Módulo 7:

El orden en los conjuntos y el número ordinalIntroducción

La pregunta que guía nuestra exposición es

¿Qué hacemos en realidad cuando contamos?

¿Cuales son los mecanismos cognitivos que subyacen al conteo?

Hasta ahora se ha hecho un análisis del papel que en el conteo juega el númerocardinal. Se ha dicho que: ! El cardinal de un conjunto indica el número de elementos del conjunto

El ordinal indica el lugar que ocupa un elemento del conjunto en relación alresto de elementos.

! Para definir el cardinal de un conjunto es necesario:

Tomar como base a la serie numérica; Establecer una correspondencia biunívoca con sus números Elegir el último número de la serie como cardinal del conjunto.

! Se habló también de que el orden de los elementos del conjunto no

afectaban a su cardinalidad, a su número de elementos, Que el orden era variable (o ‘vicariante’)

Pero que era necesario ordenar al conjunto para poderle asignar uncardinal Y que esto resulta imprescindible para ‘ir separando a sus elementos’,para distinguir a cada uno de todos los otros, para no contarlos dosveces.

En esta parte de la asignatura profundizaremos sobre lo que significa el ordenen los conjuntos para:

Distinguir el número ordinal del cardinal; Comprender la estructura y las propiedades esenciales del conjunto de

los números naturales (N) y de la serie numérica que nos permiterepresentarlos.

En esta reflexión todavía

No se ha hablado del papel del número ordinal Se hace necesario precisar a qué nos referimos cuandodecimos que es necesario ‘ordenar’ a un conjunto paraasignarle un cardinal.

Hay dos vías ‘didácticas’:

i. A través del análisis formal desde el punto de vista matemático, del

número ordinal y cardinal, especialmente de los conjuntos infinitos, yaen estos casos el ordinal y el cardinal son distintos (a diferencia de loque sucede en los conjuntos finitos, en los que coincide el ordinal y elcardinal);

II. Mediante el estudio de los procesos de construcción psicogenética del

concepto de número, principalmente a partir de los trabajos de Piaget.

En esta exposición se va a elegir la segunda vía:

Se reflexionará en torno a los procesos de construcción del concepto denúmero que se dan en el niño y sobre esta base se introducirán lasdefiniciones matemáticas de los conceptos de orden y de número ordinal.

Primera Parte

El papel del número ordinal y cardinal en la construcción del concepto de número en el niño

Para el análisis se tomará como guía el Capítulo V: “La seriación, la similitudcualitativa y la correspondencia ordinal’ del libro de Piaget y Szeminska: LaGénesis del Número en el Niño, publicado en 1964. En el capítulo citado, los autores describen una serie de experimentos; de ellosse eligió uno que resulta central para nuestro estudio.

El experimento consiste en lo siguiente:

Se le presentan a los niños 10 muñecas de madera, que se puedendisponer paradas sobre sus pies y tal que cada una difiere sensiblementede las más próximas, teniendo la más grande una longitud que por lomenos duplica la de la más pequeña. Se tienen por otro lado, 10 bastonesde tamaños distintos pero en progresión menos rápida.

Con base en este material, se les hacen distintas preguntas a los niños:

Se les pide, por ejemplo, que ordenen cada uno de los conjuntos (de mayor a menor o viceversa). Se les solicita además, que asignen a cada muñeca el bastón que le corresponde.

Esto significa, en términos de la teoría piagetiana, poner al conjunto de las muñecas en ‘correspondencia serial’ con el conjunto de los bastones. Esta correspondencia se representa en la figura siguiente:

M1 < M2 < M3 < M4 < M5 > M6 < M7 < M8 < M9 < M10

B1 < B2 < B3 < B4 < B5 < B6 < B7 < B8 < B9 < B10

En la correspondencia serial se ordena el conjunto de los bastones conforme al mismo orden que se aplicó al conjunto de las muñecas (de mayor a menor o viceversa) y se establece una correspondencia 1-1- entre ambos conjuntos.

Como en el resto de sus investigaciones, en ésta Piaget define tres etapas:

Primera: no hay seriación posible, se procede sin ningún patrón y

considerando sólo aspectos espaciales y una dimensión. Hay idea deobjetos grandes y pequeños pero no hay ‘más grandes que’ y menostodavía ‘más grandes que x y más pequeños que y’. No hay tampococorrespondencia cardinal (no hay conservación de la cantidad).

