MÚLTIPLOS Y DIVISORESMúltiplos de un númeroLa división exactaDivisores de un númeroCriterios de divisiblidad

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Para obtener múltiplos de un número multiplicamos este mismo por los números enteros.

Ejemplo: 2×1= 2     2×2=4     2×3=6     2×4=8    

2×5= 10 Múltiplos de 2=  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,

20, etc.

LA DIVISIÓN EXACTA

•Una división es exacta cuando al dividir dos números el resto es 0. Si es así decimos que el dividendo es múltiplo del divisor.

•Una división no es exacta cuando al dividir dos números el resto es mayor que 0. En este caso decimos que el dividendo no es múltiplo del divisor.

DIVISORES DE UN NÚMERO

Para obtener los divisores de un número escogemos los que lo dividan de manera exacta.

Ejemplo: 10: 1= 10  (exacta)    10:2= 5   (exacta)      10:3= 3 resto, 1 (no exacta)     10:4= 2 resto, 2 (no exacta)       10:5= 2    (exacta)       ….. 10:10= 1  (exacta)   

Divisores de 10= 1, 2, 5 y 10.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD• Un número es divisible entre 2 si es par. • Un número es divisible entre 3 si la suma de sus

cifras es divisible entre tres. • Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas

cifras forman un múltiplo de cuatro. • Un número es divisible entre 5 si acaba en cero o en

cinco. • Un número es divisible entre 6 siempre que sea

divisible entre dos y entre tres. • Un número es divisible entre 10 si acaba en cero. • Un número es divisible entre 11 si al sumar las

cifras que ocupan la posición par y restarles las que ocupan la posición impar resulta cero u once.

EJERCICIOS1- Escribe cinco múltiplos de 3.2- Escribe cinco múltiplos de 5.3- Escribe cinco múltiplos de 12.4- Calcula cinco divisores de 20.5- Calcula cinco divisores de 60.6- Calcula cinco divisores de 36.7- De los números siguientes: 54, 60, 100, 28. ¿Cuáles son múltiplos de 2, 3, 4, 5, 10?8- De los números siguientes: 42, 100, 36, 75. ¿Cuáles son divisores entre 2, 3, 5, 10?9- De los números siguientes: 198, 936, 750, 534, 621, 868, 340. ¿Cuáles son divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 11?10- Explica si los siguientes números son divisibles entre 2, entre 5 o entre 3: 26, 15 y 19.

NÚMEROS PRIMOSNúmeros primos y compuestosLa Criba de ErastótenesDescomposición factorial

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo número primo.

Ejemplo: El número 7 es primo porque sólo es divisible entre 1 y entre sí mismo.

Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores.

Ejemplo: El número 4 es compuesto porque es divisible entre 1, entre 2 y entre 4.

CRIBA DE ERASTÓTENESEs un procedimiento para obtener los primeros números

primos. a) Comenzamos por el número 2, lo dejamos, pero a partir

de él contamos de 2 en 2 y tachamos los números que sean múltiplos de 2.

b) El primer número de los que quedan es el 3, lo dejamos y desde el número 3 eliminamos, contando de 3 en 3, los números que sean múltiplos de 3.

c) El siguiente número de los que quedan es el 5, lo dejamos y desde el número 5 eliminamos los números que sean múltiplos de 5.

d) Así vamos avanzando, cuando llegamos a un número que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a partir de él eliminamos los números que sean sus múltiplos. Así hasta el final. Habrán quedado solamente números primos.

CRIBA DE ERASTÓTENES

DESCOMPOSICIÓN FACTORIALConsiste en expresar el número como un producto de factores primos.

1º- Dividimos el número por el primer número primo que podamos. 2º- El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el número. 3º- Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente

por el mismo número primo. 4º- Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo

hacemos por el siguiente primo que se pueda. 5º- Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1. 6º- Finalmente ponemos ese número como un producto de

potencias de factores primos.

EJERCICIOS

1- Indica si estos números son primos o compuestos: 76, 51, 23, 60, 72, 47, 36, 64, 21, 30, 53, 49.

2- Realiza la descomposición factorial de los siguientes números: 18, 45, 128, 294, 550.

M.C.M y M.C.DMínimo común múltiploMáximo común divisor

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLOEl mínimo común múltiplo de dos o más númeroses el menor múltiplo común.Pasos a seguir para hallar el m.c.m.1. Realizamos la descomposición factorial de cada

uno de los números dados.2. Multiplicamos los factores primos comunes y no

comunes de mayor exponente.

MÁXIMO COMÚN DIVISOREl máximo común divisor de dos o más números

es el mayor divisor común a todos.Pasos a seguir para hallar el m.c.d.1. Realizamos la descomposición factorial de cada

uno de los números dados.2. Multiplicamos los factores primos comunes de

menor exponente.

EJERCICIOS1. Halla el mínimo común múltiplo de 12 y 49.2. Halla el mínimo común múltiplo de 38 y 633. Halla el mínimo común múltiplo de 115 y 304. Halla el mínimo común múltiplo de 24, 18. y 8.5. Halla el mínimo común múltiplo de 60, 42 y 75.6. Halla el máximo común divisor de 32 y 16.7. Halla el máximo común divisor de 15 y 90.8. Halla el máximo común divisor de 84 y 490.9. Halla el máximo común divisor de 22 y 121.10.Halla el máximo común divisor de 125 y 225.

PROBLEMAS: ¿M.C.M o M.C.D?1. En una estación salen tres trenes, el primero cada 7 minutos, el

segundo cada 12 minutos y el tercero cada 18 minutos. ¿ Cuándo volverán a coincidir los tres de nuevo en la estación?

2. Un agricultor quiere plantar árboles en una fina rectangular, que mide 52 m de largo y 40 m de ancho, de modo que estén a igual distancia uno de otro. ¿Cuál será la mayor distancia, en metros, entre los árboles? ¿Cuántos árboles podrán plantar?

3. Un padre y sus dos hijos tienen ocupaciones tales que el padre no puede estar en casa más que cada 15 días, uno de los hijos cada 10 días y el otro, cada 12 días. El día de Navidad están juntos los tres. Indica la primera fecha en la que volverán a coincidir.

4. Tenemos 20 caramelos de fresa, 30 caramelos de menta y 15 caramelos de nata. Queremos guardarlos en bolsas iguales, lo más grandes posibles, de manera que los sabores no se mezclen. ¿Cuántos caramelos contendrá cada bolsa? ¿Cuántas bolsas de cada sabor usaré?