Movimiento circularLas magnitudes caractersticas de un movimiento circular, anlogas a las ya definidas para el movimiento rectilneo. Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.Posicin angular, En el instante t el mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el ngulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O.El ngulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, =s/r. La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, En el instante t' el mvil se encontrar en la posicin P' dada por el ngulo '. El mvil se habr desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explic en el movimiento rectilneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleracin angular, Si en el instante t la velocidad angular del mvil es y en el instante t' la velocidad angular del mvil es '. La velocidad angular del mvil ha cambiado =' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleracin angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleracin angular en un instante, se obtiene calculando la aceleracin angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angularSi conocemos un registro de la velocidad angular del mvil podemos calcular su desplazamiento -0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto dt representa el desplazamiento angular del mvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.En la figura, se muestra una grfica de la velocidad angular en funcin del tiempo, el rea en color gris mide el desplazamiento angular total del mvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posicin angular del mvil en el instante t, sumando la posicin inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curva -t o mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.Dada la aceleracin angular, hallar el cambio de velocidad angularDel mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del mvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular en funcin del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad -0 que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de una grfica de la aceleracin angular en funcin del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad -0 es el rea bajo la curva - t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.Conociendo el cambio de velocidad angular -0, y el valor inicial 0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular en el instante t.

Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilneo.

Movimiento circular uniformeUn movimiento circular uniforme es aqul cuya velocidad angular es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero. La posicin angular del mvil en el instante t lo podemos calcular integrando -0=(t-t0)o grficamente, en la representacin de en funcin de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son anlogas a las del movimiento rectilneo uniforme

Movimiento circular uniformemente aceleradoUn movimiento circular uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin angular podemos obtener el cambio de velocidad angular -0 entre los instantes t0 y t, mediante integracin, o grficamente.

Dada la velocidad angular en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamiento -0 del mvil entre los instantes t0 y t, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las frmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son anlogas a las del movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular con el desplazamiento -0

Magnitudes lineales y angularesDe la definicin de radin (unidad natural de medida de ngulos) obtenemos la relacin entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ngulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Derivando s=r respecto del tiempo, obtenemos la relacin entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La direccin de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la direccin radialAceleracin tangencialDerivando esta ltima relacin con respecto del tiempo obtenemos la relacin entre la aceleracin tangencial at y la aceleracin angular.

Un mvil tiene aceleracin tangencial, siempre que el mdulo de su velocidad cambie con el tiempo.Aceleracin normalEl clculo de la componente normal de la aceleracin es algo ms complicado. La aceleracin normal est relacionada con el cambio de la direccin de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleracin tangencial ya que le mdulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su direccin y por tanto, tiene aceleracin normal.

Supongamos un mvil que describe un movimiento circular uniforme. En el instante t la velocidad del mvil es v, cuyo mdulo es v, y cuya direccin es tangente a la circunferencia. En el instante t' la velocidad del mvil v', que tiene el mismo mdulo v, pero su direccin ha cambiado.Calculemos el cambio de velocidad v=v-v que experimenta el mvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector v tiene direccin radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los tringulos de color rojo y de color azul de la figura son issceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relacin

Donde la cuerda s es el mdulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo t=t'-t

Cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, la cuerda s se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el mdulo de la velocidad v del mvil,

La aceleracin normal an tiene direccin radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el mvil y su mdulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

ResumiendoLa direccin de la velocidad de un mvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.Un mvil tiene aceleracin tangencial at siempre que cambie el mdulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleracin tangencial es el mismo que el de la velocidad si el mvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un mvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleracin tangencial.Un mvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleracin normal, an ya que cambia la direccin de la velocidad con el tiempo. La aceleracin normal tiene direccin radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.La aceleracin del mvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleracin.

