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1 D.R Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2008

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Módulo 1- Procesos básicos para el aprendizaje efectivo de las matemáticas

Tema 4. Aplicación, transferencia de la comprensión matemática a situaciones del mundo real y autoevaluación del aprendizaje

1. El papel de la metacognición en el aprendizaje 2. Transferencia de los conocimientos conceptuales y procedimentales en aplicaciones

cotidianas. 1. Presentación de una situación simplificada del mundo real. 2. Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo

matemático. 3. Aplicación de modelos matemáticos 4. Presentación de la solución en términos no matemáticos

3. Aplicación del razonamiento matemático en la resolución de problemas cotidianos 1. Ejemplos prácticos de aplicación

1. En el desayuno 1. La leche y sus envases

2. En el aparador de una joyería. 1. Oro 2. Plata 3. Piedras preciosas 4. Perlas

3. De paso por la papelería 4. Codificación e identificación

1. Códigos de barras 2. Código ISBN 3. Tarjetas de crédito 4. Cuentas corrientes

5. ¿Nos engaña Hollywood? 1. Distorsiones entre la ficción y la realidad

6. El rectángulo áureo 1. Construcción gráfica de un rectángulo áureo 2. El rectángulo áureo en el arte. 3. El rectángulo áureo en la actualidad 4. EL número de oro en la historia

7. La razón Áurea 1. La razón áurea y la fisiología humana: Las proporciones áureas

en el cuerpo humano. 2. La razón áurea y la visión.

Subtema 1. El papel de la metacognición en el aprendizaje.

El concepto de metacognición es polifacético y se generó durante muchas investigaciones educativas, principalmente llevadas a cabo durante experiencias de clase. Existen variados aspectos de la metacognición. Veamos algunos de ellos:



1. La metacognición se refiere al conocimiento, concientización, control y naturaleza de los procesos de aprendizaje.

2. El aprendizaje metacognitivo puede ser desarrollado mediante experiencias de aprendizaje adecuadas

3. Cada persona tiene de alguna manera, puntos de vista metacognitivos, algunas veces en forma inconsciente.

Las implicaciones de la metacognición en el aprendizaje tienen que ver con la pertinencia de los métodos utilizados por los profesores durante la enseñanza, ya que estos pueden alentar o desalentar las tendencias metacognitivas de los alumnos.

De acuerdo con con J. H. Flavell (1978), un especialista en psicología cognitiva y uno de los pilares en la investigación de la metacognición:



Una forma de ejemplificar lo anterior sería con el siguiente enunciado: “Yo estoy implicado en la metacognición si advierto que me resulta más fácil aprender A que B”

Según Burón (1996), la metacognición se destaca por cuatro características:

En la literatura se suele resumir esta secuencia diciendo que la metacognición requiere:

1. Saber qué (objetivos) se quiere conseguir 2. Saber cómo se lo consigue. (autorregulación y estrategia

Si analizamos lo anterior, podríamos decir que, en síntesis, la metacognición puede definirse como:

En el campo de la educación la metacognición se ha aplicado, básicamente, a los procesos involucrados en el aprendizaje académico. Se logra la metacognición cuando se mezclan tres ingredientes básicos:



Un docente con conocimiento de esta información, puede ser capaz de ayudar a sus alumnos a convertirse en aprendices auto-regulados, lo cual se traduce en alumnos autónomos, con conocimiento de los objetivos que desean alcanzar, con estrategias para lograrlo, con capacidad de auto observarse y darse cuenta si las estrategias utilizadas son las apropiadas son las apropiadas o no al evaluar el resultado y comprobar si se alcanzaron los objetivos previamente establecidos.

En resumen, podemos asegurar que un alumno es metacognoscitivo cuando:

1. Tiene conciencia sobre sus procesos (percepción, atención, comprensión, memoria) 2. Tiene conciencia sobre sus estrategias cognoscitivas (ensayo, elaboración,

organización, planeación) 3. Ha desarrollado habilidades para controlarlos y regularlos de forma consciente y

deliberada.

Es decir:



En los últimos años y a la luz de los resultados arrojados por las investigaciones sobre la metacognición, se han desarrollado y diseñado métodos, programas, técnicas y estrategias sobre los aspectos fundamentales implicados en el aprendizaje, todos los cuales apuntan a lograr una mejora sustancial de los modelos de instrucción y de estudio. A modo de ejemplo, su pueden enumerar los métodos más importantes: identificación de las ideas principales, subrayado, resumen, redacción escrita, comprensión, atención, memoria, apuntes, razonamientos, solución de problemas, enseñar a pensar, arte de preguntar, representaciones, etc. Esta separación de operaciones mentales se hace por necesidades propias de claridad de la exposición y necesidades de la investigación, pero es algo artificial, ya que la mente trabaja globalmente, sin desvincular unas acciones de otras. Por ejemplo, es difícil separar el pensar del razonar y de la resolución de problemas, por lo que, por ejemplo, algunos programas diseñados para enseñar a aprender, pueden incluir ejercicios para desarrollar la memoria, la comprensión, u otros aspectos mentales.

