MODULO ESTADISTICA DESCRIPTIVA 9 feb 2014.docx

7/25/2019 MODULO ESTADISTICA DESCRIPTIVA 9 feb 2014.docx

1/60

ESTADISTICAS DESCRIPTIVA

Docente:

LEONEL DELGADO ERASO

Especialista en Estadstica

UNIVERSIDAD DE NARIO

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ESTADISTICA

PASTO! "#$%


2/60

PRIMERA UNIDAD

ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

Conceptos generales sobre estadstica

Distribuciones de frecuencias.

Medidas de tendencia central.

Medidas de dispersin.

Grficos Estadsticos

Aplicaciones de las herramientas computacionales estadsticas (Excel !tatgraphics

!"!!#.


3/60

Conceptos Gene&ales

DE'INICION DE ESTADISTICA

La estadstica es (na ciencia )(e est(dia los *+todos! no&*as! &e,las!le-es pa&a la &ecolecci.n! o&,ani/aci.n - an0lisis de datos! pa&a saca&concl(siones 10lidas - to*a& decisiones ace&tadas2

PO3LACION: Es el con4(nto (ni1e&sal! el con4(nto de &e5e&encia! elc(al est0 con5o&*ado po& todos los ele*entos )(e tienen laca&acte&stica de est(dio2 Una po6laci.n p(ede se& 7nita! 8de ta*a9oN o in7nita2

MUESTRA: Es (n s(6con4(nto de la po6laci.n2 Es (na pa&te de lapo6laci.n! la c(al de6e c(*pli& con dos &e)(isitos 5(nda*entales: se&aleato&ia - &ep&esentati1a2 La p&i*e&a ;ace &e5e&encia a )(e s(sele*entos de6en selecciona&se al a/a&! - la se,(nda ;ace &e5e&enciaal ta*a9o de la *(est&a2

DATO: Es la *edida de la o6se&1aci.n2

VARIA3LES ESTADISTICAS2

Una 1a&ia6le estadstica es (na ca&acte&stica la c(al al se& o6se&1adaen di5e&entes indi1id(os nos ,ene&a &es(ltados distintos2

Las 1a&ia6les estadsticas p(eden clasi7ca&se en: CUANTITAVAS -CUALITATIVAS2

Las 1a&ia6les CUANTITATIVAS se clasi7can en: Contin


4/60

(tilidades dia&ias de (n ne,ocio! la p(nt(aciones en (n e=a*en! elcociente intelect(al! etc2

Las 1a&ia6les c(antitati1as disc&etas son a)(ellas )(e ad*iten!


5/60

SEGUNDA UNIDAD

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Dist&i6(ciones de 5&ec(encias pa&a 1a&ia6le c(antitati1a disc&eta -1a&ia6les c(alitati1as

Si tenemos una variable cuantitativa discreta o una variable cualitativa, la

podemos resumir en una tabla ue recibe el nombre de distribuciones de

!recuencias" #ara ellos revisemos las si$uientes de%niciones&

Frecuencias absolutas"fi

'as !recuencias absolutas es el n(mero de veces ue se repite un dato" 'as

simboli)aremos con la letra *e!e+ min(scula& fi

'a suma de las !recuencias absolutas es i$ual al n(mero de datos n -"

n f1 ? f2 ? f3 ? >> ? fm

fi

Observe ue .emos tomado un sub/ndice

m

, debido a ue los valores ue

toma la variable, por lo $eneral son menores ue el n(mero de datos n -

#ara determinar las !recuencias absolutas se utili)a el conteo o recuento" Se

escriben los valores ordenados de la variable sin repetirlos" 'ue$o se .ace una

marca !rente a cada valor tantas veces el dato se encuentre en la lista de

datos, se recomienda .acer $rupos de cinco marcas" #ara e0plicarlo m1s


6/60

claramente, consideremos los si$uientes datos los cuales podr/an corresponder

al n(mero de .i2os de 34 !amilia observadas& 5, 6, 7, 8, 5, 8, 5, 7, 5, 8, 6, 5,7,5,

8, 5, 5

El conteo o recuento se reali)ar/a as/&

8 IIII 9 7

5 IIII III 9 :

7 III 9 ;

6 II 9 5

#or lo tanto, las !recuencias absolutas son 7, :, ;, 5, respectivamente"

'as Frecuencias Absolutas AcumuladasFi

'as !recuencias absolutas acumuladas se obtienen mediante sumas sucesivas

de las !recuencias absolutas" 'as simboli)aremos con la letra *EFE+


7/60

'as !recuencias relativas se calculan dividiendo cada !recuencia absoluta fi

-, entre el n(mero de datos n -" >eneralmente se las e0presa en porcenta2e

para su !1cil interpretaci?n" Se denotan @ de%nen as/&

hi

fi

n

fi

n100

'a suma de las !recuencias relativas es i$ual a 3 o al 388"

h

1+h

2+h

3++hm h i 3 9 388"

'as Frecuencias Relativas Acumuladas"

Hi

'as !recuencias relativas acumuladas se calculan dividiendo cada !recuencia

absoluta acumulada Fi -, entre el n(mero de datos n -" >eneralmente se

las e0presa en porcenta2e para su !1cil interpretaci?n" Se denotan @ de%nen

as/&

Hi Fi

n

Fi

n100

Otra !orma de calcular las !recuencias relativas acumuladas es mediante las

sumas sucesivas de las !recuencias relativas"

H1 h1

H2 h2+h1

H3 h3+h2+h1

>>>>>>>>>>>>>


8/60

Hm hm++h3+h2+h1 $ $##@

Observe ue la (ltima !recuencia relativa es el 388 o uno"

Con cada valor calculado procedemos a construir la distribuci?n de !recuencias,

la cual es una tabla ue contiene& la variable de estudio, las !recuencias

absolutas, las !recuencias relativas, las !recuencias absolutas acumuladas @

!recuencias relativas acumuladas" 'a !orma $eneral de una distribuci?n de

!recuencias es la si$uiente"

x i fi Fi hi Hi

x1

f1

F1 h1=

f1

n

H1

x2

f2

F2h2=

f2

n

H2

x3 f3 F3h3=

f3

n

H3

" " " " "" " " " "

xm fm Fm=n

hm=

fm

n

Hm=100=1

TOTAL n $$##@

donde,

xi : ariable de estudio

fi : Frecuencias absolutas"

Fi : Frecuencias absolutas acumuladas"

hi : Frecuencias relativas"

Hi : Frecuencias relativas acumuladas"


9/60

E2emplo&

'as pesuera m1s $rande del #uerto de Tumaco, tiene en su n?mina a 78

empleados" #or le@es del $obierno toda empresa debe dar un subsidio de

educaci?n a cada .i2o de los traba2adores" El $erente para .acer a2ustes en elpresupuesto de la empresa determina el n(mero de .i2os de los traba2adores

ue estn estudiando @ obtiene los si$uientes resultados&

5, ;, 3, 8, ;, 5, 8, 3, ;, 5, ;, 7, ;, 3, 3, 5, ;, 5, 7, 3, 8, 8, 3, 5, ;, 5, 3, 8, ;, 7, 5,

;, ;, ;, 7, 5, 3, 3, 8, 5

Construir una distribuci?n de !recuencias"

Soluci?n&

'a variable es el n(mero de .i2os de los empleados de la pesuera los cuales

estn actualmente estudiando, esta variable es cuantitativa discreta @ toma

valores de 8, 3, 5, ;, 7"

El conteo se indica a continuaci?n"

de .i2os Conteo8 IIII I 9 3 IIII IIII 9 5 IIII IIII 9 38

; IIII IIII I 9 337 IIII 9 7

Aplicando las de%niciones @ las !?rmulas respectivas se obtiene la si$uiente

distribuci?n de !recuencias"

B de;i4os

B dee*plea

dosFi hi Hi

8 36 36

3 36 55,6 ;4,6

5 38 56 56 5,6

; 33 ; 54,6 8

7 7 78 38 388

TOTA' 78 388

Anali)ando los resultados del tercer ren$l?n tenemos ue&


10/60

38empleados de la pesuera, euivalentes al 56 del total, tienen 5 .i2os

estudiando"

56empleados de la pesuera, euivalentes al 5,6del total, tienen 5 o

menos de dos .i2os estudiando"

Dist&i6(ciones de 5&ec(encias pa&a (na 1a&ia6le c(antitati1a contin(a2

Si tenemos una variable cuantitativa continua, $eneralmente los datos

repetidos van .acer mu@ pocos, @ al calcular sus !recuencias absolutas estas,

tomar1n valores de 3 o 5, en su $ran ma@or/a" En estos casos para anali)ar

este tipo de variables se recomienda a$ruparla en intervalos, clases o

cate$or/as" #or e2emplo, al clasi%car a los .abitantes de una re$i?n por su

edad, podr/amos .acer $rupos de bebes edades .asta el aGo @ medio-, de

niGos edades .asta los 38 o 35 aGos-, de adolescentes edades .asta los 3: o

53 aGos-, 2?venes edades .asta los 56 o ;8 aGos-, adultos edades .asta los

68 aGos-, ma@ores edades .asta los 8 aGos-, tercera edad edades despus

de los 8-"

#ara construir una distribuci?n de !recuencias para este tipo de variables,

consideremos las si$uientes de%niciones&

Ran$o o recorrido" Es la di!erencia entre el valor m10imo de los datos @ el valor

m/nimo"

Rango 9 R Vmximo Vmnimo

N(mero de intervalos, clase o cate$or/as& A pesar de ser un criterio delinvesti$ador el de ele$ir con cu1ntos intervalos va a traba2ar, la &e,la deSt(&,es, propuesta por Herbert Stur$es, su$iere una !?rmula para determinarcu1ntos intervalos, clases o cate$or/as se debe utili)ar"

m 1+3,3log (n) ! 'a apro0imaci?n se la .ace sin decimales @

por e0ceso-

Nota& 'os intervalos ue se !orman se consideran semiabiertos por derec.a, es

decir tienen la !orma& J a , b -, este intervalo contiene todos los valores

comprendidos entre a @ b , inclu@endo a a @ e0clu@endo a b "

Al$unos autores de%nen de manera di!erente los intervalos, por e2emplo, al

considerarlo cerrado, es decir de la !orma, Ja,bK al si$uiente intervalo se debe

iniciar por lo menos 3 milsima m1s $rande ue b"


11/60

Amplitud del intervalo" c -" Es la distancia ue .a@ entre el l/mite superior @

el l/mite in!erior de cada intervalo" No necesariamente todos los intervalos

deben tener la misma amplitud" Se aconse2a usar la si$uiente !?rmula

c

rango

nmerodeintervalos

R

m , 'a apro0imaci?n se la .ace

por e0ceso" Se puede usar decimales-"

Construcci?n de los intervalos

El l/mite in!erior Linf1 -, del primer intervalo es el valor m/nimo de los datos,

@ el l/mite superior del primer intervalo L

1 -, se obtiene sumando al valor

m/nimo la amplitud" Este l/mite superior ser1 el l/mite in!erior del se$undo

intervalo, de au/ en adelante el proceso se repite .asta !ormar el (ltimointervalo"

Supon$amos ue deseamos traba2ar con 6intervalos de amplitud 7@ ue el

valor m/nimo de los datos es de 5;" 'os intervalos se !orman as/&

#rimerintervalo J5;, 5;L 7- 9 J5; , 54-

Se$undointervalo J54 , 54L 7- 9 J54 , ;3-

Tercerintervalo J;3 , ;3L 7- 9 J;3 , ;6-

Cuartointervalo J;6 , ;6L 7- 9 J;6 , ;-

Muintointervalo J; , ;L 7- 9 J; , 7;-

Conteo o recuento&

Construidos los intervalos empe)amos a ubicar cada dato en uno de ellos,

.aciendo una marca !rente al intervalo ue lo conten$a" Se recomienda .acer

$rupos de cinco marcas"

#ara e0plicarlo m1s claramente, consideremos los intervalos anteriores @ lossi$uientes datos& 56, 78, ;;, ;3, 73, 5:, ;, 75, "

El conteo o recuento comen)ar/a as/& por !acilidad utili)amos una l/nea como

marca-

J5; , 54- I

J54 , ;3- I


12/60

J;3 , ;6- II

J;6 , ;- I

J; , 7;- III

Observemos ue el dato ;3 se ubic? en el tercer intervalo@ NO en else$undo, debido a ue el se$undo intervalo contiene los datos ma@ores o

i$uales a 54 @ *eno&esue ;3" Esto debido a ue los intervalos son dela !orma Ja,b-"


13/60

donde,

Linf . & '/mite in!erior de cada intervalo

L . & '/mite superior de cada intervalo"

xi &


14/60

En la serie de datos podemos observar ue el peso m/nimo es 76P$" @ el peso

m10imo es de 385 P$", entonces

Rango 9 R Vmximo Vmnimo 385Q 76 64

N(mero de intervalos"

Aplicando la re$la de Stur$es, tenemos

m 1+3,3log (n) 1+3,3log (40) !"FF> 7

'a amplitud de cada intervalo es

c

rango

nmerodeintervalos

R

m

57

7

!$"H> :,5

'os intervalos @ el conteo o recuento se indican en la si$uiente tabla" Recuerde

ue el l/mite in!erior del primer intervalo es 76 @ su l/mite superior se obtiene

sum1ndole la amplitud de :,5" Una manera de observar r1pidamente el conteo

es ordenando los datos, as/"

76, 7, 65, 67, 66, 64, 6, 8, 3, 5, 5, 7, , , :, , 48, 48, 45, 4;, 4;,

47, 46, 46, 4, 4, 44, 4:, :8, :5, :7, :, :4, ::, :, 8, ;, 7, 4, 385"

Peso 8,ConteoLinf . L.

76 6;,5 III %6;,5 3,7 IIII I 3,7 , IIII II , 44,: IIII IIII I $$44,: : IIII

: 7,5 IIII II 7,5 385,7 II "

Con las de%niciones @ !?rmulas correspondientes construimos la si$uiente

distribuci?n de !recuencias


15/60

$istograma

%& && '& (& )& *& + ,&

peso

,

&

+,

+&

-,

-&

.,

p

o

rce

n

ta

/e

"ogono de 0recuencias para "E!1

%& && '& & )& *& +,&

peso

,

&

+,

+&

-,

-&

,

p

o

rce

n

ta

/e

Peso8J,2 Ma&cas de clasexi

B e*pleadosfi Fi

hi HiLinf . L .

