Ms II Determ Indeterm c 5 1
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7/23/2019 Ms II Determ Indeterm c 5 1
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Semana 05
SISTEMA DE FUERZAS DETERMINADO E INDETERMINADO
INTRODUCION
En mecnica de materiales los problemas ms simples son estticamente determinados
que tambin reciben el nombre de Isostaticos,en dichos casos las reacciones y el sistema
interno de esfuerzos en una seccin se pueden determinar mediante la esttica.
Los resortes, barras y cables, estudiados en la seccin anterior tiene esta caracterstica
comn, sus reacciones y fuerzas internas pueden determinarse solo de diagramas de cuerpo
libre y ecuaciones de equilibrio, sin considerar deformaciones.
La mayor parte de las estructuras son ms complejas, pues sus reacciones y fuerzas
internas no pueden encontrarse solo por la esttica y para poder calcularse necesitan saber
las propiedades de los materiales.
En este capitulo se demostrar como las ecuaciones de Equilibrio esttico se pueden
complementar con otras adicinales que se requieran utilizando condiciones de
compatibilidadde desplazamientos y finalmente lasRelaciones fuerza desplazamiento.
Por otro lado tenemos que el principio de superposicin se utiliza para obtener mtodos
generales muy efectivos para la solucin de problemas altamente indeterminados que
implican materiales elsticos lineales. Dichos mtodos se denominan comnmente:
1.- Mtodo de las flexibilidades(o mtodo de las fuerzas tambin llamadas mtodo de
las deformaciones congruentes o compatibles) y
2.- Mtodo de las Rigideces(o mtodo de los desplazamientos)
DETERMINACIN E INDETERMINACIN
SISTEMA DE FUERZAS DETERMINADOS
Si se pueden determinar los valores de todas las fuerzas exteriores (Reacciones)que
actan sobre un cuerpo, por las ecuaciones de equilibrio esttico, para este caso es
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necesario que haya tantas ecuaciones de equilibrio como incgnitas,cuando existe esta
condicin, se dice que el sistema es determinado.
Los cuerpos de la figura 5.1, son determinaos ya que hay tres fuerzas desconocidas
independientes (Reacciones) y tres ecuaciones de equilibrio que las relacionan es decir
0Fx ; 0Fy 0Mo
Figura 5.1 Ejemplos de sistemas determinados
SISTEMA DE FUERZAS INDETERMINADAS (ESTATICAMENTEINDETERMINADOS)
Si se aade un soporte adicional a cada uno de los cuerpos de la figura 5.1 adicional, se
obtendr cuatro fuerzas desconocidas independientes y solo tres ecuaciones de
equilibrio. Estos soportes se aaden por razones de seguridad o incremento de rigidez
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de la estructura. En este caso hay ms incgnitasque ecuaciones de equilibrio. Los
sistemas de este tipo se llaman indeterminados. Son indeterminados en el sentido de que
no es posible encontrar todas las fuerzas desconocidas utilizando conceptos de equilibrio.
Se dice que el ejemplo anterior es indeterminado en primer grado, puesto que hay una
incgnita ms que las ecuaciones disponibles de equilibrio.
Figura 5.2 ejemplos de sistemas indeterminados
El grado de indeterminacinse define siempre como la diferencia entre el nmero de
fuerzas desconocidas y el nmero disponible de ecuaciones para obtener estas incgnitas,
estas fuerzas adicionales se denominan Redundantes. Para el caso de un simple cuerpo,
se encuentra con facilidad el grado de indeterminacin, es decir, el nmero de redundantes.
Ejemplo.:
Ecuaciones de equilibrio = 3
Incognitas = 5
N Redundantes 5-3=2
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SOLUCION DE LOS SISTEMAS INDETERMINADOS.
En todos los problemas estticamente indeterminados las ecuaciones de equilibrio
esttico siguen siendo validas, estas ecuaciones sonnecesarias pero no suficientespara
resolver los problemas indeterminados. Como se dijo las ecuaciones suplementarias seestablecen a partir de consideraciones de la geometra de las deformaciones
Denominadas ecuaciones de Compatibilidad.
En sistemas estructurales, donde las condiciones fsicas lo exigen, ciertos elementos o
partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse al mismo tiempo, alargarse juntos o
bien permanecer fijos. Formulando dichas observaciones cuantitativamente se obtienen
las ecuaciones adicionales requeridas. Las ecuaciones de compatibilidad son relacionesgeomtricas entre los cambios dimensinales de las barras y se deducen de las figuras
deformadas de la estructura.
