MÓDULO DE MATEMÁTICA
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MÓDULO DE MATEMÁTICA
• LAS PROPOSICIONES, LOS CONJUNTOS Y LAS
RELACIONES CONSTRUÍDAS DESDE LA COTIDIANIDAD Y EL
USO DE MATERIALES EDUCATIVOS.
PRESENTACIÓNDirigido a los docentes que laboran en Educación Básica, como una alternativa de mejoramiento del ejercicio pedagógico en el área de matemática considerado en el plan de estudio de la reforma curricular.
Busca dar una acción formativa que impulse a los docentes a mejorar la calidad de la enseñanza y como propuesta de transformación de la práctica diaria en el aula.
PROPOSICIONES
Por la naturaleza de la matemática , en cuanto al lenguaje con características propias, el aprendizaje de las proposiciones a de conducir hacia el empleo de éste lenguaje en la elaboración y comunicación de conocimientos.
Proposiciones , conjuntos y relaciones
construidas desde la cotidianidad y
el uso de materiales educativos
Proposiciones
Gramaticales
Numèricas
Notación
Clases
Simples
Compuestas
Conectivos Lógicos
Tabla de verdad Operacio
nes lógicas
Cuantificadores
Conjuntos
Nociones
Notación
Simbólica
Gráfica
Determinación
Tabulación
Comprensión
Fórmula
Unitario
Clases
Finito
Infinito
Vacío
Universo
Relaciones
Pertenece y no pertenece
Disyunciòn
Iguualdad
Inclusiòn
Intersecancia
Cordinabilidad
Par o Triadas Ordenada
Intersec.
Uniòn
Diferencia
Dif. Sim.
Operaciones
Relaciones
FuncionesPropiedades
Relac. Binarias
Pro.Cartesiano.
Representaciòn
OBJETIVOS1. Utilizar el conocimiento matemático como herramienta
de apoyo para otras disciplinas, y su lenguaje para comunicarse con presición.
2. Desarrollar las estructuras intlectuales indispensables para la construcción de esquemas de pensamiento lógico formal, por medio de procesos matemáticos.
3. Comprender lo que son las proposiciones para crear ambientes de predilección y generación de trabajo productivo y cooperativo.
4. Aplicar los conocimientos matemáticos para contribuir al desarrollo del entorno natural y social.
PROPOSICIONES
LAS PROPOSICIONES SON EXPRESIONES VERBALES O ESCRITAS CUYO VALOR DE VERDAD PUEDE SER VERDADERO O FALSO.
PROPOSICIONES* LAS PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS SIN NINGUNA DUDA.
* CUANDO NO SE PUEDE DAR SU VALOR DE VERDAD EN FORMA CATEGÓRICA, ENTONCES NO ES PROPOSICIÓN.
* NO ESTARÁ CON SIGNOS DE INTERROGACIÓN, TAMPOCO DE ADMIRACIÓN.
* SON GRAMATICALES CUANDO TIENEN SENTIDO COMPLETO Y CONSTAN DE SUJETO Y PREDICADO.
* SON NUMÉRICAS, TIENEN SUJETO Y PREDICADO: EL VERBO PUEDE ESTAR REPRESENTADO POR LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN.
PROPOSICIONES• CATEGORICAMENTE, V o F SIN LUGAR A DUDAS.
•NO SON PREGUNTAS.
•NO SON EXCLAMACIONES.
•SON AFIRMACIONES
ESQUEMA DE LA PROPOSICIONES
Proposiciones
GramaticalesNumèricas
Notación
Clases
Simples o atómicas
Compuestas omoleculares
Conectivos Lógicos
Tabla de
verdad
Operaciones lógicas
Cuantificadores
Conectivos Lógicos Denominación Representación. Lectura. Y Conjunción p y q o incluyente Disyunción p o q o excluyente Disyunción exclusiva p o q ;Pero no ambas No Negación no p; es falso que p
Sí..., entonces Implicación. P implica a q Sí p entonces q... Sí y solo sí Doble implicación, equivalencia p si y solo sí q p es equivalente a q
PROPOSICIÓN SIMPLE O ATOMICA
• Mera es cantón de Pastaza.
