Mtodos y Distribuciones de Muestreo

En este captulo comenzamos eI estudio del muestreo. El muestreo es una herramienta estadstica utilizada para inferir algo respecto de una poblacin mediante Ia seleccin de una muestra de esa poblacin.

La estadstica inferencial incluye los mtodos usados para determinar algo acerca de la poblacin basndose en una muestraLa estadstica descriptiva incluye los mtodos para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa.Repasemos

Seleccin de muestras de la poblacin

En muchos casos, el muestreo es Ia nica manera de determinar algo respecto de Ia poblacin.

Algunas razones por las que eI muestreo es necesario son: El costo de estudiar a todos los integrantes de una poblacin con frecuencia es prohibitivo.

La idoneidad de los resultados de Ia muestra.

Con frecuencia, ponerse en contacto con toda Ia poblacin supondra mucho tiempo.

La naturaleza destructiva de ciertas pruebas.

La imposibilidad fsica de verificar todos los articulos de Ia poblacin.

Mtodos de muestreo probabilstico

En general, existen dos tipos de muestras: -probabilsticas -no probabilsticas.

En el muestreo probabilstico, cada uno de los artculos de Ia poblacin tiene Ia misma oportunidad de ser elegido para la muestra.

Si se utilizan mtodos no probabilisticos, no todos los artculos o personas en Ia poblacin tienen Ia misma posibilidad de ser includos en la muestra. En tal caso, quiz los resultados estn sesgados, Io que significa que es posible que los resultados de Ia muestna no sean representativos de Ia poblacin.

El muestreo por paneles y el muestreo de conveniencia son dos mtodos no probabilsticos. La seleccin de los miembros se basa en eI criterio de quien dirige Ia investigacin, y por Io tanto, tal vez no sea representativa del total de Ia poblacin.

Los procedimientos estadsticos que se usarn en esta unidad se basan en el muestreo probabilstico.

No existe un mejor mtodo para seleccionar una muestra probabilstica de una poblacin de inters. Todos los mtodos de muestreo probabilstico tienen similar finalidad:

-permitir que el azar determine los artculos o personas que incluye Ia muestra.

Tipos de muestreo probabilstico

El tipo de muestreo que ms se utiliza es el muestreo aleatorio simple.

En el muestreo aleatorio simple se selecciona la muestra de tal forma que cada uno de los elementos o personas en la poblacin tenga las mismas probabilidades de ser includo.

Ejemplos: utilizando una tabla de nmeros aleatorios

(apndice E) pgina 524 Por sorteo

Extracto de la tabla de nmeros aleatorios02711948735492177640615450818290935786809763600835

Autoevaluacin 7-1

(pgina 224)

El segundo tipo de muestreo es el muestreo aleatorio sistemtico.

En el muestreo aleatorio sistemtico se acomodan los los elementos o personas de la poblacin utilizando algn patrn o razn.

Se selecciona un punto de partida aleatorio (al azar) y luego se toma cada k-simo miembro para formar parte de la muestra.

En ciertas circunstancias una muestra sistemtica podra producir resultados sesgados.

El tercer tipo de muestreo es el muestreo aleatorio estratificado.

En el muestreo aleatorio estratificado:

se divide la poblacin en subgrupos llamados estratos,

y se selecciona una muestra de cada uno de ellos.

Una muestra estratificada garantiza la representacin de cada subgrupo.

El cuarto tipo de muestreo es el muestreo por conglomerados.

Muchas veces se le emplea para reducir el costo de realizar un muestreo de una poblacin dispersa en una gran rea geogrfica. Se emplea el muestreo por conglomerados subdividiendo el rea en unidades pequeas, ya fueran municipios o regiones. Muchas veces, stas se conocen como unidades primarias.

Se trata de una combinacin del muestreo por conglomerados y el muestreo aleatorio simple.

Autoevaluacin 7-2

(pgina 228)

Error en el muestreo

Es posible que existan ciertas diferencias entre las estadsticas de Ia muestra, como Ia media o Ia desviacin estndar de Ia muestra, y los parmetros de la poblacin correspondientes.

