Movimiento parabolico con Excel Microsoft.pdf

Prof. Javier González Cázares Telesecundaria Secretaría de Educación, México

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

TANGENTE Y VELOCIDAD

En una hoja Excel, graficamos una parábola que es cortada por una recta en dos puntos. Lo que

haremos es variar las coordenadas de estos puntos, hasta hacerlos que se acerquen lo más

posible, es más hasta que sean iguales entre ellos para analizar lo que sucede:

Para ello, dibujamos una barra de desplazamiento (control ActiveX), para hacer variar los puntos

de intersección.

Exactamente cuándo se hacen iguales, sucede que la curva ¡se distorsiona!


A medida que las coordenadas de la SECANTE se

juntan, se configura otra línea llamada

TANGENTE. Expliquémonos; si 12 xxx , y x2

= x1, entonces ; asimismo 12 yyy ,

además y2 = y1 entonces 0y y por definición

la pendiente es:

12

12

xx

yym

La pendiente se transforma en la tangente a la curva. Pero ¿qué hemos hecho? Hemos presentado

una negación de vacío en el análisis, sumamos y dividimos magnitudes “ilimitadamente”

pequeñas, la suponemos tan pequeñas que desaparecen (se hacen cero), x e y, varían en

proporción según las circunstancias lo determinen, es decir las despojamos de su “base material”,

es una relación cuantitativa sin cantidad “alguna”; la relación:

Es una ¡contradicción!, usted amable lector, ¿Qué sucede? La filosofía físico-matemática queda

eliminada, niega sus resultados para convertirlos en otros: la ciencia real. Esta indeterminación la


usaremos para graficar los vectores del análisis de la trayectoria ¿cómo? Bueno, variaremos la

tangente hasta casi cero, para obviamente evitar la indeterminación, y podamos visualizarlos.

La tangente es instantánea en un punto

determinado. Analizando su comportamiento en

este instante usando la geometría en la hoja Excel:

El instante (del latín instans, porción brevísima de

tiempo) en física nos ayuda a analizar

comportamientos que no podemos detectar a

simple vista, cuando sube un objeto al aire en el

momento que llega a su máxima altura, en ese

preciso instante el tiempo es cero, y físicamente es

imposible de analizar que sucede ¡pero con

matemáticas y física si!, también el comportamiento de un átomo en una reacción química, el

punto de contacto cuando se acerca el buril a un material para cortarlo, etc.

Toda imagen conceptual está limitada a una cierta situación, y subjetivamente por el que estudia

alguna realidad. Los esquemas lógicos se refieren a formas de pensar, de las formas del ser, del

“mundo exterior”, es decir, el pensamiento no puede deducirse a sí mismo, sin tomarlas del

mundo exterior.

Cuando Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas giran en torno al sol en elipses y

Galileo descubrió que un cuerpo lanzado al aire tiene una trayectoria parabólica, establecieron

una forma de pensamiento: la abstracción como un método confiable de análisis (el estudio de las

formas del espacio y las relaciones cuantitativas del mundo real), por ejemplo una pelota de futbol

es analizada, y la trayectoria de ésta durante un pelotazo: da origen a una trayectoria definida; el

matemático se abstrae de lo real e idealiza el objeto pelota como si fuera un punto en el espacio

(¡contradictoriamente un punto no tiene dimensiones!), y su trayectoria es una parábola (es una

línea, es cierto, pero ésta no tiene ancho ni espesor), no es más que la separación de lo real de su

contenido, pasando a la libre creación e imaginación de la inteligencia humana.

A la rama que estudia la posición de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan es la

cinemática, y usa la geometría para estudiarlos (geometría del movimiento), la aceleración

vectorial, es invariable y su línea de acción está a lo largo de la línea del vector desplazamiento, de

manera que la velocidad (v), aceleración (a, es la velocidad al pasar el tiempo), y el desplazamiento

(x) puedan manejarse por medio de signos.

La cinemática estudia la posición de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan, y usa la

geometría para estudiarlos (geometría del movimiento), como el caso de la aceleración vectorial;

esta es invariable y su línea de acción está a lo largo de la línea del vector desplazamiento, de

manera que la velocidad (v), aceleración (a, es la velocidad al pasar el tiempo), y el desplazamiento

(x) puedan manejarse por medio de signos.

La introducción de las fórmulas1 para este caso son:

1 Física I, Dirección de materiales y prototipos didácticos del colegio, grupo PROINSER, CONALEP, México, 1994


2

2

2

*

2

22

atvox

axvv

t

vva

vvv

tvx

of

of

of

Dónde:

x = desplazamiento

v = velocidad promedio

vo = velocidad inicial

vf = velocidad final

a = aceleración

t = tiempo.

En la Caída Libre la fricción del aire es despreciable, el análisis vectorial de este es:

En este ejemplo consiste en describir toda la trayectoria del objeto a lo largo de la trayectoria,

desde la velocidad inicial pasando por el vuelo altura máxima y al tocar el suelo.