76 6;,5 7,3 ; ; 4,6 4,6

6;,5 3,7 64,; 36 55,63,7 , 6,6 4 3 34,6 78, 44,: 4;,4 33 54 54,6 4,644,: : :3, 7 ;3 38 44,6: 7,5 8,3 4 ;: 34,6 6

7,5 385,7 :,; 5 78 6 388TOTAL # 388

El an1lisis de los resultados en la tabla se .ace tal como se indican para el

tercer ren$l?n, as/&

4de los empleados de la pesuera, euivalentes al 34,6tienen pesos entre

los 3,7 P$" @ , P$" #odr/amos decir ue el peso promedio de estos siete

traba2adores es apro0imadamente de 6,6 P$"

3de los empleados de la pesuera, euivalentes al 78tienen pesos entre

los 76 P$" @ , P$"

Estos resultados los podr/amos observar $r1%camente en un HISTO>RA


16/60

TERCERA UNIDAD

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL! MEDIDAS DE POSICION MEDIDASDE DISPERSION

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

'as medidas de tendencia central son valores ue en una serie ordenada de

datos *tienden+ a ubicarse en el centro" Tambin, se las conoce con el nombre

de promedios" Entre ellas tenemos&

'a media aritmtica o promedio aritmtico"'a media aritmtica ponderada"'a media $eomtrica"'a mediana"'a moda2

Media A&it*+tica o P&o*edio A&it*+tico2

Es el cociente entre la suma de los datos @ el n(mero de datos n -" Una

venta2a de este promedio es ue considera la in!ormaci?n de todos los datos, @

una desventa2a es ue es mu@ sensible a valores e0tremos"

x x in

x1+x

2+x

3++xn

n ! para datos

NO a$rupados

x (xifi )

n

x1f

1+x

2f

2++xmfm

n ! para datos

a$rupados"

Nota& De a.ora en adelante los datos NO a$rupados ser1n auellos ue se

vienen dados en una lista de datos" 'os datos A$rupados son los ue vienen

dados en una distribuci?n de !recuencias"

E2emplo"

Un clientes de un local ue vende accesorios para computador& una USB en

58"888 pesos, un mouse en 35"888 pesos, un protector de pantalla "888 pesos


17/60

@ un teclado en 34"888 pesos" El precio promedio de los cuatro productos es de

37"688" Se calcula as/&

x x in

x

1+x

2+x

3++xn

n

x 20.000+12.000+9.000+17.000

4

58.000

4 $2H##

E2emplo"

El dueGo del local del e2emplo anterior re$istr? la cantidad de los productos de

las ventas del d/a de .o@" En la si$uiente tabla se resume los precios de cadaart/culo @ las cantidades vendidas de cada producto"

#roducto #recio CantidadUSB 58"888 7


18/60

x ifix i fi

USB 58"888 7 :8"888


19/60

Como cada prueba tiene di!erente importancia *ponderaci?n o peso+, no

podemos aplicar la media aritmtica o promedio aritmtico para calcular el

punta2e de cada aspirante" Au/ debemos utili)ar la media aritmtica

ponderadaxp "

#ara calcular el punta2e promedio ponderado ue obtuvo Roberto debemos

calcularlo as/&

xp (xi i)

i

x1

1+x

2

2++xmm

1+2+3++m

680,70+720,20+800,10

0.70+0,20+0,10

70

1 48 puntos"

En la tabla se muestran los punta2es promedios ponderados xp -, para los

dem1s aspirantes"

No*6&easpi&ante

Conoci*ientos8#@

o4a de 1ida8"#@

Ent&e1ista8$#@ xp x

Roberto : 45 :8 48 4;,;'uis 46 7 4: 4;,3 45,;

os 4 43 4: :, 45

Ana 45 4; 43,6 43,;Rosa 4; 6 :: 45, 46,;

#or lo tanto, 'uis es el seleccionado para el car$o director del 1rea contable en

la alcald/a de #asto, con un punta2e promedio de 4;,3puntos"

Observemos ue calculado la media aritmtica 8 x , Rosa ser/a la

seleccionada con un punta2e de 46,; puntos, cometiendo el error de darle una

ponderaci?n de ;;,; a la entrevista @ a las otras dos pruebas cambiando as/

las re$las de selecci?n"

CorrectoIncorrec


20/60

Media Geo*+t&ica2

Se la utili)a cuando los datos crecen en pro$resi?n $eomtrica, es decir, los

datos aumentan r1pidamente"

'as !?rmulas de c1lculo son las si$uientes&

!g n

(x1x2x3xn ) n

(xi ) ! para

datos NO a$rupados

!g n

(x1f1x

2

f2x3

f3xmfm)

n

(xifi ) ! para datos

a$rupados

'os productos dentro de la ra/) suelen ser mu@ $randes, una !orma de traba2ar

con valores peueGos es utili)ando los lo$aritmos en base 38, as/&

!g antilog ( log xin ) ! para datos NO a$rupados

!g antilog( (filogxi)n ) ! para datos a$rupados

E2emplo&

Calcular la media $eomtrica de los si$uientes datos& 5, 6, 3:, "68,

Soluci?n&

!g n

(x1x2x3xn )

4

(2561989.650 )

4213"998.400 358,6


21/60

Usando lo$aritmos en base 38 se calcular/a as/&

!g antilog

(

log xi

n

)

antilog ( log2+ log56+log 198+log9.6504 )

antilog ( 0,3010+1,7482+2,2967+3,98454 ) antilog ( 8,33044 ) antilog (2,0826 ) 120,9484

Mediana

'a mediana de una serie de datos ordenadoses el valor ue se encuentra en el

centro de los datos" Otra !orma es, un valor ma@or al 68 de los datos @ es

menor ue el otro 68" 'a mediana se la utili)a cuando e0iste un valor

e0tremo o dato at/pico, en in$ls *outlier+"

El lu$ar donde se encuentra la mediana se obtiene as/&

L!e n+1

2


22/60

Soluci?n&

'a serie de datos ordenados es& 5, ;3, ;6, ;4, 8"

El lu$ar de la mediana esL!e

n+1

2=

5+1

2 ;" Esto indica

ue el tercer dato es la mediana" Es decir, la mediana es ;6"

'a interpretaci?n de la mediana es& El 68 de los planes tur/sticos cuestan

menos de ;6 d?lares @ el otro 68 cuesta i$ual o m1s de ;6 d?lares"

E2emplo&

'os pesos de los instrumentos de seis cient/%cos ue inspeccionaron al olc1n>aleras son& 76;8, 7638, 888, 7488, 788, 778 $ramos" Calcular @ anali)ar

la mediana"

Soluci?n&

'a serie de datos ordenados es& 778, 7638, 76;8, 788, 7488, 8882

El lu$ar de la mediana esL!e

n+1

2=

6+1

2 ;,6" Esto indica

ue la mediana se encuentra entre el tercer dato @ el cuarto" Es decir, la

mediana es4530+4600

2

9130

2 766" Esto si$ni%ca ue el

68 de los instrumentos vulcanol?$icos pesa menos de 766 $ramos @ el otro

68 pesa m1s de 766 $ramos"


23/60

:8 !amilias via2aron al puerto de Tumaco por una semana" El or$ani)ador @ $u/a

pre$unto cu1ntas personas por !amilia est1n de acuerdo ue la dieta para

esa semana sea a base de mariscos" 'os resultados se resumen en la

si$uiente tabla"

x i fi 8 383 575 ;8; 354 7

donde, x i : N(mero de personas ue respondieron a%rmativamente

fi : N(mero de !amilias"

