TEOREMA DE BAYES

 Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es

Reverendo Thomas Bayes.Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes.

7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad.

Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo.

Miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia probabilística.Publicó los trabajos:

Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731)An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst (1736)En 1763, dos años después de su muerte, se publica :Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la técnica bayesiana.

Desarrollo del Teorema

Sea S un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,

S= A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn

 

 

 

 

 

Luego si ocurre un evento B definido en S, observamos que;

B=SÇB=(A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB

B=(A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

P(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la

P(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai)

Es decir que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;

P(B)=P(A1)P(B½A1)+P(A2)P(B½A2)+P(A3)P(B½A3)+P(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

A1

A2

A3

A4 An

S

B

)AB(p)An(p....)AB(p)A(p)AB(p)A(p

)AiB(p)Ai(p

)B(p

)BAi(p)B|Ai(P

n

Ç

2211

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Ejemplos:

Un problema que nos sirve de introducciónEn un distrito universitario los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.

Como Sea T el suceso "finalizar los estudios".Como

E = A1 o A2 o A3 T = (T y E) = T y (A1 o A2 o A3) =

= (T y A1) o (T y A2) o (T y A3) resulta

p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3) y por tanto

p(T) == p(A1) × p(T/A1) ++ p(A2) × p(T/A2) ++ p(A3) × p(T/A3)

Vemos todo esto mediante un diagrama de flujo y calculamos la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya terminado los estudios.

Si A1, A2, y A3 son, respectivamente, los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar economía" resulta

p(Ai) = 1 y los sucesos A1, A2, y A3 son incompatibles (no existen estudiantes que cursen dos carreras).Además

E = A1 o A2 o A3 En estas condiciones podemos aplicar el razonamiento de la columna de la izquierda.

A partir del razonamiento anterior podemos enunciar el siguiente teorema que es conocido como teorema de la probabilidad total

Si los sucesos A1, A2, A3 ... An son una partición ( ) del

espacio muestral E y T un suceso de S, entonces

Otro ejemplo y una preguntaLa fábrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso.Si D es el suceso "seleccionar un envase defectuoso" y (no D) = "seleccionar un envase no defectuoso", el diagrama siguiente nos muestra el camino

Aplicando el teorema anterior resulta: p(D) = p(A y D) + p(B y D) = p(A) × p(D/A) + p(B) × p(D/B) = 0,028

Y ahora la pregunta ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B?Es decir, sabemos que la botella seleccionada es defectuosaLa respuesta a dicha cuestión viene dada por la denominada fórmula de Bayes

Probabilidad de que provenga de la máquina ACalculamos la probabilidad p(A/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina A en el supuesto que el envase es defectuoso:

Probabilidad de que provenga de la máquina BCalculamos la probabilidad p(B/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina B en el supuesto que el envase es defectuoso:

Las expresiones

son las de la "fómula de Bayes" para cada uno de las preguntas formuladas. Estas expresiones pueden generalizarse facilmente para un conjunto finito de sucesos con las condiciones indicadas.

Podemos hacernos ahora varias preguntas que son fáciles de contestar. Por ejemplo:

¿Si el envase no es defectuoso, qué probabilidad hay de que provenga de la máquina A?. ¿Y de la B?.O bien, teniendo en cuenta el primer ejercicio, ¿si un alumno seleccionado ha finalizado la carrera, qué probabilidad hay que haya estudiado arquitectura?. ¿Y medicina?

Y además ya estamos en condiciones de resolver el problema enunciado en la portada.

En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?. ¿Y azul?.

Un diagrama nos aclara la situación

En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.(a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?.(b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B?.

Según la estadística de los resultados en las Prueba de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es de 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el número de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un 75% de estos.(a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?.(b) Sabiendo que una persona ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón?.

2. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Solución:

Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

 

8% D43% A

92% ND

26% B 2% D

98% ND

31% C 1.6% D

98.4% ND

 

a. a.       Definiremos los eventos;

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)

P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016)

= 0.0052/0.04456

=0.116697

 

b. b.      ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona)

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

 

P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A) + p(B)p(ND½B) + p(C)p(ND½C)

= 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984)

= 0.30504/0.95544

=0.31927

1. 2.      Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Inn?

2. 3.      Solución: Haciendo uso de un diagrama de árbol;2.8% Q

 18.5% PS

97.2% NQ

1.0% Q

32% S

99.0% NQ

4.0% Q

49.5% FI

96.0% NQ

 

a. a.       NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicómoro

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

 

P(NQ) = p(PS)p(NQ½PS) + p(S)p(NQ½S) + p(FI)p(NQ½FI) =

= 0.185*0.972 + 0.32*0.99 + 0.495*0.96

= 0.17982 + 0.3168 + 0.4752

= 0.97182

b. b.      NQ = evento de que un visitante no se queje del servicio

PS = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol

S = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Sicomoro

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

 

P(PS½NQ)=p(PSÇNQ)/p(NQ)

=(0.185*0.972)/(0.185*0.972+0.32*0.99+0.495*0.96)=

= 0.17982/(0.17982 + 0.3168 + 0.4752)

= 0.17982/0.97182

= 0.1850342

c. c.       Q = evento de que un visitante se queje del servicio

FI = evento de que un visitante haya sido hospedado en el hotel Fiesta Inn

P(FI½Q) = p(FIÇQ)/p(Q)

= 0.495*0.04/(0.185*0.028 + 0.32*0.01 + 0.495*0.04)

=0.0198/( 0.00518 + 0.0032 + 0.0198)

= 0.0198/0.02818

= 0.7026