Modulo 9. Trigonometria
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7/22/2019 Modulo 9. Trigonometria
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Estudios Matemticos rgenteraLas matemticas pueden ser definidas como aquello de lo que no
sabemos de qu hablamos, ni si lo que decimos es verdadero.
Bertrand Russel (1872-1972) filosofo y matemtico ingls.
Hiparco de Nicea: Astrnomo, gegrafo y matemticogriego. (190 a. C. - 120 a. C.). Entre sus aportaciones cabe
destacar: el primer catlogo de estrellas, el descubrimiento
de la precesin de los equinoccios, distincin entre ao
sidreo y ao trpico, mayor precisin en la medida de la
distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclptica,
invencin de la trigonometra y de los conceptos de longitud y
latitud geogrficas. Clasific las estrellas segn su intensidad
de brillo. Dividi el crculo en 360 grados de 60 minutos cada
uno. Compil una tabla trigonomtrica que necesit para
computar la excentricidad de las rbitas de la Luna y el Sol yque sirvi para calcular cualquier tringulo, hacer modelos
astronmicos cualitativos y realizar predicciones.LOS NUMEROS ORDINALES
1 primero 11 undcimo 10 dcimo 100 centsimo
2 segundo 12duodcimo 20vigsimo 200 ducentsimo
3tercero 13decimotercero 30trigsimo 300tricentsimo
4cuarto 14decimocuarto 40cuadragsimo 400cuadrigentsimo
5quinto 15 decimoquinto 50quincuagsimo 500quingentsimo
6 sexto 16 decimosexto 60sexagsimo 600sexcentsimo
7sptimo 17decimosptimo 70septuagsimo 700septingentsimo
8octavo 18decimoctavo 80octogsimo 800octingentsimo
9 noveno 19decimonoveno 90 nonagsimo 900 noningentsimo
1000 milsimo 10,000 diezmilsimo
100,000 cienmilsimo 1000,000 millonsimo
http://es.wikipedia.org/wiki/190_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/120_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Precesi%C3%B3n_de_los_equinoccioshttp://es.wikipedia.org/wiki/Precesi%C3%B3n_de_los_equinoccioshttp://es.wikipedia.org/wiki/120_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/190_a._C. -
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Historia e importancia
La Trigonometraes la rama de las matemticas que estudia las relacionesentre los lados y los ngulos de los tringulos. Los babilonios y los egipcios
(hace ms de 3000 aos) fueron los primeros en utilizar los ngulos de untringulo y las razones trigonomtricas para efectuar medidas en agriculturay para la construccin de pirmides. Tambin se desarroll a partir de losprimeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomamediante la prediccin de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes ypara mejorar la exactitud en la navegacin y en el clculo del tiempo y loscalendarios.
El estudio de la trigonometra pas despus a Grecia, en donde se destaca
el matemtico y astrnomo Griego Hiparco. Desde Grecia, la trigonometrapas a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronoma. Y desde Arabiase difundi por Europa, donde finalmente se separa de la Astronoma paraconvertirse en una rama independiente que la hace parte de la matemtica.
En nuestros tiempos de avances tecnolgicos es necesario y casiprioritario el uso de clculos y funciones que nos suministren informacionesy material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, dando as respuestaa fenmenos y hechos de la historia humana.
La trigonometra se aplica en todos aquellos mbitos donde se requierenmedidas de precisin. Sirve de soporte para el buen funcionamiento de otrasmatemticas.
Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de lanavegacin, la geodesia y la astronoma, en las que el principal problema eradeterminar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y laLuna, o una distancia que no poda ser medida de forma directa. Otrasaplicaciones de la trigonometra se pueden encontrar en la fsica, qumica y
en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio defenmenos peridicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Un ejemplo claro de aplicacin suministrado por wikipedia lo es ElCanadarm 2, un brazo manipulador robtico gigantesco de la EstacinEspacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ngulos
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de sus articulaciones. Calcular la posicin final del astronauta en el extremodel brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonomtricas de esosngulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
Sus dos ramas principales son la trigonometra plana, que se ocupa defiguras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa detringulos que forman parte de la superficie d de una esfera. Se usa sobretodo en navegacin y astronoma en la superficie.