Ejemplo 1Una rueda de r=0.1 m de radio est girando con una velocidad de 0=4 rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular La aceleracin angular =0+tEn el instante t=4 s la velocidad angular =0=- rad/s2El ngulo girado hasta este instante es

En el instante t=1 s, la posicin y la velocidad angular del mvil es =7/2=2+3/2 rad=4+(-)1=3 rad/sLa velocidad linealv=r v=0.3 m/sLa componente tangencial de la aceleracin esat=r at=-0.1 m/s2La componente normal de la aceleracin esan=v2/r an=0.92 m/s2

Ejemplo 2Movimiento de una bicicleta Una bicicleta de montaa dispone de tres platos y siete piones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante 1. Cul es la velocidad v que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?.Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta: Radio del plato seleccionado, r1 Radio del pin seleccionado, r2 Radio de la rueda trasera, ra Radio de la rueda delantera, rbAunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competicin contra-reloj son diferentes como en la simulacin ms abajo.La figura representa un plato y un pin unidos por una cadena. No es necesario saber Cinemtica para establecer una relacin entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.

La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del platovc=1r1La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del pinvc=2r2Tenemos de este modo, la relacin entre las velocidades angulares 1 y 22r2=1r1En el tiempo t un eslabn de la cadena se mueve de A a B. Un diente del plato gira un ngulo 1 y uno del pin gira un ngulo 2. Tendremos entonces la siguiente relacin2r2= 1r1Ahora nos fijaremos en la rueda trasera. Si suponemos que el pin es fijo, la velocidad angular del pin 2 es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.

De modo que, la velocidad va de un punto de la periferia de dicha rueda es va= 2raEsta es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.En el captulo slido rgido estudiaremos con ms detalle la relacin entre la velocidad de traslacin y la velocidad de rotacin de un slido que rueda sin deslizar.El ngulo girado por dicha rueda en el tiempo t ser a== 2tEl eje de la rueda delantera est unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rgida de tubos de la bicicleta. La velocidad de traslacin de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera. La velocidad angular de la rueda delantera serv= brbEl ngulo girado por dicha rueda en el tiempo t b= bt

Ejemplo 3Dados los siguientes datos El radio de la rueda trasera, ra=30 cm El radio de la rueda delantera, rb=20 cm Velocidad angular del plato, 1=1.0 rad/s Radio del plato seleccionado, r1=7.0 cm Radio del pin seleccionado, r2=3.5 cmVelocidadesVelocidad angular del pin: 3.52=1.07.0 2=2 rad/sEsta es tambin la velocidad angular de la rueda trasera.Velocidad del ciclista sobre la bicicleta: v=230=60 cm/s=0.6 m/sVelocidad angular de la rueda delantera: 60= b20 b=3 rad/sDesplazamientosEn el tiempo de t=1.0 sLa bicicleta se desplaza: x=vt=601.0=60 cm=0.6 mEl ngulo girado por el plato: 1= 1t=1.01.0=1.0 rad.El ngulo girado por la rueda trasera: a= 2t=2.01.0=2.0 rad.El ngulo girado por la rueda delantera: b= bt=31.0=3 rad

La casete: Una casete es una caja de plstico que dispone de dos pequeas ruedas en las que se enrolla y desenrolla respectivamente una cinta magntica. Dispone de un cabezal que graba o reproduce el sonido en la cinta, tal como se muestra en la figura.

El radio inicial de las ruedas sin cinta es r0=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=vT. El espesor de la cinta h es muy pequeo, y su valor lo determinaremos ms adelante.En el instante inicial t=0. El radio de la rueda izquierda es r0=1.11 cm El radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, para una cinta de duracin T=46.4 minutos La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relacin entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotacin de las ruedas sern El radio de la rueda izquierda ser r1 y su velocidad angular 1=v/r1 El radio de la rueda derecha ser r2 y su velocidad angular 2=v/r2 Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares 1 y 2 de las ruedas no lo son ya que sus radios r1 y r2 cambian con el tiempoEn cada vuelta 2, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ngulo d1, su radio se habr incrementado en dr1.

La rueda derecha habr girado un ngulo d2, su radio habr disminuido en dr2

Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r1=r0 el radio de la rueda derecha es r2=R0

En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente. el radio de la rueda izquierda es r1=R0 el radio de la rueda derecha es r2=r0

Si medimos los radios r0 y R0, el tiempo T, y la velocidad v podemos despejar el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuacin. Si la duracin de la cinta es de T=46.4 minutos.

Los ngulos girados por las dos ruedas se calculan integrando 1, y 2, respecto del tiempo t.

En el instante t=T, r1=R0 y r2=r0, el ngulo total girado por ambas ruedas es el mismo,