Habiendo tratado la metacognición, debemos preguntarnos qué es una estrategia. Nos encontraremos con numerosas definiciones, y no todas coincidentes. En forma general, podemos aceptar que estrategia es, en el campo de la literatura metacognitiva, lo que se refiere a las formas de trabajar mentalmente para mejorar el rendimiento del aprendizaje; o en otras palabras, la podríamos definir como el “conjunto de procesos cognitivos encuadrados conjuntamente en un plan de acción, empleados por un sujeto, para abordar con éxito una tarea de aprendizaje”, obviamente tanto la metacognición como las estrategias son en cierto modo indisociables, pero no obstante se refieren a dos conceptos diferentes.



Con el objeto de clarificar en la medida de lo posible estas diferencias, resulta útil presentar una clasificación de las estrategias de aprendizaje, como la siguiente:

Al centrar los esfuerzos en identificar formas eficaces de aprender, la investigación sobre metacognición ha puesto de relieve la función autorreguladora de la misma, ya que las estrategias no son sino diferentes formas de ejercer la autorregulación del aprendizaje.

Se han tratado de dilucidar las funciones que integran el comportamiento inteligente. Investigaciones recientes las han clasificado en cuatro grupos funcionales:



Estos grupos y los componentes que los conforman coinciden, como puede apreciarse, con la definición de metacognición y sus funciones, por lo que se puede afirmar que el desarrollo de la inteligencia puede concebirse a su vez como el desarrollo de estrategias, de la metacognición y de la autodeterminación (entendiendo a la autodeterminación como la capacidad de aprender a desarrollarse a través del propio esfuerzo, en contraposición a la dependencia de guías externas, como padres o profesores).

En otros términos, cuando hablamos de autorregulación, se hace referencia a la capacidad de aprender por uno mismo, a la autonomía y a la madurez mental que se logra con la enseñanza de estrategias. De todo lo dicho, podemos concluir que es imperiosa la necesidad de enseñar estrategias metacognitivas para lograr cambios en el modelo de instrucción y en el modelo de aprender. Ese cambio empieza por la toma de conciencia de la necesidad de cambiar.

El cambio que sugiere la investigación metacognitiva empieza entonces por capacitar a los profesores para

Ante este panorama, parece imperativo implantar la enseñanza explícita de estrategias de aprendizaje, ya que resultaría poco razonable seguir pensando que el alumno que quiera aprender a estudiar pueda conseguirlo por sí mismo, dado que los datos han revelado que: (a) son muchos los que no lo consiguen (b) también los que lo consiguen pueden mejorar sus rendimientos (c) Si bien unos pocos pueden lograrlo muy bien, incluso para ellos se puede esperar un aumento en el nivel de eficiencia. También podríamos decir que tener buenas estrategias de trabajo no garantiza sin más un



buen resultado, ya que un alumno puede saber estudiar y no querer hacerlo, pero esto no es lo que ocurre comúnmente y los resultados demuestran que el desarrollo metacognitivo es motivante por naturaleza.

Los profesores pueden proveer una guía para los estudiantes. Margaret Williamson, profesora de matemáticas insistía en que los estudiantes presentaran su trabajo siguiendo este formato:

Para hacer consciente a un alumno sobre su ignorancia en estrategias de aprendizaje basta con hacerle las siguientes diez preguntas: 1. ¿Tienes una agenda en la que anotas a diario los trabajos y materiales que piden los profesores, así como las explicaciones de cada clase, y al llegar a casa haces los trabajos pedidos y estudias lo explicado? 2. ¿Estudias siempre en el mismo lugar? 3. ¿Tienes un horario fijo de trabajo personal en casa para cada día de la semana? 4. ¿Aclaras tus dudas preguntándolas o consultándolas en algún diccionario o enciclopedia? 5. ¿Subrayas las palabras más importantes del texto que estás estudiando? 6. ¿Haces esquemas con esas palabras subrayadas? 7. ¿Utilizas alguna técnica, que no sea la lectura repetitiva del texto, para memorizar? 8. Cuando crees que ya te lo sabes, ¿lo compruebas de alguna manera? 9. ¿Haces apuntes o resúmenes? 10. ¿Repasas de vez en cuando tus apuntes? La mayoría de ellos contestarán afirmativamente a menos de 6 preguntas, denotando con ello una forma de estudiar y de aprender notablemente deficiente.