El Teorema de Pitgoras.
Establece que en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de los dos catetos, es decir que 2 2 2h c c
Ejemplo1: Dado un tringulo abc, hallar la hipotenusa. Sabiendo que b=8cm, c= 6cm. a=?.
2 2 2 2 2a b c a b c Sustituyendo y operando 2 28 6 100 10a cm
Aplicaciones del Teorema:
Una escalera de 10 m de longitud est apoyada sobre un rbol. La distanciadel tronco al pie de la escalera es de 6m. Cul es la altura (b) del tronco delrbol?
2 2 100 36 64 8b a c cm
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Ejemplo 2. Una cancha de voleibol olmpica es un rectngulo de 90 metrosde largo y 80 metros de ancho. Qu longitud tiene la diagonal de lacancha?
Solucin La diagonal es la hipotenusa de un tringulo rectngulo, con
catetos de longitudes 80 m y 90 m. Puedes usar el Teorema de Pitgoraspara encontrar su longitud.
2 280 90 6400 8100 14500 120.4159h m
Razones trigonomtricas:
Es el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dosde los lados de un tringulo rectngulo con respecto a un ngulo agudo.Debemos empezar estableciendo los parmetros para poder definir lasfunciones trigonomtricas.
Hipotenusa:Es el lado mayor de un tringulo rectngulo.
Cateto adyacente:Es aquel lado que forma parte del ngulo agudo sobre el cualvamos a definir las funciones trigonomtricas.
Cateto Opuesto:Es aquel lado que no forma parte del ngulo agudo sino que seopone a l.
Definiciones de las funciones trigonomtricas.
c
b
hipotenusa
gulo esto al ancateto opusen
ca
hipotenusa
ngulo acente alcateto ady cos
a
b
ngulo acente alcateto ady
gulo esto al ncateto oputg
ba
gulo esto al ncateto opu
ngulo cente al catetoadyactg
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4
a
c
ngulo acene al cateto ady
hipotenusa sec
bc
gulo esto al ncateto opu
hipotenusa csc
Ejemplo 1:Calcule los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo
agudo
, sabiendo que
4
7Sen
.
Aplicando el teorema de Pitgoras para encontrarel otro cateto y as encontrar las otras 5 funcionesfaltantes.
2 24, 7, ? 49 16 33a c b b c a ,
4
7Sen
7sec
4Co
337
Cos 7 7 333333
Sec Sec
4 4 33
3333Tan Tan
33
4Cotan
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Analice este ejemplo proporcionado por el matemtico cubano AurelioBaldor.
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Unidades angulares y conversiones.
ngulo: Es la abertura comprendida entre dossemirrectas (rayos) que secortan en un punto llamado vrtice. Este ser positivosi gira en sentidocontrario al movimiento de las agujas del reloj.
Hay tres unidades:
1) Grado sexagesimal:unidad angular que divide una circunferencia en360. Es la ms utilizada en la vida cotidiana.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2)Radin:Es la medida del ngulo central de una circunferencia cuya
longitud de arco coincide con la longitud de su radio. Divide la circunferenciaen 2radianes. Es el ms utilizado en matemtica.
3) Grado centesimal:unidad angular que divide la circunferencia en 400grados centesimales. Se desarroll como la unidad ms prxima al sistemadecimal, se usa en topografa, arquitectura y en construccin.
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Conversiones:Como es bien sabido que la vuelta completa de una circunferencia es 360equivalente a 2 rad entonces tenemos que
1802 . 360 1
180rad Rad Sgc
A la hora de hacer conversiones de radianes a grado debemos multiplicar
por180
y si es de grado sexagesimal a radin debe ser por
180
.
Ejemplos:
a) Convertir 45 a radianes. Resolviendo tenemos que45
45 ( )180 180 4
b) Convertir 32
a grados sexagesimales. Resolviendo tenemos que
3 180 540( )( ) 270
2 2
ngulos notables:
Son aquellos que tienen valores fijos. Cualquier ngulo que sea mltiplo de 5es posible expresarlo a travs de funciones fijas. Pero siempre hemostrabajado ms con 30, 45 y 60.
