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Productorio 1

Productorio

El operador productoria, también conocido como multiplicatoria o pitatoria (por denotarse como una letra pi

mayúscula), es un operador matemático que consiste en la multiplicación finita o infinita de factores mediante un

símbolo matemático que simplifica la operación, llamado símbolo productorio. Se puede definir por inducción

como sigue.

1. Se define

1. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

EjemploSe puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto es el mismo que y, por

lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

para .

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:

Se define 0!=1!=1

Propiedades

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos

en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

Demostración por Inducción

i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

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Productorio 2

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

(Definición por inducción)

(Asociatividad en IR)

Luego,

Propiedad Telescópica

si cada

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

con y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

 (Definición por inducción)

Luego,

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada , . En particular, para , . Luego

la simplificación es posible y

.

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Productorio 3

Véase también

• Sumatorio

• Factorial

• Suma

• Multiplicación

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Fuentes y contribuyentes del artículo 4

Fuentes y contribuyentes del artículoProductorio  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45235331 Contribuyentes: Camiloalcubo2, Camima, Feministo, Magister Mathematicae, Proferichardperez, Raulshc, Rovnet,

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