CÁLCULO VECTORIAL

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así

en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de varias variables sujetas a una o varias restricciones. Este método

reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables,

donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más

fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son

llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene

un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una

nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las

funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias

variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las

condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la

función sean iguales a cero.

Consideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y

queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:

g(x,y) = c,

donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por

f(x,y) = dn

para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos

de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán

distintas, y la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f.

En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de

f. Solo cuando g=c, el contorno que estamos siguiendo toca tangencialmente, pero no lo corta,

una curva de nivel de f no incrementamos o disminuimos el valor de f. Esto ocurre en el

extremo local restringido y los puntos de inflexión restringidos de f.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel

de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido

ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g

son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

[f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así

continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

F(x,y) = f(x,y) − λ(g(x,y) − c)

de forma tradicional. Eso es, F(x,y) = f(x,y) para todo (x, y) satisfaciendo la condición porque

g(x,y) − c es igual a cero en la restricción, pero los ceros de F(x, y) están todos en g(x,y) =

c.

Los multiplicadores de Lagrange tienen a menudo una interpretación como cierta cantidad

saliente de interés. Para ver por qué éste pudo ser el caso, observe eso:

Así pues, λk es el índice del cambio de la cantidad que es optimizada en función de la variable

del constreñimiento. Como ejemplos, adentro Mecánicos Lagrangian las ecuaciones del

movimiento son derivadas encontrando puntos inmóviles del acción, el integral del tiempo de

la diferencia entre la energía cinética y potencial. Así, la fuerza en una partícula debido a un

potencial escalar, , puede ser interpretado como multiplicador de Lagrange que determina el

cambio en la acción (transferencia del potencial a la energía cinética) que sigue una variación

en la trayectoria obligada de la partícula. En la economía, el beneficio óptimo a un jugador se

calcula conforme a un espacio obligado de acciones, donde está el valor un multiplicador de

Lagrange de relajar un constreñimiento dado (e.g. con soborno u otros medios).

El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por Condiciones de Karush-Kuhn-

Tucker.

BIBLIOGRAFÍA:

http://www.multilingualarchive.com/ma/enwiki/es/Lagrange_multipliers#A_more_general_formulation:_The_

weak_Lagrangian_principle

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Multiplicadores_de_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange

EJEMPLOS

La temperatura de una placa en un punto cualquiera (x , y ) viene dada por la función T (x,y) = 25 + 4 x2 - 4 x y + y2 . Una alarma térmica, situada sobre los puntos de la circunferencia x^2 + y^2 = 25, se dispara a temperaturas superiores a 180 grados o inferiores a 20 grados. ¿Se disparará la alarma?

En una empresa se fabrican recipientes con forma de prisma rectangular con las siguientes características: la suma de todas sus aristas es de 30 metros y su superficie total es de 36 metros cuadrados. Determinar la capacidad máxima y mínima de estos recipientes en metros cúbicos.

Determinar los puntos en la esfera que están más cercanos al punto

Encontrar el máximo de la función:

con las siguientes restricciones: