CONSULTA

ECUACIONES DE NAVIER STOKES Y APLICACIONES

LINA MARCELA RESTREPO TRUJILLO

COD 1094728258

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

ARMENIA

2012

ECUACIONES DE NAVIER STOKS

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis

Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en

derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas

ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo

alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que

se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de

la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la

llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación

diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella

en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente

de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la

formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los

problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto

de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución

general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y

situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que

en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una

solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la

obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la

denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo

anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes: flujo de Couette-Poiseuille

Una fina película de líquido de espesor constante, fluye estacionariamente por un

plano inclinado. La atmósfera ejerce una presión constante en todas las

secciones del flujo y es despreciable el esfuerzo viscoso en la superficie libre.

DETERMINE:

1. El perfil de velocidades: u=u(y).

2. La ecuación del caudal volumétrico.

3. A partir de los datos numéricos, el ángulo del plano inclinado.

DATOS:

Flujo: estacionario, incompresible y laminar (v=w=0)

Plano inclinado: ángulo de inclinación = θ

Película: espesor = H; anchura = a

Numéricos: viscosidad = 2,3 St; H=10mm; a=1m; Q= 8 lps

(1)PERFIL DE VELOCIDADES:

En la dirección de la corriente (x), la ecuación de Navier-Stokes, para flujo

incompresible y estacionario es:

Gradiente de presión: todos los puntos de la superficie libre están a la presión

atmosférica, y considerando que el espesor de la capa de fluido es pequeño, se

puede considerar que todos los puntos del flujo están a la presión atmosférica, es

decir no hay gradiente de presión: ∇p = 0 ; con lo que se tiene que en cualquier

dirección la presión no varía, y en particular en la dirección del flujo:

Vector velocidad: el vector velocidad sólo tiene componente en la dirección “x”;

con lo que v = w = 0; por lo que por continuidad:

Quedando de la ecuación de Navier-Stokes [1], la ecuación diferencial que permite

obtener el perfil de velocidades:

Las constantes de integración, se obtienen con las condiciones de contorno: en la

superficie inclinada (que esta fija) la velocidad es cero, y en la superficie libre la

tensión de rozamiento con el aire ambiente es nula (se desprecia el efecto de

rozamiento del aire) y con ello la velocidad es máxima:

(2) CAUDAL VOLUMÉTRICO DE LA CAPA DE ACEITE.

Al ser: ; en donde “a” es la anchura de la capa de aceite, el

caudal se obtiene por:

(3) ÁNGULO DEL PLANO INCLINADO, PARA QUE EL CAUDAL SEA DE 8

litros/segundo:

De la ecuación del caudal [3], el ángulo del plano inclinado, para que el caudal de

líquido sea de 8 lps es:

la viscosidad cinemática es de

Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES: flujo viscoso laminar

entre discos

El flujo radial entre dos discos horizontales y concéntricos, da lugar a un campo

de presiones, que en función del Re, puede tener un gradiente de presión positivo

o negativo. En el caso de flujo laminar, se obtiene que el gradiente de presión es

negativo, con lo que la presión va disminuyendo conforme aumenta el radio. Con

lo cual, si se descarga a la atmósfera, esa será la sección de mayor radio y de

menor presión, con lo que en secciones interiores, la presión será mayor que la

atmosférica.

Se supone que el caudal es aportado por una tubería vertical de diámetro D1, y

que fluye entre los discos hasta salir a la atmósfera. Considere como hipótesis,

que entre las posiciones radiales R1 a R2 el flujo es estacionario, incompresible,

viscoso y laminar.

DETERMINE:

1. El perfil de velocidades en cada posición radial: v=v(r,z)..

2. La presión en cada posición radial: p=p(r)

3. La fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2).

DATOS:

Fluido: densidad y viscosidad constantes; caudal constante = Q

Geometría: diámetro de la tubería = D1; discos: diámetro = D2; huelgo = H.

Numéricos: µ=0,8kg/ms; Q = 0,4 litros/segundo ; D1=30mm; D2=400mm;

H=10mm

SOLUCION

Si el flujo es laminar, las partículas se mueven en capas horizontales (vz=0) sin

vorticidad (vθ=0), y la velocidad solo tiene componente radial; además las fuerzas

de inercia se pueden despreciar frene a las viscosas:

FLUJO LAMINAR:

La ecuación de NAVIER-STOKES para la componente radial, para flujo

incompresible y estacionario, con velocidades tangencial y axial nulas, es:

Respecto a cada uno de los 5 términos que aparecen en la ecuación anterior, se

tiene:

- El término (1) es nulo, por ser horizontal la dirección radial.

- El término (2) se puede expresar por dp/dr, si consideramos que la presión

prácticamente no varia con las “z´s”“al ser el huelgo muy pequeño.

- El término (5) de fuerzas de inercia (por unidad de volumen) es despreciable

frente al termino (3)(4) de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), por ser el

flujo laminar.

- El término (3) es nulo por continuidad, pues al ser incompresible, el flujo es

adivergente:

Con todo la ecuación de Navier-Stokes,

queda:

(1) CAMPO DE VELOCIDADES:

De la ecuación de continuidad [2], se puede deducir, que el producto “r vr ” no

depende del radio, y por tanto dependerá exclusivamente de la altura “z”, es decir:

con lo que la velocidad radial es una función

del tipo:

cuya segunda derivada, respecto a “z”

es:

que llevado a la ecuación [3], queda:

cuya integración da la función “f(z)”:

con lo que de la ecuación [4], se puede obtener la expresión de la velocidad radial:

Las constantes de integración se obtienen con las condiciones de contorno: por la

condición de no deslizamiento, en las paredes, la velocidad es nula: vr=0, con z=-

H/2 y z=H/2; que llevadas a la ecuación [5], resulta:

Con lo que se tiene

como expresión de la velocidad radial:

Como las velocidades son siempre positivas, y 4z2 siempre es menor que H2 ; el

gradiente radial de presiones debe ser negativo, es decir la presión va

disminuyendo con el radio. Como en la salida se tiene la presión atmosférica, la

presión en el interior siempre es mayor que la atmosférica (¡compare y comente

con el resultado del mismo problema con flujo no viscoso¡).

Una vez obtenido el perfil de velocidades, en cada sección, el gradiente de presión

(dp/dr) se puede determinar, a partir de la ecuación del caudal volumétrico:

Con la expresión del gradiente de presión, y la ecuación [6] se obtiene el campo

de velocidades:

(2) CAMPO DE PRESIONES:

La integración del gradiente de presiones, permite obtener el campo de presiones:

En la ecuación anterior, como r<R2, el logaritmo es positivo, y con ello la presión

en cualquier posición radial es mayor que la presión atmosférica; evidentemente

con r=R2, se tiene la presión atmosférica.

(3) Fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2):

Sobre el disco inferior están actuando: por la parte exterior la presión atmosférica

y por la parte interior la presión del líquido, que es mayor o igual a la atmosférica;

por lo tanto la resultante de las fuerzas de presión sobre el citado disco tiene

sentido hacia abajo. Sobre una determinada corona elemental, las fuerzas de

presión serán:

y de la ecuación [9] que da la presión en el interior de los discos, se tiene que la

fuerza de elemental de presión sobre el área elemental considerada (dA=2πr dr)

es:

con lo que la resultante de las fuerzas de presión, sobre la corona considerada

(D1 a D2), es:

Numéricamente, a partir de los datos, la resultante de la fuerza de presión sobre el

disco inferior es:

El signo negativo, evidencia que la resultante de las fuerzas de presión es una

fuerza vertical hacía abajo.