Calcular @ anali)ar la mediana"

Soluci?n&

Antes de calcular la mediana complementemos la tabla con las !recuencias

absolutas acumuladas, como se observa en la si$uiente tabla"

x i fi Fi

8 38 383 57 ;75 ;8 7; 35 44 7 :8

#otal #

#ara determinar el lu$ar de la mediana aplicamos la !?rmula&

L!e n+12

80+1

2

81

2 40,5 , lo cual indica

ue la mediana se encuentra entre el dato de lu$ar 78 @ el dato de lu$ar 73"


24/60

El valor de las !recuencias absoluta acumuladas8 Fi ! inmediatamente

ma@or a 78,6 es 7 ver tabla anterior-, el cual se encuentra en el tercer

ren$l?n" #or tanto el dato ue ocupa el lu$ar 78 es 5 @ el dato ue ocupa el

dato de lu$ar 73 es 5, promediando los dos valores se obtiene ue la mediana

es 5"

'a interpretaci?n es& En el 68 de las !amilias, nin$una, una o m10imo 5

personas si desean la dieta a base de mariscos @ en el otro 68 de las

!amilias, 5 o m1s de dos personas pre%eren la dieta a base de mariscos"


25/60

4 5Calcular @ anali)ar la mediana"

Soluci?n&

Complementado la tabla, con las !recuencias absolutas acumuladas tenemos

Sala&ios *ni*os )(ese in1e&ti&an en tecnolo,a N


26/60

!e Linf . ? [(n

2Fa)fo

]c 6 L [ (26

212)12

]2 5 L [(

1312 )12 ]2 6,34 6,5 sm"

Es decir, la mediana es 6,5 salarios m/nimos2 'o cual si$ni%ca ue el 68 delas personas invertir/an anualmente en tecnolo$/a 6,5 salarios m/nimos, @ el

otro 68 de las personas invertir/an m1s de 6,5 salarios m/nimos anualmente

en tecnolo$/a"

La *oda o *odo2

!o

'a moda o modo se de%ne como el dato de ma@or !recuencia o el dato ue m1s

se repite" Si una serie de datos tiene una moda se dice ue es unimodal, si

tiene dos modas se dice ue es bimodal @ si tiene m1s de dos modas se dice

ue es multimodal"

E2emplo"

'a moda de los datos& ;, , 5, 5, 6, , 5, 4, 5, 7, 6, 5, 5 es!o=2 , el cual es

el dato de ma@or !recuencia"

E2emplo"

Una aerol/nea est1 planeando descuentos para los .i2os de sus clientes" Se

reali)? un estudio a un $rupo de 78 clientes, en el cual la variable de inters

!ue el n(mero de .i2os por cliente" Se obtuvo la si$uiente in!ormaci?n

N


27/60

'a moda es!o=2 , @a ue es el n(mero de .i2os ue se repite con ma@or

!recuencia, en este caso se presenta en 36 clientes"


28/60

56 ;8 35;8 ;6 3:;6 78 3678 76 38

Calcular @ anali)ar la moda"

Soluci?n&

'a ma@or !recuencia es 3: @ corresponde al tercer ren$l?n" Este intervalo

recibe el nombre de clase modal, en el cual se tiene ue&

Linf . ;8

&1 3: Q 35 9

&2

3: Q 36 9 ;c ;6;8 9 6

Rempla)ando en la !?rmula de la moda tenemos&

!o Linf . ? ( &1&1+&2 )

c 30 L ( 66+3 )

5

30 L ( 69 )5 ;;,; aGos"

'o cual indica ue la edad ue m1s se repite entre los empleados de la

empresa de turismo es de ;;,; aGos"

Nota& Se debe aclarar ue en la construcci?n de datos a$rupados con

intervalos se pierde in!ormaci?n, esto implica ue si tuviramos la lista de

datos posiblemente la edad ue m1s se repite podr/a ser otro valor, puesto ue

si los 3: empleados de la clase modal todos tienen edades di!erentes @ los 6

empleados del primer intervalo tiene la misma edad, entonces la moda

cambiar/a"


29/60

'AS


30/60

Son tres valores (: 3, 5, ;- ue dividen al ran$o o recorrido en cuatro

partes i$uales, cada una de ellas euivalente al 56"

El lu$ar de cada cuartil se calcula con la si$uiente !?rmula"

L'( (( n+1 )

4

El cuartil se calcula as/&

'( Linf . ? [ (n(

4Fa)

fo]c

donde,

Linf . : '/mite in!erior de la clase cuartil ( Intervalo donde se

encuentra el cuartil(

-"Fa & Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartil (

fo : Frecuencia absoluta de la clase cuartil (

c : Amplitud de la clase cuartil ( Di!erencia entre el l/mite

superior @ l/mite in!erior de cada intervalo-

Como las !?rmulas son mu@ similares a las de la mediana se procede @ anali)a

de manera euivalente"

Deciles 8 )(


31/60

Son nueve valores (: 3, 5, ;, 7, 6, , 4, :, "- ue dividen al ran$o o

recorrido en die) partes i$uales, cada una de ellas euivalente al 38"

El lu$ar de cada decil se calcula con la si$uiente !?rmula"

L) ( ((n+1 )10

El decil ( se calcula asi&

)( Linf . ? [ (n(

10Fa)

fo]c

Linf . : '/mite in!erior de la clase decil ( Intervalo donde se encuentra

el decil ( -2

Fa : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase decil (

fo : Frecuencia absoluta de la clase decil (

c : Amplitud de la clase decil ( Di!erencia entre el l/mite


Como las !?rmulas son mu@ similares a la mediana @ los curtiles, se procede @anali)a de manera euivalente"

Pe&centiles

Son noventa @ nueve valores (: 3, 5, ;, , - ue dividen al ran$o o

recorrido en cien partes i$uales, cada una de ellas euivalente al 3"


32/60

El lu$ar de cada percentil se calcula con la si$uiente !?rmula&

L*( ((n+1 )

100

El percentil ( se calcula as/&

*( Linf . ? [(n(100

Fa)fo

]cdonde,

Linf . : '/mite in!erior de la clase percentil ( Intervalo donde se

encuentra el percentil ( -2

Fa : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase percentil (

fo : Frecuencia absoluta de la clase percentil (

c : Amplitud de la clase percentil ( Di!erencia entre el l/mite


Como las !?rmulas son mu@ similares a la mediana, los cuartiles @ los deciles,se procede @ anali)a de manera euivalente"

E2emplo&

Se reali)? un estudio en el cual se pre$untaba de las utilidades mensuales ue

ten/an 76 empresas catalo$adas como las m1s $randes del pa/s" #or convenio

con las empresas no se debe publicar sus nombres ni muc.o menos

directamente el valor in!ormado, por lo tanto se constru@? una distribuci?n de

!recuencias con intervalos" 'os resultados se muestran en la si$uiente tabla"

Utilidad *ens(al8*illones de pesos B de e*p&esas

Linf . L . fi Fi

5 6 7 76 : 38 37: 33 36 5


33/60

33 37 3; 7537 34 ; 76

#$#%L H

Calcular @ anali)ar '3 , )4 , *29 2

Sol(ci.n2

C0lc(lo del c(a&til %2 Euivalente al 46 de los datos-"

'u$ar del cuartil 3

L'3 ((n+1 )4 3(45+1 )4 1384 ;7,6" Esto

indica ue el'

3 se encuentra entre el dato de lu$ar ;7 @ el dato de lu$ar

;6" Adem1s, la !recuencia absoluta acumulada inmediatamente ma@or a ;7,6

es 75, correspondiente al cuarto intervalo"


Linf . L . fi Fi

5 6 7 76 : 38 37: 33 36 533 37 3; 7537 34 ; 76

#$#%L H

#or lo tanto

Linf . 33

Fa 5

fo 3;

c 37 Q 33 ;


34/60

Rempla)ando en la !?rmula tenemos,

'3

Linf . ?