• El perro ladra
• La culebra es ovípara.
• Son simples porque no se puede descomponer en oraciones parciales.
PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR
• Mera es cantón de Pastaza y Baños es canton de Tungurahua.
• El perro ladra entonces la rana croa.
• La culebra es ovípara o el burro mamífero.
• Son compuestas porque se puede descomponer en oraciones parciales.
LA DISYUNCIÓN. (V) Permite unir 2 proposiciones p y q para obtener otra, que se construye
en el lenguaje usual como:
p o q ( o p o q o ambas cosas)
p V q
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p q
V V F F
V F V F
V V V F
TABLA DE LOS VALORES . digital
p q p q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
REFERENCIAS PARA LOS FOCOS
PRENDIDO
APAGADO
V v V = V
V v F = V
F v V = V
F v F = F
DISYUNCIÓN
V v V = V
DISYUNCIÓN
V v F = V
DISYUNCIÓN
F v V = V
DISYUNCIÓN
F v F = F
LA CONJUNCIÓN.
Permite unir 2 proposiciones p y q para obtener otra, que se construye en
el lenguaje usual como:p y q
p ^ q
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p q
V V F F
V F V F
V F F F
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
V ^ V = V
V ^ F = F
F ^ V = F
F ^ F= F
CONJUNCIÓN
V ^ V = V
CONJUNCIÓN
V ^ F = F
CONJUNCIÓN
F ^ V = F
CONJUNCIÓN
F ^ F = F
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p V q
V V F F
V F V F
F V V F
COMO SUMA UN COMPUTADOR
LA TABLA DE SUMAR EN EL SISTEMA BINARIO ES:
1 + 1 = 0 y lleva 1
1 + 0 = 1 y lleva 0
0 + 1 = 1 y lleva 0
0 + 0 = 0 y lleva 0
p q p XOR q
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0
COMO SUMA UN COMPUTADOR
LA TABLA DE SUMAR EN EL SISTEMA BINARIO ES:
1 + 1 = 0 y lleva 1
1 + 0 = 1 y lleva 0
0 + 1 = 1 y lleva 0
0 + 0 = 0 y lleva 0
p q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
lleva^
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p => q
V V F F
V F V F
V F V V
TABLA DE LOS VALORES DE VERDAD.
p q p < => q
V V F F
V F V F
V F F V
P Q p q p q p q p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
ORGANIZADOR GRAFICO DE CONJUNTOS
CONJUNTOS
Nociones
Notación
Simbólica
Gráfica
Determinación
Tabulación
Comprensión
FórmulaUnitario
Clases
Finito
Infinito
Vacío
Universo
Relaciones
Pertenece y nopertenece
Disyunciòn
Iguualdad
Inclusiòn
Intersecancia
Cordinabilidad
Intersec.
Uniòn
Diferencia
Dif. Simétrica
Operaciones
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN
.
La teoría de conjuntos se asocia con los desarrollos modernos de la matemática, pero la idea de conjunto no tiene nada de nuevo. Tuvo su origen en la segunda mitad del siglo XIX con el trabajo del matemático alemán Georg Cantor(1845-1918).Las nociones elementales de la moderna teoría de conjuntos están implícitas en la mayoría de los argumentos clásicos
OBJETIVOS:Facilitar al maestr@s, la comprensión de los fundamentos de la lógica matemática y se familiarice con un conjunto de conceptos básicos necesario para la solución de problemas.
Establecer relaciones entre los conjuntos y sus elementos
Realizar operaciones entre los conjuntos.
Demostrar las propiedades de los conjuntos usando diagramas de Venn - Euler.
IDEA DE CONJUNTO.
.
La idea de conjunto que desarrollamos es intuitiva , pues la definición formal está fuera de nuestro alcance. Las agrupaciones se llaman conjuntos y las partes que las integran son los elementos.
NOTA
.
Un conjunto está correctamente definido , si y solo si, se puede establecer categóricamente, que un elemento pertenece o no a un conjunto
NOTACION Y REPRESENTACIÓN.Los conjuntos se los nota con letras mayúsculas, los elementos con letras minúsculas.