La diferencia entre un estadstico de Ia muestra y un parmetro de Ia poblacin se conoce como error de muestreo.

Distribucin muestral de las mediasde las muestras

Si se organizaran las medias de todas las muestras posibles de un tamao de muestra dado, en una distribucin de probabilidad, se obtendr una distribucin muestral de las medias de las muestras.

Ejemplo:Tartus Industries tiene siete empleados de produccin (tamao de Ia poblacin).

Los salarios por hora de cada uno de ellos se enlistan a continuacin:

8

Cul es la media de la poblacin?

La media de Ia poblacin es:

7 + 7 + 8 + 8 + 7 + 8 + 9 u = ------------------------------------ 7

u = 7.71

Cul es Ia distribucin muestral de las medias del muestreo para muestras tamao 2?

Para construir Ia distribucin muestral de las medias de las muestras, se seleccionan todas las muestras de tamao dos sin reemplazo de Ia poblacin.

Donde: N = 7 es el nmero de elementos en Ia poblacin y n = 2 es el nmero de elementos en Ia muestra.Se encuentran utilizando esta frmula: Existen 21 muestras posibles.

y se calculan las medias.

MuestraEmpleadosSalario por horaSumaMedia1Joe, Sam$7, $7$14 $7.00 2Joe, Sue7, 8157.503Joe, Bob7, 8157.504Joe, Jan7, 7147.005Joe, Art7, 8157.506Joe, Ted7, 9168.007Sam, Sue7, 8157.508Sam, Bob7, 8157.509Sam, Jan7, 7147.0010Sam, Art7, 8157.5011Sam, Ted7, 9168.00

Cul es Ia media de Ia distribucin muestral?

suma de todas las medias de las muestras ux = ------------------------------------------------ nmero de medias de las muestras 162ux = -------- = 7.71 21

Esta distribucin de probabilidad es Ia distribucin muestral de las medias de muestras.

Mediade muestraNmerode mediasProbabilidad7.003.14297.509.42858.006.28578.503.1429211.000

Qu se puede decir de Ia poblacin y de Ia distribucin muestral?

Pueden hacerse las siguientes observaciones:a) La media de las medias de Ia muestra es igual a Ia media de Ia poblacin 7.71 ux = u

b) La dispersin de Ia distribucin de las medias de Ia muestra es menor a Iadispersion en los valores de Ia poblacin.

Las medias de Ia muestra van de7.00 a 8.50, en tanto que los valores de Ia poblacin varan de 7.00 a 9.00.

c) La grfica de Ia distribucin muestral de las medias de muestras y Ia grfica de Ia distribucin de frecuencia de los valores de Ia poblacin es diferente.

La distribucin de las medias de Ia muestra tiende a tener una forma de campana y a aproximarse a Ia distribucin de probabilidad normal.

En resumen:

se calcularon y presentaron todas las muestras aleatorias posibles de una poblacinpara cada muestra se calcul su media. se prepar una distribucin de las medias de las muestras

Debido a que cada muestra posible tiene Ia misma posibilidad de ser seleccionada, se puede determinar Ia probabilidad asociada.

La distribucin muestral de las medias de muestras se utiliza para medir lo probable que podra ser obtener un resultado especfico.

Autoevaluacin 7-3

(pgina 233)Ejercicios 3 y 5

(pgina 233)

El teorema del lmite central

El teorema del lmite central afirma que, para grandes muestras aleatorias, Ia distribucin muestral de las medias de las muestras est ms prxima a una distribucin de probabilidad normal.

La aproximacin es ms precisa para muestras grandes.

Esta es una de las conclusiones ms tiles en estadstica.

Es posible razonar sobre Ia distribucin muestral de las medias de las muestras sin contar con informacin alguna sobre Ia forma de Ia distribucin original de Ia que se toma Ia muestra.

En otras palabras, el teorema del lmite central es vlido para todas las distribuciones.

Si Ia poblacin tiene una distribucin de probabilidad normal, entonces, para cualquier tamao de muestra Ia distribucin del muestreo de Ia media tambin tendr una distribucin normal.