La velocidad en x y en y, tienen la fórmula:

Para representar la trayectoria del objeto, tabularemos tres variantes: el tiempo, el

desplazamiento x ( x = vox * t ) y el desplazamiento y ( y = voy* t + 1/2gt2 ).

Para calcular el desplazamiento máximo, se iguala la proyección y a cero, aplicando algebra

básica, se concluye:

senvv

vv

oy

ox

*

cos*


g

vt

oy2max

Simplemente se sustituye en la fórmula:

La hoja Excel es un recurso apropiado para estudiar el comportamiento de este objeto, lo cual

podemos manipular la posición y la velocidad instantánea: tanto en la proyección x como en y,

resultante, ángulo de inclinación y máximo desplazamiento.

La velocidad instantánea de un objeto es la tangente a la curva en el paso, donde el

desplazamiento x, en un tiempo determinado es una línea recta, pero es una curva en

desplazamiento x y la altura y para un proyectil. El desplazamiento será siempre positivo, pero si

es en sentido contrario se considerara como negativo.

La tangente es instantánea en un punto determinado. Analizando su comportamiento en este

instante usando la geometría en la hoja Excel:

max0 * tvx x


A medida las coordenadas de la secante se juntan, se configura otra línea llamada tangente.

Expliquémonos; si 12 xxx , 0x ; asimismo

12 yyy , 0y y por definición la

pendiente es:

12

12

xx

yym

Cuando sucede esto, la pendiente se transforma en la tangente a la curva.

Abra una nueva hoja Excel: Escriba los siguientes datos:

Efectuamos la tabulación: Para el tiempo, escribimos un valor en N8, luego en O8 escribe

=N8/10000, vincúlala con una barra de desplazamiento:

En la columna A, tratara esta variable, en A10 escribe 0, en A10 escribe =A10+$O$8, cópiala y

pégala hasta A112.

Para el desplazamiento es x, en la celda B10 escribe =$D$5*A10, cópiala y pégala hasta B112.

El desplazamiento y, en la celda C10 escribe =$D$6*A11-(0.5)*9.8*(A11^2), cópiala y pégala hasta

C112.

Grafica las columnas B y C:


Ahora, para graficar el vector velocidad resultante (o tangente a la curva), primero se calculan los

vectores vox y voy , por lo que el ángulo del vector resultante y para eso computamos la pendiente

en los dos últimos puntos graficados, en celda J17 escribe =(C112-C111)/(B112-B111); en J18

escribe =GRADOS(ATAN(J17)), en J19 escribe =RADIANES(J18).

El tiempo en:

Para la velocidad vx , sus puntos son: en la celda L14 escribe =B112, en celda M14 escribe =C112, en

L15 escribe =B112+H5, en M15 escribe =C112, las flechas se tabulan dependiendo de que tan

grandes las desee graficar.

Para la velocidad vy, sus puntos son: en la celda L23 escribe =B112, en celda M23 escribe =C112,

en L24 escribe =B112, en M24 escribe =C112+H16, las flechas se tabulan dependiendo de que tan

grandes las desee graficar.


El vector resultante sus puntos son: en la celda O14 escribe =B112, en la celda P14 escribe C112,

en la celda O15 escribe =L15, celda P15 escribe =M24.

La grafica queda así:

El desplazamiento máximo: en la celda S34 se calcula el tiempo máximo con la formula

=2*D6/9.81, luego se sustituye en la celda S35 con =D5*S34, cópiela y péguela en la celda L7.

En ángulo de elevación del vector se calcula a partir de la celda R27 con =(P14-P15)/(O14-O15), en

celda R28 la fórmula es =ATAN(R17), en celda R29 es =GRADOS(R18), cópiela y péguela en la celda

M5.

Al final queda de esta manera, claro que haga lo necesario para hacer atractiva su presentación:

CONCLUSIÓN

Entre el tiempo t = 0 segundos, y el tiempo final cuando toca el suelo, la pelota se mueve desde el

punto s = 0 metros, hasta el alcance máximo, la velocidad en cada instante varía según su

posición, a medida que cambiamos el valor del tiempo, comprobamos una ley de la física, la

energía no deja de existir sino que se transforma, en el punto máximo el vector velocidad vertical

se cancela por acción de la gravedad, no así la componente en la horizontal, que a medida que el

ángulo de inclinación de hace cero, éste se iguala a la velocidad promedio del balón.


El análisis vectorial en la trayectoria del objeto punto a punto, desde que es golpeado pasando por

el punto máximo y luego bajar hasta tocar el suelo. Existe también el ángulo de despegue si es más

inclinado (o bien menos inclinado) la distancia se ve afectada para alcanzar un mínimo (o un

máximo). El objeto tiene una trayectoria que se supone no le afecta la fricción del aire, incluso el

peso mismo del objeto; al eliminar estas propiedades hace que el análisis sea más fácil de

entender.

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