La representación es mediante diagrama de VEEN, se usan cuadrados, rectángulos, círculos u óvalos.
Se puede también representar en forma lineal.
AB
0 1 2
PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA.A
B
1. 2. 3.
7. 9.
0
1 A
2 A
7 B
9 B
0 A
0 B
3 B
10 A
8 B
DETERMINACIÓN
Por Extensión o Tabulación.- Cuando se nombra a cada uno de los elementos.
B = { 2,3,4,5,6}
C = { Mera, Arajuno, Santa Clara, Pastaza}
DETERMINACIÓN
Por Comprensión o Descripción.- Cuando se dice la característica común que tienen todos los elementos.
B = { números naturales mayores que uno y menores que siete}
C = { cantones de la provincia de Pastaza}
DETERMINACIÓN
Por Fórmula Estandar.- Cuando explicamos los elementos que forman un conjunto mediante operadores y símbolos matemáticos.
B = { x x ε N; 1 < x < 7 }
C = { x x є cantones; x є cantones de Pastaza}
CLASES DE CONJUNTOS.
Los conjuntos se clasifican considerando los siguientes aspectos.
POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS.
-VACÍO.
-UNIVERSO.
-UNITARIO.
-FINITO.
-INFINITO.
POR LA RELACIÓN ENTRE LOS CONJUNTOS.
-INTERSECANTES.
- DISJUNTOS.
-IGUALES.
-COORDINABLES.
CONJUNTO VACÍO.Φ
Es aquel conjunto que no tiene elementos; o sea no se puede tabular o dejar correctamente determinados sus elementos.
CA= { }
B= Φ
CONJUNTO UNIVERSO.
Es llamado también conjunto referencial, está construído por todos los elementos en estudio que tienen la misma propiedad. Se puede denotar con las siguientes letras mayúsculas R o U.
R =U = { a,e, i,o,u }
R= { abecedario}
0.1.2.3.4.5.6.7.
8.9
Conjunto de las partes.
Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Se expresa mediante el símbolo que se lee:
P(A) partes de A
A = { a,e, i }
{{ },{ a}, { e},{ i } ,{ a, e },{ a,i },{ e,i },{ a,e,i } }P(A) =
CONJUNTOS IGUALES.
Cuando los dos conjuntos tienen los mismos elementos, aunque estén en otro orden
L = B
L= { a,e, i,o,u }
B= { e,o,u,a,i}
A B
a.e.i.o. u
CONJUNTOS DISJUNTOS.
Cuando entre dos conjuntos no tienen elementos en común. (repetidos)
K = M
K= { a,e, i,o,u }
M= {c,d, h, f }
K M
c.d. h. fa.e. i.o.u.
CONJUNTOS INTERSECANTES.
Cuando entre dos conjuntos tienen elementos en común. (repetidos)
N INTERSECANTE P
N= {a,e, i,o,u }
P= {c,d, e, f }
N P
a. .io. u c. d. fe
CONJUNTOS COORDINABLES.
Cuando a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y sólo uno del elemento del conjunto B y recíprocamente.
N= { }
P= { }
OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
OPERACIÓN UNIÓN ( U )
UNION.- La unión es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a los conjuntos dados.
Iguales
Unión entre conjuntos iguales
A B
OPERACIÓN UNIÓN ( U )
Unión entre conjuntos DISJUNTOS
A B
OPERACIÓN UNIÓN ( U )
Unión entre conjuntos INTERSECANTES
A B
OPERACIÓN UNIÓN ( U )
Unión entre CONJUNTO Y SUBCONJUNTO
A
B
OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )
INTERSECCIÓN.- La intersección es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos a la vez. (elementos comunes)
Intersección entre conjuntos IGUALES
A B
OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )
Intersección entre conjuntos DISJUNTOS
A B
OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )
Intersección entre conjuntos INTERSECANTES
A B
OPERACIÓN INTERSECCIÓN ( )
Intersección entre CONJUNTO Y SUBCONJUNTO
A
B
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.
PROPIEDAD REFLEXIVA: A U A = A
A= { a,b,c,d,e }
A U A = { a,b,c,d,e}
a.b.c.d.e
A U A = A
A
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.