El aprender a aprender es lo que garantiza que las personas obtengan la capacidad de continuar adquiriendo conocimientos nuevos en forma ilimitada y de acuerdo a las características y necesidades de la sociedad de la información.

La máxima expresada por Nisbet y Shucksmith (1987), “el aprendizaje más importante es aprender a aprender” es hoy en día, una de las preocupaciones importantes en la educación escolar. Muchos son los autores que se han avocado a desarrollar recursos para enseñar a aprender, de los cuales destacan: Raths, 1986; Nikerson, Perkins y Smith, 1987; Nisbet y Shucksmith, 1987. (Hernández y Sancho, 1996)

Si el aprendizaje implica la construcción de conocimientos, y el aprender a aprender se reconoce como un proceso o camino por el que los alumnos elaboran de manera personal los conocimientos a través de métodos propios de trabajo, estos debieran incluirse en el aprendizaje escolar. Las habilidades que destacan como necesarias para incluirlas dentro del currículo son:

• Recolección, organización, interpretación, y análisis de información con el objeto de poder atribuir significados. Esto implica, entre otras cosas: la formulación de preguntas, establecer hipótesis, fijar objetivos y parámetros para una tarea, seguir una lectura a partir del planteamiento de preguntas, saber inferir nuevas cuestiones y relaciones desde una situación inicial, desarrollar un pensamiento crítico y presentar sus propias conclusiones.

• Comunicación adecuada para transmitir claramente ideas e información. • Planeación, organización, evaluación y control de actividades que le permitan

establecer metas, programas, seguir y sostener el propio proceso y evaluarlo con la intención de modificarlo si es necesario.

• Habilidad para trabajar de manera colaborativa. • Capacidad para resolver problemas.

Manejo adecuado de tecnología. Bajo la perspectiva constructivista el docente juega un papel de mediador y es quien puede influir con la enseñanza de estrategias que ayuden a construir el propio conocimiento y enseñar a aprender a aprender. El docente, nos dice Coll, se vuelve un participante activo en el proceso de construcción de conocimiento que tiene como centro no a la materia, sino al alumno que actúa sobre el contenido que ha de aprender. El alumno es considerado constructor activo y el docente se ocupa realmente de ayudarle a construir sus conocimientos

De manera contraria, los profesores que identifican su labor con otorgar premios y castigos suelen pasar por alto que el aprendizaje es un proceso y con frecuencia se olvidan de enseñar cómo se aprende, y aún cuando valoran la capacidad que los alumnos demuestran para relacionar, interpretar y deducir, consideran que esa capacidad no se debe enseñar. (Mauri, 1997, p. 72) Vale la pena resaltar lo que Hernández y Sancho (1996), han destacado en el sentido de que



no basta que el docente domine los conocimientos y procedimientos de su materia, sino que también necesita saber cómo articular el proceso de aprendizaje de los alumnos en relación con las situaciones de organización de los conocimientos escolares que plantea en la clase. El profesor como facilitador encuentra su verdadero significado en la formación de aprendices activos, centrados más en su desarrollo personal, que en la adquisición de contenidos memorísticos. "La tarea más importante de nuestros educadores es lograr despertar la pasión espiritual de los jóvenes, orientarles hacia el descubrimiento y enseñarles a gozar el regocijo que proporciona el conocimiento", diría Einstein durante sus años como profesor en la Universidad.

Subtema 2. La Transferencia del conocimiento matemático

Ante una misma realidad, cada persona ve lo que quiere ver, lo que le interesa, lo que le atrae, pero también lo que está entrenado para recibir. Cuanto más entrenado se esté, se llegan a distinguir más matices de un determinado aspecto, mientras que, si no existe un entrenamiento correcto, llega un momento en que la mente se atrofia.

La mayoría de los aspectos matemáticos, circunscriben su importancia y aplicación al universo escolar, siendo este, el único aspecto que se entrena, no se acostumbra al alumno a observar la realidad con ojos matemáticos y acaba por no ver ninguno de estos aspectos y a sacar como conclusión, que no existen.

Es cierto que hay matemáticas en muchos aspectos de la vida, a condición de que se las quiera ver, de que se disponga de una mente entrenada para captarlas, ofreciendo la posibilidad de proporcionar una realidad más rica, con más tonalidades.

Hay matemáticas, por citar algunos campos que se consideran desligados de ellas en el arte (la famosa relación entre las dimensiones del rectángulo áureo); en la arquitectura (en los adelantos ligados a los cálculos de estructuras y las formas modulares); en la creación de mundos virtuales para juegos informáticos o películas de ciencia ficción, por medio de fractales y en los juegos de azar, por mencionar algunos. Hay muchos ejemplos de matemáticas en la vida cotidiana, de matemáticas en la vida misma, entendiendo la vida con una perspectiva un poco más amplia de la tradicional: Se necesitan las cuatro reglas, las áreas, los volúmenes y un poco más. Esta última parte del curso trata de muchas cosas, la elección de los temas podría haber sido distinta. El objetivo primordial es aportar elementos para contestar a una pregunta habitual de los alumnos y de los ciudadanos en general:

Y las matemáticas ¿para qué sirven?



Esta es una pregunta importante cuando se intenta que los estudiantes empleen sus recursos matemáticos en la resolución de problemas planteados en diversos contextos. En esta dirección, la idea de transferencia del conocimiento adquiere relevancia, ya que se espera que los estudiantes muestren sus recursos matemáticos no sólo en el contexto escolar, sino también en situaciones ordinarias fuera de la escuela. Una premisa pedagógica elemental dice que no se aprenden fracciones aritméticas solamente para aprobar un examen ni se redactan oraciones por el mero placer de hacerlo. Desde un punto de vista ideal, las asignaturas se vinculan entre sí y este vínculo va más allá… con la vida fuera de las aulas. Lo expuesto anteriormente se relaciona con el tema de la transferencia, uno de los temas más polémicos de la psicología del aprendizaje.

En este caso, aplicar lo aprendido en la asignatura de matemáticas en la clase de física o al calcular el rendimiento monetario de una inversión bancaria.

Pero el problema para los educadores es que muy a menudo, la transferencia no se produce. Los profesores de ciencia se quejan porque tienen que volver a enseñarles matemáticas a sus alumnos, aunque aparentemente, estos se manejan bien en las clases de esa asignatura.

La historia de la transferencia en el ámbito educativo a lo largo del tiempo ha estado marcada por tres teorías principales. Una forma analógica de comprender los preceptos de cada una de estas teorías es mediante la utilización de analogías



Teoría de la pastora confinada.

Esta es la teoría tácita de la transferencia que opera en las clases convencionales, según la cual, toda transferencia útil se lleva a cabo automáticamente. Digamos que se cuida a sí misma. Al igual que las ovejas de esta pastorcita, que siempre volvían al redil, el conocimiento correcto siempre se encamina a los lugares donde se necesita. Sin embargo una cantidad enorme de pruebas demuestra que esta teoría es falsa. Es bastante insólito que la transferencia del conocimiento se produzca espontáneamente. A los estudiantes no se les ocurre usar su capacidad matemática en el supermercado, su conocimiento de estudios sociales en el supermercado, la habilidad para la lectura adquirida en las clases de lenguas, en historia o en otras disciplinas.

Teoría de la oveja perdida.

La historia de tantos descubrimientos negativos sobre la transferencia ha impulsado la teoría de lo que podemos llamar la oveja perdida. Esta teoría simplemente dice que la transferencia es una causa perdida. Las personas en general no saben transferir los conocimientos y habilidades adquiridos en un contexto a otro diferente. Algunos psicólogos alegan que acaso el conocimiento y la habilidad están, por su misma naturaleza, demasiado sujetos a un contexto como para permitir una transferencia útil considerable. Dicho de otra manera, cuando el conocimiento adquirido en el contexto A, se aplica genuina y provechosamente al contexto B, las personas no suelen percatarse de la conexión. Esta teoría es producto de una concepción simplista que no especifica cuándo es posible esperar la transferencia y cuando es imposible que ocurra.

Teoría del buen pastor.

Esta teoría reconoce lo que la teoría de la pastora confiada no reconoce: la transferencia no se produce tan espontáneamente como desearíamos. Al mismo tiempo, niega la teoría de la oveja perdida: pese al pesimismo, la transferencia es absolutamente posible. El problema que es imposible esperar a que se produzca de forma espontánea, sino que es necesario guiarla (como el pastor a su rebaño), estableciendo condiciones de aprendizaje que la propicien.



De acuerdo con los estudios de Anne Brown, es más fácil que se produzca la transferencia en los siguientes casos:

1. Cuando el conocimiento a ser transferido se halla en una relación de causa-efecto. 2. Cuando durante el aprendizaje se pone el acento en la flexibilidad y en la posibilidad de

las múltiples aplicaciones del conocimiento. 3. Cuando se hace la tentativa de extraer un principio determinado de su contexto inicial

de aprendizaje.

Veamos ahora cómo puede el profesor guiar este importantísimo proceso.

Papel del profesor como guía de la transferencia. Los alumnos pueden transferir el conocimiento y las habilidades adquiridos de una disciplina a otra, y también a una gran variedad de contextos fuera del ámbito escolar, siempre y cuando que la enseñanza establezca las condiciones necesarias para que se produzca la transferencia. Lamentablemente, la mayor parte de la instrucción procede de un modo que no favorece en absoluto la transferencia. Sin embargo, algunas prácticas didácticas pueden ser útiles al respecto. Estas prácticas corresponden a dos principales categorías:

Tender puentes.