Si Ia distribucin de Ia poblacin es simtrica (pero no normal), se vea que surge Ia forma normal como lo establece el teorema del lImite central an con muestras tan pequeas como de tamao 10.

Por otra parte, si se toma una distribucin que est sesgada o que tenga extremos muy gruesos, quiz requiera muestras de al menos 30 para observar Ia caracterstica de normalidad.

La mayorIa de los estadsticos consideran que una muestra de 30 es lo bastante grande para poder emplear el teorema del lmite central.

Ejemplo:Ed Spence comenz su empresa de engranes hace 20 aos. Con el paso del tiempo, Ia empresa creci y hoy en da emplea a 40 personas.

Spence Sprockets Inc., enfrenta algunas importantes decisiones respecto a Ia salud de estos empleados. Antes de tomar una decisin final sobre el plan de salud que debera adquirir, Ed decide formar un comit de cinco representantes de los empleados.

Se pedir al comit que estudie con cuidado Ia cuestin del plan de salud y haga una recomendacin sobre el plan que mejor se ajuste a las necesidades de los empleados.

Ed siente que las opiniones de los empleados ms jvenes hacia el cuidado de su salud pueden diferir de las de los empleados de mayor edad.

Si Ed selecciona al azar a su comit,

qu puede esperar en cuanto a Ia media de aos de servicio en Spence Sprockets para los integrantes del comit?

De qu manera Ia forma de Ia distribucin de los aos de antiguedad de todos los empleados se compara con Ia forma de Ia distribucin de muestreo de las medias?

Los aos de servicio (redondeados a aos completos) de los 40 empleados que hoy en da estn en Ia nmina de Spence Sprockets, Inc., son como sigue:

Vamos a considerar el primero de los problemas de Ed Spence. Quiere formar un comit de cinco miembros para analizar Ia cuestin del cuidado de Ia salud y sugerir el tipo de seguro que sera el ms apropiado para Ia mayora de los trabajadores.

Cmo debera seleccionar el comit? Si Spence elige al comit al azar, qu podra esperar, en cuanto a los aos de antiguedad de los integrantes del comit?

Para comenzar, Ed anota los aos de servicio de cada uno de los 40 empleados en un papel y los pone en una vieja gorra de bisbol. revuelve los papeles y toma al azar cinco de ellos. Los aos de servicio de estos cinco empleados son: 4, 1, 0, 14 y 9.

As, la antigedad media de servicio para estos cinco empleados es 5.60 aos.

se compara con Ia media de Ia poblacin?

En este momento, Ed no conoce Ia media de Ia poblacin, pero el nmero de empleados en Ia poblacin es de solo 40, de modo que decide calcular Ia antiguedad media de servicio para todos los empleados.

Es 4.80 aos, que se encuentra sumando los aos de servicio para todos los empleados y dividiendo el total entre 40. La diferencia entre Ia media de Ia muestra y Ia media de Ia poblacin es el error de muestreo.

En otras palabras, Ia diferencia de 0.80 aos entre Ia media de Ia poblacin 4.80 y Ia media de Ia muestra de 5.60, es el error de muestreo.

Esto se debe al azar. AsI, si Ed hubiera seleccionado a estos cinco empleados para crear el comit, Ia antigedad media del servicio sera un poco mayor a Ia media de Ia poblacin.

Qu ocurrira si Ed devolviera los cinco trozos de papel a Ia gorra de bisbol y seleccionara otra muestra? Esperaras que Ia media de esta segunda muestra fuera exactamente Ia misma que Ia anterior?

Supongamos que Ed selecciona otra muestra de cinco empleados y descubre que las antigedades de servicio en esta muestra son 8, 3, 1, 1 y 14. La media de esta muestra es de 5.40 aos.

La ilustracin 7-5 muestra el resultado de seleccionar 30 muestras de ms de 5 empleados cada una, y calcular las medias de estas muestras.

Estas medias de muestra se organizan entonces en un histograma (diagrama 7-4).

La forma de Ia distribucin de 30 medias de muestra es diferente de Ia de Ia poblacin. En el diagrama 7-2, Ia distribucin de todos los empleados tiene un sesgo positivo.