PROPIEDAD IDENTIDAD: A UΦ = A
A= { a,b,c,d,e }
B = { }
A UB = { a,b,c,d,e}
a.b.c.d.e
A U Φ = A
A
PROPIEDAD ASOCIATIVA
AU ( BUC) = ( AUB ) U C
Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}
{ 1,2,3,4,5}{ 1,2,3} { 3,4,5,1,8 }
{ 1,2,3,4,5, 8}
{ 1,3,5, 8}U = U
= { 1,2,3,4,5, 8}
31
A B
C
2 4
5
8
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
PROPIEDAD REFLEXIVA: A A = A
A= { a,b,c,d,e }
A A = { a,b,c,d,e}
a.b.c.d.e
A A = A
A
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
PROPIEDAD DE LA IDENTIDAD: A Φ = Φ
A= { a,b,c,d,e }
B = Φ
A B = Φ
a.b.c.d.e
A Φ = Φ
A
PROPIEDAD ASOCIATIVA
A ( B C) = ( A B ) C
Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}
{ 3 }{ 1,2,3} { 3, 5 }
{ 3 }
{ 1,3,5, 8}=
= { 3 }
31
A B
C
2 4
5
8
3
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a) A ( B U C) = ( A B ) U ( A C )
Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}
DEMOSTRAR LA OPRACIÓN CON LOS CONJUNTOS DADOS.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
b) A U ( B C) = ( A U B ) ( A U C )
Sean: A = { 1,2,3}; B = { 3,4,5}; C= { 1,3,5, 8}
DEMOSTRAR LA OPRACIÓN CON LOS CONJUNTOS DADOS.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A = { 1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 2, 4, 6, 8, 9} la diferencia A- B = { 1, 3, 5, 7 }
La diferencia A - B está formado por los elementos que pertenecen A pero no a B
1. 3. 5. 7.
2. 4. 6.
8.
9.
A B
A - B
DIFERENCIA SIMÉTRICA ( )
Sean los conjuntos A = { 1,2,3,4,5,6,7 } y B = { 2, 4, 6, 8, 9} la diferencia A B = { 1,3,5,7,8,9 }
La diferencia A B está formado por los elementos que pertenecen A pero no a B
1. 3. 5. 7.
2. 4. 6.
8.
9.
A B
A B
PRÁCTICA
Sean los conjuntos:
U = { a,b,c,d,e,f,g,h,i }
A = { a,b,c,e }
B = { b,c,d,f}
C = { c,e,f,g,h }
a b
cd
ef
.g h.
U
A B
Ci
Analice la siguiente estructura y escriba conjuntos que cumpla con la relación.
AB
C
D
EF
U
Proposiciones , conjuntos y relaciones
construidas desde la cotidianidad y el uso de materiales
educativos
Par o Triadas Ordenada
RelacionesFunciones
Propiedades
Relac. BinariasRepresentaciòn
INTRODUCCIÓN
.
Esta unidad está dirigida a los docentes que laboran en Educación Básica, como una alternativa de mejoramiento del ejercicio pedagógico del área de matemática considerado en el plan de estudio de la Reforma Curricular vigente y responder a los requerimientos básico.
Esta actualización tiene en matemática una característica muy particular ya que se consideran dos puntos de vista: la actualización metodológica y la académica.
En ésta unidad se consideran procesos que orientan el desarrollo de las acepciones teóricas de las relaciones, producto cartesiano y funciones,detallando algunos elementos por considerar fundamental el tratamiento de ésta temática.
OBJETIVOS:• Lograr que el maestro encuentre ideas, sugerencias y modelos que le resulten útiles para una práctica docente creadora e inmediata.
• Representar asociaciones entre elementos de conjuntos como relaciones o correspondencias.
• Realizar todas las posibilidades de combinación, relación conjuntos mediante la operación matemática: producto cartesiano.
• Identificar funciones en diversas combinaciones.
PRODUCTO CARTESIANO.
.
El producto cartesiano de los conjuntos A y B, se denota por AxB, en la que a cada elemento del primer conjunto se lo hace corresponder un elemento del segundo conjunto.
}/),{( BbAabaAxB
PAR ORDENADO.
.
