Morfología Para El Diseño II, Parte 2 (1)

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    Unidad IV.Anaformismo

    Lmina 9. Terica. Definiciones.(Bibliografa: http://tejiendoelmundo.wordpress.com/tag/anaformismo/)

    Anaformismo.

    Una anamorfosis o anamorfismo es una deformacin reversible de una imagenproducida mediante un procedimiento ptico (como por ejemplo utilizandoun espejo curvo), o a travs de un procedimiento matemtico. Es un efectoperspectivo utilizado en arte para forzar al observador a un determinadopunto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra

    una forma proporcionada y clara. La anamorfosis fue un mtodo descrito enlos estudios dePiero della Francesca sobre perspectiva.

    Esta tcnica ha sido utilizada ampliamente en elcine,con ejemplos como elCinemascope,en el que mediante lentes anamrficos se registran imgenescomprimidas que producen una pantalla ancha al ser descomprimidasdurante la proyeccin.

    Anamorfosis en un espejo cilndrico del dibujo de una silla.

    Dibujo sin perspectiva

    En esta representacin del siglo XII, que no posee perspectiva ptica, donde elcastillo se encuentra empequeecido por los guerreros, en donde los barcossituados en la zona superior del cuadro - que se supone se hallan muy distantesen el horizonte - son tan grandes como los situados en primer trmino. En estecaso no existe anamorfosis en el plano cartesiano ni siquiera por causa de laperspectiva ptica.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Artehttp://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cinehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cinemascopehttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorphosis_chair.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cinemascopehttp://es.wikipedia.org/wiki/Cinehttp://es.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francescahttp://es.wikipedia.org/wiki/Arte
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    Escena sin perspectiva.

    Este cuadro carece totalmente deperspectiva y por ende no tienepunto defuga,y al no existir anamorfosis elplano cartesiano no se deforma. Y tanto en

    la lontananza como en la cercana los valores de X e Y mantienen lamisma magnitud, pues no hayPerspectiva cnica.

    La anamorfosis en la pintura

    Los EmbajadoresEl cuadro deLos Embajadores deHans Holbein el Joven contiene a los pies dela tabla la anamorfosis de una calavera, como ejemplo de vanidad. Estpintada de manera que slo podemos reconocerla con una vista rasante.

    Para corregir la deformacin y poder observar la calavera sin la utilizacin deun medio informtico, nos podemos valer del dorso de una cuchara. Demanera que el reflejo sobre la superficie curva y reflectante de la cuchara,corrige el efecto de la perspectiva en la pintura.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Perspectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fugahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fugahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Embajadoreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Hans_Holbein_el_Jovenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Dibujo_sin_perspectiva.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hans_Holbein_el_Jovenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Los_Embajadoreshttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_c%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fugahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fugahttp://es.wikipedia.org/wiki/Perspectiva
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    Cuadro de los embajadores donde se puede observar la anamorfosis de lacalavera. Uso de una cuchara para corregir la deformacin.

    La representacin, en la pintura, del espacio curvo de Bernhard Riemann

    De lo deforme a normal, y viceversa.

    El cuadro de la izquierda en s est distorsionado por completo. Pero cuandose mira por un espejo en forma de tubo de quinqu las imgenes retornan a suforma normal. El artista, al pintar no mira directamente la realidad sino que lohace guiado solamente por lo que se refleja en un espejo curvo.

    Bernhard Riemann se ocup de los espacios curvos. En dicho espacio semuestran las trayectorias ms cortas entre puntos son lneas curvas, lostringulos se modifican al moverlos y la suma de sus ngulos interiores, en lugarde ser 180 grados, vara cuando los tringulos se trasladan.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorfosis03.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_spoon_trick.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Skull-Ambassadors.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorfosis03.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_spoon_trick.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Skull-Ambassadors.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorfosis03.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_spoon_trick.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Skull-Ambassadors.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorfosis03.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_spoon_trick.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Skull-Ambassadors.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anamorfosis03.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_spoon_trick.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Skull-Ambassadors.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
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    Como consecuencia de lo anterior, la perspectiva ya no la podemosrepresentar con estirar o contraer el plano cartesiano o espacio "planoclsico", para explicar la anamorfosis, como aconteci con la elipse y elcrculo y el perro, sino que debemos recurrir a las frmulas de BernhardRiemann, y nuevamente se soluciona el problema de pasar de una

    perspectiva plana a una curva, en donde el espacio se retuerce sobre smismo, etc.

    Samuel Marolois recoge en su tratado de perspectiva de 1630 el mtodo deLaurente publicado por Danti y lo aplica al siguiente dibujo de un perro.

    Primero se ve el dibujo original cuadriculado, y despus el mismo dibujoalargado en sentido horizontal en una proporcin mayor de 3 a 1. Si miramosesta figura desde el lateral derecho con el ojo muy cerca del dibujo,observaremos que se produce un acortamiento de la figura en sentidohorizontal y, al mismo tiempo, veremos converger hacia la izquierda las lneas

    horizontales de la cuadrcula. Slo vindola desde el infinito, se obtiene unarestitucin semejante a la imagen original.

    Sin deformar. El perro en un plano con la cuadrcula deformada.

    Anamorfosis de un crculo en una elipse

    La desfiguracin de la circunferencia (con su aplastamiento distorsiona elplano cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis, que correspondea una perspectiva muy especial. El trmino anamorfosis se toma del griegoque significa "transformar".

    En el caso del crculo, el plano cartesiano est compuesto por varioscuadrados pequeos, en cambio, cuando el crculo se aplasta transformndolo en una elipseesos cuadrados se deforman quedando ms

    contrados por el eje Y, y dilatados simultneamente por el eje X, segn sevisualiza en la imagen.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro1.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Perro2.jpg
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    Este es un crculo, endonde el plano cartesianono se encuentradeformado.

    Este crculo estaaplastado quedandocomo elipse, el eje delas Y se ha contrado yel de las X se hadilatado.

    Anamorfosis de uncuadrado en unrectngulo.

    Algunos ejemplos de artistas urbanos

    Julian Beever es un artista britnico especializado en anamorfosis que plasmaen sus obras, generalmente murales de tiza en las aceras de las calles dedistintas ciudades.

    Eduardo R. Relero es un artista argentino de Rosario que reside en Espaa,donde realiza en el suelo de distintas ciudades dibujos anamrficos con temassatricos o de crtica social.

    Lmina 10. Terico-prctica. Anaformismo en el arte.(Bibliografa: http://tejiendoelmundo.wordpress.com/tag/anaformismo/)

    Anaformismo averiguando sobre las tcnicas usadas en ellenguaje plstico.Blanca Allegra.

    La palabra anaformismo, podramos confundirla o relacionarla errneamente,citando frases que le en la web...no se trata ni de diagnsticotraumatolgico, ni de software, ni de colores predeterminados...Siempre hemos sabido del uso de variadas tcnicas para engaar al ojo ylograr efectos visuales, tambin llamados trucos usados en el arte para lograr

    en un plano bidimensional: (alto y ancho) como una pared, una acera, un

    http://es.wikipedia.org/wiki/Julian_Beeverhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tizahttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anarmorfosis_de_un_cuadrado.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_002_ttt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Circulo_001_tt.JPGhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tizahttp://es.wikipedia.org/wiki/Julian_Beever
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    block, formas o imgenes tridimensionales, es decir que contengan las tresdimensiones (alto- ancho y profundidad). As naci la perspectiva.

    El anaformismo es una tcnica muy usada por los artistas, en especial pintores,diseadores, fotgrafos , en el cine y particularmente por artistas grficos yurbanos, consiste en crear ilusiones pticas, logradas a travs de laperspectiva, donde el artista plasma una imagen conocida, real o no, que

    aparentemente se presenta distorsionada o deforme, ambigua, reversible,

    http://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYSNxTIGI/AAAAAAAADkY/KVi3Ltgpdnc/s1600-h/Anamorfosis03.JPG
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    quizs sin sentido, logrando cautivar y al mismo tiempo confundir el punto devista del espectador y que este a su vez puede apreciar o descubrir,revertindola a su forma convencional, luego de observarla detenidamente, odesde otro ngulo visual o a travs de mtodos no convencionales, como unespejo curvo.

    http://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYHpLQDcI/AAAAAAAADkQ/UAuQ9DuvBFU/s1600-h/167726409_c2496ea215.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYl9GmqlI/AAAAAAAADkw/luKP62d8SZE/s1600-h/Escher's_Relativity.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYHpLQDcI/AAAAAAAADkQ/UAuQ9DuvBFU/s1600-h/167726409_c2496ea215.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYl9GmqlI/AAAAAAAADkw/luKP62d8SZE/s1600-h/Escher's_Relativity.jpg
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    De ello se entiende que en el uso de esta tcnica, el artista conscientementeplasma imgenes distorsionadas que son conocidas o reales, reversibles,precisamente para que en el proceso de reversin, que se producir en lamente del espectador, este ltimo reconozca la imagen y la revierta a suestado convencional o real. Se trata pues de una Metfora, sobre la cual

    trabajan los artistas plsticos, que en conjuncin con el uso de elementos deexpresin plstica (lneas, colores, valores o texturas) y su imaginacin, serancomo el equivalente a las palabras en ese lenguaje plstico universal.Histricamente en base a ese mensaje subliminal que conllevan, sus usos porlos artistas en general, ha sido entre otros como diversin, espionaje,publicidad, poltica. Muchos hemos recibido correos electrnicos con lostrabajos de artistas que han usado esta tcnica. En muchos casos se refieren aella como un procedimiento matemtico, lgicamente por su relacin con laperspectiva visual, que tiene su base en la geometra. Tambin es conocidacomo perspectiva deformada.

    En el Cine, es usada con ejemplos como el Cinema Scope, en el que mediantelentes anamrficos, se registran imgenes comprimidas que producen unapantalla ancha al ser descomprimidas durante la filmacin. Pelculas en lasque se us esta tcnica estn: The Robe, dirigida por Henry Koster, y la pelcula

    espaola La Tnica Sagrada.

    En Wikipedia, cito el uso de esta tcnica en pinturas famosas : ...El cuadro deLos Embajadores de Hans Holbein el Joven contiene a los pies de la tabla laanamorfosis de una calavera, como ejemplo de vanidad.

    http://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mY_l4UkrI/AAAAAAAADlQ/RvMgGc25tag/s1600-h/julian-beever-1.jpg
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    Est pintada de manera que slo podemos reconocerla con una vista rasante.

    http://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYz3WC8xI/AAAAAAAADlA/DawmCcmkey4/s1600-h/Holbein_spoon_trick.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mZEhRVSnI/AAAAAAAADlY/xy5_W7WS53Y/s1600-h/Skull-Ambassadors.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYs6ZfX-I/AAAAAAAADk4/Ms_SXTC9RMk/s1600-h/Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mY7DG3e6I/AAAAAAAADlI/r-N8Ks36AGU/s1600-h/Holbein-ambassadors.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYz3WC8xI/AAAAAAAADlA/DawmCcmkey4/s1600-h/Holbein_spoon_trick.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mZEhRVSnI/AAAAAAAADlY/xy5_W7WS53Y/s1600-h/Skull-Ambassadors.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYs6ZfX-I/AAAAAAAADk4/Ms_SXTC9RMk/s1600-h/Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mY7DG3e6I/AAAAAAAADlI/r-N8Ks36AGU/s1600-h/Holbein-ambassadors.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYz3WC8xI/AAAAAAAADlA/DawmCcmkey4/s1600-h/Holbein_spoon_trick.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mZEhRVSnI/AAAAAAAADlY/xy5_W7WS53Y/s1600-h/Skull-Ambassadors.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYs6ZfX-I/AAAAAAAADk4/Ms_SXTC9RMk/s1600-h/Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mY7DG3e6I/AAAAAAAADlI/r-N8Ks36AGU/s1600-h/Holbein-ambassadors.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYz3WC8xI/AAAAAAAADlA/DawmCcmkey4/s1600-h/Holbein_spoon_trick.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mZEhRVSnI/AAAAAAAADlY/xy5_W7WS53Y/s1600-h/Skull-Ambassadors.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYs6ZfX-I/AAAAAAAADk4/Ms_SXTC9RMk/s1600-h/Holbein_Ambassadors_anamorphosis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mY7DG3e6I/AAAAAAAADlI/r-N8Ks36AGU/s1600-h/Holbein-ambassadors.jpg
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    Para corregir la deformacin y poder observar la calavera sin la utilizacin deun medio informtico, nos podemos valer del dorso de una cuchara. Demanera que el reflejo sobre la superficie curva y reflectante de la cuchara,corrige el efecto de la perspectiva en la pintura.Cuadro de los embajadores donde se puede observar la anamorfosis de la

    calavera. Uso de una cuchara para corregir la deformacin.

    Entre los artistas grficos, resalta por su ingenio y expresividad M. C. Escher, quefue un artista holands, conocido por sus grabados en madera, xilografas ylitografas, que tratan sobre figuras imposibles, y mundos imaginarios, basadoscomo el mismo lo describi en imgenes circundantes e imgenes interiores.Se consideraba ms un matemtico, por su pasin a la geometra y a laperspectiva.En la web se hace referencia a muchos ejemplos de artistas urbanos, cuyasobras tienen en comn que fueron hechas para el aprecio de todos, enlugares pblicos, poniendo a las personas en contacto directo con el arte ydonde generalmente el transente la observa deforme o ambigua, plana,pero al ser observadas desde el ngulo de quien toma las fotos parecenemerger del suelo o estar sumergidas en l. Entre ellos estn:

    http://4.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYZ__ZdyI/AAAAAAAADkg/oC1a12O9Ccc/s1600-h/cristochereducido.jpg
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    Eduardo Relero es un artista argentino de Rosario que reside en Espaa, donderealiza en el suelo de distintas ciudades dibujos anamrficos con temas

    satricos o de crtica social. Kurt Wenner, artista norteamericano, trabaj parala NASA, vive desde 1982 en Italia, su particular estilo es el figurativoneoclsico. Julian Beever artista britnico dibuja escenas anafrmicas con tizaen las aceras, distorsionadas que al caminar por la calle se ven con laperspectiva correcta y toman su estado final.

    http://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYgCPOxdI/AAAAAAAADko/U2cQFlILWwc/s1600-h/Dibujo.JPGhttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYDaP8heI/AAAAAAAADkI/Iu18XFkoPw0/s1600-h/0023-1julian_beever_12.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYgCPOxdI/AAAAAAAADko/U2cQFlILWwc/s1600-h/Dibujo.JPGhttp://1.bp.blogspot.com/_U23z0khKBLY/S1mYDaP8heI/AAAAAAAADkI/Iu18XFkoPw0/s1600-h/0023-1julian_beever_12.jpg
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    Anaformismo y los artistas(Bibliografa: http://tejiendoelmundo.wordpress.com/tag/anaformismo/)

    El artista que consigue engaar al ojo.

    Edgar Mller (tambin escrito Mueller) es un artista alemn, maestro en una

    tcnica pictrica llamada anaformismo, que consiste en engaar a la vista

    jugando con la perspectiva y otros efectos pticos. Esta es la especialidad de

    este artista callejero.

    http://tejiendoelmundo.wordpress.com/http://tejiendoelmundo.files.wordpress.com/2010/10/arte_grafico.jpghttp://tejiendoelmundo.wordpress.com/
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    Autodidacta, Mller es un gran admirador de Kurt Wenner y Julian Beever. La

    tcnica que utiliza se denomina anaformismo, aunque vulgarmente tambin

    se la conoce como trampantojo trampa ante el ojo, o trompe lil,

    expresin francesa que significa engaar al ojo. Con esta tcnica se engaa

    a la vista jugando con la perspectiva y otros efectos pticos y buscando sobre

    todo el efecto tridimensional.

    Los trampantojos suelen ser pinturas murales realistas creadas

    deliberadamente para ofrecer una perspectiva falsa. Pueden ser interiores

    (representando muebles, ventanas, puertas o escenas ms complejas), o

    exteriores sobre el pavimento y simulando precipicios.

    http://tejiendoelmundo.files.wordpress.com/2010/10/gruta_tenebrosa.jpg
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    Unidad V.Heterometra

    Lmina 11.Terica. Definiciones.(Bibliografa:http://www.slideshare.net/npeuno/coherencia-formal)

    Heterometra.

    Sistemas y sus elementos carentes de afinidad o coherencia, pero que poseencongruencia u oroden para integrar un todo.

    Heterometra.(Bibliografa: http://www.buenastareas.com/ensayos/Taller-De-Dise%C3%B1o/2190585.html)

    Elementos que no tienen una relacin con otras figuras, pero si existecoherencia formal intra figura o interna.

    Heterometra y simetra.

    Hasta ahora me he referido al punto ureo y a los dems sistemas modulares

    como los responsables del nivel esttico en la estructura de algo, un caracol

    regresando al ejemplo, pero solo el caracol en s mismo, ahora la pregunta

    sera Qu pasa con su entorno?. Ah tambin se plantean diversos problemas

    con los cuales tenemos que regresar de nuevo hasta Aristteles y utilizar el

    trmino Gnomon, que segn l define un modulo semejante al original, es lo

    que llamamos copias o imitaciones, las cuales en relacin a su entorno

    tambin poseen niveles de armona, es decir niveles estticos, y surgen

    definiciones como simetra, isometra, Homeometra, Singenometra,

    Catametra, Heterometra y ametria. En donde ya no se estudia al elemento

    como un singular, ahora tambin se estudia su nivel esttico de acuerdo a la

    relacin con su entorno, la simetra es entonces la igualdad ms perfecta entre

    dos o ms elementos, se podra decir que clones perfectos, como una red de

    cuadrados o hablando de la naturaleza el panal de las abejas, despus est

    http://www.slideshare.net/npeuno/coherencia-formalhttp://www.slideshare.net/npeuno/coherencia-formal
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    la Homeometra el cual tambin est compuesto por elementos de la misma

    forma, pero tiene variantes de tamao, matemticamente hablando

    estaramos viendo lo que es una diferencia de escalas y nada ms.

    Despus tenemos a la Singenometra en donde las formas son una

    transformacin sucesiva y progresiva de formas parecidas. Aqu los conjuntos

    se acercan menos a lo idntico, se van alejando hasta conceptos como la

    Catametra que se conforma con la simple afinidad de las formas, cosas en

    comn y nada ms.

    Por ltimo podra decirse que est la Heterometra en la cual todos los

    elementos del sistema son carentes de afinidad o coherencia pero poseen la

    congruencia necesaria y el orden para integrar un todo.

    Se dice que dentro de este grupo de definiciones como ltimo nivel est

    la ametra, que es la carencia de orden o afinidad en un sistema, no existe

    relacin alguna, pero en la naturaleza este concepto no existe, ya que sera el

    caos total, por lo que la ametra es completamente abstracta.

    En la actualidad estos principios se han convertido en los ms utilizados

    para creaciones artsticas, est comprobado que los griegos ya los utilizaban,

    as el hombre llega a mimetizar los principios de la naturaleza utilizando ahora

    los principios encontrados en obras graficas, se ha demostrado que una

    composicin que utiliza como principio la seccin aurea llama ms la atencin

    que una obra que no la utiliza, ese punto ureo es lo que nos hace expresar

    cosas como -ah que bonita fotografa-, pero esa fotografa tomada con

    puntos ureos trazados estratgicamente en la lente de la cmara, no es ms

    que el resultado del estudio del comportamiento natural de nuestro entorno, la

    naturaleza existe en toda la naturaleza y por eso es tan perfecta, tan bella y

    el hombre no descans hasta encontrar uno de los causantes de esta armona

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    creando ramas de estudio como la morfologa y definiciones como todas las

    mencionadas anteriormente.