Demostracin de las funciones trigonomtricas de de 30 y 60
Para esta demostracin partiremos de un tringulo equiltero de ladosiguales a 2, luego trazamos una altura que dividir altringulo equiltero endos tringulos rectngulos iguales cuyos ngulos miden 90, 60 y 30.
Ahora las funciones trigonomtricas de 30 y 60 las podemos buscarpartiendo del tringulo rectngulo de la derecha. En este caso buscaremos
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por la definicin la de 30 y por la comunin y racionalizacin la de 60.Tomando en cuenta que nos falta el cateto c por lo que hay que aplicarle elteorema de Pitgoras visto anteriormente. , como vimos anteriormente
2 22 1 3c c
1
6 2
3
6 2
3
6 3
36
2 3
6 3
sec 26
Sen
Cos
Tan
Cotan
Sec
Co
3
3 2
1
3 2
33
3
3 3
23
2 3sec
3 3
Sen
Cos
Tan
Cotan
Sec
Co
Demostracin de las funciones trigonomtricas de 45.
Para esta demostracin partiremos de la construccin de un cuadrado delados iguales a la unidad. Luego trazaremos una diagonal que dividir al
cuadrado en dos tringulos rectngulos iguales cuyos ngulos miden 90,45 y 45.
Buscando la hipotenusa tendremos que 2 21 1 2h h ahora empezamos
a buscar las funciones trigonomtricas de 454
.
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9
3
4 2
3
4 2
14
Sen
Cos
Tan
14
24
sec 24
Cotan
Sec
Co
Tabla de Valores de las funciones trigonomtricas de 30, 45 y 60en el sistema sexagesimal.
. 30 . . 45 . . 60 .
Seno21
22 23
Coseno23
22 2
1
Tangente33 1 3
Cotangente
3 133
Secante3
2 3 2 2
Cosecante
2 2 3
2 3
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Valor Numrico de expresiones trigonomtricas:
En trigonomtrica existen ngulos notables, tales como 30, 45 y 60. Se le
llaman notables porque sus funciones tienen reglas fijas. Para determinar elvalor de una expresin trigonomtrica basta con sustituir cada una de las
funciones por su valor y luego las operaciones indicadas.
Ejemplos: Encontrar el valor numrico de:
1) Tan 45 . cota 1n 45 1 1
Sen 30 Cotan 45 co
1 1
(1) 02 2=s 602) = =01
5 1
4Tan
Sen . Tan 5cos2 63)
3
3 1 3(1) 5( 1) 5
3 153 2 3= = =3(1) 0 3 9
24
Tan sen
Funciones trigonomtricas inversasEn trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes, se le llama arcoa cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversasse denominan con el prefijo arco, as si:
1)
2) cos cos
3) ta nn ta
x Arcsey sen x
y x
y
n y
x Arc y
Ar yx x c
Desde hace aos para obtener el valor de las funciones trigonomtricas eraa travs de una tabla desarrollada por Johann Muller 1467, esta consista enque conocido un ngulo podamos encontrar el valor de la funcintrigonomtrica. Hoy en da este mtodo est obsoleto debido al uso de lasmaquinas calculadoras electrnicas.
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Representacin grfica de las funciones trigonomtricas.
x
yy = sin(x)
y = cos(x)
y = tan(x)
Resolucin de tringulos rectngulo
Resolver un tringulo es hallar sus lados, ngulos y rea. Es necesarioconocer dos lados del tringulo, o bien un lado y un ngulo distinto del recto.Partiremos en primer plano de resolucin de tringulo rectngulo y luegocontinuaremos con tringulo obtusngulo y oblicungulo.
Resolucin de tringulos rectngulos.
1.Se conocen la hipotenusa y un catetoResolver un tringulo rectngulo donde la hipotenusa a= 47cm y uno de loscateto es c= 24cm.
B=? , C=?,b=?
*Buscando el lado faltante por Pitgoras:
C
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12
2 2
2 2
40.
