvo v

CAMPOS Y ONDAS

21 0

( , , )4

j

jU x y z

r

rp1

jj

v o v

Campo de una Distribución cúbica de Dipolos

• Se calcula el potencial en un punto, como contribución de la distribución de todos los dipolos.

• Se mueve el punto de la fuente para integrar el • Se mueve el punto de la fuente para integrar el efecto de las fuentes

2 00

. '. . ' 1'( )44

v vdUrr

rP a P

004 r

1P P 2 00

. 1' . '( ) '44vo vo

U dU dv dvrr

rP a P

0vo vo

CAMPOS Y ONDAS

Campo de una Distribución cúbica de Dipolos

div (u.P)=(Grad u).P+u.(div P) 1ur

(Grad u).P=div (u.P)-u.(div P)

0 0 0

1 1 1 .'. '( ) ' .'( ) ' ( ) '4 4 4vo vo vo

U dv dv dvr r r

P P P

1 . ' '[ ( ) ']U dv

P ds P

0

[ ( ) ]4 so vo

U dvr r

' 'nP dsP.ds

'

n

nP liglig

PDensidad de carga superficial

Densidad de carga

CAMPOS Y ONDAS

. lig P Densidad de carga volumétrica

Campo de una Distribución cúbica de Dipolos

1 . ' '[ ( ) ']4

U dv

P ds P

1 l l

0

[ ( ) ]4 so vor r

1 [ ' ( ) ']4

lig ligU ds dvr r

04 so vor r

Funciones escalares Obtenidas a partir de P

P lig

. 'nP lig

lig

P Es una medida de la no uniformidad deLa polarización dentro del material

CAMPOS Y ONDAS

La polarización dentro del material

Campo de una Distribución cúbica de Dipolos

0

1 [ ( ) ]4 so vo

lig ligU ds dvr r

0 so vo

ligada

ligada

El efecto de la densidad cúbica puede expresarse como ófunción de simples fuentes equivalentes :

•Una distribución superficial de carga•Una carga volumétrica

E h t i l i t di i i t d •En muchos materiales no existe divergencia interna de momentos dipolares así que solo se representa con la distribución superficial de carga

•El signo negativo es por la definición de P de las cargas

. lig P

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negativas a las positivas

• La contribución de cada elemento de volumen se transforma en un término de volumen diferente y un término de superficie término de superficie

• La carga total del volumen y la superficie es cero

Q d l t ib ió fi i l d l f t • Queda la contribución superficial de la frontera y elementos de volumen cargados, si el material no fuera totalmente uniforme

d [ . ] 0so vo

Q dv P ds P

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Dieléctricos

• La electrostática se puede ver como la acción de cargas libres o ligadas sin importar de donde cargas libres o ligadas, sin importar de donde provengan.

• La ley de Coulomb se aplica independiente del material .

• La acción de los materiales se describe con su distribución de cargasdistribución de cargas

• Macroscopicamente es útil distinguir entre cargas libres y ligadas que especifican los procesos de polarización (dipolos de los dieléctricos)polarización (dipolos de los dieléctricos).

• Las cargas que producen el campo eléctrico son todas las libres y las ligadasg

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total libre ligada

• Las fuentes de divergencia del campo eléctrico son todas las cargas

. total

E

o• Hemos encontrado en los materiales polarizados que

ligada P• De donde

0.( ) total ligada libre E P

De donde

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0( ) total ligada libre

Dieléctricos

• Es conveniente definir a D como:

( )o

D E + P

D E + P

Ecuación constitutiva

. .( )o libre D E + P• Esta definición esta de acuerdo con la definición de D

en el vacíoen el vacío

. libre D• D es un campo parcial pues solo depende de las

cargas libresg

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Dieléctricos

• En muchos materiales (gases, liquido, sólidos amorfos, cristales del sistema cúbico), la polarización es proporcional al campo eléctrico Ep p p

o e P Eo e

(1 )o e o r D E ESuceptibilidad eléctrica

( )o e o r

( ) D E

Permitividad relativa eléctrica

. ( )o r D E

• Si no hay cargas libres y r y g yes constante el material se puede reemplazar por capas superficiales de carga

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carga

Dieléctricos

(1 ) 1e r ,e r adimensional

e r

,,

e r

o

adimensional

Farads/m

o D E + P Universal

o r D E

o

Materiales lineales homogeneos e o r

o e P EMateriales lineales, homogeneos e isotropicos

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• Materiales isotrópicos: la constante dielectrica es la misma para todas las direcciones. D , E y P son misma para todas las direcciones. D , E y P son paralelas.

• En los materiales Anisotrópicos la permitividad y la suceptibilidad poseen en este caso nueve suceptibilidad poseen en este caso nueve componentes llamado TENSOR

Dxx xy xz

yx yy yz

Dx Ex Ey Ez

Dy Ex Ey Ez

E

yx yy yz

zx zy zz

y y

Dz Ex Ey Ez

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Dieléctricos

• Materiales Homogéneos: la constante dieléctrica no depende de la posición espacialE l t i l NO H é l t t • En los materiales NO Homogéneos la constante dieléctrica depende de la posición

+

- +

- +P++

+

--

-

- +

- +

+

++ -

-

(x)- ++

+--

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Dieléctricos

• Material lineal no depende del valor de E

D li lD lineal alineal

( ) E

E

( ) E

E

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Ri id di lé t iRigidez dieléctrica• En la práctica los dieléctricos no son ideales y ante

la aplicación de campos intensos comienzan a édesprenderse electrones de las moléculas y el

dieléctrico pasa a ser conductor.• Caso que se dice que ha ocurrido una disrupción q q p

dieléctrica (descarga).• Esta puede ocurrir en todo tipo de materiales

líquidos, sólidos y gaseosos (autorregenerativos).q , y g ( g )• Dependen de:

– La naturaleza del materialDe la temperatura– De la temperatura

– La humedad– La duración del período de aplicación del

campo.• El valor mínimo de campo eléctrico en que se

produce la disrupción se denomina Rigidez

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p p g(resistencia) dieléctrica del material

F. R. Quintela y R. C. Redondo Melchor. Definiciones y Conceptos. Universidad de Salamanca

• Rigidez Dieléctrica.Máximo campo eléctrico que puede soportar un

dieléctrico sin perder sus propiedades aislantes.