Segunda: las seriaciones y correspondencias son cualitativas, intuitivas

y empíricas; se realizan mediante tanteos empíricos que no respondena una orientación; no se domina la totalidad de las relaciones y secompara más en global; las relaciones son prácticas, no abstractas; nohay comparaciones en forma sistemática. El proceso está todavía muyatado a lo perceptual y lo concreto.

Tercera: hay una seriación aritmética, resultado de un plan establecidoque precede a la acción y que se expresa a través de procedimientosque responden a una lógica y a un patrón (por ejemplo: tomar la másgrande de todas; del conjunto restante, tomar la más grande de todas,y así sucesivamente).

El experimento que nos interesa destacar es aquél en el que se le presentan alniño las muñecas en forma amontonada, es decir, sin un orden o una seriacióny de la misma manera se le presentan los bastones.

Lo que se le pide al niño es que asigne a una muñeca elegida por elinvestigador, el bastón que le corresponde.

Piaget describe, de la siguiente forma, las tres etapas por las que pasa el niño:

Primera:

No hay seriación de ninguno de los conjuntos de objetos que se lepresentan al niño y menos aún correspondencia serial (entre dichosconjuntos). Las series son figuras globales y no susceptibles dedescomposición de modo sistemático; el carácter de la figura se opone atodo análisis exacto.

Segunda:

PEL (6;10). Muestra primero correctamente los bastones de 1 a 10 paralas muñecas correspondientes

–¿Y para esta muñeca (M8)? Señala B8

–¿Cómo la encontraste? –Porque vi que hay dos allí (M10 y M9 que preceden a M8) ydespués 2 allí (B10 y B9)

–¿Y ésta (M4)? Muestra de nuevo B3, después de haber querido efectuar lacorrespondencia directa

–¿Y para ésta (M6)? Muestra B6 y después se corrige –No, es ésta (B5)

–¿Para M4? Muestra B3.

Los niños en esta etapa hacen ellos mismos la correspondencia entre las doscolecciones, no solamente término a término sino además rango por rango.

Para ello recurren a dos procedimientos:

a. Apuntar con el dedo o seguir con los ojos la correspondenciatérmino a término a partir de los extremos de las series o

b. Contar mediante la numeración verbal: el niño cuenta las muñecas

desde la primera o la décima hasta aquella cuya correspondencia seexige y por otro lado cuenta los bastones hasta el número obtenido.

Pero ya sea que acudan a un método o al otro, los niños de esta etapa

siempre se equivocan por una unidad. Mientras hay contacto perceptivo entre bastones y muñecas no hay problema.El problema se presenta cuando se rompe ese contacto perceptual. La explicación que ofrece Piaget es la siguiente:

Que para encontrar el bastón que corresponde a la muñeca señaladapor el investigador, digamos que fuera la quinta, el niño debe evaluarel número de los elementos que le preceden (las muñecas de la 1 ala 4).

Pero en la mente del niño se produce una disociación entre el rango buscado (la 5ª posición de la muñeca) Y la colección de los términos precedentes (las muñecas de la 1 a la 4).

Y es que para el niño, los números 1-4 no desempeñan la misma función que elque desempeña el número 5 como 5º rango:

Los números 1-4 constituyen el conjunto (cardinal) que separa la muñeca5 del punto de origen de la serie, en tanto que el número 5 constituye el rango ordinal que caracteriza a lamuñeca (como la 5ª muñeca).

Así que el niño asigna al rango del objeto un número de naturaleza distinta quela que le da a los números que él utiliza para contar los términos precedentes.

La disociación entre ordinal y cardinal la aplica, de manera consecuente, alelegir el bastón correspondiente.

En este caso, ya que no hay un bastón elegido o destacado por elinvestigador (como sí lo hay con la 5ª muñeca), la elección del bastón nose da a través del ordinal que distinguió a la muñeca sino al cardinal delconjunto de muñecas que le precedieron.

Una característica de esta etapa, conforme a Piaget, es que se da lo que éldenomina una ‘similitud cualitativa’:

Consiste en que cada elemento de un conjunto es diferente de todos losdemás, Pero además Cada relación es diferente de las otras (no hay la misma diferencia dealtura entre las muñecas o entre los bastones).

Y allí es donde los niños de este nivel se detienen a mitad de camino:

Cuando buscan el rango de un elemento dado, comprenden que hay que enumerar los términos precedentes comounidades equivalentes entre sí,

pero no extienden suficientemente esto proceso de aritmetización de tal forma que les permita considerar el elemento cuyo rango está encuestión

como una unidad homogénea a las otras.

En síntesis, el niño en esta etapa…

No comprende que cada rango es por sí mismo un número ni que este número es indisociable de toda la colección de la que elelemento así ordenado forma parte.