    Al observar los carteles de la Bauhaus (primera escuela de diseo en el

    mundo) o cualquier otro diseo como el ejemplo anterior que es una caratula

    de CD en la que la diagramacin para hacer el diseo est basada en puntos

    a partir del rectngulo , no estamos viendo ms que el resultado de la

    utilizacin de la seccin aurea, los rectngulos armnicos y las redes

    modulares, es la mimesis de la armona en la naturaleza ahora utilizada para

    distintos fines, lo cual me lleva a pensar que tal vez en esta poca globalizada

    estamos viviendo algo parecido a lo que planteaba platn, ahora para

    nosotros el mundo de las ideas es el mundo que ya hemos destruido, es la

    naturaleza misma, y el mundo de abajo es lo que hemos ido creando

    gradualmente, el hombre ha llegado muy lejos y es de gran utilidad el estudio

    que ha hecho de la naturaleza, la seccin aurea a mi punto de vista es el

    mejor resultado aunque ahora se utiliza para fines egostas, para hacer que

    voltees a ver un cartel y compres cosas, lo cual se me hace un fin bastante

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    egosta, pero eso es otra historia y tema de un extenso debate a fin de cuentas

    no deja de ser un gran descubrimiento y un muy buen sustento para la rama

    de la esttica.

    Existen muchsimas cosas ms que estn relacionadas con la atraccin

    que nos puede causar algn objeto como el buen uso del contraste de

    colores, el cromatismo, la configuracin y muchos trminos que ahora estudia

    la fsica, pero que no terminara de mencionar en tan pocas palabras, es por

    eso que me he enfocado en la seccin aurea como el principal responsable

    del efecto esttico en la naturaleza, y en conclusin el mejor.

    Concepto heterometra. Atributos compositivos.(Bibliografa: http://cesardiseno.net23.net/diseno.pdf)

    Despus de conocer los diferentes atributos que hacen parte de la formasensible, en esta parte del curso se vern otra clase de atributos: los atributoscompositivos, es decir los que le permiten al diseador configurar la forma

    estructural de un grfico, objeto o espacio.

    Mediante el uso correcto de estos, el diseador organiza con criterios estticos,los atributos perceptivos con el fin de obtener un resultado atractivo acorde almercado objeto al que irn dirigidos.

    Los atributos compositivos son: unidad, equilibrio, dinamismo visual y ritmo. Acontinuacin se definirn cada uno de ellos:

    Unidad: cuando se concibe la forma de un objeto, el diseador debe lograrque exista una congruencia total entre todos los componentes que laconforman. Debe controlar minuciosamente cada detalle de su diseo paraque sin importar su complejidad, este sea interpretado como un todo, comouna entidad homognea y no como una suma de partes sin relacin.La unidad es conocida tambin con el nombre de coherencia formal, estpresente tanto en el interior de la forma de un objeto (intraformal) como en losobjetos que pertenecen a un sistema en particular (interformal).

    A partir de la relacin que existe entre las formas de un objeto o de un sistemade objetos, se ha establecido de acuerdo a la semejanza existente los

    http://cesardiseno.net23.net/diseno.pdfhttp://cesardiseno.net23.net/diseno.pdf
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    siguientes elementos: isometra, homeometra, singenometra, catametra,heterometra. A continuacin se definirn cada uno de ellos:

    Isometra:este tipo de relacin se presenta en objetos compuestos porpartes iguales, denominadas mdulos. Este es el caso de las cpulasgeodsicas, estas se componen de varas y nodos, o de las pinzas metlicas decocina, que estn conformadas por dos piezas iguales. Tal y como se ilustra enla siguiente figura.

    Homeometra: esta relacin se da entre varios objetos, ellos conservanexactamente la misma geometra pero con un cambio proporcional en sutamao, por ejemplo, un juego de muecas rusas o los jarrones rsticos debarro.

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    Singenometra:se dice que este tipo de relacin existe entre elementosdeformados de manera afn y proyectiva. Por ejemplo, los acanaladosfresados con seccin de trapecio y paralelogramo son deformaciones afines yproyectivas del fresado de seccin rectangular.

    Catametra: este tipo de coherencia formal se presenta entre objetos queaunque poseen geometras diversas entre s, guardan ciertos rasgos que losfamiliarizan, por ejemplo una vajilla.

    Heterometra:al contrario de la catametra, este tipo de relacin es la quese encuentra solamente de manera intraformal, por ejemplo el manejo de lasgeometras circulares que hace en los autos.

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    Clasificacin de simetra:(Bibliografa:http://grafikdrops.wordpress.com/2011/03/09/04%C2%B0-forma-bi-dimensional/)

    1) Isometra: son isomtricos isomorfos, aquellos elementos que tienen lamisma forma y tamao. (igualdad de los motivos y su repeticin regular). Elelemento no cambia.ISO=Idntico

    2) Homeometra:son homeomorfos, aquellos que se repiten en la forma, perotamaos diferentes. Sus tamaos aumentan o disminuyen de acuerdo a unaley constante.

    http://grafikdrops.wordpress.com/2011/03/09/04%C2%B0-forma-bi-dimensional/http://grafikdrops.wordpress.com/2011/03/09/04%C2%B0-forma-bi-dimensional/http://grafikdrops.wordpress.com/2011/03/09/04%C2%B0-forma-bi-dimensional/http://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias41.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias40.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias39.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias38.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias41.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias40.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias39.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias38.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias41.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias40.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias39.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias38.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias41.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias40.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias39.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias38.jpghttp://grafikdrops.wordpress.com/2011/03/09/04%C2%B0-forma-bi-dimensional/
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    3) Singenometria:son singenomorfos, aquellos deformados de manera afn oproyectiva. El Proceso en donde las formas que lo constituyen son unatransformacin sucesiva de formas parecidas a fin.

    (reflexionar sobre el proceso de transformacin: ver proceso mutativo en lasobras de metamorfosis realizadas porEscher).CINGERE=TRANSFORMAR

    Deformados de manera afn:

    Deformados de manera proyectiva:

    http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias42.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias42.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias43.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias42.jpghttp://www.mcescher.com/
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    4) Catametra:son catamorfos, aquellos cuyas formas tienen caractersticasiguales y caractersticas diversas. Estn ligados por una comn relacininterfigural, con elementos de pertenencia a una familia. (ej: tipografa TIMESNEW ROMAN, Cuerpo 70, normal)

    5) Heterometra:son heteromorfos, aquellos que sus elementos estn carentes

    de afinidad o coherencia, pero que poseen congruencia u orden paraintegrar un todo.

    http://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias48.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias47.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias46.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias45.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias48.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias47.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias46.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias45.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias48.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias47.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias46.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias45.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias48.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias47.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias46.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias45.jpg
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    Lmina 12. Prctica. Aplicacin del concepto deHeterometra. Buscar heterometras en formas bsicasutilizando una composicin en seccin urea.

    Unidad VI.Estructuras tridimensionales y su transformacin

    Lmina 13. Terica- prctica. Isometra, estructuras. Usoscotidianos(Bibliografa: http://www.uclm.es/ab/educacion/ensayos/pdf/revista22/22_3.pdf)

    Embaldosados o Teselaciones

    Cuando se buscan aplicaciones de las isometras del plano, los cubrimientosdel plano son unas de las ms utilizadas en el mbito escolar. Estoscubrimientos tienen a su favor la componente grfica y artstica, que resultamuy atractiva para la mayora de los alumnos. Desde el punto de vistaprctico, construir un cubrimiento de una regin, embaldosar o teselar consisteen colocar fi guras cubrindolas, de manera que stas no se superpongan nidejen huecos entre ellas.

    http://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias49.jpghttp://grafikdrops.files.wordpress.com/2011/03/simetrias49.jpg
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    Si observamos y analizamos estos embaldosados, comprobaremos que seconstruyen en base a transformaciones isomtricas. Las traslaciones, rotacionesy simetras son transformaciones isomtricas mediantes las cuales se puedehacer coincidir una fi gura consigo misma. Para su construccin, se comienza

    a partir de un conjunto de fi guras a las cuales se les aplica movimientos y, acontinuacin, se reitera el proceso sobre las sucesivas imgenes que se vayanobteniendo hasta cubrir completamente la regin.

    Hay tres tipos diferentes de cubrimientos: los rosetones, los frisos y los mosaicos.

    Rosetones

    Un rosetn es un cubrimiento de la regin del plano formada por un polgonoregular. El motivo que se repite en ste es el tringulo obtenido al unir el centrodel polgono regular con dos vrtices consecutivos o con un vrtice y el punto

    medio de uno de sus lados adyacentes. No obstante, puesto que en el artculoestamos mostrando toda esta geometra en nuestro entorno cotidiano,prosigamos con algunas imgenes.

    Frisos

    Los frisos son cubrimientos de la regin del plano limitada por dos rectasparalelas, es decir, son la repeticin de un mismomotivo a lo largo de unalnea recta. Los frisos aparecen muy a menudo en la ornamentacinarquitectnica, pero, aunque el arquitecto o decorador tiene libertad a lahora de escoger el elemento decorativo inicial, existen nicamente siete frisosdistintos.

    A continuacin, vamos a hacer un recorrido por algunas de las aplicacionesde este elemento tan sencillo y bsico en la escultura, la arquitectura y la

    decoracin.

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    Se observa cmo la arquitectura y la escultura emplean los frisos paraembellecer sus obras. Tanto en la primera imagen como en la segunda, unmismo motivo es el que se repite mediante el uso de traslaciones, formandouna estructura de geometra y armona.