– Los campos eléctricos moderados son los que no Los campos eléctricos moderados son los que no arrancan electrones ligados de los átomos. Por tanto no producen corrientes importantes en los dieléctricos, pues solo mueven los electrones libres que pueda haber pues solo mueven los electrones libres que pueda haber en el dieléctrico.

– Pero si se aumenta el valor del campo, puede llagar a arrancar un gran número de electrones ligados. arrancar un gran número de electrones ligados.

– Entonces la corriente en el dieléctrico crece bruscamente y suele dañarlo por elevación de su temperatura temperatura.

– El mayor valor del campo eléctrico que no produce este incremento brusco de corriente es la rigidez dieléctrica. La rigidez dieléctrica del aire seco es 30 kV/cm Por

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La rigidez dieléctrica del aire seco es 30 kV/cm. Por encima de este valor se produce arco eléctrico.

Dieléctricos

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Justificación del campo eléctrico Macroscópico dentro de un material dieléctrico un material dieléctrico

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1 [ ' ( ) ']4

lig ligU ds dvr r

0 ' 14 so s vo vr r

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• La contribución de la superficie al cálculo del campo está dado por la So, superficie Externa, como en el caso del campo en el exteriorcaso del campo en el exterior

• Lo que hay que restar del volumen de la aguja, es una cantidad que tiende a cero, pues siendo la d id d d fi it l té idensidad de carga finita el término

– (dv/r)-0 para r->0

• La expresión del potencial y por lo tanto del campo dentro del dieléctrico es equivalente a la expresión

sada pa a p ntos e te io es usada para puntos exteriores

1 [ ' ( ) ']4

lig ligU ds dv

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04 so vor r

Dieléctricos

o

D E + PD PE

libreD σ0 0r

E

P

libre total

libre

σ σ

σo

o

P D E0

0 r

P

librelibre

libre ligada total

σ

σ σ σ

r

libre

ligada libre

σσ σ

1--

-

- +

- +P++

+ D-

- +

- +P++

+ D (1 )r

P libre ligada

1σ σ-

-- +

- +

+

++

D- +

- +

+

++

D

-

--

- +

+++

+E- +

+++

+E

Carga libre

Carga ligada-++

CAMPOS Y ONDAS

Carga libre

--

-- +

+

- +P+++ D

-- +

+

- +P+++ D

--

-- +

- +- +

+++ E- +

- +- +

+++ E

-+

+E +

+E

D. D

EP

PCAMPOS Y ONDAS

. P

.. . o r SQ D S E SC

. .C

E l E l l U

--

- +- +P

++

D-

- +- +P

++

D

-

--

+- +- +

+++

D +- +- +

+++

D

--

- +++

E- +++

E

• La Capacidad usando materiales dieléctricos aumenta

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Dieléctricos

• El campo eléctrico E depende de todas las cargas libres y ligadas.

• D depende solo de las cargas libres.• P depende de las cargas ligadas.

libretotal

D

Eo

ligada

E

P ligada P

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• Carga esférica de radio a en un dieléctrico homogéneo, lineal e isotrópico

• El campo sigue siendo radial E D y P tienen la misma • El campo sigue siendo radial, E, D y P tienen la misma dirección.

• D=E

qD.dssc

qD a 2 r

qE a

24 rrD a 24 r

o rr

D E + P

1( )rq P a

o D E + P

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2 ( )4 r

rr P a

Dieléctricos

• El campo eléctrico es menor en un factor r que el que hay sin dieléctrico

• La carga ligada aparece en la superfice de separación de la esfera donde esta la carga q

• Carga volumétrica ligada no existe pues el material es • Carga volumétrica ligada no existe pues el material es homogéneo y la Divergencia de P es cero (P tiene simetría esférica y varia con 1/r2 )

• La carga ligada se calcula integrando P en la superficie de la esfera

2 14 a q 2,

14 ( )4

rligada

rsc r a

a qqa

P.ds

1( )

total ligada

r

q q q

qq q q

La carga Total se calcula sumando ambas cargas en la superficie de la esfera

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( )rtotal

r r

q q q

superficie de la esfera

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Condiciones de Frontera• Condiciones de Frontera

0 E.dlsc

q ds D.ds

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o D E + P . .o D E + P

D E + P0 E o xD xE + xP0. libre

xED libre

o D E + P

• Predominan las fuentes de • Predominan las fuentes • Predominan las fuentes de rotacional de Pmodifican D

• Predominan las fuentes de divergencia de P modifican E

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Refracción en un dieléctrico• Refracción en un dieléctrico

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• Barra de ELECTRETO o material FERROELECTRICO.• Conserva la polarización aunque el campo externo

haya desaparecido

--

++

P--

++

P

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• Líneas de campo en una barra polarizada con P

E

P

DE DE

Fuentes de Fuentes de Di i rotacional

Líneas cerradasDivergenciaLíneas que salen y llegan a cargas

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