2
4
47 4
b
b cm
a c
b
b=? a=47cm
*Buscando ngulo C A c=24cm B
'
* ( )
24( ) 30.70635584
30 23"
7
42o
c cSenC C Arcs
C
ena a
C Arcsen C
*Buscando ngulo B por medio de conjugados.
0
'
'90 30 42 23"
59 17 37"
o
o
B C A B A C
B
B
2. Se conocen los Dos ngulos y un lado cualquiera.
2
4.6
A=90 , 60 , 8 , ?, ?, ?
90 60
8 8* 9.2376
60 0.866025
8
60
2
9
.24
30
:
o
O
o
a
B b cm C c a
B C A C A B
C
b b cm cmSenB a cm
a SenB Sen
b b cmTanB c
c TanB Tan
Tambin los podemos realizar por p
cm
itgoras
a
C
m
c
c
b
c
2 2 2(9.24) ( 4 628) .c cc m
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Aplicacin de tringulos rectngulo.
3. Una Torre de 105 de altura proyecta una sombra de 83.86 pies.Calcule el ngulo de elevacin del sol
4. Desde la cspide de un Faro de 145 pies de altura sobre el nivel delmar, se observa que el ngulo de depresin a una Boya es de 45grado. Hallase la distancia horizontal desde el Faro a la boya.
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Resolucin tringulos oblicungulos y obtusngulos
La ley o teorema de los Senos es una relacin de tres igualdades que
siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, yque es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos
Ley de los senos:
En todo tringulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ngulos opuestos.
a b c
senA senB senC
Resolver un tringulo conociendo un lado y dos ngulos.
: a 10 m, B
1. Si en un
30 ,C 11
tri ngulo : a 10 m,
5 , ?, ?
B 30 y C 115 . Calcul
, ?
180 180 30 115
( ) 6 3
a los restantes elementos.
3
0
5OO O O O
Datos A c b
A
B C A
a b a SenB Senb bSenA SenB Se
A
nA Se
1
35
( ) 15.
0 115
3
5 2
5
. 3
8
n
a c a SenC Senc c
SenA SenC SenA S
b cm
cen
cm
Leyes de los cosenos:
En todo tringulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros doslados menos el doble del producto de ellos, por el coseno del ngulo que forman.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
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15
2 2 2 2 2
2 2
Ejemplo. Si tenemos un tri ngulo donde : a 15m, c 10 y B 120 .
la ley del coseno consig
2 .cos 2 .cos
(15) (10) 2(15)(10)cos12
a el valor del otro lado.
0 325 150o
b a c ac b a
m
Aplic
c c
a
a
b b
ndo
21.79b m
ngulos mltiplos y submltiplos
Los ngulos mltiplos y submltiplos son de mucha importancia pues atravs de ellos podemos expresar las funciones de un ngulo a travs deotros. Estos indican cuantas veces podemos repetirlo, mientras que lossubmltiplos indican cuantas veces podemos dividirlo; Para demostrar lasfunciones del ngulo duplo, mitad, etc; partiremos de las funcionestrigonomtricas de las suma de dos ngulos, desarrollando estas por ladefinicin no por demostracin pues es un poco rigurosa.
Funciones trigonomtricas a travs de la suma de dos ngulos.
1) ( ) sen cos cos sen
2) sen( ) sen cos cos sen
3) cos( ) cos cos sen sen
4) cos( ) cos cos sen sen
tan tan5) tan( )
1 tan tan
tan tan6 ) tan
( )
( )1 tan
sen x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x yx y
x
Si x y Sen Se
y
x yx y
y
x
n x
tany
Nota: Para encontrar el valor de la cotangente, secante, cosecante, basta con buscar las funciones inversas.
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16
1
E
0
je
5=
mplo
60+4
1 : Hal
51)Sen(6
lar las funcione
0+45)=sen60 cos4
s trigonomtricas de 105
a trav
5 +sen45 cos 60
3 2 1 2
s de la suma de do
= ( ) ( )2 2 2
s ngulos notab
2
2)
le
C
s.
os
6
(60+
2
4
45)
=cos 60 cos45 -sen45sen60
1 2 3 2 = ( )- ( )
2 2 2 2
60 45
3) (60+45)= 1 an 60. 45
3 1 =
1 3(1)
4) (60+45)=
5) (60+45)
6) (60
2 6
4
3 1
1 3
1 3
3 1
4
2 6
+45)
Tan Tan
Tan T Tan
Cot
Sec
Cosec
42 6
Funciones trigonomtrica a travs del ngulo duplo.