    Pero el uso de frisos no solo aparece en estos contextos, sino que a menudoaparece como elemento decorativo. Al entrar en cualquier hogar familiar deeste pas, es usual que encontremos que parte o la totalidad del suelo estconstituido por una teselacin o un friso de baldosas. Adems, si observamoscon ms detalle, seguro que encontraremos algn cuadro cuyo marco estornamentado con algn motivo que constituir, con gran seguridad, un friso.No obstante, el lugar de la casa ms propicio a albergar frisos es, sin duda, elcuarto de bao y la cocina. La mayora de hogares embaldosan sus cuartosde aseo y cocinas con teselaciones que combinan con algn friso querompe la continuidad del empapelado. En las siguientes ilustracionesmostramos algunos ejemplos de cenefas que dan lugar a nuestros agradablesfrisos.

    Todos estos ejemplos se forman a partir de una de las isometras: lastraslaciones. Pero tambin podemos encontrar frisos construidos a partir de

    simetras o giros.

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    Pero en nuestro entorno cotidiano no siempre aparecen los frisos en ladecoracin; tambin los encontramos, aunque menos bellos, en otros lugares,como, por ejemplo, en unas escaleras mecnicas o en los monitores de unhospital. Con ello queremos decir que en el presente documento slo se haexpuesto una parte de la gran diversidad de ejemplos que podemos

    encontrar.

    Mosaicos

    Se llama mosaico a un cubrimiento de todo el plano. Se puede demostrar quehay exactamente 17 mosaicos diferentes, construidos, al igual que los frisos yrosetones, gracias a las isometras.

    Para ilustrar los mosaicos en algunos contextos de nuestro entorno, noscentraremos en la obra del artista holands Mauricio C. Escher y en LaAlhambra. En esta ltima podemos encontrar estos 17 mosaicos diferentes quehemos nombrado anteriormente.

    La Alhambra constituye una de las manifestaciones ms grandiosas de artegeomtrico. No hay que olvidar que La Alhambra fue palacio, ciudadela yfortaleza; residencia de los sultanes Nazares, de los altos funcionarios, de losservidores de la corte y de los soldados de lite desde los siglos XIII al XIV. Elprincipal motivo por el que se produjo esta gran expansin de la geometra enel arte Hispano-musulmn es de carcter fundamentalmente religioso, puestoque el Corn prohiba cualquier representacin icnica de Al. Adems,identificaban la debilidad con el uno, con la singularidad, lo que haca queningn punto de los mosaicos fuera ms importante que los dems.

    Los artistas musulmanes no slo recurrieron a la geometra para ornamentar susobras sino a la geometra dinmica basada en la composicin de isometrasen el plano, que, como ya hemos dicho, son las traslaciones, simetras y giros.Esa gran belleza se consegua gracias a dos factores: la aplicacin de recursosde simetra y la obsesin por llenar todo el plano de forma regular y armoniosa.

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    Todos estos mosaicos los podemos admirar en La Alhambra. Aunque a simple

    vista parece que el motivo que rellena el plano no tiene relacin con ningnpolgono regular, podemos decir que el primero, llamado pez volador, seconstruye mediante la deformacin de un cuadrado. A la fi gura que se repiteen la segunda ilustracin se la conoce con el nombre de hueso, y stetambin se obtiene modificando un cuadrado. En cambio, la ltima, conocidacomo ptalo, se obtiene alterando un rombo.

    Pero nuestros ejemplos no finalizan aqu. Fijmonos en la siguiente imagen quecorresponde a los Baos de la Alhambra. En ella podemos observar otro de losmotivos que emplearon los artistas musulmanes para rellenar el plano, lapajarita nazar, que se construye mediante la modificacin de un tringulo

    equiltero.

    Adems, podemos observar uno de los 17 tipos de mosaicos; en este caso, elconstituido por dos traslaciones de vectores independientes.

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    Observemos ahora las ilustraciones que se muestran a continuacin, ya queestn formadas por otras composiciones de grupos de mosaicos.

    El primer mosaico est formado nicamente por simetras respecto a lneasparalelas al eje de abscisas. El segundo tambin se constituye por simetrasrespecto a ejes horizontales, pero con la salvedad de que en steencontramos deslizamientos, esto es, traslaciones. El ltimo mosaico seconstruye mediante giros.

    Y, para finalizar, acabamos con estas imgenes, donde se aprecia que laAlhambra es un lugar espectacular y digno de admirar en cuanto a su bellezay riqueza geomtricas.

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    Maurits Cornelis Escher naci en el ao 1808 en la provincia holandesa deFriesland. La familia Escher viva en una majestuosa casa llamadaPrincessehof, que ms tarde se convertira en un museo que albergaraexhibiciones de los trabajos del propio M.C. Escher. Desde que asisti a la

    escuela elemental, su profesor de dibujo se interes por su talento para lapintura, ensendole nuevos estilos. Comenz sus estudios en la escuela deArquitectura y Artes Decorativas, aunque no los finaliz. Viaj por pases deEuropa del Sur, entre ellos Italia y Espaa, donde visit el museo del Prado y laAlhambra.

    A partir del ao 1936, Escher comenz a dar ms prioridad a la expresinartstica de las imgenes de su mente que a las de sus observaciones y susviajes. En 1937, Escher mostr al profesor de geologa, Beer, los proyectos en losque haba estado trabajando: embaldosados que rellenaban el plano. Beerqued tan impresionado por el trabajo y sus aplicaciones potenciales a la

    cristalografa que lo anim a que continuara en esa lnea, lo cual provoc queEscher siguiera experimentando con dichas tcnicas, formas ytransformaciones.

    A continuacin, mostraremos algunas lminas del pintor M.C. Escher, donde sever refl ejado que el estudio de los 17 grupos de mosaicos no slo tiene intersmatemtico, sino que tambin juega un importante papel en el arte,proporcionando a los pintores tcnicas para conseguir deslumbrantesresultados. A partir de ahora, nuestro objetivo se centrar en llevar acabo unestudio de una serie de grabados, intentando dilucidar ante qu grupo deempapelado nos encontramos.

    En primer lugar, hemos escogido la lmina que lleva por ttulo Bird. A la vista dela fi gura, se observa que este mosaico se crea nicamente desplazando elpjaro que en l aparece. Luego se deduce que estaramos ante el grupoformado por dos traslaciones de vectores independientes.

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    Si el lector observa los siguientes empapelados, tambin podr comprobarque estn constituidos por el mismo grupo que la lmina Bird.

    Centraremos ahora nuestra atencin en otro de los grabados que lleva denuevo por ttulo Bird. En este caso, el motivo que se repite es una paloma, y seobserva que no siempre se encuentra en la misma posicin. Luego ahora noson las traslaciones el movimiento que genera este empapelado, sino quedebemos hablar de giros de 180 grados.

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    Al igual que en el caso anterior, observemos ms grabados construidos a partirde este grupo. Las siguientes lminas tienen por ttulo, Squirrel y Sea Horse,

    respectivamente.

    Consideremos ahora las lminas de Escher que llevan el nombre de Crab yBeetle. En este caso, se observa con claridad que, para poder pasar elcangrejo o el escarabajo a la otra columna del empapelado, se debe haceruna simetra y, despus, una traslacin. A este tipo de movimiento se leconoce conel nombre de simetra con deslizamiento.

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    En ltimo lugar, observemos el siguiente grabado que recibe el nombre deLizard. El motivo que se repite ahora es un lagarto y, para poder rellenar elplano, se deben realizar giros de 120 grados a esta fi gura desde diferentescentros de giro.

    Pero Escher no slo explor este mundo, sino que en la segunda mitad de ladcada de los cincuenta se interes especialmente por los temas quecomprenden la aproximacin del infinito (otro concepto matemtico) y elembaldosado del plano.

    El objetivo que persegua el artista era expresar la infinidad dentro de los lmitesde un grabado. De esta poca proceden la mayora de las lminas en lascuales se aprecia cmo un mismo motivo encoge hacia el centro o hacia lafrontera de la pintura.

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    En los anteriores grabados se observa cmo haciendo uso de reptiles o

    demonios realiza teselaciones del plano hiperblico.

    Despus de estas ltimas imgenes, esperamos que este escrito haya servidopara despertar la curiosidad del lector por el arte geomtrico que nosenvuelve y le permita observar toda esa belleza matemtica que le rodea.

    Lmina 14. Prctica. Mdulos en el espacio urbano.(Bibliografa:www.iqlight.com)

    Diseo de lmpara

    Entre los diseos de lmparas modernas encontramos muchas con unaestructura claramente polidrica. El diseo de las lmparas del dans HolgerStrm est basado en las figuras polidricas que tienen caras con forma derombos. La ms conocida es la que se acerca ms a una esfera, elTriacontaedro Rmbico.

    Los rombos estn ligeramente deformados, lo que obliga a curvarlos paraencajar unas piezas con otras. Unida la tensin de la curvatura a unos salientesen forma de ganchos de los vrtices, permite que las piezas y la figura se

    mantengan sin necesidad de pegamento ni otros accesorios.

    La curvatura adems permite el paso de la luz de forma indirecta y del aireque evita el sobrecalentamiento.

    La lmpara original est hecha con un material plstico semitraslcido, Pararealizar la maqueta es conveniente que utilicemos un cartn suficientementeresistente (de unos 240 gr/m2). Las piezas van unidas de 5 en 5 en los vrticesagudos y de 3 en 3 en los obtusos. (Para el triacontaedro rmbico). Para otrosdiseos las piezas se unen de 4 en 4 en alguno o en varios de sus puntos

    Entre los diseos de lmparas modernas encontramos muchas con unaestructura claramente polidrica. El diseo de las lmparas del dans Holger

    http://www.iqlight.com/http://es.wikipedia.org/wiki/Triacontaedro_r%C3%B3mbicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Triacontaedro_r%C3%B3mbicohttp://www.iqlight.com/
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    Strm est basado en las figuras polidricas que tienen caras con forma derombos. La ms conocida es la que se acerca ms a una esfera, elTriacontaedro Rmbico.

    Los rombos estn ligeramente deformados, lo que obliga a curvarlos para

    encajar unas piezas con otras. Unida la tensin de la curvatura a unos salientesen forma de ganchos de los vrtices, permite que las piezas y la figura semantengan sin necesidad de pegamento ni otros accesorios.

    La curvatura adems permite el paso de la luz de forma indirecta y del aireque evita el sobrecalentamiento.

    La lmpara original est hecha con un material plstico semitraslcido, Pararealizar la maqueta es conveniente que utilicemos un cartn suficientementeresistente (de unos 240 gr/m2). Las piezas van unidas de 5 en 5 en los vrticesagudos y de 3 en 3 en los obtusos. (Para el triacontaedro rmbico). Para otros

    diseos las piezas se unen de 4 en 4 en alguno o en varios de sus puntos.

    Debajo puedes ver diferentes modelos con el nmero de piezas necesariopara cada uno. Para el triacontraedro rmbico son necesarias 30 piezas.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Triacontaedro_r%C3%B3mbicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Triacontaedro_r%C3%B3mbico
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    Debajo puedes ver diferentes modelos con el nmero de piezas necesario paracada uno. Para el triacontraedro rmbico son necesarias 30 piezas.

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    I.Q.Light es una marca registrada. (Ms informacin sobre su autor, su historia, su geometra y sucomercializacin enwww.iqlight.com)* I.Q.Light es una marca registrada. (Ms informacin sobre su autor,su historia, su geometra y su comercializacin enwww.iqlight.com)

    Unidad VIII.Simetra y proporcin en formas naturales.

    Lmina 15. Tercio. Conceptos.(Bibliografa: http://www.uclm.es/ab/educacion/ensayos/pdf/revista22/22_3.pdf)

    Isometras de nuestro entorno cotidiano

    Pocas nociones matemticas muestran una conexin mayor con el mundoreal que las isometras, ya que, sin duda, el origen de la observacin deelementos geomtricos por el hombre se encuentra en la naturaleza. Esto esimportante no slo por la abundante presencia de objetos, animales y plantasen los que apreciamos traslaciones, rotaciones y simetras, sino que adems, esrelevante el hecho de que, al mostrar en la naturaleza este lado matemtico,es posible que se convenzan hasta los ms escpticos, de que la geometra,puede llegar a ser un arte de gran belleza. Sin ms dilacin, trataremos de darsentido a estas palabras con las siguientes imgenes.

    Si nos fi jamos en la parte matemtica de estos dibujos, podemos apreciar unasimetra con respecto a un eje vertical situado justo en el centro de lasmariposas. En este primer anlisis visual, vemos cmo un insecto tan comncomo la mariposa es fascinante no slo por la complejidad de sus colores yformas, sino por la parte geomtrica. Seguidamente incluimos un conjunto demariposas en el que se ve reflejado ese laberinto de colores y formas al queantes hacamos referencia.

    Adems de las mariposas, existen otros insectos que tambin son comunes ennuestros paseos cotidianos en los que cabe destacar la presencia deisometras. Podemos hablar de mariquitas, en las que, del mismo modo que

    http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/http://www.iqlight.com/
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    suceda con las mariposas, se observa una simetra con respecto a un ejevertical situado en el centro de dicho animal.

    Pasemos ahora de los insectos al mundo marino, donde tambin encontramosuna gran diversidad de ejemplares en los que podemos admirar isometras. As,vemos que las tortugas de mar tienen todo su caparazn repleto dehexgonos que encajan a la perfeccin unos con otros, y que consiguen esedeseoso efecto de armona que tanto perseguimos. Adems, otros animalesmarinos en los que podemos observar simetras con respecto a ejes verticalesson los peces manta y, cmo no, las estrellas de mar que poseen una simetra

    de rotacin. A continuacin mostramos la diversidad de imgenes a que danlugar estos animales marinos.

    Ahora bien, podemos tambin encontrar isometras en el mundo de las aves?La respuesta a esta pregunta es afirmativa, como se observa en las figuras que

    se exponen a continuacin.

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    Adems, encontramos una amplia gama: halcones, murcilagos y loros;incluso la cola de un pavo real.

    Mientras que en la primera fi gura se repite la idea de simetra con respecto a

    ejes verticales, en la segunda se observa la repeticin de un mismo motivofundamental que, con la ayuda de las traslaciones, hace de las plumas deeste fantstico animal un espectculo digno de admirar.

    Fijmonos ahora en un animal terrestre, la cebra. Este es un gran ejemplar paranuestro estudio, debido a la gran abundancia de simetras, como, por ejemplo,en la cabeza, y de traslaciones de esa especie de collares blancos y negrosque se van reproduciendo sin cesar para acabar formando toda la piel queenvuelve a este animal.

    No slo hay que pensar en la percepcin de simetras en los propios animales,

    sino tambin en creaciones propias de ellos. As, volviendo a los insectos, laspequeas abejas consiguen, mediante el uso de celdillas bsicashexagonales, fabricar lo que conocemos como panales de miel. Estos estnformados mediante traslaciones, giros y simetras. Pero esta no es la nicacreacin propia de los animales. De modo semejante, la tela de araatambin est construida a travs de estas isometras.

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    Este hecho es sorprendente, dado que nosotros hemos necesitado de Estehecho es sorprendente, dado que nosotros hemos necesitado de todo unanlisis para entender el procedimiento que conlleva la construccin de unenrejado, y luego descubrimos que la madre naturaleza les inyecta esteconjunto de sabidura desde el momento en que nacen.

    Pasemos ahora del mundo animal al mundo de las plantas. Aqu tambintenemos una gran diversidad de ejemplos.

    En la primera imagen y en la ltima se observa de nuevo esa simetra conrespecto a un eje, en cambio la segunda imagen posee una simetra de giro.No obstante, nuestros ejemplos todava no terminan aqu.

    Cabe destacar que cosas tan bsicas como algunas letras del abecedario, ascomo tambin varios nmeros de nuestro sistema decimal, e incluso frutos dealgunos rboles, tambin se prestan a nuestro servicio para proponer ejemplosque reflejan esta rama de la geometra que estamos tratando. Como veremosahora, se puede observar la aparicin de simetras que vienen marcadasmediante lneas discontinuas en el primero de ellos, y en el segundo la simetra

    viene dada a travs de una estrella. De todo un anlisis para entender elprocedimiento que conlleva la construccin de un enrejado, y luegodescubrimos que la madre naturaleza les inyecta este conjunto de sabiduradesde el momento en que nacen.

    Pasemos ahora del mundo animal al mundo de las plantas. Aqu tambintenemos una gran diversidad de ejemplos. En la primera imagen y en la ltimase observa de nuevo esa simetra con respecto a un eje, en cambio lasegunda imagen posee una simetra de giro.

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    Existen tambin algunas configuraciones naturales en las que se observanelementos geomtricos, como la cristalizacin perfecta de un copo de nieve.

    Para dar el broche final a este apartado de isometras en nuestro entornocotidiano, abordaremos estos movimientos, desde un punto de vista distinto alanterior, pero con el mismo pensamiento de que la geometra est presenteen nuestro mundo y que vivimos con ella.

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    Si nos fi jamos en el edificio acristalado de la primera fi gura, observamos quees simtrico tambin con respecto a un eje vertical. De forma semejantesucede en las otras dos imgenes, en las que belleza, armona, consistencia ymatemticas, se entremezclan en un sin fin de estructuras que nos hacen ms

    agradables nuestros paseos por la ciudad.Ahora bien, ya que estamos hablando de edificios, veamos cmo un espejode agua puede dar como resultado una imagen simtrica. Las dos primerasilustraciones se han tomado de la Alhambra.

    Simetra y la naturaleza. Ejemplos(Bibliografa: http://blog.pucp.edu.pe/category/4891/blog/1550)

    El romanesco es una variedad de Coliflor poco conocida. Ms alla de sus

    cualidades nutricionales (nada escasas, por cierto), el romanesco se

    caracteriza por la estructura fractal de sus tallos, o lo que es lo mismo, las

    estructuras cnicas en las que se agrupan las inflorescencias.

    Adems su color verde caracterstico llama especialmente la atencin y a ms

    de uno le hace pensar en un posible origen transgnico. Nada ms lejos de larealidad, el romanesco es tan natural como el resto de las verduras que

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    encontramos en cualquier mesa, tan slo su peculiar aspecto nos llama la

    atencin.

    Simetra, pentgono y naturaleza(Bibliografa: http://piziadas.com/es/2011/07/geometria-en-la-naturaleza-pentagono-regular-adelfa.html)

    Los pentgonos son formas poligonales con cinco lados. En el caso de serregular, la longitud de estos es la misma para todos ellos. El pentgono tienecinco vrtices, y en el caso de los regulares podemos diferenciar entre losconvexos y los estrellados.

    Un pentgono regulares aqul que tiene todos sus lados iguales y sus ngulosinternoscongruentes.Cada ngulo interno mide 108grados 3 / 5 radianes.La suma de los ngulos internos de unpentgono regular es de 540 3

    radianes.(W)

    http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruenteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gonohttp://piziadas.com/wp-content/uploads/2011/07/estrellados-convexos.jpghttp://piziadas.com/wp-content/uploads/2011/07/estrellados-convexos.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regularhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_sexagesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruentes
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    En la naturaleza los encontramos en diferentes manifestaciones, una de ellas esen la distribucin de los ptalos de muchas flores, como en el caso de lasAdelfas cuya imagen nos sirve de ilustracin.

    La adelfa (Nerium oleander L.), tambin conocida como laurel de flor, rosa

    laurel, baladre o trinitaria, es la nica especie perteneciente al gnero Neriumincluido en la familia (Apocynaceae). Planta arbustiva que se puede formarcomo rbol de porte pequeo, de hojas perennes lanceoladas de un verdeintenso y flores de color rosa (en la variedad silvestre). Las hojas, flores, tallos,ramas y semillas son venenosas.(W)

    Una curiosa construccin de un pentgono a partir de una tira de papel quehe visto en gaussianos nos propona el reto de demostrar si la formageomtrica es regular.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Nerium_oleanderhttp://gaussianos.com/construir-un-pentagono-regular-doblando-papel/http://piziadas.com/wp-content/uploads/2011/05/adelfa.jpghttp://gaussianos.com/construir-un-pentagono-regular-doblando-papel/http://es.wikipedia.org/wiki/Nerium_oleander
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    Para ello es condicin necesaria y suficiente que cada una de las diagonalessea paralela a uno de los lados del pentgono.

    En la figura se puede demostrar ya que la tira de papel es de anchuraconstante, por lo que la diagonal AC es necesariamente paralela al lado DE.

    De forma anloga se puede demostrar para el resto de lados y diagonales.

    Lmina 16. Terica- prctica. Fractales en la naturaleza.

    (Bibliografa: http://www.red-mat.unam.mx/gog/fractales/naturaleza.htm)

    Formalmente, no existen fractales en la naturaleza. Ya que matemticamentese definen como conjuntos que cumplen ciertas condiciones, con respecto asu dimensin y forma, tales condiciones son imposibles de cumplir por unobjeto del mundo real.

    Un ejemplo: El helecho no tiene forma de fractal autosemejante.

    Para una hoja de helecho tuviera forma fractal (bilogos, perdn por eltrmino), tendra que cumplir el requisito de la autosemejanza. Tomemos lahoja completa, al compararla con la subhoja encerrada en rojo, vemos que separecen mucho, y ahora tomemos la subsubhoja encerrada en verde ytambin su apariencia es igual (o casi) a la subhoja y a la hoja completa...Hasta aqu todo va bien, PERO, Este proceso termina! Es un proceso finito yaque no podemos seguir tomando subsubsub... hojitas tan pequeas comoqueramos; es aqu donde se rompe con la formalidad matemtica del

    concepto autosemejanza. En la naturaleza solo se observan procesos finitos, yesta es la razn fundamental por la que no hay estructuras fractales en ella.

    http://piziadas.com/wp-content/uploads/2011/07/pentagono.jpg
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    SIN EMBARGO, hay fractales que visualmente sugieren estructuras de lanaturaleza, y es de verdad sorprendente como se asemejan. Tanto es as quehasta se elaboran paisajes para pelculas a partir de imgenes fractales.

    Fractales y la serie de Fibonacci en la naturaleza(Bibliografa. http://www.gran-angular.net/fractales-y-series-de-fibonacci-en-la-naturaleza/2008/09/11/)

    Los patrones matemticos dirigen muchas formas en la naturaleza; haynumerosos ejemplos de sistemas en forma de fractales , sucesiones deFibonacci,patrones que siguen elnmero ureo y que dan lugar a formas muybellas:

    Conchas de moluscosEspecialmente vistosas, las conchas de los Nautilus se forman siguiendo un

    patrn de nmero ureo:

    http://es.wikipedia.org/wiki/Fractalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonaccihttp://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
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    HelechosLas hojas de los helechos en forma de fractal:

    Brocoli

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    RomanescuEl romanescu es una variedad de brcoli que presenta formas de fractalespectaculares:

    Accidentes geogrficos, geomorfologas

    La red que forman los ros y sus afluentes recuerdan mucho a un fractal.Tambin ocurre con las cadenas montaosas y la formas de estas tras sererosionadas por los cursos de agua. Los grandes deltas y fiordos tambinsuelen aparecer en formas fractales.

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    rbolesRamas fractales

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    HojasLos nervios de las hojas en forma de fractal:

    Cactus, flores

    Como veis el mundo vegetal rebosa matemticas. Los cactus, forman a vecesfractales y algunas flores siguen la sucesin Fibonacci: el ejemplo clsico es elgirasol.

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    Cristales minerales, cristales de hielo, copos de nieveEspecialmente espectaculares son los fractales que forman los copos de nieve:

    Tambin algunos minerales y el hielo al cristalizar. En la primera imagen salcristalizada. En la segunda, cristales de hielo:

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    RayosAlgunos rayos al formarse lo hacen en forma de fractal:

    EquinodermosLos equinodermos son un grupo de animales formados entre otros por los erizosde mar y las estrellas de mar. En ellos pueden observarse morfologas quesiguen patrones fractales y series de Fibonacci:

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    Daucus Carotao planta de la Reina Anne

    Aloe espiralOtro ejemplo espectacular de sucesin de Fibonacci en el mundo vegetal:

    Fractales en la Naturaleza(Bibliografa: http://gaoalma.blogspot.com/2011/08/fractales-en-la-naturaleza.html )

    Desde el epicentro natural de la geometra sagrada, patrones fractales sedesdoblan como parte de un discurso que evoca la omnipresencia de un diosesttico

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    A lo largo de la historia humana, dentro de diversas culturas alrededor delmundo, una de las principales caractersticas atribuidas a la divinidad es laesttica. Con la geometra, el ritmo y la cromtica como tres de los recursospredilectos de este discurso divino, la naturaleza alcanza la ms espectaculary al mismo tiempo la ms discreta manifestacin divina como unahiperesttica paradoja.

    Un fractal es un patrn geomtrico que se autorreplica, infinitamente, aescalas menores, para producir formas y superficies irregulares que escapande los dominios de la geometra clsica. Al igual que en la naturalezahologrfica, cada porcin de un fractal, por ms pequea que sta sea,proyecta la figura completa a una escala ms pequea.

    El brillante matemtico francs Benoit Mandelbrot, que descubri lamatemtica fractal en la dcada de los setenta, afirma que un fractal nopuede ser tratado, desde un punto de vista matemtico, como un objeto quese manifiesta dentro de un nmero especifico de dimensiones. La naturalezade estas entidades radica principalmente en dos variables: la irregularidad al

    nivel de la forma y el patrn a nivel del ritmo. Mientras que su caractersticaintrnseca es el desdoblamiento autosemejante.

    Desde un punto de vista un tanto ms potico, el fractal podra representarseimaginando un escenario en el que el alma de la geometra se contempla asmisma frente a un espejo y, tras percibirse como un dios creador, consuma suconciencia frente a una algortmica y omnipresente vacuidad.Y a pesar de que los fractales se han convertido en uno de los recursos mspopulares en la generacin de grficos por computadora (CGI), la versin mspura y refinada de estas figuras, como suele suceder en muchos otros rubroscuando se trata de esttica, habita en la siempre perfecta naturaleza (Dios,quienquiera que sea, tiene buen gusto):

    http://3.bp.blogspot.com/-NRIbCMx3FDY/TkGctCF39lI/AAAAAAAAF3U/M-npem99oVY/s1600/fractal_1a.jpg
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    En las cataratas ocurre un fenmeno en el que la irregularidad producida porel terreno, en combinacin con la gravedad, genera patrones fractalesdurante la cada del agua.

    El Ro Yukon, en Alaska, se fragmenta en miles de canales de distribucin en sutrayecto hacia el Mar de Bering, formando una arteria fractal que puedeapreciarse desde las alturas cenitales.

    http://2.bp.blogspot.com/-1OckRgtPynM/TkGeJAYjK5I/AAAAAAAAF3g/WHEv2gEaE7I/s1600/picture-1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-GsbL98jIfL0/TkGdvfVAlGI/AAAAAAAAF3c/8M0UY1eNqCI/s1600/fractal_13.jpgoo.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-1OckRgtPynM/TkGeJAYjK5I/AAAAAAAAF3g/WHEv2gEaE7I/s1600/picture-1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-GsbL98jIfL0/TkGdvfVAlGI/AAAAAAAAF3c/8M0UY1eNqCI/s1600/fractal_13.jpgoo.jpg
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    Muchas plantas siguen simples frmulas recursivas en los patrones dibujadospor las venas de sus hojas y en la generacin de sus ramas.

    Los trazos generados por el paso del Ro Colorado a lo largo de millones deaos ha dotado al Gran Can con un sublime diseo fractal.

    http://4.bp.blogspot.com/-YYUq3OxUZEs/TkGfVPk2h0I/AAAAAAAAF30/6A7CAocQTL0/s1600/fractal_2a-1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-QDGBjSE0Rho/TkGeqDtpe3I/AAAAAAAAF3s/1xS-v5kfk30/s1600/fractal_6a.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-YYUq3OxUZEs/TkGfVPk2h0I/AAAAAAAAF30/6A7CAocQTL0/s1600/fractal_2a-1.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-QDGBjSE0Rho/TkGeqDtpe3I/AAAAAAAAF3s/1xS-v5kfk30/s1600/fractal_6a.jpg
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    Uno de los conos de la cultura pop fractal, el brocol Romanesco, manifiestaun exquisito diseo fractal representando el espiral dorado, la proporcinurea pitagrica contenida tambin en los nmeros de Fibonacci: unaestructura fractalizada en la que cada porcin nace de la anterior y gesta lasiguiente, originada por el factor .

    Esta imagen satelital nos muestra un grupo de los llamados vrtex de nubes,patrones sublimes formados por la perfeccin de un azar caprichoso: presinatmosfrica, viento, densidad y humedad.

    http://2.bp.blogspot.com/-Hl32E2vtqg4/TkGgmXnrgII/AAAAAAAAF38/PV_hnmeEH24/s1600/vonkarman_clouds_1.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-GWzBKwoNGDI/TkGffsWEVpI/AAAAAAAAF34/4ns39eMWNE4/s1600/fractal_10.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-Hl32E2vtqg4/TkGgmXnrgII/AAAAAAAAF38/PV_hnmeEH24/s1600/vonkarman_clouds_1.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-GWzBKwoNGDI/TkGffsWEVpI/AAAAAAAAF34/4ns39eMWNE4/s1600/fractal_10.jpg
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    Los helechos son uno de los ejemplos ms comunes de secuenciasautoreplicantes, en las cuales el patrn que develan puede sermatemticamente generado y reproducido en cualquier magnificacin oreduccin de su escala.

    Como si se tratara de las arterias de un violento pero lumnico dios, losrelmpagos acceden espontneamente a un algortmico fractal en cuestin

    de instantes para luego disolverse.

    http://3.bp.blogspot.com/-MbltjgEzGhs/TkGhILs34oI/AAAAAAAAF4E/YfhA_UQ5NTk/s1600/fractal_12a.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-C10vhcdMNz8/TkGhZ_naloI/AAAAAAAAF4I/iQ5EmOxsWyY/s1600/fractal_8a.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-2SVn2twBhTA/TkGg4HbudjI/AAAAAAAAF4A/sRrJYCoQkuw/s1600/fractal_5b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-MbltjgEzGhs/TkGhILs34oI/AAAAAAAAF4E/YfhA_UQ5NTk/s1600/fractal_12a.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-C10vhcdMNz8/TkGhZ_naloI/AAAAAAAAF4I/iQ5EmOxsWyY/s1600/fractal_8a.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-2SVn2twBhTA/TkGg4HbudjI/AAAAAAAAF4A/sRrJYCoQkuw/s1600/fractal_5b.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-MbltjgEzGhs/TkGhILs34oI/AAAAAAAAF4E/YfhA_UQ5NTk/s1600/fractal_12a.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-C10vhcdMNz8/TkGhZ_naloI/AAAAAAAAF4I/iQ5EmOxsWyY/s1600/fractal_8a.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-2SVn2twBhTA/TkGg4HbudjI/AAAAAAAAF4A/sRrJYCoQkuw/s1600/fractal_5b.jpg
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    El agua cristalizada forma patrones repetitivos que hanoriginado las primerascurvas fractalizadas de las que se tiene noticia. Estos patrones inspiraron lahiptesis de cmo el poder de nuestra conciencia influye en la materia conexperimentos como el del Dr. Emoto.

    La hipntica hermosura que envuelve al pavo real en su plumaje tambinmanifiesta una naturaleza fractal que ayuda a los machos de esta especie aseducir a las hembras a travs de la perfeccin esttica de un discurso queoscila entre lo onrico y lo algortmico.

    Lmina 17. Terica. La influencia de la geometra y lanaturaleza en el arte.(Bibliografa:http://www.eduinnova.es/oct09/GEOMETRIA_Y_NATURALEZA.pdf)

    INFLUENCIA DE LA GEOMETRIA YLA NATURALEZA EN EL ARTE.Natalia Gonzlez Zaragoza

    IntroduccinEl hombre ha intentando, por todos los medios, extraer del aparente caos de lanaturaleza, estructuras geomtricas y medidas naturales lgicas a partir delcrecimiento de las plantas, desarrollo de los esqueletos de los animales, laforma de las piedras y los minerales existentes en ella, para lograr unentendimiento con su medio y contexto y lograr sus propias creacionesartificiales. A lo largo de este artculo se presentan algunos ejemplos y estudiosde estas formas geomtricas, presentes a lo largo de la historia de lahumanidad en varios campos de la actividad humana en especial, la artstica.

    Son muchos los libros que me han ayudado a elaborar este artculo, stosaparecen al final, en la bibliografa.

    http://www.eduinnova.es/oct09/GEOMETRIA_Y_NATURALEZA.pdfhttp://2.bp.blogspot.com/-XR3atMlItIw/TkGhvHjJ7gI/AAAAAAAAF4M/XrRouE1fMAE/s1600/fractal_9a.jpghttp://www.eduinnova.es/oct09/GEOMETRIA_Y_NATURALEZA.pdf
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    La influencia de la naturaleza y la geometra en el arteEl hombre creador de la geometra y la matemtica ha llegado alconocimiento de las formas geomtricas existentes en la naturaleza a travsde procesos de abstraccin y de elaboracin, y la configuracin de estas

    formas se refleja en el espacio creado por el hombre en todo tipo derealizaciones principalmente en arquitectura.

    Los elementos fundamentales de la geometra son el punto, la recta, el plano,los polgonos, los poliedros y las superficies. Estos elementos bsicos del espacioposeen una gran carga expresiva ya que representan lo simple, lo puro, loperfecto, hacia lo que todo tiende.

    Por otro lado se pueden demostrar que los conceptos de equilibrio y eficienciamecnica presentes en la naturaleza son dos aspectos bsicos que se hallantambin en ingeniera. Por un lado la naturaleza tiende al equilibrio, ya que

    este se define como el estado mecnico en el cual la suma de todas lasfuerzas que actan a la vez en un cuerpo es igual a cero. El desequilibrio no esestable, es imperfecto, y por tanto en la naturaleza, no perdura. Este equilibriorequiere de la geometra a travs de figuras que tienden a ser simtricas.

    Por otro lado la naturaleza necesita obtener eficiencia mecnica en susconstrucciones, ya que de no ser as, sus estructuras no seran estables y noperduraran. Toda estructura necesita de este concepto para su formacin yasea un esqueleto, las ramas de un rbol o la formacin de clulas.

    La evolucin morfolgica de los seres vivos sta regulada por necesidades

    funcionales como es el movimiento, o recibir la luz solar, y por la accin defuerzas internas como el crecimiento, o externas como la presin o lagravedad, stas ltimas son las que regulan a los cuerpos inertes. Cuando lasfuerzas externas actan de forma variable se generan formas irregulares,cuando son constantes, la forma evoluciona de acuerdo a unas pautasgenerndose estructuras simtricas: radiales, polidricas Dentro de lassimetras en la naturaleza encontramos a la simetra radial y a la bilateral. Lasimetra radial, la menos compleja procede de una sola fuerza que ejerce casiun dominio total sobre el desarrollo de la forma. En una superficiebidimensional, quede expresada en copos de nieve, las flores, o los crculosconcntricos de una piedra arrojada a un lago. La simetra radial en formas

    tridimensionales conduce a formas esfricas.

    La simetra bilateral constituye un sistema de fuerzas ms complejo y surge defuerzas que se manifiestan a lo largo de una lnea. Las formas superiores devida, como el cuerpo humano, son bilateralmente simtricas.

    La simetra pentagonal y la hexagonal son habituales encontrarlas en lanaturaleza. La hexagonal aparece en las configuraciones estticas quedeterminan a los seres inertes: panal de abejas, piedras de basalto, cristales denieve estructuras que crecen por aglutinacin de unidades independientes ydel mismo tamao. Sin embargo la pentagonal es exclusiva de los seres vivos:

    estrellas de mar, erizos, flores...

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    A principios de s. XX DArcy Thompson desarrolla la morfologa o ciencia delasformas. Descubre que el rbol debe cada una de sus curvas al material delque est hecho y la accin de la gravedad. El ngulo que toman sus ramassaliendo del tronco se asemeja a una curva logartmica. Sus hojas se disponensegn una serie predeterminada de nmeros y su mxima altura est

    determinada por las leyes de la semejanza y la similitud. Toda su forma resultade las fuerzas que operan contra l.

    La evolucin morfolgica de algunos seres ha sido motivo de observacin y deestudio para el hombre por eso ciertos objetos artificiales creados por l, comoel diseo de las curvas del casco de un barco son semejantes a las de uncetceo o tiburn.

    Una de las formas geomtricas presentes en la naturaleza de forma evidentees la esfera. sta es una forma geomtrica con grandes propiedades, comopor ejemplo, ser el rea mnima posible de su volumen, aspecto muy ventajoso

    en cuanto al ahorro de espacio en la conservacin de materia, como puedeser el caso de una naranja o una sanda. Esta forma est especialmente enmedios en los que la gravedad es mnima o tiende a cero, como puede ser elespacio o el medio acutico. As las pompas de jabn, los seres unicelulares,las burbujas de aire en el mar, algunos crustceos, los planetas y las estrellasson algunos ejemplos.

    Los estudios tericos que han analizado el crecimiento y forma de los seresvivos, y por otro lado las creaciones artsticas en todas sus modalidades,aparecen recurrentemente proporciones comunes como es el caso de laseccin urea o divina proporcin. Es difcil hablar de geometra y naturaleza

    sin nombrar a la proporcin urea que se establece entre dos segmentosdesiguales. Fue Vitrubio en el s .I a. de Cristo, el descubridor de dichaproporcin presente en la naturaleza segn la cual la relacin entre elsegmento a y b es la misma que hay entre el segmento a y c. El nmero raznque los relaciona es el nmero irracional 1681, es el llamado nmero de oro.sta relacin numrica se repite sorprendentemente en la naturaleza en elcrecimiento de las flores y plantas, frutas(distancia entre las espirales de unapia, proporciones humanas(relacin entre la distancia de la mano al codo ydel codo al hombro) animales(cantidad de abejas macho y hembras en unpanal)proporciones geomtricas(relacin entre el lado del pentgono ydiagonal)estelares(rbita de Venus).Quiz esa sea la razn por la que nos

    resulta tan bella dicha proporcin: aparece tanto en nuestro mundo que nosdebe resultar visualmente familiar y armnica.

    El hecho de aparecer repetida y misteriosamente en la naturaleza de modotan abundante, le dio cierto aire enigmtico y divino, (de ah su nombre)como si alguien divino hubiera incluido esa proporcin en sus creaciones.Durante el renacimiento y a partir de l, se uso de modo casi obsesivo endetrimento de una divisin simtrica, pues los grandes maestros considerabanque lo simtrico era esttico y una divisin desigual como la proporcin ureadotaba a la obra de dinamismo y atractivo visual. Adems, si Dios la habausado para sus creaciones, cmo no iba el hombre a utilizarla.

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    La serie de Leonardo Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21.guarda tambin relacincon los aspectos estructurales de la naturaleza. Cada uno de estos trminos esigual a la suma de los dos precedentes, es de propiedad aditiva como la seriede nmeros ureos y de progresin geomtrica.

    Las hojas de una planta se cubren entre s lo menos posible para un mejoraprovechamiento de la luz, lo mismo se aplica a las ramas que nacen deltronco, las hojas se desarrollan en posicin de ligera rotacin sobre laprecedente, dando una pauta de crecimiento en espiral donde existe unarelacin numrica con la serie Fibonacci. Este hecho ya fue estudiado porLeonardo da Vinci: la filotaxia, que consiste en que las hojas se ordenan en elcrecimiento segn una hlice ascendente sobre el tallo, siendo ste su modelode crecimiento geomtrico.

    Una forma geomtrica muy reconocida en la naturaleza es la espiral presenteen conchas marinas, cuernos de ovinos.que exhiben las caractersticas de la

    espiral equiangular con crecimiento desde un solo punto. El grado deincremento en el radio determina el tipo de espiral. Sobre los muchos tipos deespirales que existen en la naturaleza, domina la espiral logartmica,equiangular o de proporcin urea, en la que cada incremento de la curva esproporcional a la distancia del punto central o a la distancia atravesada por lamisma espiral.

    Una de las fuerzas ms importantes de la naturaleza es la forma en que elespacio queda dividido.

    Cuando una materia est en proceso de formacin se encuentra en estado

    orgnico semilquido y sujetas a leyes de tensin superficial. La energa quecada superficie transmite a la contigua es un esfuerzo por equilibrar las fuerzasy crea una continuidad fsica entre ellas, siguiendo unas pautas definidas.

    Examinando la red de nervaduras de una hoja vemos que casi nunca hay msde tres lneas que se renan en un punto determinado de interseccin.Cuando una nervadura menor se une con otra mayor, el ngulo deinterseccin es de 90 grados, o sea, un equilibrio de fuerzas entre dos tamaos.Si se renen tres nervaduras del mismo tamao, intentan crear un equilibrioresultando el ngulo ideal cercano a 120 grados.

    En realidad, ninguna de las formas geomtricas de la naturaleza est presenteen toda su pureza. Todas ellas son aproximaciones. El ser humano es el que habuscado un paralelismo mediante la similitud de las formas naturales y lasformas geomtricas puras aprendidas mediante la abstraccin, pero sin duda,y por su gran parecido, pueden llegar a compararse.

    La geometra est presente en el arte desde tiempos prehistricos. Los pueblosprimitivos demostraron una nocin intuitiva de la geometra en cuanto a suspropias construcciones (la presencia del ngulo recto es muy abundante).

    Los egipcios ya usaban el nmero de oro de forma indirecta. El tringulo

    sagrado, utilizado en construcciones, sus lados son proporcionales a los

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    nmeros enteros 3, 4, 5 en progresin aritmtica. Otro tringulo egipcio, es eltringulo rectngulo, sus lados estn basados en una progresin geomtrica.

    En este tringulo la hipotenusa dividida por el cateto mayor es igual al catetomayor dividido entre el menor. Es decir el cateto mayor es media proporcional

    de la hipotenusa y el cateto menor. Ambos tringulos han sido utilizados en lasconstrucciones de las pirmides. Cada una de sus caras est formada por dosmedios tringulos ureos.

    Durante el esplendor de la civilizacin griega y romana, la geometraexperimento uno de sus momentos lgidos, ya que se desarroll de unamanera muy rpida y efectiva en un corto periodo de tiempo gracias a sabioscomo Pitgoras y Euclides. Pitgoras se ocup de las propiedades de lostringulos y los poliedros. La obra de Euclides ofrece el desarrollo de lageometra en Grecia, cuyo legado fue preservado por Roma y ms tarde porel Islam. Euclides plasm las ideas principales de sus teoras en una obra

    titulada Los elementos. En ella se presenta de manera formal, partiendonicamente de cinco postulados, el estudio de lneas y planos, crculos yesferas, tringulos y conos, etc., es decir de las formas regulares. Uno de susteoremas fue, por ejemplo, que la suma de los ngulos interiores de cualquiertringulo es de 180 grados.

    El nmero de oro va a regular la geometra de fachadas de templos, enespecial los dricos, como el Partenn de Atenas. Su presencia determina susespacios y a sus dimensiones, cuya finalidad era corregir la percepcindeformada del conjunto, debida al punto de vista bajo el que se miraba.Tanto en escultura como en arquitectura se emplea el trmino canon que era

    un sistema de medidas que regulaba las proporciones utilizando como unidadde medida el pie en el caso de la arquitectura y, en especial para realizar laaltura de las columnas y ,la cabeza en el caso de la escultura. Vitrubio,arquitecto romano y personaje clave en la transmisin de la geometra griegaafirma que simetra proviene de proporcin, a partir de las medidas de unaparte-un mdulo- se construye una obra entera. Simetra y proporcin son lasbases en las que se asienta la geometra de sus diseos.

    La cultura islmica desarrollo un arte basado en la geometra plana, quesustitua a la representacin humana en la decoracin. En especial destacanmotivos geomtricos que se entrelazan y que derivan en redes poligonales. La

    simetra pentagonal se abus abundantemente en la edad media comoreguladora de alzados y plantas de catedrales gticas por lo que quedapatente la utilizacin de la seccin urea.

    Durante el renacimiento hay que destacar al arquitecto Filippo Brunelleschique desarroll durante el s. XV un trabajo de investigacin en torno a laperspectiva basndose en el estudio del concepto de pirmide visual.Brunelleschi concibi la idea de que un plano que interceptase a unapirmide visual dara lugar a una representacin en perspectiva, lo cualconstitua la base geomtrica de la pintura renacentista.

    El artista ms importante del renacimiento en Alemania fue Durero. Se interesen el estudio de las teoras de la perspectiva, proyecciones, y puntos de fuga.

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    Fue un gran maestro de la geometra descriptiva y proyectiva. Adems,escribi tratados sobre la proporcin humana basndose en aplicacionessobre geometra. En ellos se refleja como dibujar una circunferencia enperspectiva, dibujar escorzos de personas realizando cuadrculas para facilitarel trazado.

    Otro artista y gran estudioso de la geometra fue Leonardo da Vinci. Destacansus estudios de pintura en los cuales defendi que haba que respetar tresefectos principales a la hora de captar la realidad de una imagen: ladisminucin del tamao del objeto al aumentar la distancia entre espectadory objeto, la prdida de los contornos y con en dicho aumento, y por ltimo, laexistencia del traslapo (efecto producido por la superposicin de un objetocon otro) y el escorzo.

    La siguiente gran aportacin de la geometra que influy en los modos derepresentacin de la realidad fue en el s. XVIII con el gemetra Gaspard

    Monge. Con su obra Geometra Descriptiva demostr que se podarepresentar objetos tridimensionales sobre el plano bidimensional a travs devarios sistemas de representacin en especial el sistema didrico.

    En el s. XIX Carl F. Gauss, matemtico, fsico y astrnomo alemn estudia de unmodo novedoso las superficies curvas y sus propiedades. Establece ladefinicin de geodsica (lneas pertenecientes a superficies curvas, como elecuador terrestre) y trata los elementos fundamentales de estas superficies,contradiciendo los postulados de Euclides, dando lugar a una nuevaconcepcin de geometra.

    En el s. XX encontramos una gran aportacin al mundo de la geometra, setrata de Le Corbusier. Arquitecto, urbanista, terico de la arquitecturamoderna y uno de los grandes arquitectos del s. XX. Sus ideas eran fruto de unareaccin ante la sociedad eminentemente industrializada. Se intereso por lasviviendas unifamiliares, por lo esttico y a la vez funcional, basado en lasformas puras y los colores esenciales. Las formas geomtricas presentes en suobra son esencialmente el cubo y el ngulo recto. Le Corbusier tambin diseun sistema de proporciones partiendo de la idea Vitrubio de un hombre de seispies con el brazo extendido: el Modulor, basado en la proporcin urea. Elsistema de medidas del Modulor defina el espacio que ocupa el hombre, ysupuso un referente para el diseo, el espacio habitable y el mobiliario.

    Por otro lado, las vanguardias artsticas tuvieron en ms de una ocasin comoprotagonista a la geometra. Paul Ceznne declar que todo en la naturalezase modela segn la esfera, el cono, y el cilindro. Hay que aprender a pintarsobre la base de estas figuras simples, despus se podr hacer todo lo que sequiera. Esta frase influy en el movimiento artstico del cubismo, sobre todo ensus inicios, donde trataba de simplificar la naturaleza a travs de elementosgeomtricos fundamentales. Otras vanguardias como el suprematismo latrataron de forma ms directa, pues evitaba a las formas naturales parabasarse en las geometras puras.

    Tambin el constructivismo, movimiento de origen ruso y el neo-plsticismo, deorigen holands al que perteneci Piet Mondrian, recurrieron a la geometra

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    de este modo directo, utilizando paralelogramos, prismas, rectas y puntos yaplicando colores puros.

    En el campo de la arquitectura de este siglo, y atendiendo especialmente aaspectos geomtricos y estructurales, es necesario nombrar al arquitecto

    Santiago de Calatrava, autor de la Ciudad se las ciencias en Valencia. Sutrabajo se basa en aspectos estructurales presentes en la naturaleza, ya quehan demostrado ser funcionales y eficientes en ella. Aprende de esassoluciones que la naturaleza ha dado por azar, y que han permanecido en eltiempo, precisamente por ser eficientes, y las transforma aplicndolas aproblemas arquitectnicos modernos. Esa es la razn por la que el aspecto desus construcciones recuerda en ocasiones a formas naturales, ramas,esqueletos, races

    La geometra es una de las cualidades propias tanto de la naturaleza comodel mundo del arte por distintas razones, o