EJEMPLO PRCTICO.
Para ver como se analiza una estructura estticamente indeterminada, consideremos el
ejemplo de la figura para la siguiente pregunta. Calcular las reacciones y el esfuerzo en
el elemento AB?
Ecuaciones de equlibrio 0Fy 1Incognitas RA, RB =2
Redundante 2-1=1
1) La barra prismtica AB esta unida a soportes rgidos en ambos extremos y esta cargada
axialmente por una fuerza P en un punto intermedio C. Como ya se dijo, las reacciones Ra
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y Rb no pueden encontrarse solo por esttica, por que se dispone solo de una ecuacin de
equilibrio:
0VERTF RA+RB = P...........................................1
2) Se requiere una ecuacin adicionalpara resolver las dos reacciones desconocidas.La ecuacin adicionalse basa en la observacin de que una barracon ambos extremos
fijosno cambia de longitud. Si la separamos de sus soportes como se ve en la figura de
diagrama de cuerpo libre, obtenemos una barra que esta libre en ambos extremos y
cargada por las tres fuerzasRa, Rb y P. Esas fuerzas ocasionan que la barra cambie de
longitud una cantidad.
0AB
, 0CBAC
...................................................2
Esta ecuacin, llamada ecuacin de compatibilidad, expresa el hecho de que el cambiode longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones en los soportes.
3) Para resolver las ecuaciones 1 y 2, debemos expresar la ecuacin de compatibilidad
en trminos de las fuerzas desconocidas Ra y Rb. Las relaciones entre las fuerzas que
actansobre una barra y sus cambios de longitudse conocen como relaciones fuerza
desplazamiento. Esas relaciones tienen varias formas, dependiendo de las propiedades
del material.Si el material es elstico lineal, la ecuacinEA
PL puede usarse para
obtener las relaciones fuerzadesplazamiento.
Supongamos que la barra de la figura tiene un rea A en su seccin transversal y que esta
hecha de un material con mdulo E. Entonces los cambios de longitud de los segmentos
superiores e inferiores son, respectivamente.
EA
aRA
AC
EA
bRB
CB
.............................................3
Donde el signo menos indica un acortamiento de la barra. Las ecuaciones anteriores son
las denominadas relaciones fuerza desplazamiento.
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Par resolver debemos combinar simultneamente las tres ecuaciones (equilibrio,
compatibilidad y las relaciones fuerza desplazamiento).Combinando las relaciones fuerza
desplazamiento con la ecuacin de compatibilidad
0AB CBACAB 0EA
bR
EA
aRBA
...................4
Observe que esta ecuacin contiene como incgnitas dos reacciones, el siguiente paso es
agregar la ecuacin de equilibrioa la ecuacin 4 encontrada, los resultados son:
L
PbR
A
L
PaR
B
Conocidas las reacciones, es viable determinar todas las otras fuerzas y desplazamientos.
LEA
Pab
EA
aRA
AC
Tambin podemos encontrar los esfuerzosen los dos segmentos de la barra directamente
a partir de las fuerzas axiales internas
AL
Pb
A
RA
AC
COMENTARIOS GENERALES FINALES
Del problema anterior, es posible observar que el anlisis de una estructura estticamente
indeterminada implica plantear y resolver ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad, y
relaciones fuerza desplazamiento. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las cargas
que actan sobre la estructura con las fuerzas desconocidas (que pueden ser reacciones
fuerzas internas) y las ecuaciones de compatibilidad expresan condiciones sobre los
desplazamientos de la estructura. Las relaciones fuerzadesplazamientoson expresiones
que utilizan las dimensiones y propiedades de los miembros estructurales para
relacionar las fuerzas y desplazamientos de dichos miembros. En las barras cargadas de
manera axial que se comportan de forma linealmente elstica, las relaciones se basan enla ecuacin
EA
PL . Por ultimo, es posible resolver simultneamente los tres conjuntos de
ecuaciones para las fuerzas y los desplazamientos desconocidos.
NOMENCLATURA
Las ecuaciones de equilibriose conocen tambin como estticaso cinticas.
Las ecuaciones de compatibilidadse llaman a veces ecuacionesgeomtricas, ecuaciones
cinemtica o ecuaciones de deformaciones consistentes.