Sin embargo, Ia distribucin muestral de las medias de muestras, (diagrama 7-4), est ms prxima a una distribucin normal.

Esto ilustra el teorema del lmite central.

Existe menos dispersin en Ia distribucin muestral de las medias de muestras que en Ia distribucin de Ia poblacin. En Ia poblacin, Ia antigedad de servido iba de 0 a 19 aos. En Ia distribucin muestral de las medias de muestras, estas ltimas iban de 2.2 a slo 9.2 aos.

Tambin es posible comparar Ia media de las medias de muestras con Ia media de Ia poblacin. La media de las 30 muestras es 4.7133 aos, es muy prxima a Ia media de poblacin de 4.80 aos.

Qu se puede concluir de este ejemplo?

El teorema del Imite central indica que, independientemente de Ia forma de Ia poblacin, Ia distribucin muestral de las medias de muestras se aproximar a Ia distribucin normal. Mientras mayores sean las muestras, mayor ser Ia convergencia.

Spence Sprockets, Inc. , es una evidencia emprica del funcionamiento del teorema del lmite central.

Este ejemplo comienza con una poblacin con sesgo positivo (diagrama 7-2).

Se eligi un pequeo nmero de muestras y se observ una distribucin de medias de muestra.

Se observ un cambio en Ia forma de Ia poblacin para Ia distribucin de medias de muestra (al comparar diagramas 7-3 y 7-4).

Cuando se aumenta el nmero de muestras de 10 a 30, se comienza a ver Ia caracterstica de normalidad.

La forma de Ia distribucin de 30 medias de muestra que se reportaron en el diagrama 7-4 claramente tiende hacia una distribucin normal a medida que aumenta el tamao de Ia muestra.

El teorema del Ilmite central no dice nada de Ia dispersin de Ia distribucin de medias de muestras o respecto de una comparacin de Ia media de las medias de muestras, con Ia media de Ia poblacin.

Sin embargo, en el ejemplo se observ que hay menos dispersion en la distribucin de medias de muestra que en Ia poblacin al comparar el rango de Ia poblacin y el de las medias de las muestras.

A medida que aumenta el tamao de Ia muestra disminuye Ia dispersin de las medias de las muestras.

La media de Ia poblacin es exactamente igual a Ia media de todas las medias de las muestras.

Estimadores puntuales

En Ia mayora de los casos es necesario, por su tamao, estimar Ia media de Ia poblacin. Por lo general no se conoce este parmetro de Ia poblacin.

Se llama estimador puntual al nmero nico que se usa para estimar un parmetro de Ia poblacin.

El estimador puntual es un valor que se calcula a partir de la informacin de la muestra, y que se usa para estimar el parmetro de Ia poblacin.

Sin embargo, un estimador puntual slo se refiere una parte de Ia historia.

Si bien se espera que el estimador puntual est prximo al parmetro de Ia poblacin, es importante expresar qu tan cerca est.

Un intervalo de confianza sirve a este propsito.

Intervalos de confianza

Un intervalo de confianza es un rango de valores que se construye a partir de datos de la muestra de modo que el parmetro ocurre dentro de dicho rango con una probabilidad especfica.

La probabilidad especfica se conoce como nivel de confianza.

La informacin de Ia distribucin muestral de las medias de muestras, permite localizar un intervalo con una probabilidad especfica de contener Ia media de Ia poblacin.

Para muestras razonablemente grandes, es posible utilizar el teorema del Imite central para afirmar que el:

95% de las medias de muestra seleccionadas de una poblacin estarn dentro de 1.96 desviaciones estndar de Ia media de Ia poblacin.99% de las medias de muestra seleccionadas estarn dentro de 2.58 desviaclones estridar de Ia media de la poblacin.

En este caso, Ia desviacin estndar a utilizarse es Ia de Ia distribucin muestral de las medias de muestras.

Los intervalos que se calculan de esta forma son el intervalo del 95% de confianza, y el intervalo del 99% de confianza.

El teorema del lmite central afirma que Ia distribucin muestral de las medias de las muestras es aproximadamente normal.

.4750.4750||||||||||

95%-1.961.96.0250.0250

Por lo tanto, se puede usar el apndice D(pgina 523) para encontrar los valores z apropiados.

Para el 95% se busca 0.4750 en el cuerpo de Ia tabla, luego se lee los valores correspondientes de fila y columna. Es 1.96.

Por tanto, Ia probabilidad de encontrar un valor z entre 0 y 1.96 es 0.4750. Asimismo, Ia probabilidad de encontrarse en el intervalo entre -1.96 y 0 es tambin de 0.4750.

Cmo se calcula el intervalo de confianza de 95%?

Veamos un ejemplo, supongamos que se realiza una investigacin sobre el salario inicial de los graduados de Ia facultad de administracin.

Se calcul la media de la muestra en $27,000 y Ia desviacin estndar de las medias de Ia muestra en $200.

El intervalo de confianza de 95 por ciento se encuentra entre 26,608 y 27,392 dlares, que se encuentra mediante $27,000 1 .96($200).

Si se seleccionaran 100 muestras del mismo tamao de Ia poblacin de inters y se determinaran los 100 intervalos correspondientes de confianza, se podra esperar encontrar Ia media de Ia poblacin en 95 de los 100 intervalos de confianza.

El error estndar de la media de la muestra

A Ia desviacin estndar de Ia distribucin muestral de las medias demuestras se le llama error estndar de Ia media de la muestra.

Muchas veces se abrevia a error estndar.

Frmula:

es el error estndar de la media, llamado tambin desviacin estndar de la distribucin muestral de medias.

es la desviacin estndar de la poblacin.

n es el tamao de la muestra.donde:

Pero, como en Ia mayora de las situaciones no se conoce Ia desviacin estndar de Ia poblacin. se le estima por la desviacin estndar de la muestra: es decir, se remplaza con s.

El tamao del error estndar se ve afectado por dos valores.

El primero es Ia desviacin estndar.

Si sta es grande, entonces el error estndar tambin se ve afectado por el tamao de Ia muestra.

A medida que ste aumenta, se reduce el error estndar, indicando que hay menos variabilidad en la distribucin muestral de las medias de las muestras.

Esto es lgico, porque una estimacin con base en una muestra grande es ms precisa que otra que se hace con una muestra ms pequea.

Cuando el tamao de Ia muestra, n, es por lo menos de 30, generalmente se acepta que el teorema del Imite central asegurar una distribucin normal de las medias de las muestras.

Como ya sabemos, esta consideracin es importante.

Si las medias de las muestras tienen una distribucin normal, es posible usar Ia distribucin normal estndar, es decir, z, en nuestros clculos.

Los intervalos de confianza de 95 y 99 por ciento se calculan de Ia manera siguiente, cuando n 30.

INTERVALO DE CONFIANZA DE 95%INTERVALO DE CONFIANZA DE 99%INTERVALO DE CONFIANZA

As, para un intervalo de confianza de 92 % Ia frmula se convierte en:El valor de 1.75 se determina con base en el apndice D. La tabla se basa en Ia mitad deIa distribucin normal, de modo que 0.92/2 = 0.4600.

El valor ms prximo en Ia tabla es 0.4599, y el valor z correspondiente es 1 .75.

Con frecuencia, tambin se usa el nivel de confianza de 90 %. En este caso, el rea entre 0 y z es 0.4500, que se encuentra dividiendo 0.90/2.

El area que corresponde a un valor z de 1.64 es 0.4495 y para 1.65 es 0.4505.

Se utiliza 1.65. (valor mayor)

Un estudio abarca Ia seleccin de una muestra aleatoria de 256 representantes de ventas menores de 35 aos de edad.

La media de Ia muestra de sus ingresos anuales es $55,420, con una desviacin estndar de $2,050.Ejemplo:

Cul es el ingreso media estimado de todos los gerentes (Ia poblacin)?

Es decir, cul es Ia estimacin puntual?La estimacin puntual de Ia media de Ia poblacin es $55,420. En otras palabras, no se conoce Ia media de Ia poblacin.

El valor $55,420 es Ia mejor estimacin que hay de un valor desconocido.