[(n(4 Fa

)fo ]c

11 L

[ (453

429

)13 ]V;

35,8367

Esto si$ni%ca ue el 46 de las empresas m1s $randes del pa/s, tienenutilidades mensuales in!eriores a 35W8"367 pesos @ el 56 de las empresas

m1s $randes del pa/s tienen utilidades mensuales superiores a 35W8"367"

C0lc(lo del decil 2 Euivalente al 78 de los datos-"

'u$ar del decil 4

L) 4 ((n+1)

10

4(45+1 )10

184

10 3:,7" Esto

indica ue el)

4 se encuentra entre el dato de lu$ar 3: @ el dato de lu$ar

3" Adem1s, la !recuencia absoluta acumulada inmediatamente ma@or a 3:,7

es 5, correspondiente al tercer intervalo"


Linf . L . fi Fi

5 6 7 76 : 38 37: 33 36 533 37 3; 7537 34 ; 76

#$#%L H

Po& lo tanto

Linf . :

Fa 37

fo 36


35/60

c 33 Q : ;


)4 Linf . ? [(

n(

10Fa)

fo]c 8 L [ (

45410

14 )15 ] V;

:,:

Esto si$ni%ca ue el 78 de las empresas m1s $randes del pa/s, tienen

utilidades mensuales in!eriores a :W:88"888 pesos @ el 8 de las empresas

tienen utilidades mensuales superiores a :W:88"888"

C0lc(lo del pe&centil "F2 8Euivalente al 5 de los datos-"

'u$ar del percentil 5

L*29 ((n+1)

100

29(45+1 )100

1334

100 3;,;7"

Esto indica ue el*29 se encuentra entre el dato de lu$ar 3; @ el dato de

lu$ar 37" Adem1s, la !recuencia absoluta acumulada inmediatamente ma@or a3;,;7 es 37, correspondiente al se$undo intervalo"


Linf . L . fi Fi

5 6 7 76 : 38 37: 33 36 533 37 3; 7537 34 ; 76

#$#%L H

#or lo tanto

Linf . 6


36/60

Fa 7

fo 38

c : Q 6 ;


*29 Linf . ? [ (

n(

100Fa)

fo]c 5 ? [ (

4529100

4)10 ] %

!$H

Esto si$ni%ca ue el 5 de las empresas m1s $randes del pa/s, tienen

utilidades mensuales in!eriores a 4W436"888 pesos @ el 43 de las empresas

tienen utilidades superiores a 4W436"888"

RANGO PERCENTIL 8 (

En el e2emplo anterior nos podr/amos pre$untar Mu porcenta2e de las

empresas tienen utilidades in!erior a 38W688"888 pesos mensuales"

Estas pre$untas se resuelven calculando el ran$o percentil ( , mediante la

si$uiente !?rmula, ue se obtiene al despe2ar ( de la !?rmula de los

percentiles"

(

[(*(Linf .

c

)fo+Fa

]100

n

donde!

*( : #ercentil ( , este valor se ubica en los intervalos @ me determina

la clase ran$o percentil


37/60

Linf . : '/mite in!erior de la clase ran$o percentil"

Fa : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase ran$o percentil"

fo : Frecuencia absoluta de la clase ran$o percentil"

c : Amplitud de la clase ran$o percentil" Di!erencia entre el l/mite

superior @ l/mite in!erior de la clase ran$o percentil-

E2emplo&

Resolvamos la pre$unta& Mu porcenta2e de las empresas m1s $randes del

pa/s tienen utilidades in!erior a 38W688"888 pesos mensuales"

Soluci?n"

Se$(n la in!ormaci?n del problema los 38W688"888 pesos, euivalentes a 38,6

millones de pesos, corresponde a*( 38,6 el cual se encuentra en el

tercer ren$l?n de la tabla"


Linf . L . fi Fi

5 6 7 76 : 38 37

: 33 36 533 37 3; 7537 34 ; 76

#$#%L H

De donde se tiene ue&

*( 38,6


38/60

Linf . :

Fa 37

fo 36

c 33 Q : 9 ;

Rempla)ando en la !?rmula del ran$o percentil se tiene

( [(*(Linf .

c )fo+Fa]100n

= [(

10,58

3 )15+14]10045

[(2,5

3)15+14]10045

[26,5 ]100

45 6:,

Es decir, ue el 6:, de las empresas m1s $randes del pa/s tienen unas

utilidades in!eriores a 38W688"888 pesos mensuales @ el 73,3 de las empresas

tienen utilidades superiores a 38W688"888 pesos mensuales"

LAS MEDIDAS DE DISPERSION! VARIACION oDESVIACION


39/60

'as medidas de tendencia central, NO indican ue caracter/stica tienen los

datos en cuanto a si son parecidos, .omo$neos o tienen poca variabilidad- o

si son mu@ distintos .etero$neos o tienen variabilidad considerable-" 'as

medidas de dispersi?n son las ue me indican ue tanta variabilidad tienen los

datos"

'as medias de dispersi?n, variaci?n o desviaci?n ue estudiaremos ser1n& El

ran$o o recorrido, la desviaci?n media, la varian)a, la desviaci?n est1ndar @ el

coe%ciente de variaci?n"

El &an,o o &eco&&ido

Es la di!erencia entre el valor m10imo de los datos @ el valor m/nimo"

Rango R Vmximo Vmnimo Vmx.

Vmn.

Si el ran$o es mu@ $rande @ tenemos mu@ pocos datos, se puede decir, ue los

datos tienen muc.a variabilidad" #ero si el ran$o es peueGo @ tenemos

muc.os datos, estos tienen poca variabilidad o son .omo$neos"

Aunue esta medida es mu@ !1cil de calcular su interpretaci?n es mu@

sub2etiva, adem1s, (nicamente utili)a los valores e0tremos @ no considera los

otros datos"

Des1iaciones con &especto a la *edia2

Estas no son medidas de dispersi?n, pero se las utili)a para las calcular la

desviaci?n media @ la varian)a las cuales las estudiaremos a continuaci?n"

'as desviaciones respecto a la media es la di!erencia entre cada dato @ la

media aritmtica de los datos, se pueden simboli)ar como& (xix ) ! indican

ue tan distante se encuentra cada dato con respecto a la media aritmtica" Si

la di!erencia es ne$ativa el dato se encuentra a la i)uierda de la media @ si espositiva el dato se encuentra a la derec.a de la media, si es cero el dato es

i$ual a la media"

Una propiedad de las desviaciones respecto a la media es ue la suma de

todas ellas es i$ual a cero, es decir,


40/60

(x ix ) #! para datos NOa$rupados

[(xix)fi ] #! para datos a$rupados

E2emplo&

Calcular las desviaciones respecto a la media de los si$uientes datos& , 7, ;, 4,

5"

Soluci?n&

'a media aritmtica de los cinco datos es,

x

xin

x1+x

2+x

3++xn

n

6+4+3+7+2

5

22

5

!

En la si$uiente tabla se calculan las desviaciones respecto a la media @ se

comprueba la propiedad"

x i xix

Q 7,7 9 L3,7 7 Q 7,7 9 8,7

; ; Q 7,7 9 3,74 4 Q 7,7 9 L5,5 5 Q 7,7 9 5,7TOTAL (xix ) #

Des1iaci.n *edia

'a desviaci?n media es el promedio de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media aritmtica" Dic.o de otra manera, es elcociente entre la suma de los valores absolutos de las desviaciones respecto a

la media @ el n(mero de datos" 'as !?rmulas correspondientes son:

)! |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n !

para datos NO a$rupados"


41/60

)! [|x ix|fi ]

n

|x1x|f1+|x2x|f2+|x3x|f3++|xmx|fmn ! para datos a$rupados"

E2emplo&

Calcular la desviaci?n media de los si$uientes datos& , 7, ;, 4, 5"

Soluci?n&

'a media aritmtica de los cinco datos es,

x xi

n

x1+x

2+x

3++xn

n

6+4+3+7+25

22

5

7,7

En la si$uiente tabla se calculan las desviaciones respecto a la media, sus

valores absolutos @ los totales"

x i x ix |xix|

Q 7,7 9 L3, 3,7 7 Q 7,7 9 8,7 8,7; ; Q 7,7 9 3,7 3,74 4 Q 7,7 9 L5, 5,5 5 Q 7,7 9 5,7 5,7#$#%L (x ix ) # |xix| !

De la tabla se obtiene ue&)!

|xix|n

8,4

5

3,:"

Otra manera de calcularla es


42/60

)! |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n

|64,4|+|44,4|+|34,4|+|74,4|+|24,4|5

1,6+0,4+1,4+2,6+2,4

5

8,4

5 3,:"

Este valor indica ue la distancia promedio a cada uno de los datos con

respecto a la media aritmtica es de 3,: unidades" Es decir, ue en promedio,

los datos se separan de la media en 3,: unidades.Adem1s, podr/amos

ase$urar ue en distribuciones normalesestas distribuciones se estudiar1n en

las unidades de probabilidad-, ue la ma@or/a de los datos se encuentran entre

x)!+ x+)!

VARIANA

Se podr/a de%nir la varian)a como un promedio de los cuadrados de las

desviaciones respecto a la media, o como el cociente entre la suma de los

cuadrados de las desviaciones respecto a la media @ el n(mero de datos" 'as

unidades de la variable de estudio uedan elevadas al cuadrado @ carecen de

si$ni%cado real, por tanto, la varian)a no tiene interpretaci?n" 'a varian)a es el

medio para calcular la desviaci?n est1ndar"

'as !?rmulas respectivas para el c1lculo de la varian)a son&

Va&ian/a co&&e,ida

s2

(xix )

2

n1

(x1x )2+(x2x )

2+(x3x )

2++ (xmx )

2

n1 !


s2

[(xix )

2

fi ]n1

(x1x )2f

1+(x2x )

2f

2+(x3x )

2f

3++(xmx )

2fm

n1! para datos a$rupados2


43/60

'a varian)a corre$ida es la m1s utili)ada para calcular la varian)a de una

muestra"Se divide entre n1 , porue se est1 estimando un par1metro ue

es la media poblacional"

Va&ian/a SIN co&&e,i&

s2

(xix )2

n

(x1x )2+(x2x )

2+(x3x )2++ (xmx )

2

n!

para datos NO a$rupados

s2

[(xix )2fi ]

n

(x1x )2f1+(x2x )

2f2+(x3x )2f3++(xmx )

2fmn

! para datos a$rupados

DESVIACION ESTANDAR o TPICA

'a desviaci?n est1ndar o desviaci?n t/pica es la ra/) cuadrada positiva de la

varian)a" 'as unidades de la desviaci?n est1ndar son las mismas de la variable

de estudio, @ por este .ec.o tiene interpretaci?n" Nos indica cu1nto pueden

ale2arse los datos respecto a la media aritmtica, dic.o de otra manera, ladesviaci?n est1ndar es una medida del $rado de dispersi?nde los datos conrespecto al valor promedio" Esta medida es m1s estable ue el ran$o o

recorrido @ toma en consideraci?n el valor de cada dato"

Des1iaci.n est0nda& co&&e,ida

s s2

varianacorregida (xix )

2

n1!

para datos NO a$rupados


44/60

s s2

varianacorregida [(xix )2fi ]

n1!

para datos a$rupados

Des1iaci.n est0nda& SIN co&&e,i&

s s2

variana sincorregir (x ix )

2

n!


s

s2

variana sincorregir

[(xix )2fi ]

n! para datos a$rupados"

COE'ICIENTE DE VARIACION

El coe%ciente de variaci?n es una medida de dispersi?n @ se de%ne como el

cociente entre la desviaci?n est1ndar @ la media aritmtica" Este carece deunidades @ por tanto se puede e0presar en porcenta2e" Su !?rmula de c1lculo

es&

-V s

x

s

x100

El-V indica ue tan dispersos se encuentran los datos con respecto a la

media aritmtica" Este es m1s preciso ue la desviaci?n est1ndar"

El Coe%ciente de variaci?n mide la dispersi?n en trminos de porcenta2e,seGala u tan $rande es la ma$nitud de la desviaci?n est1ndar respecto al

promedio del con2unto de datos ue se e0amina"

Si el-V es menor o i$ual al 58 se dice ue el promedio es representativo,

o ue los datos son .omo$neos


45/60

Si el-V es ma@or al 58, el promedio NO es representativo, o ue los datos

NO son .omo$neos

Otra interpretaci?n mu@ similar a la anterior se muestra en la si$uiente tabla

-V Interpretacin

Menos del 11% Muy homogneos

11% al 16% Homogneos

16% al 26% Heterogneos

Ms del 26% Muy heterogneos

E2emplo"

De los si$uientes datos calcular la media, la desviaci?n media, la varian)a, la

desviaci?n est1ndar @ el coe%ciente de variaci?n"

3:, 348, 3, 3:8, 34;"

Soluci?n"

Calculemos la media aritmtica

x x in

x

1+x

2+x

3++xn

n

168+170+196+180+173

5

887

5 344,7

Calculemos la desviaci?n media


46/60

)! |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n

|168177,4|+|170177,4|+|196177,4|+|180177,4|+|173177,4|

5

9,4+7,4+18,6+2,6+4,45

42,4

5 9 :,7:

Este valor indica ue la distancia promedio a cada uno de los datos con

respecto a la media aritmtica es de :,7:" Es decir, ue en promedio, los datos

se separan de la media en :,7: unidades.

Calc(le*os la Va&ian/a 8co&&e,ida

s2

(xix )2

n1

(x1x )2+(x2x )

2+(x3x )2++ (xmx )

2

n1

(168177,4 )2+(170177,4 )2+(196177,4 )2+(180177,4 )2+ (173177,4 )2

51

88,36+54,76+345,96+6,76+19,36

4

515,2

4=

35:,:

Este valor no tiene an1lisis, es el proceso para calcular la desviaci?n est1ndar"

Calculemos la desviaci?n est1ndar corre$ida-

s s2

varianacorregida (x ix )

2

n1

128,8 33,;6

Nos indica ue los datos pueden ale2arse de la media aritmtica 33,;6

unidades o ue los datos se encuentran desviados con respecto del promedio

en 33,;6 unidades"

Calculemos el coe%ciente de variaci?n"


47/60

-V s

x

s

x100

11,35

177,4 8,8;4"" ,7

Este valor es menor ue el 58, concluimos ue los datos son .omo$neos"

Se$(n la tabla de an1lisis del-V

, el ,7 es menor de 33 @ se conclu@eue los datos son mu@ .omo$neos"

E2emplo"

Un campesino del municipio del Encano, NariGo 'u$ar donde se encuentra uno

de los sitios m1s tur/sticos de NariGo, 'a 'a$una de la Coc.a o 'a$o >uamue)-,

tiene en uno de sus criaderos truc.as arco iris, a las cuales las alimenta con un

producto e0tra/do de v/sceras de las mismas truc.as sacri%cadas, dic.o

alimento es rico en prote/nas"

#ara el control de peso @ tamaGo .a instalado una tecnolo$/a (nica en el

Departamento de NariGo, en el cual con un so!tXare especial obtiene

autom1ticamente el peso @ tamaGo de cada una de ellas" El anterior %n de

semana, tomo mediciones sobre el peso en $ramos- de las truc.as de este

criadero @ obtuvo los si$uientes resultados"

Peso8,&2 B t&(c;asfiLinf . L .

346 3:6 3:6 36 ;836 586 64586 536 38;536 556 5556 5;6 36

5;6 578 38TOTAL "H#

Calcular @ anali)ar el peso promedio de las truc.as, la varian)a, la desviaci?n

est1ndar @ el coe%ciente de variaci?n"

Soluci?n&


48/60

#ara empe)ar .acer los c1lculos necesitamos determinar las marcas de clase

xi " 'ue$o reali)ando las operaciones indicadas @ las sumatorias ue

aparecen en las !?rmulas obtenemos la si$uiente tabla"

Peso8,&2 Bt&(c;as

fi

xi x ifi xix (x2x )2 (x2x )

2fi

Linf . L .

346 3:6 3:8 3"58 54,: 4,3:57 ":6,733:6 36 ;8 38 6"488 34,: ;35,6:57 ";44,74536 586 64 588 33"788 4,: 6:,:57 ;";3,:586 536 38; 538 53";8 5,;5 6,;:57 667,;:45536 556 5 558 6"458 35,;5 363,4:57 ;"7,;757556 5;6 36 5;8 ;"768 55,;5 7:,3:57 4"745,4;

5;6 57638

578 5"788 ;5,;53"877,6:5

7 38"776,:57TOTAL "H# 63"58 75"867,7

Nota& Esta tabla se constru@e !1cilmente en la .o2a electr?nica, usando las

operaciones como !?rmulas de E0cel"

Calc(le*os la *edia a&it*+tica

x xifi

n

51.920

250 584,:

Esto si$ni%ca ue el peso promedio de las 568 truc.as ue .a@ en el criadero

es de 584,: $ramos"

Calc(le*os la Va&ian/a corre$ida-

s2 (xix )

2

fin1 42.054,42501 3:,:

Este valor no tiene an1lisis porue las unidades de este valor son $ramos al

cuadrado"


49/60

Calc(le*os la des1iaci.n est0nda&corre$ida-

s s2

varianacorregida (x ix )

2fi

n1

168,89 35,64 3;

Nos indica ue los pesos de las truc.as pueden ale2arse del peso promedio 3;

$ramos, o ue los pesos de las truc.as se encuentran desviados con respecto

del peso promedio en 3; $ramos"

Nota: Si el peso de las truc.as se distribu@en normalmente consultardistribuci?n normal- se puede a%rmar ue apro0imadamente un :,5 de las

truc.as tiene pesos entre 584,: Q 3; @ 584": L 3;, es decir, .a@ un $ran

porcenta2e de truc.as cu@os pesos se encuentran entre 37,: $ramos @

558,: $ramos"

Calculemos el coe%ciente de variaci?n"

-V s

x

s

x100

13

207,68 8,85 ,5

Este valor es menor ue el 58, concluimos ue los pesos de las truc.as arco

iris del criadero son .omo$neos, es decir, los pesos de las 568 truc.as del

criadero tienen poca variabilidad" Se$(n la tabla de an1lisis del -V , el

,5 es menor de 33 @ se conclu@e ue los pesos de las truc.as son mu@

.omo$neos"

CUARTA UNIDAD

GRA'ICOS ESTADISTICOS

Una manera de representar la in!ormaci?n es mediante los $r1%cos

estad/sticos" Estos a@udan de manera r1pida a revisar la descripci?n de los

datos"


50/60

'os $r1%cos m1s comunes son&

El $r1%co o dia$rama de barras .ori)ontales, verticales o en componentes-El $r1%co o dia$rama de l/neas o tra)os"El $r1%co o dia$rama de sectores, circular, de torta o de pastel"'os #icto$ramas"

El dia$rama de Ca2as @ Bi$otes"El Histo$rama"El pol/$ono de !recuencias'as o2ivas o pol/$ono de !recuencias acumuladas"

Ha@ otros $r1%cos ue se utili)an se$(n la disciplina, tales como los

carto$ramas ue se utili)an en las ciencias sociales, la curva de 'oren) ue

e0plica el Coe%ciente de >ini, el cual lo utili)an los economistas" EYCE',

STAT>RA#HICS @ S#SS, en la $aler/a de $r1%cos presenta una $ran variedad

de $r1%cos e incluso en ;D" Otros pauetes estad/sticos presentan $r1%cos

especiales como las caras de C.ernoZ @ estrellas utili)ados para an1lisis de

datos multivariados"

Cada tipo de $r1%co est1 destinado para una labor espec/%ca" Con la pr1ctica

@ de acuerdo a tus necesidades determinar1s cual utili)ar se$(n tus datos"

El $r1%co o dia$rama de barras .ori)ontales, verticales o en componentes-

Es un $r1%co ue utili)a rect1n$ulos .ori)ontales o verticales llamados barras"

El anc.o de cada barra es arbitrario, pero se debe tener en cuenta ue nin$unade ellas se debe cru)arse o *solaparse+ con otra" El alto de cada barra dependede las !recuencias de los datos" >eneralmente los valores de las variables seubican en el e2e Y, @ las !recuencias en el e2e = $r1%co vertical-" Cuando sevan a anali)ar dos o m1s variables el $r1%co recibe el nombre de $r1%co debarras en componentes, tambin se pueden comparar la misma variable endos periodos distintos con este tipo de $r1%cas"

E2emplo&

Se re$istr? en el primer semestre del aGo 5833, la cantidad de USB ue sevendieron en un local donde se comerciali)a accesorios para #C, estos re$istrosse reali)aron en cada uno de los meses" 'a in!ormaci?n se observa en lasi$uiente tabla"

Mes Cantidad de US3 1endidas8*iles


51/60

enero 56!ebrero 35mar)o ;:abril 7ma@o 35

2unio 5:

Construir un dia$rama de barras"

Soluci?n"

