MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO

Cuando una masa de 2 kilogramos se adjunta a un resorte cuya constante es 32N / m, que se detiene en la posición de equilibrio. A partir de t = 0, una fuerza igual a f (t) = 68e-2t cos 4t se aplica al sistema. Encuentra la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento

Tenemos: m = 2 kg

K = 32 N/m

β=0

Y f (t )=68 e−2 t cos 4 t

Ahora, la ecuación diferencial de la fuerza de movimiento es

m∂ ² x∂ t ²

=−kx−β ∂ x∂ t

+ f (t)

Obtenemos

2∂² x∂ t ²

=−32 x+68e−2t cos4 t

O

∂ ² x∂ t ²

+16 x=34 e−2 t cos 4 t …………. (*)

Y las condiciones iniciales son x(0) = 0 , x’(0) = 0

A partir de la ecuación (*) tenemos:

m2+16=0↔m=±4 i

Por lo tanto, la función complementaria es

Xc=C₁cos 4 t+C₂ sen 4 t

Ahora, vamos

Xf=e−2t ¿

Entonces

X ´ f=e−2 t ¿

X ´ ' f=e−2 t ¿)

Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación original, obtenemos

e−2 t ¿) = 34 e−2 t cos 4 t

e−2 t ¿] = 34 e−2 t cos 4 t

Igualando los coeficientes, tenemos:

4 A−16 β=34

16 A+4 β=0

La solución de estas dos ecuaciones, obtenemos A=12y B=−2

Entonces Xf=e−2t (12cos 4 t−2 sen 4 t)

Así x (t )=Xc+Xf

x (t )=C ₁cos 4 t+C₂ sen 4 t−e−2 t( 12cos4 t−2 sen4 t)

x ' (t )=−4C₁ sen 4 t+4C₂cos 4 t−2e−2 t( 12cos 4 t−2 sen 4 t)+e−2 t(−2 sen4 t−8 sen 4 t)

Ahora, el ajuste x(0) = 0 da 0=C₁+12↔C ₁=−1

2

Y, el ajuste x’(0) = 0 da 0=4C ₂−1−8↔C₂=94

Asi, x (t )=−12cos 4 t+ 9

4sen 4 t+e−2 t( 1

2cos 4 t−2 sen 4 t)

Es la solución requerida de movimiento