Tercera etapa: En esta etapa cada elemento de una serie ordinal cuenta ya, para el niño, comouna unidad igual a las otras, equivale en todo a las demás excepto en surango y cada relación de orden que enlaza a dos elementos es equivalente atodas las otras (existe la misma diferencia de orden entre el 1er elemento y elsegundo, entre el segundo y el tercero, etc.).

La única diferencia que permite distinguir el elemento n del elemento n+1 es que el elemento n viene después de n-1 otros elementos y que el n+1 viene después de n términos.

Se cumple un doble progreso:

la cardinación se aplica a todos los términos concebidos comounidades equivalentes y la ordenación se desliga de la cualidad.

la cardinación y ordinación se transforman en dos mecanismos correlativos:

el término n significa el enésimo término o la enésima posición ordinal o de rango así como una suma cardinal de n términos.

¿Qué podemos desprender de este proceso psicogenético?

Estos niños, sobre todo los de la segunda etapa nos dan una informaciónvaliosísima:

Nos muestran lo que quizás nosotros – cuando ya hemos convertido alconteo en un proceso mecánico – no somos capaces de ver La diferencia entre el número ordinal y el cardinal: uno en su función deordenador y otro para representar la numerosidad de un conjunto.

El proceso psicogenético nos muestra

! Que el concepto de número está sustentado en dos ideas de número, elordinal y el cardinal.

! Que en las etapas iniciales de construcción del concepto, la cardinación y la

ordinación son dos procesos que el niño considera como diferenciados

! Que cuando accede al concepto general de número El niño solidifica ambos conceptos en uno solo, de tal forma que a la largaresultan indistinguibles.

Pone también en evidencia las operaciones que subyacen a la construcción de estos conceptos. De éstas resaltan las siguientes:

i. El proceso de seriación u ordenamiento de los elementos de un conjunto y ii. El establecimiento de ‘correspondencias seriales’, mediante las cuales

se ordenan a las muñecas y se pone en correspondencia 1-1 el conjunto de bastones, el cual se ha seriado conforme al orden aplicado a las muñecas:

M1 < M2 < M3 < M4 < M5 < M6 < M7 < M8 < M9 < M10

B1 < B2 < B3 < B4 < B5 < B6 < B7 < B8 < B9 < B10

Esta correspondencia serial es una correspondencia muy particular.

! Es una correspondencia 1-1 o término a término o biyectiva. Pero tiene otra característica:

! Si Mi<Mj ! entonces los bastones que se le asocian bajo la correspondencia cumplen también con que

Bi<Bj.

Es decir, se trata de una correspondencia que ‘respeta el orden’.

Se trata de una biyección en la que el orden SÍ importa.

Resulta que este tipo de correspondencia es fundamental en los procesos de conteo. Para comprender la naturaleza de estas correspondencias y finalmente de lo que es el orden en losconjuntos acudiremos a las definiciones que nos proveen las Matemáticas.

Segunda parteDefinición matemática de relación, orden y número ordinal

De dónde proviene la correspondencia serial en la que Piaget basa sus trabajos sobre número ordinal? Proviene de la teoría de conjuntos.

Es posible ordenar al conjunto de los bastones y las muñecas de distintos modos: de mayor a menor o de menor a mayor, por ejemplo.

En general, se puede decir que dado un conjunto, es posible ordenarlo de muy distintas formas:Por ejemplo, un conjunto de cuatro elementos, lo podemos ordenar conforme a maneras diferentes:Para fijar ideas, considérese el conjunto M={ 1 , 3 , 6 , 9 }.Éste lo podemos ordenar con respecto a la relación de ‘divisor’:

1 divide a 3; 3 divide a 6 y 3 divide a 9.

Este orden (que llamaremos ‘O1’) lo podemos representar sagitalmente de la siguiente forma:

6 9

3

1

Hay otras formas de ordenar ese mismo conjunto M. Por ejemplo, lo podemos ordenar mediante la relación ‘menor que’ (quellamaremos ‘O2’).

1 < 3 < 6 < 9

Este orden lo podemos repentar sagitalmente mediante el siguiente diagrama:

1 3 6 9

Los órdenes O1 y O2 son dos órdenes distintos. Para aclarar lo que esto significa vamos a considerar otro conjunto

Sea Q = { A, B, C, D } Es posible ordenar este conjunto Q de la siguiente forma (orden O1’):

A B

C

D (en este caso la flecha se lee: D precede a C; C precede a A, y C precede a B). También es posible ordenar a Q de la siguiente otra forma (O2’):

A < B < C < D

La representación sagital es la siguiente

A B C D

¿Qué tienen de común o de parecido M con el orden O1 y Q con el orden O1’?