Se llama par ordenado al ente (a,b ) si a A , b B .
( a, b )
abscisa ordenada
Dos pares son iguales si y sólo sí sus componentes del mismo orden son iguales.
REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO.
Y
4
3 (4,3)
2
1
X1 2 3 4 5
NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN.
B
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
},,{
}2,1{
cbacbaAxB
cbaB
A
1.
2.
.a
.b
.c
A
TABLA DE DOBLE ENTRADA
A B a b c1 (1,a) (1,b) (1,c)2 (2,a) (2,b) (2,c)
A= { 1,2} B= { a,b,c}
CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS
A B
Correspondencia de uno a varios ( uno para todos)
p.
.j
.m
.c
.b
CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS
A B
Correspondencia de varios a uno ( todos para uno)
.fj.
m.
c.
b.
CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS
A B
Correspondencia unívoca ( condición uno a uno)
.sopa
.jugo
.café
niña.
vaso
tasa
CORRESPONDENCIA ENTRE CONJUNTOS
A B
Correspondencia biunívoca ( condición uno a uno y viceversa)
.sopa
.jugo
.té
plato.
vaso.
tasa
RELACIONES
Se llama relación en R entre dos conjuntos A y B a todo subconjunto del producto cartesiano AxB, en donde R es una condición.
)}8,2(),6,2(),3,2(),8,1(),6,1(),3,1{(
}8,6,3{
}2,1{
AxB
B
A
AXBR
R
xy
)}6,2(),3,1{(
3Establecer La Relación
; entonces se tiene
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
P. REFELEXIVA.- Una relació R es reflexiva, sí para cualquier elemento a que pertenece al conjunto A donde está definida tenemos a R a. Se escribe.
xRxAx :
1
4 6
5A
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES P. SIMÉTRICA.- Es simétrica si cada vez que a y b están en relación, entonces y también están en relación; es decir a R b b R a
A
yRxxRyAyAx :,
Juana
Daniel
Paty. .
.
“ Ser hermano de”
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES P. NO SIMÉTRICA.- Es no simétrica si y sólo sí ;
A
Juana Paty. .
“ Ser madre de”
yxyRxxRyAyAx :,
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
P. TRANSITIVA.- Una relación R dada en un conjunto A, se dice que tiene la propiedad transitiva o que es transitiva, si y sólo sí :
A
5 10. .“ Ser DIVISOR DER”
xRzyRZ
xRzAZAyAx
xRzyRzxRyAzAyAx
:,,
:,,
50.
FUNCIONES
Condiciones para que sea una función.
1. Deben ser considerados todos los elementos del conjunto de partida.
2. A cada elemento del conjunto de partida o dominio le corresponde uno y sólo uno de los elementos del codominio.
3. Cuando está graficado, se traza una recta paralela al eje de las ordenadas (y), si corta en un solo punto entonces es función caso contrario es una relación.
FUNCIONES
NOTA IMPORTANTE
“TODA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN”
CLASES DE FUNCIONES.
1. FUNCION CONSTANTE.
2. FUNCION INYECTIVA
3. FUNCIÓN SOBREYECTIVA.
4. FUNCIÓN BIYECTIVA
FUNCIÓN CONSTANTE
A B
A → B es constante si y sólo si si para todo x A es f(x) =a∈
.121.
2.
3.
4.
FUNCIÓN INYECTIVA.
A B
Se dice que f es función inyectiva, si y sólo si a elementos diferentes de A corresponden imágenes distintas en B
.a
.b
.c
.d
e
1.
2.
3.
4.
FUNCIÓN SURYECTIVA O SOBREYECTIVA.
A B
Una función es suryectiva o sobreyectiva , es una función de A sobre B si y sólo si el codominio de f es igual a B .
.10
.9
.49
5.
2.
3.
7.
FUNCIÓN BIYECTIVA.
A B
Si y sólo si Es inyectiva y sobreyectiva, es decir que cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen y una sola. El codominio es igual al rango de la función.
.25
.10
.9
.49
5.
2.
3.
7.
Mensaje
Los obstáculos son esas cosas que las personas ven cuando dejan de mirar sus metas.
Luis Lluglla Luna.