INTRODUCCIÓN

Los principales objetivos de los capítulos dedicados a la Mecánica Clásica

fueron cómo predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado

inicial (velocidad y posición) y las fuerzas que actúan sobre él. Un caso

particular es cuando la fuerza es proporcional al desplazamiento del cuerpo

desde su posición de equilibrio. Si dicha fuerza siempre está dirigida hacia la

posición de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un

movimiento periódico u oscilatorio. En Física, y en la Naturaleza en general,

hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de ahí la

importancia de su estudio:

Los latidos del corazón

El movimiento del péndulo de un reloj

La vibración de las moléculas de un sólido alrededor de sus posiciones

de equilibrio

La corriente eléctrica que circula por el filamento de una bombilla

Las vibraciones de las cuerdas de un violín.

El movimiento oscilatorio está intrínsecamente relacionado con los fenómenos

ondulatorios. Cuando vibra la cuerda de un violín se producen oscilaciones de

las moléculas del aire que lo rodea y, por el contacto o interacción entre unas y

otras, las oscilaciones se propagan en el espacio en forma de onda. El ejemplo

más sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento armónico

simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente entre

dos posiciones espaciales fijas sin perder energía mecánica. Además de ser el

tipo de movimiento oscilatorio más fácil de describir matemáticamente,

constituye una buena aproximación a muchas oscilaciones que se encuentran

en la Naturaleza.

MOVIMIENTO OSCILATORIO

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Se dice que una partícula que se mueve a lo largo del eje x realiza un

movimiento armónico simple cuando su desplazamiento respecto a su posición

de equilibrio varía con el tiempo de acuerdo con la relación:

x(t) = A cos(t + );

Donde A, y son constantes del movimiento. La representación gráfica de

x = x(t) tiene esta forma:

Conceptos básicos en la descripción de este tipo de movimiento son los

siguientes:

A: Amplitud.- máximo desplazamiento de la partícula (negativo o positivo)

respecto de su posición de equilibrio.

: Desfase inicial.- junto a la amplitud indica cuales son las condiciones

iniciales del movimiento. Se determina, como veremos más adelante, a partir

de la posición y velocidad iniciales.

t + : Fase.

T: Periodo.- Es el tiempo que necesita la partícula para realizar un ciclo

completo de su movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T). En el tiempo T la fase

aumenta 2.

: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).

f = 1/T: Frecuencia.- número de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza

la partícula: 2f = . En el S.I. se mide en 1/s ó hertzios (Hz).

La velocidad y la aceleración de una partícula que realiza un MAS se obtienen

sin más que derivar su posición en función del tiempo:

v(t) y a(t) son también funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que

x(t), pero diferente amplitud y desfase:

La amplitud, A, y el desfase, , del movimiento se obtienen a partir de las

condiciones iniciales del siguiente modo:

Dividiendo ambas ecuaciones:

Por otra parte:

Elevando al cuadrado y sumando:

Para concluir este apartado resumiremos las propiedades más importantes de

la cinemática del MAS:

1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes

amplitudes y desfasadas entre sí.

2. La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero en sentido

opuesto.

3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la

amplitud.

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Ahora que ya sabemos cómo describir el movimiento armónico simple,

investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El

sistema físico más sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un

muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos).

Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio el muelle

ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongación pero con signo

opuesto a ella y que viene dada por la ley de Hooke,

Donde k es una constante que depende de las características del muelle.

Despejando la aceleración (f = ma):

Luego al igual que en el MAS, la aceleración es proporcional en

módulo al desplazamiento y de sentido opuesto. Comprobemos que,

efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la ecuación de

movimiento,

Es fácil comprobar que la solución de esta ecuación puede escribirse:

En efecto:

Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partícula

actúe una fuerza proporcional a su desplazamiento y en sentido

opuesto a éste, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del

desplazamiento son:

T y f sólo dependen de la masa y de la construcción del resorte. La frecuencia

es mayor para un resorte duro y al contrario.

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLEEn temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es

conservativo y que su energía potencial viene dada por:

La energía total del sistema será:

Por el principio de conservación de la energía, E debe ser una constante del

movimiento (si despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que

para calcularla podemos elegir el punto más cómodo. Elijamos, por ejemplo, el

punto donde la elongación es máxima y la velocidad nula, es decir, en los

extremos de la trayectoria:

En ese punto:

Esta es la energía de un MAS. Como vemos sólo depende de la amplitud del

movimiento y de la constante del muelle. Como la energía mecánica es

constante es instructivo representar cómo se compensan Ec y U en un

diagrama de energías frente al tiempo (en la figura se ha elegido = 0).

La energía cinética también se puede expresar en términos de la posición:

que es la ecuación de una parábola invertida y centrada en x = 0.

De esta ecuación se deduce inmediatamente que la velocidad es máxima en

x=0 y que se anula en los puntos de máxima elongación: x = A.

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1. PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo

de longitud, l, inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro

extremo del hilo se encuentra sujeto a una posición fija. Demostraremos

que el péndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente de su

posición vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente,

considerando que no hay rozamientos.

La fuerza en la dirección tangente al movimiento viene dada por:

Si es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación,

sen. Esto se debe a que haciendo un desarrollo en serie de la

función sen x, y cortándolo en el primer término, la diferencia entre x y

sen x sólo es de un 1% cuando 15°. Luego si el péndulo no oscila con

demasiada amplitud, su ecuación de movimiento angular es la de un

MAS: = max cos(t + ). La frecuencia del movimiento y el periodo

son:

Ambos parámetros sólo dependen de l y g, no de la masa. Entonces

todos los péndulos de igual longitud oscilaran del mismo modo. El

péndulo simple suele utilizarse en la práctica para gran cantidad de

aplicaciones que se podrán dividir en dos bloques:

- medir tiempos su periodo es constante (salvo rozamientos y

variaciones de l por las condiciones termodinámicas ó de g por la

latitud o altitud) y es fácil visualizar el número de oscilaciones.

- medir g las medidas de g con este método son bastante precisas,

lo que es importante porque cambios locales de g pueden dar

información valiosa sobre la localización de recursos minerales o

energéticos.

2. PÉNDULO FÍSICO

Cualquier sólido rígido colgado de algún punto que no sea su centro de

masas oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio. Este

dispositivo recibe el nombre de péndulo físico o compuesto. El momento

del peso respecto al eje de giro será = mgh sen y la segunda ley de

Newton para la rotación se expresará,

El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ángulo por lo

que:

Para un péndulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las

ecuaciones del apartado anterior. Cuando los desplazamientos

angulares son pequeños sen y

Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia

de sólidos rígidos.

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a

sistemas ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acción de una fuerza

lineal opuesta al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre

están presentes fuerzas disipativas que hacen que la energía mecánica se

vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el movimiento

armónico está amortiguado. Un tipo habitual de fuerzas de fricción son las

proporcionales a la velocidad fr = -bv. La ecuación de movimiento de un

sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento sería:

Un ejemplo físico de esta situación será un muelle sumergido en un fluido.

Resolviendo la ecuación diferencial anterior se puede obtener que su solución

es de la forma,

donde la frecuencia viene dada por:

Evidentemente en el límite b = 0 se recupera la solución de un MAS.

Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que

resulta es de tipo oscilatorio con una frecuencia menor que si no hubiese

rozamiento. Pero, además, el factor exponencial hace que la amplitud del

movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es pequeño la

ecuación anterior da como solución una función de la siguiente forma:

Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matemáticamente se produce

cuando (b/2m)2 <k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2

>

k/m], ni siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento

sobre amortiguado y la solución matemática es:

Existe además el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situación,

además de no haber oscilaciones la caída de la amplitud es más rápida que en

el caso sobre amortiguado. Se dice que el amortiguamiento es crítico.

Matemáticamente la solución es de la forma:

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS

Es posible compensar la pérdida de energía de un oscilador amortiguado

aplicando una fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un niño en un

columpio para mantenerse en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de

cierto modo para que se compensen las fricciones. Otro ejemplo es que para

mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una fuerza oscilatoria

sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso más común las

fuerzas aplicadas son periódicas, por ejemplo de la forma,

La ecuación de movimiento ahora será:

La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la

solución estacionaria. La transitoria es análoga a la de un oscilador

amortiguado, con constantes que dependen de las condiciones iniciales. Quiere

esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa hasta que

desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un

cierto tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la solución de la

ecuación es estacionaria, ya no depende de las condiciones iniciales y se

puede escribir así,

donde = (k/m)1/2, 0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:

Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del

oscilador, es fija y variamos la externa, se obtiene una figura así para la

amplitud A:

El drástico incremento de la amplitud que se produce cuando = 0 se

denomina resonancia. Físicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza

aplicada y la velocidad del oscilador están en fase. Entonces como P = f.v, la

potencia transferida es máxima. Ejemplos de situaciones con resonancia son

los siguientes:

- Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia

natural del sistema para repetir los impulsos con esa frecuencia.

- Cuando un pelotón de soldados marcha por un puente ha de tener

cuidado de que la frecuencia del paso no sea la de resonancia del

puente.

- Un vaso se puede romper si se emite cerca de él un sonido de

frecuencia parecida a su frecuencia de resonancia.

- Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una

frecuencia de vibración similar a la de su resonancia.

- Sintonizar un aparato de radio o TV no es más que buscar la

frecuencia con que emite la fuente para que coincida en resonancia

con la del circuito eléctrico del receptor.

PROBLEMAS

1. Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo.

Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la

derecha (figura), determinamos que la fuerza de estiramiento es

proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un

desplazamiento de 0.030 m. Quitamos la balanza y conectamos un

deslizador de 0.50 kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0.020 m

por una pista de aire sin fricción, lo soltamos y vemos cómo oscila. a)

Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcule la frecuencia

angular, la frecuencia y el periodo de la oscilación.

a) Cuando x = 0.030 m, la fuerza que el resorte ejerce sobre la balanza

de resorte es FX = -6.0 N.

k = -Fx/X = 6/0.030 = 200 N/m = 200 kg/s2

b) usando m= 0.50 kg, vemos que:

La frecuencia f es

El periodo T es el recíproco de la frecuencia f:

El periodo por lo regular se da en “segundos”, en vez de en “segundos

por ciclo”.

2. Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en

el ejemplo anterior, con k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Esta vez

impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 m y una

velocidad inicial de +0.40 m/s. a) Determine el periodo, la amplitud y el

ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para

desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.

a) El periodo es exactamente el mismo del ejemplo 1, T = 0.31 s. En el

movimiento armónico simple, el periodo no depende de la amplitud,

sólo de los valores de k y m. En el ejemplo 1, determinamos que

=20 rad/s, así que:

Para obtener el ángulo de fase , usamos la ecuación

b) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración en cualquier instante

están dados por las ecuaciones, respectivamente. Sustituyendo los

valores, obtenemos:

La velocidad varía senoidalmente entre -0.50 m/s y +0.50 m/s. La

aceleración varía senoidalmente entre -10 m/s2 y +10 m/s2.

BIBLIOGRAFÍA

- Apuntes de Física I. Prof. Alejandro Medina Domínguez. Universidad

de Salamanca.

- Física. Jorge Mendoza Dueñas.

- Física Universitaria. Sears – Zemansky. 12 ava edición.