Oscar Potes Zambrano Docente de Física

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S)

Existen fenómenos en la naturaleza que se repiten con las mismas características en lapsos

de tiempos iguales. Por ejemplo, el día o la noche, las olas que se acercan o se alejan de la

playa o las estaciones. De manera similar, algunos objetos describen movimientos que se

repiten, como el péndulo de un reloj o un disco compacto girando, que cada cierto tiempo

ocupan las mismas posiciones. Todos estos movimientos se pueden denominar como

periódicos. El M.A.S es también un tipo de movimiento periódico.

1. MOVIMIENTO OSCILATORIO

Definimos el período como el tiempo que un cuerpo emplea en regresar al lugar de donde

partió, después de pasar por todas las posibles posiciones de la trayectoria. Por ejemplo, el

segundero de un reloj describe un movimiento periódico cuyo periodo es de un minuto.

Un caso particular del movimiento oscilatorio que ocurre cuando un cuerpo ocupa

sucesivamente posiciones simétricas respecto a una posición determinada recibe el nombre

de posición de equilibrio.

En la figura se muestra una regla que vibra. Observe que el extremo de la regla describe un

movimiento, donde la posición de equilibrio es el punto O y los extremos de la trayectoria,

los puntos P y P’.

En la figura se muestra un objeto que oscila atado a un resorte. Durante el movimiento, el

cuerpo oscila entre las posiciones A y A’, pasando por el punto O, que corresponde a la

posición de equilibrio.

Para describir el movimiento oscilatorio es necesario tener en cuenta los siguientes

elementos:

Oscar Potes Zambrano Docente de Física

1. Oscilación: se completa cuando a partir de determinada posición, el objeto regresa

a ella, después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria. En el caso

del objeto sujeto al resorte, se completa una oscilación cuando el objeto describe

una trayectoria AOA’OA.

2. Periodo: es el tiempo que emplea el objeto en hacer una oscilación. Se mide en

segundos y se representa por T.

3. Frecuencia: es el número de oscilaciones que efectúa el objeto en cada unidad de

tiempo. La frecuencia se expresa en oscilaciones sobre segundo (osc/s), que

usualmente se representa por s-1

o en hertz (hz), en honor a Heinrich hertz.

Al igual que en el movimiento circular uniforme, para el movimiento oscilatorio la

frecuencia y el periodo se relacionan mediante la fórmula:

La frecuencia es inversamente proporcional al período.

4. Punto de equilibrio: es el punto de la trayectoria en el cual, la fuerza recuperadora

es nula, en el ejemplo es el punto O.

5. Punto de retorno: son los dos puntos extremos de la trayectoria en los cuales el

movimiento cambia de sentido.

6. Elongación: es la posición del objeto en cualquier punto con respecto a la posición

de equilibrio. En la siguiente figura se representan diferentes elongaciones, una de

ellas x=4 cm, para un objeto que oscila entre dos posiciones extremas: x=-10cm y

x=10cm

7. Amplitud: es la máxima distancia que el cuerpo alcanza con respecto a la posición

de equilibrio. Es decir, es la longitud de la máxima elongación. En la gráfica

anterior, la amplitud es A=10cm.

Ejemplo

Una esfera se suelta en el punto A y sigue la trayectoria que se muestra en la figura.

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Resolver:

a) Se considera que hay fricción, describir la trayectoria del movimiento.

b) Describir la trayectoria del movimiento suponiendo que no hay fricción.

c) Si se desprecia la fricción y la esfera en su movimiento oscilatorio pasa 36 veces

por el punto B durante 10 segundos, ¿Cuál es el periodo de oscilación?

d) ¿Cuál es el valor de la frecuencia?

Problema propuesto

Un objeto, atado a un resorte, oscila entre las posiciones A y B indicadas en la figura. Si en

10 segundos llega 15 veces al punto A, determine:

a. El periodo de oscilación.

b. La frecuencia de oscilación.

c. La amplitud.

2. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

El movimiento de una partícula en oscilaciones depende de la fuerza de restauración

producida. Una fuerza tal es la fuerza del resorte, descrita por la ley de Hooke,

F = -kx

En donde k es la constante del resorte. El signo menos indica que la fuerza está siempre en

dirección opuesta al desplazamiento, es decir, que tiende siempre a regresar el resorte a su

posición de equilibrio.

Supóngase que una masa sobre una superficie horizontal, sin fricción, se fija a un resorte

como se muestra en la figura. Cuando la masa es desplazada a un lado de su posición de

equilibrio, se mueve hacia atrás y hacia adelante vibra u oscila. Es decir, la fuerza

recuperadora del resorte lo lleva hacia su posición de equilibrio, pero debido a la inercia, la

masa no se detiene en ese punto, si no que continúa moviéndose realizando un movimiento

periódico representado por una ley sinusoidal.

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1. ENERGÍA EN EL M.A.S.

La energía potencial en un resorte almacenada en un resorte estirado o comprimido está

dado por:

La ecuación se obtiene de , vemos que la fuerza no es constante sino que aumenta

linealmente a medida que el desplazamiento lo hace de la misma forma, como la figura que

se obtiene es un triángulo el área esta dada por

en este caso como

entonces

, remplazando tenemos

,

.

Como y como entonces , luego

, Esto es el trabajo hecho por el resorte.

Una masa m que oscila en un resorte tiene energía cinética. Así las energías cinética y

potencial juntas dan la energía mecánica total del sistema:

.

Cuando la masa está en uno de sus desplazamientos máximos, +A 0 –A, está

instantáneamente en reposo (v=0). Así toda la energía es energía potencial en ese momento;

es decir:

, en donde A es la magnitud del desplazamiento máximo o amplitud.

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Podemos expresar la velocidad como una función de la posición así:

( )

√

( )

En donde el signo indica la dirección. Observe que para x = A, la velocidad es cero y

la masa está en reposo instantáneamente en las posiciones máximas de su desplazamiento.

También cuando la masa que oscila pasa a través del origen, o por la posición de equilibrio

(x=0), la energía potencial es cero. En ese instante, toda la energía es cinética y la masa se

mueve a su velocidad máxima, vmax. Esto es:

Vmax √

2. MOVIMIENTO EN EL M.A.S.

Decimos que la ecuación de movimiento para un objeto o una partícula es la ecuación que

nos da su posición como una función del tiempo.

La ecuación de movimiento para un objeto en M.A.S se puede derivar mediante una

relación entre los movimientos armónicos simples y circular uniforme.

El M.A.S se puede simular por un componente en un movimiento circular uniforme como

se muestra en la figura siguiente. Observe que a medida que el cuerpo iluminado se mueve

con movimiento circular uniforme (con rapidez angular w constante) en el plano horizontal,

su sombra se mueve hacia adelante y hacia atrás, siguiendo la misma trayectoria que la

masa en el resorte, que está en M.A.S. dado que la masa y la sombra tienen la misma

posición en cualquier tiempo se deduce que la ecuación del movimiento horizontal para el

objeto en movimiento circular es la misma que la ecuación de movimiento para una masa

que oscila horizontalmente en el resorte

A partir del círculo de referencia, la coordenada x (posición) del objeto está dada por:

Pero el objeto se mueve con una velocidad angular constante con una magnitud w, en

términos de la distancia angular tenemos = wt, así:

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La rapidez angular (en rad/s) algunas veces se conoce como frecuencia angular, dado que

w=2f, en donde f es la frecuencia de revoluciones o rotación. Así:

3. VELOCIDAD EN UN M.A.S.

La partícula Q que posee un movimiento circular uniforme lleva una velocidad tangencial

constante en magnitud, pero variable en dirección.

Descomponiendo la v en las direcciones horizontal y vertical donde

, se observa que vx tiene sentido negativo en esta posición, por lo tanto

el signo negativo lo introducimos para indicar el sentido de la velocidad.

Como entonces queda que y como r = A entonces:

.

Cuando la velocidad es máxima la velocidad se calcula:

4. ACELERACION EN UN M.A.S.

La aceleración que experimenta la partícula Q va siempre dirigida hacia el centro de la

trayectoria y por esta razón se llama aceleración centrípeta; es la encargada de variar la

dirección de la velocidad tangencial.

La descomponemos en sus dos ejes, vertical y horizontal y aplicamos la relación

trigonométrica coseno:

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, la aceleración en el eje horizontal tiene sentido contrario a la elongación que

consideramos positiva, por tanto ac = w2r de donde se concluye que ax = -w

2rcoswt o sea:

Cuando la aceleración es máxima tenemos:

5. PERIODO DE UNA MASA QUE OSCILA SUSPENDIDA DE UN RESORTE

Para obtener su ecuación analizaremos el comportamiento de la velocidad de la masa en su

punto de equilibrio.

En x=0, la velocidad es máxima, por lo tanto el ángulo es 90º y el sen90º=1, entonces

, ya que el valor máximo que puede tomar senwt = ±1.

Si consideramos energéticamente la situación vemos en este punto la energía potencial es

nula y su energía es igual a la total, por tanto:

, donde

, porque

Al remplazar obtenemos:

, tenemos

, luego

√

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Como

, obtenemos

√

De donde se concluye que

√

6. EL PENDULO SIMPLE

Está constituido por un cuerpo, generalmente regular, que oscila suspendido de un hilo

cuya masa se asume como despreciable.

En la figura se muestra un péndulo en la posición de equilibrio, en reposo, donde la tensión

T del hilo se anula con el peso, w, del cuerpo. Una vez puesto en movimiento el cuerpo

pasa periódicamente por el punto de equilibrio.

Observe la siguiente figura donde se muestra la fuerza de restitución, F, que hace que el

péndulo vaya hacia la posición de equilibrio. Esta fuerza es la componente del peso,

tangencial a la trayectoria cuyo valor es:

Luego

Para ángulos menores de 10º, expresados en radianes, el seno del ángulo tiene la propiedad

de ser prácticamente igual a la medida de dicho ángulo. Por lo tanto para ángulos pequeños

tenemos que

De ahí que la expresión, es equivalente a: .

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Como la longitud x del arco, el radio l y el ángulo α se relacionan mediante

Entonces:

Puesto que para un movimiento armónico simple igualando los resultados

Obtenemos

Igualmente, como en un M.A.S, √

reemplazando k por el valor anterior,

Encontramos que √

√

siendo T el periodo del péndulo

simple.

Ejemplo 1

Un bloque con masa de 0.25kg que descansa sobre una superficie sin fricción está

conectado a un resorte que tiene una constante de 180N/m. si el bloque se desplaza 15cm

de su posición de equilibrio y luego se libera. Hallar:

a) La energía total del sistema

b) La velocidad máxima del bloque

c) La velocidad del bloque cuando está a 10cm de la posición de equilibrio

Ejemplo 2

Cuando una masa de 0.5kg se suspende de un resorte, el resorte se estira 10cm. La masa se

jala hacia abajo otros 5cm y se libera.

¿Cuál es la energía total del sistema en oscilación?

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Ejemplo 3

Un cuerpo que oscila con M.A.S de 10cm de amplitud; posee un periodo de 2 segundos.

Calcular la elongación, velocidad, y aceleración cuando ha transcurrido un sexto de

periodo.

Ejemplo 4

Calcular la velocidad y aceleración máxima de un cuerpo que posee M.A.S de 8cm de

amplitud y 4 segundos de periodo

Solución.

Calculo de la velocidad máxima.

( )(

)

Calculo de la aceleración máxima

( )(

)

Ejemplo 5

¿Qué tiempo mínimo debe transcurrir para que una partícula que oscila con M.A.S de 12cm

de amplitud y 4 segundos de periodo alcance una elongación de 8cm? ¿Qué velocidad lleva

en dicho instante?

Ejemplo 6

Una masa fija a un resorte oscila horizontalmente en una superficie sin fricción con una

amplitud de 15cm, con una frecuencia de 0.2hz. ¿Cuál es el desplazamiento de la masa en

t = 3.1s? ¿Cuántas oscilaciones hace en ese tiempo?

Ejemplo 7

¿Cuál es el periodo de oscilación de un cuerpo de 1kg de masa, sujeta a un resorte de

0.5N/m de constante elasticidad?

Ejemplo 8

Que masa debe suspenderse de un resorte con constante elasticidad 1N/m para que este

oscile con periodo de 1s?

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Ejemplo 9

Una masa de 0.5kg, se sujeta a un resorte que posee M.A.S de 0.8s de periodo. Si su

energía total es de 10J calcular la amplitud de oscilación

Ejemplo 10

Calcular el periodo de oscilación de un péndulo de 1m de longitud

Ejemplo11

Que longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea 1s

Ejemplo 12

En la construcción de un péndulo que se quería tuviera un periodo de 0.5s, se comete un

error y su longitud se hace 1cm mas grande. ¿Cuánto se atrasa este péndulo en un minuto?