El $r1%co de barras verticales es el si$uiente" Si ueremos las barras.ori)ontales, ubicamos los meses en el e2e =, @ la cantidad de USB vendidas enel e2e Y-"

enero !ebrero mar)o abril ma@o 2unio

5635

;:

7

35

5:

Cantidad de US3 1endidas

E2emplo&

Se re$istr? en el primer semestre de los aGos 5833 @ 5835, la cantidad de USBue se vendieron en el mismo local del e2emplo anterior, estos re$istros sereali)aron en cada uno de los meses" 'a in!ormaci?n se presenta en lasi$uiente tabla"


52/60

Mes Cantidad de US3 1endidas"#$$

Cantidad de US3 1endidas"#$"

enero 56 46!ebrero 35 7mar)o ;: 68abril 7 :7ma@o 35 58

2unio 5: 65

Construir un dia$rama de barras en componentes

Soluci?n"

El $r1%co de barras en componentes es el si$uiente" Observa ue si tenemosdos variables en cada valor del e2e Y, se $ra%can dos barras" Si se tienen trescomponentes se deber1n $ra%car tres barras, etc"

El $r1%co o dia$rama de l/neas o tra)os"

Es un $r1%co ue para tra)arlo se ubican puntos en el plano cartesiano @ lue$ose los une mediante se$mentos de recta, llamados tra)os"


53/60

E2emplos" eamos la in!ormaci?n de los dos e2emplos anteriores en undia$rama de l/neas"

Cantidad de US3 1endidas "#$$

El $r1%co o dia$rama de sectores, circular, de torta o de pastel"

Se utili)a cuando la unidad se puede subdividir" 'a in!ormaci?n la podemosrepresentar en un c/rculo en el cual se muestra la proporci?n o porcenta2eeuivalente a cada parte"

#ara determinar dic.o porcenta2e .acemos corresponder el total al 388 @mediante regla de tres simple directadeterminamos el porcenta2e ue euivalecada parte"

#otal 388

parte x


54/60

De !orma similar .aciendo corresponde el total a ;8[ del c/rculo @ aplicandoregla de tres simple directadeterminamos cu1ntos $rados le corresponde acada parte"

#otal ;8[

parte x

E2emplo"

'a !acultad de Econom/a de una universidad est1 compuesta por& estudiantes,docente, administrativos @ servicios $enerales" Si las cantidades de personasen cada estamento son las ue aparecen en la si$uiente tabla, representemosesta in!ormaci?n mediante un dia$rama circular"

Esta*entos CantidadEstudiantes :88Administrativos 388Docente ;78Servicios >enerales :8

TOTAL $%"#

Soluci?n"

Calculando los porcenta2es @ los $rados para cada estamento, @ poder tra)ar el

$r1%co sin usar .erramientas in!orm1ticas tenemos los si$uientes resultados"

Esta*entos CantidadPo&cent

a4es G&ados

G&adosAc(*(la

dosEstudiantes :88 8, 53: 53:

Administrativos 388 4, 54 576

Docente ;78 56,: ; ;;:

Servicios>enerales

:8,3 55

;8

TOTAL $%"# $##@ %#


55/60

El dia$rama circular es el si$uiente, presentado en tres dimensiones

3:

5

Pe&sonal 'ac2 Econo*a

Estudiantes Administrativos Docente

Servicios >enerales

'os #icto$ramas"

Es una manera de representar la in!ormaci?n, mediante ob2etos o %$uras" Acada %$ura completa se le asi$na un valor al inicio del $r1%co" Esta debee0plicarse por s/ sola"

El si$uiente $r1%co es un picto$rama ue representa la cantidad de turistasue visitaron la 'a$una de la Coc.a 'a$o >aume), NariGo- los primeros cuatromeses del aGo"

9 6"888 turistas

Enero& """"""36"888 turistas

Febrero&""38"888 turistas


56/60

Si se necesitar1 $ra%car 3;"888 turistas en el mes de !ebrero se $ra%car/a 5%$uras de un turista completas @ una parte de otra"

El dia$rama de Ca2as @ Bi$otes"

Este $r1%co se utili)a para anali)ar variabilidad de los datos @ simetr/a, adem1sme determina datos at/picos *outlier+"

NOTA" #ara comprender los trminos usados en este $r1%co, remitirse a lasesi?n de medidas de posici?n"

En una serie ordenada de datos o en datos a$rupados podemos calcular los

tres cuartiles los cuales dividen al ran$o en cuatro partes i$uales" Se aclara ueel se$undo cuartil es i$ual a la mediana" Calculados estos valores construimos

una ca2a entre el cuartil 3 '

1 - @ el cuartil ; '

3 -, con un anc.o

arbitrario, en medio de la ca2a se ubica el se$undo cuartil '2 - o mediana"

'ue$o se encuentran dos valores1 @

2 de la si$uiente !orma&

1 '11,5('3'1 )

2

'3+1,5('3'1 )

En el medio del anc.o de la ca2a se tra)a una se$mento de recta .asta lle$ar a

1 @ otro se$mento de recta al otro lado de la ca2a .asta lle$ar a 2 2

Estos se$mentos de recta reciben el nombre de bi$otes"

E2emplo"

Construir un dia$rama de ca2as @ bi$ote para representar los si$uientes datos&

76, 7, 65, 67, 66, 64, 6, 8, 3, 5, 5, 7, , , :, , 48, 48, 45, 4;, 4;,

47, 46, 46, 4, 4, 44"

Soluci?n&

El lu$ar de un cuartil viene dado por&


57/60

L'( ((n+1 )

4 ! el cual representa la posici?n del cuartil(

Entonces tenemos

L'1 ((n+1)

4

1(27+1 )4

4, el sptimo dato es el cuartil

3,'

1= HF

L'2 ((n+1 )

4

2(27+1 )4

37, el dato de lu$ar 37 es el

cuartil 3,'1=

L'3 ((n+1)

4

3(27+1 )4

53, el dato de lu$ar 53 es el

cuartil 3,'1= %

Nota& Si los lu$ares de los cuartiles no son e0actos, se promedian los dosvalores o m1s correctamente se interpolan para encontrar el valor del cuartil"#or e2emplo si el lu$ar del cuartil 3 !uera 4,56 indicar/a ue este cuartil seencuentra entre el dato de lu$ar siete @ el dato de lu$ar :, lo cual indica ue elcuartil 3, se calcular/a promediando as/& 6L8-\5 9 6,6" #ero siinterpolamos se calcular/a as/& 6L8,56V86- 9 6,56" #odemos observarue el (ltimo resultado es el m1s correcto"

A.ora calculemos los bi$otes,

1 '11,5('3'1 ) HF Q $!H8% Q HF %

2 '3+1,5('3'1 )= % ? $!H8%HF F

Como los bi$otes sobrepasan al valor m/nimo 76- @ al valor m10imo 44- delos datos, los bi$otes toman estos valores& 76 @ 44" Esto si$ni%ca ue no

e0isten valores at/picos"

El $r1%co apro0imado es el si$uiente


58/60

GrficodeCa/a 23igotes

%& && '& & )&

peso45g

GrficodeCa/a23i gotes

6nter7alos deconfian8a del *&9para la mediana: ;'+++,% ,))*'

MODULO ESTADISTICA DESCRIPTIVA 9 feb 2014.docx

Documents

Transcript of MODULO ESTADISTICA DESCRIPTIVA 9 feb 2014.docx