Tender puentes significa que el maestro ayuda a los alumnos a relacionar lo que están estudiando con otras asignaturas o con la vida fuera de las aulas. No se trata de una tarea difícil. Simplemente, implica dedicar parte del tiempo a estimular a los alumnos para que hagan conexiones más amplias. Por ejemplo, si en una clase de física se estudian los osciladores, el maestro debe incitarlos a encontrar sistemas oscilantes en la vida cotidiana (la ondulación de las ramas de un árbol, el péndulo de un reloj de pared antiguo, el columpio del patio) y tratar de identificar las fuentes de energía que mantienen esas oscilaciones en movimiento.



Circunscribir

Circunscribir significa que la enseñanza sigue de cerca las actividades que constituyen nuestro objetivo y que es deseable cultivar especialmente, de modo que en este caso, la transferencia constituye un problema menor. Esta categoría es inherente a la enseñanza de la música y del arte dramático: se practica lo mismo que se va a interpretar. Sin embargo, este principio se encubrir en la instrucción “más académica”. Por ejemplo, los alumnos pueden dedicar su tiempo de práctica de oraciones temáticas ya sea escogiéndolas de una selección múltiple o identificándolas en un párrafo.

Transferencia

Pero en ninguno de estos casos se brinda una práctica intensiva de redacción de párrafos con oraciones temáticas. Una vez que los docentes se dan cuenta de la falta de rutinas en ese aspecto, es fácil desarrollar, dentro del horario de clases, una instrucción que sea lo bastante delimitado: en lugar de que los alumnos escojan oraciones temáticas de una lista, es mejor que empleen su tiempo de práctica componiendo párrafos con buenas oraciones temáticas. En cuanto a la retroalimentación, puede intercambiar trabajos, tratando de identificar las oraciones temáticas de sus compañeros. Los maestros pueden a su vez, repartir problemas y confusiones, esto hará que los alumnos escriban párrafos, pero es posible ir más lejos sin mayores dificultades.

Una categoría especial de enseñanza delimitad es lo que se denomina “aprendizaje centrado en un problema” Con esta técnica los alumnos adquieren un cuerpo de conocimientos trabajando en un problemas que requieren conocimientos que no tienen de antemano y que dejan buscar a medida que los necesitan. Esta técnica permite aplicar posteriormente el conocimiento de una manera más flexible e imaginativa. El secreto es delimitar, ya que los estudiantes adquirieron el conocimiento en el marco de las tareas relativas a la resolución de problemas, dicho conocimiento estará mejor organizado en sus mentes y, por lo tanto los habilita para resolver futuros problema.

En el siguiente tema veremos algunos ejemplos que pueden ayudar al proceso de transferencia

Subtema 3. Aplicación del razonamiento matemático en la resolución de problemas cotidianos

Una de las fuentes más ricas para detectar dificultades y errores en el aprendizaje de los alumnos es la experiencia directa frente al salón de clases; esta nos permite percibir problemas y dificultades en la apropiación de algunos conceptos, producto de varios factores que están presentes en este proceso. Algunos profesores de matemáticas enseñan igual a como está en el libro de texto: limitándose a reproducir el contenido en el pizarrón. Esto provoca que la enseñanza se convierta en una exposición de contenidos sin atractivo para los alumnos donde los ejemplos y ejercicios no sin



significativos ni cercanos a su realidad, lo cual conduce al rechazo casi automático de la clase de matemáticas. En general, se enfrenta a los alumnos a situaciones problemáticas ficticias y sin relación con otras ciencias, lo que produce un desinterés profundo por los temas matemáticos. Resulta importante entonces reflexionar sobre el tipo de problemas y de actividades planteadas a los estudiantes:

A lo largo de la jornada es posible observar la presencia de las matemáticas en diversas facetas de la vida cotidiana. Cada uno de los ejemplos que veremos a continuación muestra situaciones que nos acompañan a diario y pueden proporcionar elementos de reflexión sobre el papel de las matemáticas en nuestro diario vivir. Los siguientes ejemplos no pretenden ser recetas de cocina para ser aplicadas al pie de la letra, sino solamente algunos ejemplos que puedan detonar en los profesores el botón de la creatividad para que puedan crear situaciones didácticas divertidas e interesantes para aplicarlas en sus salones de clase.

Veamos los siguientes ejemplos prácticos de aplicación:

En el desayuno.

(Adaptado de Adam, 1938)

Si queremos hablar de cosas cotidianas, lo más normal es empezar por el desayuno. Como ejemplo utilizaremos un producto de curioso e interesante origen: LA MIEL DE ABEJA.