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Las relaciones fuerza desplazamiento se denominan en ocasiones relaciones
constitutivas (por que tienen que ver con la constitucin, o propiedades fsicas de los
materiales)
METODOS DE FLEXIBILIDAD O METODO DE RIGIDEZ
Se trata de describir los enfoques que emplean comnmente para analizar los problemas
estticamente indeterminados; la solucin que se da a un problema de este tipo esta dado:
0VERTF RA-P+RB = 0...........................................1 Equilibrio
0AB
CBACAB
...................................2 Compatibilidad
EA
aRA
AC
EA
bRB
CB
.............................3 Relacin Fuerza Deformacin
1) METODO DE LA FLEXIBILIDAD O METODO DE LAS FUERZAS
Este mtodo consiste en tratar las fuerzas internas o las fuerzas de reaccin como
incgnitas. El coeficienteEA
Lel cual se multiplica por la fuerza interna
desconocida, se denomina coeficiente de flexibilidad. Si las incgnitas son fuerzas
internas (en vez de fuerzas de reaccin), como suele ser en estructuras grandes, la
matriz de las ecuaciones simultneas se llama matriz de flexibilidad.
Las relaciones fuerza deformacin se escriben:
EA
aRA
AC = AARf ,
EA
bRB
CB
= BBRf
Donde la constanteEA
Lf se denomina flexibilidad de la barra y pude ser
de la barra AC y CB. Al sustituir estas ecuaciones en la ecuacin de compatibilidad,
se obtiene
0 BBAA RfRf
Esta ecuacin se puede resolver junto con la ecuacin de equilibrio para las
reaccionesA
R yB
R Excepto por alguna terminologa adicional, este es el mtodo
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de solucin que se utiliz en la seccin anterior. Tambin se llama mtodo de las
fuerzas por que da como resultado un sistema de ecuaciones en trminos de fuerzas.
2) METODO DE LA RIGIDEZ O DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Este mtodo consiste en tratar los desplazamientos como incgnitas. El coeficiente
L
EA, el cual se multiplica por el cambio dimensional, se conoce como coeficiente
de rigidez. Teniendo como base la ecuacin L
EAP y ecuacin de equilibrio,
se relacionan el desplazamiento y las fuerzas externas. La matriz en la que se
multiplican el desplazamiento desconocido se llama matriz de rigidez. En este
mtodo, las relaciones fuerzadeformacin se escriben como
ACACACA K
a
EAR
CBCBCBB KC
b
EAR
Donde las constantes CBACyKK son llamadas rigidez de las partes AC y CB de la
barra. Al sustituir estas ecuaciones en la ecuacin de equilibrio, se obtiene0
CBCBACAC KKF
Esta ecuacin se puede resolver junto con la ecuacin de compatibilidad
para los cambios de longitudAC
yCB
. Una vez conocidas estas, las fuerzasAC
R
yCB
R se pueden determinar a partir de las relaciones fuerza-deformacin. Este
enfoque tambin se denomina mtodo de desplazamiento porque da como
resultado un sistema de ecuaciones en trminos de deformacin, los cuales se
pueden expresar en trminos de desplazamientos.
Para la solucion del problema anterior por el metodo de desplazamientos tenemos:
1) Equilibrio
PRRBA
1
2)
compatibilidad
0AB
0CBAC
,CBAC
..2
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ACA
a
EAR ,
CBB
b
EAR ..3
Remplazando 3 en 1 tenemos
Pb
EA
a
EACBAC
Aplicando 2
Pb
EA
a
EAACAC
EAL
Pab
baEA
Pab
b
EA
a
EA
PAC
)(
L
Pb
EAL
Pab
a
EA
a
EAR
ACA )(
L
Pa
EAL
Pab
b
EA
b
EAR
CBB )(
AL
Pb
A
RA
AC
2) Problema.-
Si la barra de hierro se estira hasta entrar en contacto con la barra transversal y
luego se suelda, calcular los esfuerzos.
EAl =1x106kg/cm2
EFe =2x106kg/cm2
AAl =AFe = 10cm2
L=1.00m
b=0.002m
1) EQUILIBRIO
2 + = 0
2)
COMPATIBILIDAD
= +
3) FUERZA DESPLAZAMIENTO
=.
.