Para demostrar las funciones trigonomtricas del ngulo duplo partiremos dela suma de dos ngulos, donde un ngulo es igual al otro x=y.
Como ya sabemos que yxyxyx sencoscossen)sen( , pero como x=y
entonces tendremos
( ) sen cos cos sen
(2 ) 2sen cos
sen x x x x x x
por lo qu sen xe x x
Aplicando este mismo procedimiento con todas las dems funcionestrigonomtricas tendremos que:
-
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2 2 2
2
cos(2 ) cos 2cos 1
2tanan(2 )
1 tan
2)
3)
x x sen x x
xT x
x
2
Ejemplo : Hallar el seno, tangente y la cosecante
de 120 a travs del angulo duplo.
Sen
120=2(60)
* = 2sen60 cos60
3 1 3 =2( )( )
2 2 2
2 60* =
1 an
2(
60
60
)
2(6
0)Tan Tan
T
2
2( 3) = 3
1 ( 3)2
* 2 (603
)Cosec
Funciones trigonomtricas a travs del ngulo Triplo.
Si hacemos la evaluacin de (x+y) donde sustituiremos a x por 2x ^ y por x,
desarrollando por ejemplo el seno tendremos que Sen(x+y)
Sen(2x+x)=Sen2x.Cosx+Senx.Cos2x, haciendo
ese desarrollo obtendremos
3
3
3
3
3
2
Ejemplo: Calcular el
las siguientes reglas:
135 3(
33) 3
1 3 tan
45 ) 3 45 4 45
2 2 3 23
2) 3 4 c
seno
4 22 2 2
1) 3 3 4
2
de 135 .
o 3
2
s cos
Se
Sen Sen sen sen
Co
Tanx Tan x
n x senx s
Tan xx
e x
s
n
x x x
-
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18
Funciones trigonomtricas a travs del ngulo mitad.Para el desarrollo de las funciones trigonomtricas del ngulo mitadparatiremos del ngulo duplo tal como veremos a continucin.
22
2
Despejando sen ,
1 cos 2 1 cos 2 . sen sen
2 2
Cambiando1 cos
sen ( ) :2
cos 2 1 2 n
2 2
se x
x xluego aplicamos radicacin x
x
x xxx p r
x
x
o
2
2
2) Para el coseno aplicamos cos2 2cos 1 obteniendo
1 cos 2cos Cambiando ( 1 coscos2 2
) :2 2
x x
x xx x por x x
3) La frmula de la tangente del ngulo mitad se obtiene dividiendomiembro a miembro las identidades de seno y coseno del ngulo mitad:
Ejemplo: Busca las funciones trigonomtricas seno,
coseno, y tangente de 15 en funcin del an
1 cos1) sen
gulo mitad.
30
31
30 1 cos30 2 32( ) =
2
2
15 (
2
2
2
)
2 2S
x x
en
-
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19
31
30 1 cos 30 2 32( )
1 cos2)co
2
2 2
s
2
2
2C
x x
os
2 3
30 2 32a
1 cos3) an
2
n( )2 2 3 2
1 os
3
c
2
x xT
T
x
Identidades trigonomtricas de producto a suma o resta.:
) ( ) sen cos cos sen
) sen( ) sen cos cos sen
) cos( ) cos cos sen sen
) cos( ) cos cos sen sen
Tomando encuenta que
I sen x y x y x y
II x y x y x y
III x y x y x y
IV x y x y x y
Ahora para encontrar productos debemos hace
.
1. Restando ^ :
( ) sen cos cos sen
sen( ) sen cos cos sen
( ) sen1
os [ (
( ) 2cos sen
) ( )]2
SenyC x sen x y sen x
r sumas y resta
del dessarrollo de mas arriba
I II
sen x y x y x y
x y x y x y
sen x y x y x y
y
-
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20
2. umando ^ :
( ) sen cos cos sen
sen( ) sen cos cos sen
( ) sen( ) 2
1os [ ( ) ( )]
.