2. Cul es el intervalo de confianza del 95 % para Ia media (redondeada a Ia decena de dlares ms prxima)?El intervalo de confianza est entre $55,170 y $55,670, que se encuentra mediante:Al redondear a Ia decena de dlares ms prxima: $55,170 y $55,670.

Los puntos finales del intervalo de confianza son los lmites de conflanza.

En este ejemplo, $55,170 y $55,670 son los Imites de confianza.3. Cules son los Imites del 95 % del nivel de confianza para Ia media de Ia poblacin?4. Qu grado de confianza se utiliza?La medicin de confianza que tiene una persona se refiere al grado de confianza o nivel de confianza. En este caso, es 0.95.

5. Interpretemos los resultados.Si se pudieran seleccionar muchas muestras que incluyeran a la poblacin de los256 representantes de ventas menores de 35 aos de edad, y calcular las medias e intervalos de confianza de Ia muestra, el ingreso medio anual de Ia poblacin estara en aproximadamente 95 de cada 100 intervalos de confianza. Ms o menos 5 de los 100 intervalos de confianza no incluira el ingreso medio anual de Ia poblacin., p Esto se ilustra en el diagrama siguiente. Observe que el quinto intervalo de confianza no incluye a Ia media de Ia poblaciOn.

Autoevaluacin 7-5

(pgina 249)Ejercicios 9 y 10

(pgina 249)

Intervalo de confianza para una proporcin de la poblacin

La determinacin de un estimador puntual y uno de intervalo para una proporcin de poblacin es similar a los mtodos que se describieron en Ia seccin anterior.

Un estimador puntual para Ia proporcin de Ia poblacin se encuentra al dividir el nmero de xitos en Ia muestra entre el nmero que se muestre.

Suponga que 100 personas de las 400 que se muestrearon dijeron que les gustaba ms un nuevo refresco de cola que el refresco normal.

La mejor estimacin de Ia proporcin de la poblacin que favorece el nuevo refresco es 0.25, o 25 %, que se encuentra al dividir 100/400.

Recordemos que Ia proporcin es Ia fraccin del nmero de xitos con relacin al nmero muestreado.

Cmo se calcula el intervalo de confianza para una proporcin de poblacin?INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCION DE POBLACIONdonde:

P es Ia proporcin de Ia muestra.

z es el valor normal estndar para el grado de confianza seleccionado.

n es el tamao de Ia muestra.

Luego de una larga carrera como miembro del Consejo de Ia ciudad de Chicago, Scott lsenberg decidi postularse para alcalde.

La campaa contra su oponente, el alcalde Arthur Smith, ha sido enconada, y ambos candidatos han gastado varios millones de dlares en anuncios por televisin.

En las semanas finales, lsenberg se encuentra adelante de acuerdo con las encuestas publicadas en el Chicago Tribune. Ejemplo:

Para comprobar los resultados, el personal de campaa de Isenberg realiza una encuesta propia durante el fin de semana previo a Ia eleccin.

Los resultados demuestran que, para una muestra aleatoria de 500 votantes, 290 votarn por Isenberg.

Desarrolle un intervalo de confianza de 95 % para Ia proporcin de Ia poblacin que votar por Isenberg. Puede ste Ilegar a Ia conclusin de que ganar Ia eleccin?

Se comienza estimando Ia proporcin de votantes que votarn por Isenberg.

La muestra incluy a 500 votantes y 290 apoyaron a Isenberg, de modo que Ia proporcin de Ia muestra es 0.58, que se encuentra al dividir 290/500.

El valor 0.58 es una estimacin puntual de Ia proporcin de Ia poblacin desconocida (P).

Se utiliza Ia frmula para determinar el intervalo de confianza.

Los puntos finales del intervalo de confianza son 0.537 y 0.623. El punto mnimo del intervalo de confianza es mayor a 0.50. Por lo tanto, se concluye que Ia proporcin de votantes en Ia poblacin que apoya a lsenberg es mayor al 50 %. Con base en los resultados de Ia encuesta, ganar Ia eleccin.

Autoevaluacin 7-6

(pgina 252)Ejercicios 17 y 18

(pgina 252)

Factor de correccin de una poblacin finita

Las poblaciones que se han muestreado hasta ahora han sido muy grandes o se ha supuesto que son infinitas.