=. ( )
.
b
Al
Fe
Al
L=1.00
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10
. ().
=.
. + 0.002
100 1
. 99.5
2106. 10 =
. 100
1106. 10 +0.2
. 99.52(10)
= . 100
10+ 0.2106
. 99.5 = 200 + 0.4 107
2 . 99.5 = 200 + 0.4 10
. 99.5 = 100 + 0.2 10
= 0.2 10
7
199.5
= 10,025.06
=10,025.06
10= 1002.51 /2
= 2
= 2(10,025.06)
= 20,050.12
=
20050.13
10 = 2,005.01 /
3.-Problema.-
Tres barras de material elstico y perfectamente plstico se han colocado simtricamente
en un plano para formar el sistema que se muestra en la figura. Calcular las cargas y la
deformacin de la junta . El rea transversal de la barra esy el modulo de elasticidad
es de ambas barras
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=
cos
=
Remplazando en la ecuacin 2
cos
=
cos
=
Remplazando en la ecuacin 1
+ 2 cos cos =
=
(1+2cos )
Calculando F2
cos
+ 2 cos =
+ 2 cos = cos
1. Por Equilibrio
+ 2 cos = . . (1)
Esta relacin se verifica
independientemente del material, sin
embargo depende de la magnitud dela
deformacin que alcance.
2.
= cos = c o s . . (2)
= cos =
cos
3. .
cos
=
cos
= cos . . ( 3 )
(3) (1)
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12
=cos
(1+2cos )
5.
=
(1+2cos )
=
(1 + 2 )
=
cos (1+2cos )
cos
= c o s (1+2cos )
ARMADURAS.
Introduccin.
En Ingeniera, el termino estructura se puede referir a cualquier objeto que tiene
la capacidad de soportar cargas,dentro de estas tenemos a las armaduras. Las estructuras
de armaduras fueron populares en el siglo XIX y los inicios del siglo XX como medio
econmicos para la construccin de puentes.
Las armaduras tridimensionales (armaduras espaciales) son comunes en las
estructuras de torres, por ejemplo en las torres de transmisin de energa elctrica, en los
soportes de una gra, escaleras, techos inclinados, curvos y en la industria aeroespacial
donde se desarrollaron.
Armadura
Es una estructura compuesta por cierto nmero de barras bastante esbeltos cuya
unin de elementos se considera articulada (nudos de pasador) en sus extremos de modo
que se forme un entramado rgido. Debern cumplir las condiciones y limitaciones
siguientes.
-Las barras estn unidas entre si en sus extremos por nudos de pasador sin
rozamiento.
-Las cargas y reacciones se aplican solo en los nudos
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-El eje de cada barra es recto, coincide con la lnea que une los centros de los nudos
en cada extremo de la misma, y esta en el plano que contienen tambin las lneas
de accin de todas las cargas y reacciones.
- La seccin de la barra es constante (prismtico)
Esta definicin de armadura si se cumple en el plano, tambin deber cumplirse en
el espacio debido a que el modelo matemtico que se utiliza para ambos es el mismo y el
que se trata de comprobar.
Convencin de signos y aplicacin de las fuerzas
Una armadura se idealiza como integrada por miembros que soportan solo fuerzas
axiales (a las fuerzas de compresin se les considera negativas y a las de traccin
positivas). Como la unin de dos elementos de una armadura se considera articulado o sin
rozamiento, no hay fuerzas cortantes, momentos flectores o momentos torsores en el
miembro idealizado de las armaduras.
Armadura ideal, real.
Las armaduras como fueron definidas anteriormente, son aquellas en las cuales
elementos bastante esbeltos estn unidos ente si por nudos con pasadores sin rozamiento
y las cargas externas estn aplicadas nicamente sobre los nudos. En la practica, sin
embargo, proveer articulaciones sin rozamiento no es tarea fcil y en lugar de esto, se
construyen uniones rgidas con pernos, soldaduras. En consecuencia, la definicin anterior
esta ms bien restringida a una armadura ideal (Norris, 1990).
La diferencia entre una armadura ideal una real es que los elementos de una
armadura real estn sometidos a fuerzas cortantes y momentos adicionales a las fuerzas
axiales de una armadura ideal. Tal diferencia tiende a disminuir cuando sus elementos se
hacen ms y ms flexibles es decir con relacin I/L ms pequeos.