2
S I II
sen x y x y x y
x y x y x y
sen x y x y Se
SenxC y sen x y sen x y
nxCosy
3. umando ^ :
( ) cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
( ) cos( ) 2cos .cos
1cos .cos [ ( ) cos( )]
2
S III IV
cos x y x y senx y
x y x y x y
cos x y x
x y cos
y
x
y
x y y
x
4. Restando III^IV IV ^III en este caso los haremos con IV^III
por asuntos de signos de operaciones, es mas sencillo, veamos!:
cos( ) cos cos sen sen
cos( ) cos cos sen sen
( )
x y x y x y
x y x y x y
cos x y
1. [ ( )
cos( )
cos( )]
2
2 .
senx seny cos x
x y sen
y
x
x
sen
y
y
Por lo tanto podemos ya ordenarla y entrar en ejercicios:
-
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21
Concluiremos diciendo que sumando y restando
el seno y el coseno de la suma de dos angulos llegaremos a producto
los cuales son de mucha importancia tanto en este curso como en clculo
in
NO
t
TA :
egral, es decir:
) ( ) sen cos cos sen) sen( ) sen cos cos sen
) cos( ) cos cos sen sen
) cos( ) cos cos sen se
11) . [ ( ) cos( )
1os
]2
n
:
22
)
I sen x y x y x yII x y x y x y
III x y x y x y
IV x y x y x y
Obte
Senx Seny cos x y
ndremos
SenxC
y
y
x
13)
14) os . os [ ( ) cos( )
[ ( ) (
]
os [ ( ) ( )]2
]
2
)
SenyC x sen x y s
C x C y cos
sen x y s
x y
e
x y
n y
en x
x
y
( ) ( )5) Tan x .Tan y=
Anexas a estas vamos a agregar la de producto de tangente y cotangen
( ) ( )6) ot .Cot y =
(
( ) (
t
(
e
)
) )
T
Cot x C
an x Tan y
Co
ot yC x
Ta
t x C
n x
y
n y
ot
Ta
-
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Resuelva los siguientes ejemplos:
a) Dado 12 5 Expresar como suma de ngulos.
) Si 6 2 Exprsalo como
1os . os [ ( ) cos( )]
2
1 [ (17 ) cos(7 )]2
1. [ ( )
2
suma :
C x C y cos x
Cos x Cos
y x y
cos x x
Senx Seny
b Sen x
cos x
S n x
y
e
) siguiente producto 5 * os 13 exprsarlo
en suma de funciones trigonmetricas
cos( )]
1[ (4 ) cos(10 )]
2
1os [ ( ) ( )]
2
15 * os13 [ (18 ) (8 )]
2
.
x y
cos x x
SenyC x sen x y sen x y
Sen x C x s
c El S
en x
en x C x
sen x
-
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12que : Sen os en( ) en( )
Ahora asumiendo que A=x+y ^ B=x-y, operamos a traves de suma y resta
para obte
IDE
ner
NTIDADES DE SUMA A PRODUCT
valores de x^ y, por lo que obtendremos
Suma:
O
Sabiendo xC y S x y S x y
x + y Resta: x + y= A( )
+
x =
-2 2
Ahora esc
2y =
2
Ax y B x y B
x A B
BB
y A
A
B
A
12
ribimos la identidad inicial en t rminos de y :
sen cos sen sen , S en en2 2
Obtendremos sen sen 2sen cos2 2
Este mismo prosceso de demostracion lo deb
A B
A B A BA B despejamos A S B
A B A B
A B
emos emplear para las otras,
por tal razn a continuacion la ponemos y la dejamos a opcin del lector.