“Un problema técnico resuelto por las abejas”



Las abejas para almacenar su miel deben construir una serie de panales de celdas individuales que conforme un mosaico que no deje espacios desaprovechados. Para esto tienen varias opciones geométricas:

1. Celdas triangulares 2. Celdas cuadradas 3. Celdas circulares 4. Celdas hexagonales

Pero hay una limitante: Para la construcción del panel, deben gastar la menor cantidad de cera posible para lograr la capacidad máxima de cada celda.

Aquí es donde viene el reto para el alumno: Debe comparar entre las cuatro posibilidades geométricas posibles y determinar por qué las abejas usan una figura geométrica en lugar de las demás.

Para simplificar el ejercicio, resulta conveniente reducir las celdas a dos dimensiones, sustituyendo el volumen de las celdas (que indica la cantidad de cera que pueden almacenar) por la superficie de la figura. La superficie de la celda (que indica la cantidad de cera necesaria para construirla) por el perímetro de la figura:

Formas posibles de panales:

Para poder resolver el enigma, es necesario que el la maestro guíe al alumno para que se analice las superficies de cada una de las figuras geométricas, acotándole que cada una de las figuras tiene el mismo perímetro, por ejemplo 12 cm.

A simple vista, la opción que posee mayor superficie es el círculo, por lo tanto si se tuviera que construir un panel de una sola celda, esta sería la mejor opción ya que se obtendría la mayor capacidad con el menor gasto de cera. Sin embargo, al pensar en un panel de varias celdas, teniendo en cuenta que es necesario economizar en el espacio total, el panel de celdas circulares dejaría huecos inútiles entre las celdas. Además es imposible formar un mosaico con círculos, ya que no hay paredes comunes a dos celdas que permitan ahorrar material al compartir las paredes. Es deseable animar a los estudiantes a que prueben todas las figuras en el panel:



Como puede apreciarse, la figura que asegura un menor gasto de cera, una mayor superficie en cada celda y, en general, el aprovechamiento de todos los recursos de material y de espacio es el hexágono. Y esta es precisamente la técnica que emplean las abejas.

Este es un ejemplo demostrativo de en la naturaleza con la ayuda de la evolución, se dan los casos más coincidentes entre la vida, eficiencia y optimización de recursos. Este recurso muestra un ejemplo de optimización geométrica en la naturaleza.

En el aparador de joyería

Si se ha detenido alguna vez delante de una joyería para apreciar la belleza de alguna pieza y asombrarse con su precio, es fácil ver que existe un vocabulario propio de estos establecimientos. Este vocabulario se aplica para ciertos metales y piedras preciosas: Se habla de quilates, centésimas, oro amarillo, oro blanco, etc. Veamos que significan todas esas palabras.



Oro Con el oro se emplea el término quilates (K) que, puede tener varias acepciones. En este caso se utiliza para referirse a la pureza del oro utilizado en la pieza de joyería en cuestión. Así por ejemplo, podemos tener 200 gramos de oro de 24 quilates.

El oro puro tiene 24 quilates. Si a este oro se le añaden otros metales, se forma una aleación (puente para relacionar las matemáticas con la química). Con esta aleación, se pierde pureza y toma el valor en quilates proporcional al peso del oro que queda. Por ejemplo:

Si a 75 gramos de oro se le añaden 25 gramos de otro metal, el resultado será oro de 18 quilates, es decir 75% de oro y 25% de otro metal.

También se utilizan las milésimas que indican cuántas partes de oro puro hay en mil partes de la muestra.

Teniendo en mente estas premisas en el escaparate de la joyería podríamos distinguir:

Cuando se adquiere una joya, el empleado nos dice su pureza en quilates y su peso, pero no se acostumbra a decir qué metales componen la aleación. Sin embargo, hay ciertas aleaciones de oro que reciben un nombre



Este ejemplo puede utilizarse para introducir a los alumnos en los temas relacionados con los porcentajes, ya que es una de las habilidades matemáticas más usadas en la vida diaria, en el comercio, en los medios de comunicación y que no es comprendida con demasiada facilidad es muy fácil constatar la poca soltura con que se suelen manejar, no solo los porcentajes complicados (como el 46% o el 73%) sino algunos muy sencillos como el 20% o el 30%, cuyo cálculo tendría que ser automático para cualquiera que hubiera pasado con un mínimo aprovechamiento matemático en la enseñanza básica.

De paso por la papelería

Todo estudiante que se precie de serlo habrá utilizado en alguna ocasión hojas de papel para plasmar anotaciones. Hay muchos tipos y tamaños de papel “de escritorio”: carta, oficio, doble carta, cuartillas, folios. En este caos de medidas se intentó poner un poco de orden mediante la creación de normas que se encuadraron en una normativa genérica llamada DIN para papel.

Una de las medidas más utilizadas es la DIN A4, cuyas extrañas dimensiones son 29.7 cm x 21 cm.