Aunque la solucin de anlisis presentado en la presente est restringida a
armaduras ideales (las fuerzas internas solo son de compresin o traccin), su uso en
armaduras reales es conservador.
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En lo sucesivo se usara la palabra armadura para expresar una que sea realmente
una armadura ideal con nudos articulados (permite rotacin), o que pueda suponerse que
acta como si lo fuera y como dijimos solo tiene fuerzas de traccin y compresin en sus
elementos.
2.2.5 Armadura rgida y disposicin de las barras de una armadura
Se ha dicho que deben articularse entre si las barras de una armadura para formar
una armadura rgida. Se dice que una armadura es rgida, si no hay movimiento relativo
entre dos de sus partculas aparte del causado por las pequeas deformaciones elsticas de
las barras del mismo. Lo que implica que las pequeas deformaciones solo se efecten
axialmente en las barras que conforman el entramado rgido.
Sin embargo en concordancia con la (figura 2.2) podemos decir que para formar
una armadura rgida el triangulo constituye la base de las armaduras planas, mientras que
el tetraedro lo es en el espacio. Sin embargo es necesario indicar que para formar una
estructura plana ser necesario unir varios tringulos en el plano y varios tetraedros en el
espacio, de tal manera que el conjunto tambin sea rgido.
Armadura rgida Armadura no rgida
Para el caso de armaduras en el plano para que estas sean isotaticas se debe cumplir que:
NRNMNJ 2
Donde:
NJ= Numero de juntas
NM= Numero de miembros
NR= Numero de componentes de Reaccin
Ejemplo
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Anlisis Matricial de Armaduras Determinadas Procesamiento Semiautomatizado
Para automatizar el proceso se debe observar el problema como la solucin simultanea de
las 2NJ ecuaciones como NM+NR incgnitas, esto significa que primero deben escribirsetodas las ecuaciones de equilibrio en las juntas, para cada junta de la estructura.
Para ilustrar este proceso considrese la armadura sencilla que se muestra en la figura.
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Se utiliza la convencin de suponer que todos los miembros estn en tensin. Es
conveniente suponer que las reacciones en los soportes jalan las juntas como si fuesen
fuerzas en los miembros de los soportes en tensin.
Aunque esta armadura tiene slo una fuerza aplicada, se puede generalizar ms todava
el problema suponiendo la presencia de fuerzas1
X y Y que actan sobre cada junta
se supone que estas fuerzas son positivas cuando actan en la direccin positiva X Y,
como se muestra en la figura klbPx 202 todas las otras cargas aplicadas son cero se
adaptar la convencin de escribir las ecuaciones en el orden 01Fx , 01Fy ,
02Fx , 02 Fy etc. Etc. Ahora las ocho ecuaciones con ocho incgnitas son:
0437cos*1
0
111 SxFFPxFx
037*1
0
111 SysenFPyFy
05353 0
3
0
122 senFsenFPxFx
053cos53cos 0
32
0
122 FFsFPyFy
05433
FFPxFx
0233
FPyFy
037cos5
0
344 FFPxFx
04370
344 SysenFPyFy
Acomodando matricialmente tenemos
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0
0
0
0
0
0
0
0
4100006.000
000108.000
00000010
00011000
000006.016.0
000008.008.0
01000006.0
00101008.0
1
1
5
4
3
2
1
4
4
3
3
2
2
1
1
Sy
Sy
SxF
F
F
F
F
Py
Px
PyPx
Py
Px
Py
Px
0s
FBP
s
FBP
s
FBP
P = vector de cargas en la junta o en la estructura
s
F Vector de fuerzas internas del miembro y del soporte.
B Es una matriz esttica (para armaduras determinadas siempre es cuadrada, se le
conoce como matriz de equilibrio.
BB
PBFs
1
0
0
0
0
0
20
0
0
105.005.0375.000
005.005.0375.010
01010101
01667.00667.05.000
01667.01667.05.000
00833.00833.0625.000
00100000
00833.00833.0625.000
4
2
1
5
4
3
2
1
Sy
Sx
Sy
F
F
F
F
F
5.7
5.7
0.20
0.10
0.10
5.12
0
5.12
4
2
1
5
4
3
2
1
Sy
Sx
Sy
F
F
F
F
F
FS
De acuerdo con la convencion de signos las fuerzas positivas en los miembros son detension y las fuerzas positivas de los soportes jalan sobre las juntas.