1) sen sen 2sen cos2 2
2) sen sen 2 cos se
3) cos cos 2 cos
n2 2
2
A B A BA B
A B A BA B
A BA B
( )5)
4)cos
( )6)
.
c
.
os 2sen sen2 2
cos2
Sen A BT
Sen A BCotA Co
anA TanB
tBSenA Sen
A B A BA B
CosAC
B
o B
A
s
B
Esta expresion es la que corresponde a la 4, osea,
cos cos 2sen sen ,Desarrollando tenemos que2 2
90 40 90 40Cos90 40 2 sen
2 2
Ejemplo : Transformar Cos90 0
2
4
A B A BA B
Cos sen
Cos
65 sen 25sen
-
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Identidades trigonomtricas
Es una igualdad que se satisface para cualesquiera que sean los valores delas variables que en ella intervienen. Hay varios tipos de identidades, por talrazn aqu en este nivel vamos a poner las que consideramos msnecesaria, aunque es bueno recordarle al lector que debe saber despejarformula (consultar modulo 1 de este manual) para encontrar otras queestarn inmersas aqu.
2
2
1 1- Cos2x1) 10)Sen x =
cosc 2
1 1 cos 22) Cos x= 11
Identidades fundamentales e i
)Cos xx 2
1 x3) Tan x
nvers
=x
a
Cos x
s:
senxx
x
Sec
Sen
Cot
2
2 2
2
2 2
12)
1 Cos x4) Cot x= = 13) Sec x 1 +Tan
x Sen x
15) Sec x= 14) Tan Sec x 1Cos x
16) Cosc x=
Sec x-Ta
e x
n 1
xTan
x
S n
x
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
Cosc 1
Sen x + Cos x
15)
Identidades Pitagricas. 16) Cosc 1 +
7)
8) Sen x =1- Cos x 17)
1
c x 1
=
x Cot x
Cot x Cos
x Cot x
2
2 2
2
Identidades para c
alculo inte
1- Cos2x 1+ Cos2xa) Sen x
9)Cos x 1 x
=
gral:
b) Cos x =
2 2
Sen
-
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25
Aqu tenemos otra tabla de identidades aun ms general.
Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x
Sen x
21 cos x
2
Tan x
1 Tan x
21 Cot x
1
Sec 1
x
2x
Sec
x
1
Csc
Cos x
21 Sen x
21 Tan x
1
Cot x
21 Cot x
x
1
Sec Csc 1
x
2x
Csc
Tan x
Sen x
21 Sen x
1-Cos
x
2x
Cos x
1
Cot
2Sec x-1
2Csc x
1
-1
Cot x
1-Sen
x
2x
Sen
Cos x
21 - Cos x
x
1
Tan
2Sec x
1
-1
2
Csc x-1
Sec x2
1- Sen x
1
x
1
Cos
21 Tan x 1 Cot
x
2x
Cot
Csc x
2Csc x 1
Csc xSen x
1
21 - Cos x
1 1
x
2Tan x
Tan
21 Cot x
2
Sec x
Sec x 1
Demostracion de una identidad trigonomtricaEn la demostracin de identidades trigonomtricas no hay procedimientos matemticos
especficos, por lo que en la mayora de los casos va a depender de nuestra destreza, habilidad
mental y conocimientos matemticos.
Recomendamos que debemos trabajar desde adentro hacia fuera tratando siempre de convertir las
expresiones en funcin de senos y cosenos.
-
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1Si aplicamos la prop.1 tendremos que
Ejemplos :Demostrar las siguientes identidades trigonom tricas.
1) . 1
2) . 1
3) . 1-
1
1 1
CoscxCoscx
CosxSenx Cosx
S
Senx Coscx
Senx Cotx
Senx
enx
Senx
2 2 2 2
2
1- Cos x
Se elige uno de los miembros cualquiera o ambos y se
trata de llegar a una igualdada comn. En este casovamos a trabajar en el miembro izqui
Cos x
4) 1- TanxSenx
Sen x Sen x Se
Coscx Sec
x
x
n
erdo para llegar
al derecho (1- Tanx).
. . 1- Tanx
1 11- Tanx
1- 1- Tanx 1- Tanx
Tanx
Senx Coscx Senx Secx
Senx SenxSenx Cosx
Senx Senx
Senx Cosx
Ecuaciones trigonomtricas:
Son expresiones que contienen funciones trigonomtricas de un ngulo desconocido. Suelen
tener infinitas soluciones.