Qu ocurre si Ia poblacin que se muestrea no es infinita, o ni siquiera muy grande?

En tales casos, se harn ciertos ajustes en Ia forma en que se calcula el error estndar de las medias de Ia muestra y el error estndar de las proporciones de Ia muestra.

Para una poblacin finita, en Ia que el nmero total de objetos es N y el tamao de Ia muestra n, se hace el siguiente ajuste a los errores estndar de las medias de Ia muestra y Ia proporcin:ERROR ESTANDAR DE LAS MEDIAS DE LA MUESTRA, UTILIZANDO UN FACTOR DE CORRECCION ERROR ESTANDAR DE LAS PROPORCIONES DE LA MUESTRA,UTILIZANDO UN FACTOR DE CORRECCION

En el pequeo pueblo de Scandia viven 250 familias.

Una encuesta con 40 familias revel que Ia contribucin anual promedio a Ia iglesia es de 450 dlares, con una desviacin estndar de 75 dlares.

Construya un intervalo de confianza de 95 por ciento para Ia contribucin media anual.Ejemplo:

Primero, observemos que Ia poblacin es finita. Es decir, hay un lmite para el nmero de personas en Scandia.

Segundo, Ia muestra constituye ms del 5 por ciento de Ia po blacin; es decir, n/N = 40/250 = 0.16.

Por lo tanto, se utiliza el factor de correccin de Ia poblacin finita.

El intervalo de confianza de 95 por ciento se construye de Ia manera siguiente, utilizando las fOrmulas.

Autoevaluacin 7-7

(pgina 254)Ejercicios 21 y 22

(pgina 254)

Eleccin de un tamao apropiado de muestra

Una cuestin que por lo general surge cuando se disea un estudio estadstico es: cuntos artculos debera haber en Ia muestra?.

Si una muestra es demasiado grande, se desperdicia dinero recolectando datos.

lgualmente, Si es demasiado pequea, las conclusiones resultantes sern inciertas.

El tamao de Ia muestra depende de tres factores:

1. El nivel de confianza que se desea.

2. El margen de error que puede tolerar el investigador.

3. La variabilidad en Ia poblacin que se estudia.

Mientras ms alto sea el nivel de confian za, mayor ser el tamao de Ia muestra.Un error permisible pequeo requerir una muestra grande, y un error permisible grande permitir una muestra menor.Si Ia poblacin tiene una dispersin amplia, se requiere una muestra grande. Por otra parte, si Ia poblacin est concentrada (es homognea), el tamao requerido de Ia muestra ser pequeo.

Al resolver esta ecuacin para n, se obtiene el tamao de muestra requerido.TAMANO DE MUESTRA PARA ESTIMAR UNA MEDIAEl resultado de este clculo debe ser un nmero entero.

Un estudiante de administracin pblica desea determinar Ia cantidad media que ganan los miembros de los concejos de ciudades. El error para estimar Ia media es menor de 100 dlares, con un nivel de confianza de 95 por ciento. El estudiante encontr un informe del Departamento del Trabajo de Estados Unidos que estim que Ia desviacin estndar es de 1,000 dlares.

Cul es el tamao requerido de Ia muestra?Ejemplo:

El error mximo permisible, E, es 100 dlares. El valor de z para un nivel de confianza de 95 por ciento es 1.96, y el estimado de Ia desviacin estndar son 1,000 dlares.

Al sustituir estos valores en Ia frmula, el tamao requerido de Ia muestra es:

El valor calculado de 384.16 se redondea hacia arriba a 385.

Se requiere una muestra de 385 para cumplir con las especificaciones.

Si se desea un nivel mayor de confianza, por ejemplo de 99 por ciento, entonces tambin se requiere una muestra mayor.

Se recomiendara una muestra de 666.

El resultado de un aumento en el nivel de confianza de 95 a 99 % fue un aumento de 281 observaciones.

Esto podra elevar en gran medida el costo del estudio, en cuanto a dinero y tiempo. Por lo tanto, es preciso considerar con todo cuidado el nivel de confianza.