MOV. COMPUESTO

Cinemática

Principales conceptos de cinemática

Movimiento Rectilíneo Acelerado

Caída libre

Movimiento de Proyectiles

Movimiento parabólicoMov. Semiparabólico

Cinemática de la Partícula

• Rapidez media . Es el cociente de la distancia recorrida en un intervalo de tiempo

v = ( distancia/tiempo)

• Velocidad media. Es el cociente del desplazamiento descrito en un intervalo de tiempo

v = ( x/tiempo)


• Aceleración media. Es el cociente del cambio de velocidad en un intervalo de tiempo

aceleración media = (v/tiempo)

•Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Es aquel movimiento rectilíneo en el la magnitud de la aceleración es constante.


•Ecuaciones del MRUV

vf = v0 + at

xf = x0 + v0 t + 0,5at2

v2f = vo

2 + 2a(xf - x0 )


• Caída Libre

Características:

• La velocidad inicial del cuerpo en caída libre es cero

• Movimiento Rectilíneo ( Unidimensional)

• La aceleración es constante ( g = -9,81 m/s2 )

OBJETOS EN CAÍDA LIBRE

Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente solo bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se liberan desde el reposo están todosen caída libre una vez que se liberan. Cualquier objeto en caídalibre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, sin importar su movimiento inicial.

• La aceleración debida a la gravedad está dirigida siempre hacia el centro de la Tierra, Tiene un valor constante igual a g = -9,8 m/s2

•Se utilizan las ecuaciones del Movimiento Rectilíneo

( Unidimensional)

7

Consideremos una pelota que cae como se muestra en la FiguraEn cualquier instante de tiempo el movimiento del objeto queda definido por : su posición, velocidad y aceleración

8

Los datos obtenidos han sido hallados a través de las ecuaciones del movimiento unidimensional considerando ay = -g . Ademas y0 y v0 son la posición y lavelocidad correspondiente a t = 0 s.

1.- A una piedra que se lanza desde lo alto del edificio se le da una velocidad Inicial de 20m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la .figura.

a) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición A y determine el tiempo en que la piedra llega a su máxima altura.

)( iByyiyB ttavv

y

yiyBB a

vvt

Siendo ti = 0

b) Encuentre la altura máxima de la piedra

Usando la ecuación

2

21

tatvyyy yyAABmáx

my

ssmssmy

máx

máx

4,20

)04,2)(/8,9(21

)04,2)(/20(0 22

De la Figura yA = 0, vA = 20m/s , ay = -9,8 m/s2

c) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se lanzó

smv

smsmvyyavv

yC

yCACyyAyC

/20

)00)(/8,9(2)/20()(2 22222

d) Encuentre la velocidad y la posición de la piedra en t = 5 s.

msmssmytatvyy

smssmsmtavv

DyyAAD

yyAyD

5,22)5)(/8,9(21

)5)(/20(021

/29)5)(/8,9(/20

222

2

2

21

tatvyy yyiif

21

21

9,433

9,433

tty

ty

2.- Se deja caer un cuerpo desde una altura inicial de 33 m/s, y simultáneamente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de 1 m/s. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es 18 m. Usando

Tenemos Para el primer cuerpo

Restando

sttyy

ty

1818

9,433

21

21

Para el segundo cuerpo

3.- Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quien está en una ventana a 4 m arriba. Las llaves las atrapa 1,5 s despúes con la mano extendida. a) ¿ Con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves ?

Tomando yi = 0 en la posición de lanzamiento, tenemos

2

21

tatvy yyif

sms

ssmmv

t

tayv yi

yf

yi /105,1

)5,1)(/8,9(21

421 222

Despejando la velocidad inicial

La velocidad en el instante t = 1,5 s es

smssmsmvttavv yfifyyiyf /68,4)5,1)(/8,9(/10)( 2

8.- Desde alturas distintas y al mismo tiempo se dejan caer dos cuerpos que llegan al suelo con un intervalo de 4 segundos; la relación de alturas es h2/h1 = 9/4. Calcular : a) El tiempo que tarda cada cuerpo en caer. b) La velocidad con que llega al suelo cada cuerpo. c) El valor de cada una de las alturas

a) La ecuación que nos da el espacio recorrido por cada uno de los cuerpos es :

y la relación entre ambos vale :

Por otro lado tenemos:

Reemplazando

Esta es una ecuación de segundo grado y por lo tanto obtenemos dos valoresreales.

Recordando la solucion de la ecuación

02 cbtates

aacbb

t2

42

En nuestro caso a = 4, b = 32 y c = 64, reemplazando los valores en la untimaecuación obtenemos el valor del tiempo igual a t1 = 8 s. Reemplazando elvalor de t2 = 12 s.

Los espacios recorridos serán :

Las velocidades finales de cada cuerpo vendrán dadas por:

Ecuaciones de la Caída libre

vf = v0 + 9,81t

yf = y0 + V0 t - 0,5(9,81t2 )

v2f = vo

2 -2(9,81)(yf - y0 )


Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico. Cuyas características son los que se muestran a continuación

MOVIMIENTO TECTILINEO UNIFORME

Vx = cte

d = vt

Caída libre

Vy = 0

Vx

V de caída

Las ecuaciones del movimiento considerando Vi = 0 serían: X = Vx t y = ½ gt2

1)Desde la parte superior de un acantilado de 45m de altura se dispara horizontalmente un cuerpo a razón de 8m/s. calcular el tiempo que permanece en el aire y la distanciahorizontal alcanzada, también se pide calcular la velocidad final vertical y la Velocidad total cuando toca el piso. (g = 10m/s2)

PROBLEMAS

V = 8m/sx

45mt

V = 8m/sx

d

V = 8m /sx

V = 00

V x

V yV

2) Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90m/s deja caer un proyectil desde una altura de 360m. ¿Con qué velocidad (aproximada) llega el proyectil a tierra? g = 10m/s2.

Lanzamiento de proyectiles formando un ángulo respecto a la horizontal

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Observaciones:La componente horizontal de la velocidad permanececonstante durante todo el trayecto.La componente vertical de la velocidad varía uniformemente poracción de la aceleración de la gravedad.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

2

20

2

2

1

2

gtVoth

ghVV

gtVoV

F

F

HORIZONTAL: d = VH . t

VERTICAL:

ECUACIONES AUXILIARES

2Seng

VL

g2

Voh

2

2

MAX

PROPIEDADES:

* Al disparar un proyectil dos veces con la misma rapidez, pero conángulos de elevación complementarlos se logra igual alcance.

* Para una misma rapidez de disparo, se logra un máximo alcance con un ángulo de elevación de 45°.

Ecuaciones del movimiento de proyectiles formando un ángulo respecto a la horizontal

Eje x

xf = x0 - v0 cos t

Eje y

vf = v0 sen -9,81t

yf = y0 + v0 sent -9,81(0,5)t2

v2f = (v0 sen)2 -2(9,81)(yf - y0 )


3) Calcular “x”, si se dispara un proyectil con km/h

x

v

45°

Paso 01: Descomponer la velocidad usando el ángulo

Paso 02: Usar independientemente el eje X e Y para trabajar con el MRU ycaída libre respectivamente

2144

V

53°

4). Se dispara un proyectil a razón de 200m/s, formando un ángulo de 53° con la horizontal. Observa el gráfico y completa los datos de la tabla adjunta, usando el triángulo notable mostrado.

Ángulo de tiro

Vel. de tiro

Vox Voy T sub. T baj. V = (Vox i +Voy j)m/s

I.ANALIZA. Las expresiones respecto al movimiento parabólico relacionando las frases del lado izquierdo con las de la derecha, ubicando la letra correspondiente.

a.En el mov. Compuesto la velocidad horizontal es.( )Es igual a cerob.La altura máxima se logra cuando la velocidad final es:( )Ángulo de tiro 45ºc.La velocidad vertical en el eje Y está : ( )Es igual a (Voy/g)

d.El tiempo de de subida es : ( ) (Voy)2/2g.

e.La altura máxima se calcula a través de la fórmula:( ) MRUf.Si V = (10 i + 40 j)m/s, entonces: ( )Su VT =20 5

g. Si V = (20 i - 40 j)m/s, entonces: ( )Disminuyendoh.Se logra un máximo alcance : ( )Constantei.La distancia horizontal se calcula usando : ( )Partícula desciendej.En el movimiento compuesto ( )componen MRU Y MVCL.k. El movimiento vertical es ( ) independiente del horizontal

5). Si se dispara un proyectil con Vo = 250 m/s. calcular la altura máxima alcanzada. g = 10m/s2.

v

74°

Alcances obtenidos según diversos ángulos

OyV x

V F

qh máxh

V H

L

Vo

A

6). IDENTIFICA las características del movimiento compuesto en el siguiente gráfico, completando los espacios vacíos, según corresponda; la velocidad es Vo = 100 m/s y el ángulo

de lanzamiento es de 37º.

a.La velocidad horizontal es igual a :……………..b.La velocidad vertical es igual a:…………………c.El tiempo de subida es igual a:………………….d.El tiempo de vuelo es igual:……………………..e.Si el tiempo de A a B es de 3 s, entonces la distancia d es igual a:…………..f.La altura máxima es igual a hmáx……..

g.el tiempo de vuelo es igual a:……………….h.El alcance horizontal L es igual a:…………………i.La altura h a la que se encuentra el punto B es igual a:…………..j.La velocidad final VF es igual a:…………………..

k.La velocidad horizontal en el punto B es igual a:…………l.La velocidad total en el punto B es igual a:…………………….(usar teorema de Pitágoras)m.La velocidad de llegada al piso es igual a:……………………

B

d

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