Pasos para resolver una ecuacin trigonomtrica:
1. Si hay ngulos diferentes, reescribirla en funcin de un solo ngulo.
2. Si tenemos varias razones trigonomtricas ponerla como una sola.
3. Aplicar funciones arco para conseguir el valor de la incgnita.
-
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1 1
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas
1) 2
1 1Cos = arccos
2 2 3
2 0 2 2 0
2 1 0 ^ 2 1 0
1
cos -1=0
2)
^0
2
)
2 6
3
^2
Sen C
Sen Cos Sen Cos Cos
Cos Sen Cos o Sen
Cos Sen
os
2 2
2 2
2
2
1 1
2
cos 1 0 2(1 cos ) cos 1 02 cos cos 1 0 2 cos cos 1 0
cambio de base tenemos que cos
2 1 0
21 1 8
14
1
1 3 1 1 w
4 2 2
1 3
2 1 co
s
sen x x x x
x x x x
haciendo w x
w w
a
sen x
b
x
w
c
w
w
21 14
1 1) arccos
2 2
) x=-1 x=arccos (
3
- =1 x)
x
w
Sustituyendo
a Cos x x
b Cos
Cuando me preguntaron sobre algn arma capaz de contrarrestar elpoder de la bomba atmica yo suger la mejor de todas La paz
Albert Einstein (1879-1955) Cientfico alemn.
-
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ACTIVIDADES:
1. Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitgoras
a- Una parcela es un cuadrado con catetos de longitudes de 60 cm. Usar elTeorema de Pitgoras para determinar la longitud de la parcela.
b- Un joven de 5.6 pies de alturas se encuentra a una distancia de 14 pies de una
pelota. Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente,
quedndose en posicin firme.
2. Convertir los siguientes ngulos de grados a radianes
a- 45
b- 75
3. Convertir los siguientes ngulos de radianes a grados
a-7
b- 32
4. Calcular los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo agudo
sabiendo que:
a-2
5Cos
b-
2
7Cot
-
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-
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9. Hallar las funciones trigonomtricas de los siguientes ngulos a travs de la suma de dos
ngulos notables
a-100
b-15
10.Hallar el seno, tangente y la cosecante de los siguientes ngulos a travs del ngulo duplo
a-60
b-1300
11.Buscar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente de los siguientes ngulos enfuncin del ngulo mitad
a-30
b-120
12.Hacer uso de las identidades producto suma para resolver los siguientes ejercicios.
a- 9 * 5Cos x Cos x
b- 50 * 20Sen x Cos x
13.Hacer uso de las identidades suma-Producto para resolver los siguientes
ejercicios
a- 45 25Cos Cos
b- 120 80Sen Sen
14.Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas
a- 2 * 0Cosx Senx Cosx
b- 2os 0C Sen
-
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31
Bibliografa
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Domingo Rep. Dom: Universidad Catlica de santo Domingo.Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Preclculo. 6ta edicin, Mxico:editora Pearson Educacin.
Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undcima edicin, Mxico: editora CodiceAmrica, S.A.
Santillana I. serie umbral, (educacin media).(2001), 1ra edicin, Rep.Dom: Editora Santillana
Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemticas universitariasintroductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edicin, Mxico: EditoraPearson Educacin. 448 pg.
Pea Geraldino, Rafael. Matemtica Bsica Superior, (2005), 4ta edicin,Republica Dominicana. Editorial Antillanas.
Prof. Miguel ngel jurado (2006). Trigonometra de 4to ao (colegiocanonesas de la cruz). Mxico
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Teorema de Pitgoras su aplicacin. Discovering Geometry CondensedLessons in Spanish,2004 Key Curriculum Press,128 CHAPTER 97Revista de trigonometria de Joao Batista. Argentina
Teorema de Pitgoras. Discovering Geometry Condensed Lessons inSpanish, 2004 Key Curriculum Press, CHAPTER 9 1232004
Jorge Jos Oss Recio. 2004. Folleto sobre Trigonometra. Departamentode Ciencias BsicasCentro de Matemticas Ing. Ofelio Gonzlez Serrano.Departamento de Matemticas - Universidad de los Andes Bogot Colombia
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