El formato de referencia de la serie A es el A0, cuya superficie mide 1 m2. La relación entre las longitudes de los lados vale uno frente a la raíz cuadrada de 2 (1:√2), redondeando a milímetros enteros. En consecuencia, cada formato de una serie resulta de duplicar el lado menor del formato inmediatamente inferior, o de dividir por la mitad el lado mayor del formato inmediatamente superior. De esta forma, la relación entre las superficies de dos formatos consecutivos de una serie siempre vale 2 (la superficie del A0 es el doble de la superficie del



A1, el A1 el doble del A2, etcétera). Las alturas y anchuras y, por consiguiente, también las superficies de los formatos de la serie B son la media geométrica de los valores relativos al formato correspondiente y el inmediatamente superior de la serie A. Así, por ejemplo, B0 = 1000 × 1414 mm2 = √(841·1189) × √(1189·1682) mm2, resulta de los formatos A0 (841 × 1189 mm2) y 2A0 (1189 × 1682 mm2). Las medidas de la serie C son la media geométrica de los formatos de mismo número de las series A y B. Así, C0 = √(841·1000) × √(1189·1414) mm2 = 917 × 1297 mm2. Los formatos de la serie B son siempre mayores que los de la serie A y los de la serie C se encuentran entre estos.

Imagine un gráfico incorporado a un DIN A3 de longitud de 10 cm; al reducirlo a DIN A4 su medida será de 10 x 0.707. En otras palabras: al reducirlo, la superficie se reduce un 50%, pero el gráfico se reduce en un 30% en sus medidas lineales, ¡no a la mitad como se pudiera pensar!!!

Este ejemplo es una muestra clara de la influencia que tienen las matemáticas sobre los ciudadanos.

Los códigos de identificación

Código de Barras

Los códigos de barras constan habitualmente de trece dígitos, representados mediante barras negras y espacios blancos de tal manera que forman un código binario que los sistemas ópticos pueden leer fácilmente. Cada uno se reduce a estos trece dígitos (ABCDEFGHIJKLM)

Los dos primeros (A y B) son el código del país de origen del producto. Por ejemplo si el código de barras empieza con 84 quiere decir que el producto procede de España, si empieza por 83, de Francia.

Los cinco siguientes (C,D,E,F,G) Identifican a la empresa productora.



Los cinco siguientes (H,I,J,K,L) Indican el código del producto asignado por la empresa

El último número (M) es el dígito de control. Para obtener este dígito se suman los dígitos situados en la posición impar (empezando por la izquierda y sin contar el de control) y añadir tres veces la suma de los dígitos situados en las posiciones pares. El dígito control es lo que le falta al resultado de las operaciones anteriores para ser múltiplo de 10.

Veamos el siguiente ejemplo:

7 + 5 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3(7 + 1 + 3+1+3+5) = 24 + 3(20) = 17 + 60 = 84 90 – 84 = 6

Digito de control: 6

Este es un excelente ejemplo para que los alumnos practiquen las sumas y ejerciten el pensamiento lógico. Hay códigos de barras por todos lados, pida a sus alumnos que lleven a clase productos con códigos de barra, invítelos a que investiguen los códigos de los países productores.

Existen otras formas de codificación:

Entrelazado 2 de 5 (ITF); Código 39; Codabar; Código 128; EAN-13; EAN-8; UPC-A; UPC-E. Código 93; ISBN ; ISSN, ITF-4; MSI-Plesey, EAN-128, Código 25; Pharmacode, PostNet. TARJETAS DE CRÉDITO

Algunos de los códigos de barras más populares

El reto para el profesor es investigar cómo están conformados estos códigos y pensar creativamente en cómo pueden ser utilizados para establecer puentes entre las matemáticas y la vida cotidiana.

¿Nos engaña Hollywood?

Alguna vez, durante su vida habrá escuchado la expresión “Eso solo pasa en las películas”… es cierto, porque muchas de las situaciones reflejadas en la pantalla no corresponden con la



realidad. Las matemáticas y la física pueden ayudarnos a explicar estas maravillas del séptimo arte.

Rambo y sus ráfagas de balas

El popular personaje de Silvester Stallone posee una ametralladora que funciona (en la película) a ráfagas de 800 disparos por minuto. Sus cargadores son de 100 balas y hace falta cambiar el cañón cada 10,000 disparos. Si tenemos en cuenta que en la película se cambia el cartucho en menos de 3 minutos (nada mas fuera de la realidad) Rambo estaría muerto muy pronto.

Continuando con el tema de los disparos, pero en otra categoría en la ficción cinematográfica podemos ver como se disparan misiles desde un avión en estado de reposo. Pero en realidad estas armas no se pueden activar hasta que el avión ha despegado y su tren de aterrizaje ha dejado de tocar el suelo ¿Puede usted decir por qué?

Superman.

No es posible pasar por alto al mítico filme Superman, cuyo héroe protagonista vela por la humanidad parando balas con la mano, volando, corriendo a grandes velocidades y viendo todo lo que se le antoje con su vista de rayos X. El cine atribuye sus poderes a la diferencia de condiciones ambientales entre Krypton (su planeta de origen) y la Tierra (su planeta de adopción). Las matemáticas y la física pueden demostrarnos que Superman con todo y sus poderes es incapaz de parar un camión de 50,000 kg. Con la mano sin recorrer una distancia retrógrada de por lo menos 25,000 metros. Para obtener esta distancia es necesario aplicar la segunda ley de Newton:

Fuerza = masa de Superman x aceleración = 90 Kg x 9.81m/s2 = 883 néwtones Según la física: Distancia = velocidad2 /(2 x aceleración) = (30 x 30) / (2x 0.081) = 25,000 metros Pero ¡Oh sobresalen la película, Superman recorre solamente 1 metro.

King Kong y las Hablemos ahora de King Kong, el orangután de 2,900 kg y 14.5



desproporciones metros, fabricado a partir de un orangután real de 230 kilos y 1.80 metros. Las matemáticas nos permiten ver, gracias a la geometría euclidiana, que este cambio de escala no es correcto. De acuerdo con Euclides, si dos figuras son proporcionales y a escala, se verifica que si el cociente de sus longitudes es un valor a, entonces, el cociente de sus áreas toma el valor de a2 y el cociente de sus volúmenes es a3; el factor a se llama “factor de proporcionalidad”. Si aplicamos esta regla a King Kong, obtenemos el siguiente resultado:

Altura de King Kong en la película / altura del gorila seleccionado = 14.5/1.8, que es aproximadamente igual a 8. Según la geometría de Euclides, el cociente de los volúmenes tendría que ser: 83 = 512

Vemos que: Volumen de King Kong/ volumen del gorila escogido = 2,900/230= 12.6 kg

Este resultado muestra que nuestro King Kong no está hecho a escala. Si quisiéramos respetar los datos de altura y volumen del gorila escogido, el gorila de la película tendría que pesar nada más y nada menos que 120 toneladas, hecho que imposibilitaría la agilidad del monstruo para escalar el Empire State, o más fácil aun, ni siquiera podría ponerse en pie. Como referencia es importante conocer que el animal bípedo conocido más grande sobre la tierra, el Tyranosaurus Rex, pesaba como máximo 7 toneladas.

En todo esto podemos concluir que las matemáticas nos pueden servir para diferenciar la manipulación de la realidad. Las matemáticas tienen un papel relevante en el desarrollo técnico actual y pueden ofrecer contenidos específicos y de interés para los estudiantes… basta con mostrarles esa “otra cara”.

El rectángulo ureo

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño carta miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parece a la razón aurea. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB basta con determinar el punto medio M de



uno de los lados (AB), y trazar con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices (C) del lado opuesto.

o o Rectángulo raíz de 2: Se denomina así al rectángulo en el que la relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h= . El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos tiene cada uno la mitad de área que el original, pero exactamente sus mismas proporciones. Es por ello que es el formato utilizado para la normalización de folios de papel según la norma DIN, entre otros usos.

o Construcción partiendo del cuadrado: De forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C

El número áureo, también denominado “número de oro”, divina proporción “número dorado”, “sección áurea”, “razón áurea”, “razón dorada”, “media áurea”, “proporción áurea”, “divina proporción”, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:



Sección áurea obtenida en una espiral logarítmica.

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Rectángulos áureos en el Partenón



Rectángulos áureos en la Mona Lisa de Da Vinci.

Razón áurea en la concha del Nautilus

3. Según el propio Leonardo de Pisa, Fibonacci en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).

4. La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. 5. La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier

caracol (no sólo del nautilos) 6. La relación entre los lados de un pentáculo. 7. La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la

botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). 8. La distribución de las hojas en un tallo 9. La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles 10. La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas

principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

11. La distancia entre las espirales de una piña.



12. La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:

1. La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. 2. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del

codo a los dedos. 3. La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. 4. La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la

primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.

5. La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz 6. Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-

pupilar 7. Cuando la tráquea se divide en sus bronquios si medimos el diámetro de

los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas), la anatomía está llena de números phi en los órganos.

8. No solo eso, está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como LINDOS, BELLOS y PROPORCIONADOS. Si medimos los números phi de una población determinada y la comparamos con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse más al número phi

Como puede verse, las matemáticas están por todas partes. Es labor del profesor utilizar su intuición didáctica para lograr establecer estos puentes que permitan al alumno reconocer la utilidad de las matemáticas en la vida.

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