Y ¿qué tienen de común o de parecido el conjunto M con el orden O2

y el conjunto Q con el orden O2’?

Primero, Que ambos órdenes los podemos representar bajo formas muy parecidas;

Segundo, Que podemos encontrar una correspondencia 1-1 entre M y Q y queademás, Esta correspondencia ‘preserva el orden’.

Para aclarar consideremos la siguiente correspondencia uno a uno ‘f’ entre M y Q:

1 D3 C6 A9 B

Se tiene, en todos los casos se tiene que:dados dos elementos de M: Mi, Mj, si Mi<Mj entonces f(Mi)<f(Mj)

Por ejemplo dados 1<6 entonces f(1)<f(6)=D<A.

Definición:

Sean dos conjuntos en los que se ha definido un orden (como en M y en Q).

Si es posible establecer una correspondencia 1-1 entre ellos, tal que se preserve el orden, entonces se dice que esos conjuntos son similares.

Hemos visto que es posible ordenar de formas distintas a un conjunto y que dados dos conjuntos pueden tener órdenes similares.

Vamos a dar ahora una definición formal de orden.

El orden en un conjunto está basado en la relación que se de entre sus elementos.

Hay muchos tipos de relaciones, como por ejemplo:

x menor que yx divide a y

x es la esposa de yx está sentado en la butaca y

el triángulo x es similar al triángulo yla ciudad x es la capital del país y.

De lo anterior se puede desprender que una relación es una correspondencia entre los elementos de un conjunto con los de otro (o consigo mismo).

Un orden en un conjunto está asociado a una relación que cumple con determinadas características.

Analicemos por ejemplo el conjunto M con el orden O1, definido a través de la relación de divisor:

Se tiene que

Todo elemento es un divisor de sí mismo:

Es decir si a es un elemento de M entonces a R a , donde R representa a la relación de divisor.

Se dice en este caso que la relación es reflexiva

Se tiene también que si a R b y b R a entonces a = b. Es decir:

Si un elemento a divide a b y b divide a a entonces no queda más que a = b.

Una relación que cumple con esta propiedad se le llama antisimétrica.

La relación O1 de divisor cumple también con lo siguiente:

s a R b y b R c entonces a R c

Es decir, Si un elemento a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.

A esta propiedad de las relaciones se le llama propiedad de transitividad.

El orden O1 en M tiene otra característica: Que hay elementos del conjunto M que no están relacionados entre sí, porejemplo, el 6 y el 9 no guardan una relación entre sí, ya que el 9 no es divisordel 6 ni el 6 es divisor del 9. Definición:

Un conjunto que posee una relación que cumple con que: Es reflexiva Es antisimétrica Es transitiva Además de que no todos los elementos del conjunto están relacionadosentre sí Se dice que tiene un orden parcial.

Definición Se dice que un conjunto posee un orden total si:

cumple con las condiciones anteriores pero además todos sus elementos son comparables, es decir, se da la leyde la tricotomía:

a R b ó b R a ó a = b

Definición:

Se dice que un conjunto posee un buen orden si:

Además de cumplir con las condiciones de un orden total se tiene queTodo subconjunto tiene primer elemento (es decir, un elemento que preceda a todos los otros elementos del subconjunto)

Regresemos a la definición de similaridad:

Definición:

Dados dos conjuntos, en los que se ha definido un orden,

Si es posible establecer una correspondencia 1-1 entre ellos, tal que preserve el orden dado,

entonces se dice que esos conjuntos son similares.

Ejercicios:

Verificar que N y Z- no son similares

Dado un conjunto A = { a , b , c } mostrar que hay cinco maneras ‘no similares’ de ordenar el conjunto

Definición:

Considérese todos los conjuntos que son similares a un conjunto dado A.

A esa familia de conjuntos se le denomina ‘tipo de orden’ de A.

Todos los conjuntos finitos totalmente ordenados con el mismo número de elementos Son conjuntos bien ordenados

Y son similares entre ellos.

Ejercicio:

¿Sucede lo mismo que lo anterior si los conjuntos son sólo parcialmente ordenados?

Definición:

Sea A un conjunto bien ordenado. Denotemos con λ a la familia de los conjuntos bien ordenados que son similares a A.

Entonces λ es llamado un número ordinal y se denota como λ = ord(A)

El número ordinal coincide con el tipo de orden del conjunto A.

Todos los conjuntos finitos, bien ordenados, con un mismo número de elementos son similares o tienen el mismo tipo de orden, entonces tienen el mismo número ordinal. Coinciden también en el número cardinal.

Se tiene entonces que en los conjuntos finitos, el número ordinal y el número cardinal coinciden.

Como dice Piaget:

el término n significa el enésimo término o la enésima posición ordinal o de rango así como una suma cardinal de n términos.

El número ordinal hace referencia a un cierto tipo de organización o estructuración de los elementos del conjunto; hace referencia a interrelaciones entre elementos de los conjuntos;El número cardinal es una propiedad del conjunto en cuanto tal, considerado como una totalidad.

Los números con los que representamos a los números ordinales son los de la serie numérica. Estos números nos sirven también para representar a los números cardinales

543210Cardinal

543210Ordinal

{1 , 2 , 3 , 4 , 5}

{1 , 2 , 3 , 4}{1 , 2 , 3}{1 , 2}{1}φ

Tercera Parte

Sobre la serie numérica

Vamos a concluir haciendo la misma pregunta que hicimos justo al inicio del curso:

Qué es lo definitorio de la serie numérica?Cuáles son sus características esenciales?

A lo largo de la historia de las matemáticas ha habido intentos diversos por definir al número y a la serie numérica.

Por ejemplo,

Euclides en Los Elementos da una definición de número como “multitud de unidades”

Qué le falta a esta definición para caracterizar a la serie de los números naturales

En principio está basado en ideas ‘intuitivas’ como multitud que no están definidas

En esta definición no parece que se retoma lo esencial del número:No sugiere un orden

!No sugiere la operación del sucesor

!No sugiere la presencia de un primer elemento

!Es una definición de un objeto y no de una clase

Además, no es posible, a partir de ella, definir las operaciones numéricas con sus propiedades.

En suma, esta es una definición ontológica en la que se establece un compromiso sobre la ontología plural del número, pero que no resulta operativa para manejar al número, definir operaciones y aplicarlo.

¿Qué tal una definición del siguiente estilo:

Definición: Un número es resultado de agregar a la unidad, un número finito de veces, otra unidad.

Esta es una definición circular, porque para definir al número se estáempleando el número, como bien decía Dedekind

¿Cómo entonces se puede caracterizar adecuadamente al número, dando una definición matemática, es decir, basada en: conceptos y términos matemáticos (y no en intuiciones, sentido común, etc.) pero además guardando la estructura de las definiciones y caracterizaciones de la matemática?

¿Cuáles son las características de la serie de números naturales que quisiéramos rescatar a través de la definición?

La presencia de un primer elemento como inicio de la serie (el cero o el uno)

La presencia de una función ‘sucesor’

Pero… ¿Qué propiedades tiene esta función?

!Que todo número tiene un sucesor (la función está definida en todo el conjunto)

!Que dos números distintos tienen sucesores distintos (la función es inyectiva)

!Que el primer elemento no es sucesor de ningún número

¿Esas condiciones definen a la serie numérica y sólo a ella?

Pensemos en Q+Tiene un primer elemento

Podemos pensar en la función sucesor como f(x)=x+1.

Q+ cumple con todo lo que dijimos arriba pero no es la serie de los naturales…

R+ cumple con todo lo que dijimos arriba pero no es la serie de los naturales

Entonces…

¿cómo excluir a todos los elementos indeseables?

Lo que hace Dedekind es tomar, además de lo anterior,

la intersección de todos los conjuntos que:

!Tienen al primer elemento (que lo considera la unidad)!Y que si tienen a un elemento, entonces tienen a su sucesor

Y de esta forma sólo quedan los enteros positivos

Es decir, los enteros positivos o la serie de los naturales es el conjunto que contiene a

la unidad y al sucesor de la unidad y al sucesor del sucesor de la unidad, y asíindefinidamente…

y sólo contiene a estos elementos

Aquí lo esencial de la serie numérica es:

La unidad y la función sucesor, que es lo que le da un orden a la serie y la posibilidad de prolongarla indefinidamente.

La serie de los números naturales es un conjunto bien ordenado.

Así que, cuando empleamos la serie de los números naturales para contar (con el fin de determinar el ordinal o el cardinal o ambos)Lo que hacemos es apoyarnos en dicha serie para ordenar el conjunto que deseamos contarY el orden que inducimos en este conjunto, a partir de la serie, es un buen orden.

Estas características son las que Peano introduce en sus Axiomas sobre los Números: