ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL ...

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO

CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV

RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

SANTA FÉ DE BOGOTÁ D.C.

2013

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL POLÍMERO

CONJUGADO ORGÁNICO SEMICONDUCTOR MDMO-PPV

TG. 1207

RICARDO ANDRÉS MOLINA PEÑA

Trabajo de grado para optar al título de

Ingeniería Electrónica

Director

Juan C. Salcedo Reyes

Físico, MSc, Ph.D

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

SANTA FÉ DE BOGOTÁ D.C.

2013

Nota de aceptación:

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Físico Ph.D. Juan Carlos Salcedo Reyes

Director del Trabajo de Grado

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Ing. Germán Yamhure Kattah

Jurado

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Ing. Carlos Eduardo Cotrino Badillo

Jurado

Santa fé de Bogotá, 15 de Noviembre de 2013

NOTA DE ADVERTENCIA

“La universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus proyectos de

grado, solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque los trabajos

no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se vea en ellos el anhelo de

buscar la verdad y justicia”

Artículo 23 de la Resolución No 13, del 6

de julio de 1946, por el cual se reglamenta

lo concerniente a Tesis y Exámenes de Grado

en la Pontificia Universidad Javeriana.

Yo no os aconsejo el trabajo, sino la lucha.

Yo no os aconsejo la paz, sino la victoria.

¡Qué vuestro trabajo sea una lucha!

¡Que vuestra paz sea una victoria!

Federico Nietzsche

In the beginning, God created the heaven and the earth… and God said:

and there was light.

James Clerk Maxwell

Dedico este triunfo a mis padres, los “Administradores de Empresas” José R. Molina Bello y Martha Peña, por brindarme su constante amor, apoyo y confianza, y por los grandes esfuerzos y sacrificios que me han permitido alcanzar este gran logro de mi vida.

A mi hermana, la jefe de enfermería Mónica Molina Peña, a Hernán Peña “el perico” , a mi tío Honorio García Torres y en especial a mi hermosa nona y madre María A. García Torres, a quienes les debo el ánimo, el impulso y el apoyo que me brindaron de forma incondicional, para poder culminar exitosamente esta meta.

A mi abuelita Ana Rosa Bello Daza, a mi padrino Manuel G. García Torres y a Vicente Molina “el chente” por su compañía desde la eternidad, gracias.

También de manera muy especial a mi mamá A. Antonia Torres, a mi papá Honorio García Vega y a mi tío-hermano Carlos Peña; que aunque ya no se encuentren físicamente conmigo, yo se que en todo momento al desarrollar este trabajo estuvieron conmigo, en las investigaciones, en mis desvelos y sobre todo en los momentos más difíciles de mi carrera profesional, por eso donde quieran que estén mamá Antonia, papá Honorio y Carlos Peña les dedico mi esfuerzo y sacrificio desde los más profundo de mi alma y mi corazón… GRACIAS.

AGRADECIMIENTOS

El autor desea dar las gracias a todos los que han suministrado ayuda, concejo, cooperación en forma de

pláticas, artículos, libros y cualquier otra fuente de material para este libro.

Quiero agradecer primero, de forma muy cordial, a Juan C. Salcedo Reyes por darme la oportunidad y la

confianza de trabajar con él en esta investigación y por su infinita paciencia… gracias.

Al grupo de Película Delgadas y Nanofotónica de la Pontificia Universidad Javeriana por dejarme ser

parte del grupo, liderado por el “estimado” Luis Camilo Jiménez.

Al profesor José Sarta por sus consejos y enseñanzas durante esta investigación.

A mis amigos y compañeros que conocí y compartí a lo largo de mi carrera profesional: Jaime Zambrano

“el metacho”, Daniel Gaitán “el chirrete”, Miguel Rodríguez “el punkero”, Juan M. Sánchez “el

pijaracho”, Andrés García “el maestro del ajedrez”, Jorge Ladino “el españolete”, a mi gran amigo Julián

Tenjo “el fifty”, los hermanos Eduardo y Juan Ponce “los peruanos”, José Espejo “el oso” y de forma

muy especial y cordial a mi gran amigo, hermano y parcero Andrés Hacker “el hacker”, gracias.

Por último, quiero agradecer y hacer una mención muy especial y grande!!! al profesor Oscar Ocaña Gómez, por sus consejos, enseñanzas, correcciones, asesorías y por su ayuda incondicional en el

desarrollo de esta investigación, muchísimas gracias.

TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................... 1

2. MARCO TEORICO ................................................................................................................................... 3

2.1 Onda electromagnética ......................................................................................................................... 3

2.2 Ecuaciones de Maxwell ........................................................................................................................ 3

2.3 Tipos de medios ................................................................................................................................... 4

2.4 Condiciones de Frontera....................................................................................................................... 5

2.5 Ecuación de Onda................................................................................................................................ 6

2.6 Fasores.................................................................................................................................................. 7

2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias ............................................ 7

2.8 Vector de Poynting .............................................................................................................................. 8

2.9 Onda plana en medios con pérdidas ( ) .................................................................................... 9

2.10 Dispersión óptica .............................................................................................................................16

2.11 Condiciones de frontera .................................................................................................................20

2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas ...............................................................20

2.13 ÓPTICA DE MULTICAPAS...........................................................................................................25

2.13.1 Lámina delgada semiconductora (capa o película) ...................................................................25

2.13.2 Matriz de transferencia ..............................................................................................................28

2.13.3 Matriz de propagación en una lámina ......................................................................................31

2.13.4 Matriz de una multicapa ...........................................................................................................32

2.14 MÉTODOS NUMÉRICOS ..............................................................................................................33

2.14.1 Método Directo .........................................................................................................................34

2.14.2 Método de envolventes de Swanepoel y Minkov ......................................................................34

2.14.3 Método Multicapa .....................................................................................................................34

2.14.4 Determinación de las constantes ópticas ...................................................................................35

2.14.5 Determinación del espesor de la película .................................................................................36

3. ESPECIFICACIONES .............................................................................................................................37

3.1 DESCRIPCIÓN ..................................................................................................................................37

3.2 MEDIDAS DE TRANSMISIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ...............................................37

3.3 MEDIDAS DE REFLEXIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE ....................................................39

3.4 PELÍCULA DELGADA DE MDMO-PPV .......................................................................................39

3.4.1 Semiconductores orgánicos .........................................................................................................39

3.4.2 Polímeros conjugados .................................................................................................................41

3.4.3 Preparación de películas delgadas ...............................................................................................41

3.4.4 Microscopio de fuerza atómica ...................................................................................................44

3.4.5 Características del PC ..................................................................................................................44

4. DESARROLLOS .....................................................................................................................................45

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS ....................................................................................................45

4.2 INICIO ..............................................................................................................................................47

4.3 CÁLCULO ........................................................................................................................................47

4.3.1 Modelo Multicapa .......................................................................................................................48

4.3.2 Comparador .................................................................................................................................48

4.3.3 Producto ......................................................................................................................................49

4.4 DERIVADOR ...................................................................................................................................50

4.4.1 Discontinuidad ............................................................................................................................51

4.5 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS - N ............................................52

4.6 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS – K ............................................53

4.7 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – N ..............................53

4.8 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – K ..............................55

4.9 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – N ....................................55

4.10 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – K ...................................56

4.11 SOLUCIÓN ......................................................................................................................................56

5. RESULTADOS ........................................................................................................................................58

5.1 RESULTADO DE PRUEBA CONDICIONES IDEALES PARA EL MÉTODO NUMÉRICO

MULTICAPA ..........................................................................................................................................58

5.2 ALGORITMO SWMK – MC ............................................................................................................59

5.3 ERROR DEL MODELO MULTICAPA ...........................................................................................60

5.4 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR RANGOS DE LAS CONSTANTES

ÓPTICAS Y ESPESOR DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ..............................................62

5.5 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES ÓPTICAS DE LA

PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV ..................................................................................................64

5.6 RESULTADO DE PRUEBA PARA COMPARAR MÉTODO MULTICAPA VS MÉTODO

SWANEPOEL -MINKOV. ......................................................................................................................65

6. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................67

7. BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................................................68

8. ANEXOS .................................................................................................................................................70

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x en un medio dieléctrico con pérdidas .... 14

Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida ................................................................ 21

Figura 2.3 Esquema del sistema multicapa ................................................................................................................. 26 Figura 2.4 Esquema del sistema óptico en estudio, constituido por dos capas plano-paralelas inmersas en el aire, una

de ellas transparente (sustrato) y la otra débilmente absorbente (MDMO-PPV). ................................................ 26 Figura 2.5 Vectores de onda de los campos de entrada y de salida de un sistema multicapa entre dos medios semi-

infinitos el ambiente (medio 0) y el sustrato (medio s) ........................................................................................ 27 Figura 2.6 Polarización normal de una onda electromagnética plana para la interface entre dos materiales diferentes

............................................................................................................................................................................. 29

Figura 2.7 Vectores de onda propagándose dentro de un medio de índice de refracción n en los puntos x y x+d. ..... 31

Figura 3.1 Diagrama de bloques general del proyecto. ............................................................................................... 37 Figura 3.2 Transmitancia y reflectancia a temperatura ambiente e incidencia normal para una película delgada

orgánica MDMO-PPV. ........................................................................................................................................ 38

Figura 3.3 Enlaces con electrones- ....................................................................................................................... 40

Figura 3.4 Enlaces - conjugado con electrones- ..................................................................................................... 40 Figura 3.5 Estructura molecular del semiconductor orgánico. a) Poli (p-fenilenovinileno) o PPV, b) Poly [2-

methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] o MDMO-PPV. .................................................. 41

Figura 3.6 Fabricación de la película MDMO-PPV por la técnica Sping Coating. .................................................... 42 Figura 3.7 Proceso de elaboración de tintas. a) Polímero y solvente se disuelven, b) luego la mezcla se somete al

proceso de sonicación que consiste en calentar la tinta a por 30 minutos. ................................................. 43

Figura 4. 1 Espectro de transmisión y reflexión óptica para la película ITO a partir de los datos de sus constantes

ópticas. ................................................................................................................................................................. 45 Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la

película delgada a partir de sus espectros de transmisión y reflexión. ................................................................. 46

Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO. .................................................................................................. 47

Figura 4.4 Esquema del bloque Modelo Multicapa. .................................................................................................... 48

Figura 4.5 Esquema del bloque Comparador. ............................................................................................................. 48

Figura 4.6 Esquema del bloque Producto. .................................................................................................................. 49

Figura 4.7 Esquema del bloque DERIVADOR. .......................................................................................................... 51

Figura 4.8 Esquema del bloque Discontinuidad. ......................................................................................................... 51

Figura 4.9 Esquema del bloque ANDI-N. ................................................................................................................... 52

Figura 4.10 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI-N. ............................................................................................. 53

Figura 4.11 Esquema del bloque ANDI INICIO-N. .................................................................................................... 54

Figura 4.12 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI INICIO-N. ................................................................................ 54

Figura 4.13 Esquema del bloque ANDI FIN-N. .......................................................................................................... 55

Figura 4.14 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI FIN-N. ...................................................................................... 56

Figura 4.15 Constantes ópticas de la película delgada semiconductora ITO. .............................................................. 57

Figura 5.1 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la transmisión. ......................... 58

Figura 5.2 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la reflexión. ............................. 59 Figura 5.3 Transmitancia y reflectancia teóricas desfasadas de los dos métodos numéricos para una película delgada

orgánica semiconductora ITO ............................................................................................................................. 60 Figura 5.4 Transmitancia y reflectancia teóricos corregidos de los dos métodos numéricos para una película delgada

orgánica semiconductora ITO ............................................................................................................................. 61 Figura 5.5 Transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda de la luz, para una película delgada

MDMO-PPV ........................................................................................................................................................ 62

Figura 5.6 Transmitancia, reflectancia y constantes ópticas de la película delgada MDMO-PPV.............................. 63

Figura 5.7 Constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV........................................................................... 64 Figura 5.8 Transmitancia y reflectancia teóricos de los dos métodos numéricos para la película delgada orgánica

semiconductora MDMO-PPV............................................................................................................................. 66

GLOSARIO

LED: Light Emitting Diode (Diodo emisor de luz)

OLED: Organic Light Emitting Diode (Diodo emisor de luz orgánica)

PPV: poli (p-fenilenovinileno)

MDMO-PPV: Poli [2-methoxy-5-(3´,7´-dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene]

AFM: Atomic Force Microscope (Microscopio de fuerza atómica)

ITO: Indium Tin Oxide (Óxido de Estaño Indio)

: Transmisión en función de la longitud de onda

: Reflexión en función de la longitud de onda

Si -H: Óxido de silicio

Ge - Se: Germanio - Selenio

L.H.I: Lineal, Homogéneo e Isotrópico

P.I: Plano de Incidencia

: Transmisión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio

: Reflexión del sistema multicapa vacio (aire), película, sustrato y vacio

P3HT-PCBM: [polímero poly (3-hexylthiophene) llamado P3HT y (6,6 – phenyl C61 – butyric acid

methyl ester) llamado PCBM]

Reflexión: Palabra homónima. Cambio en la dirección o en el sentido de propagación de una onda.

UV-VIS: ultravioleta – visible

Fit: Ajuste teórico.

ANDI: Aproximación numérica de datos indeterminados.

1

1. INTRODUCCIÓN

Durante la última década los materiales orgánicos han alcanzado un gran interés por su utilización en

distintas aplicaciones optoelectrónica y fotónicas [1]. Actualmente, muchos de los dispositivos que

tradicionalmente estaban basados en materiales semiconductores inorgánicos, tales como diodos emisores

de luz (LEDs), celdas solares, transistores, entre otros, se han conseguido fabricar utilizando materiales

orgánicos. Por otra parte, aquellos materiales que son solubles, presentan la gran ventaja de poder ser

procesados de forma sencilla, utilizando técnicas simples y relativamente baratas, como la deposición por

sping coating o evaporación térmica sobre un sustrato (película delgada orgánica semiconductora). Esto

constituye una gran ventaja, comparada con la sofisticada tecnología requerida para la producción de

materiales inorgánicos en la industria de semiconductores. Además, la versatilidad de la química orgánica

ofrece la oportunidad de obtener materiales en los que se pueden controlar sus propiedades mediante

modificaciones estructurales. Por tal motivo, en los últimos años, se ha observado un creciente interés por

el estudio, tanto teórico como experimental, de las propiedades químicas, físicas, ópticas y electrónicas de

los polímeros -conjugados que, hoy en día, prometen ser la base para el desarrollo de nuevos materiales

encaminado a la fabricación de este tipo de dispositivos, como por ejemplo, fibras ópticas [2], laser de

cristal fotónico [3], computación cuántica [4], celdas solares [5], transistores ópticos [6], sensor óptico [7],

OLED [8], entre otras muchas aplicaciones.

Sin embargo, las propiedades ópticas de las películas delgadas semiconductoras son parámetros

parcialmente conocidos. Por lo tanto, para determinar el espesor y las constantes ópticas de las películas

delgadas semiconductoras, usualmente se recurre a la medición de la transmitancia y reflectancia en

función de la longitud de onda; a partir de estos resultados por medio de programas de computador se

encuentra el espesor, el índice de refracción y el coeficiente de extinción de la película orgánica a partir de

sus espectros. Tal método ha sido tratado por varios autores [9, 10, 11, 12, 13], y se caracteriza por dos

aspectos importantes. El primero, hace referencia a la medida en sí, es decir, los espectros deben ser

medidos a incidencia normal y temperatura ambiente. El segundo aspecto, se refiere al procesamiento de

los datos, ya que es imperativo usar algoritmos y métodos numéricos que lleven a la solución de las

constantes ópticas.

Las técnicas tradicionales para hallar tales constantes ópticas, resultan ser difíciles porque requieren de

criterios y modelos matemáticos laboriosos y difíciles de entender; además, los resultados obtenidos no

son siempre los más adecuados, lo cual imposibilita optimizar el algoritmo y el proceso mismo, lo cual

impide alcanzar mayores niveles de aproximación.

En el presente trabajo las constantes ópticas de estos materiales han sido determinadas usando un método

de caracterización óptica relativamente sencillo, basado en el método numérico multicapa [13], el cual

permite obtener la parte real e imaginaria del índice de refracción complejo y el espesor de la película.

Para llevar a cabo tal cálculo, se desarrolló un algoritmo que posteriormente se implementó en un

programa de computador escrito en MATLAB; el programa nos proporciona las gráficas ajustadas de los

espectros de transmisión y reflexión, también nos entrega las gráficas del índice de refracción y el

coeficiente de extinción en función de la longitud de onda.

Dentro de las ventajas que se pueden obtener por medio de este algoritmo, es el hecho de que es simple,

versátil, eficaz y determinante en el cálculo de las constantes ópticas de una película delgada

semiconductora; además de implementar el algoritmo en un programa de computador escrito en

2

MATLAB, se requiere desarrollar una descripción y análisis matemático riguroso y detallado del modelo

físico (método numérico Multicapa) para entender e interpretar (matemática y físicamente) cada una de las

ecuaciones que compone el método numérico Multicapa; y luego, comprobar y analizar cómo funciona el

modelo en términos de la estimación de los parámetros (constantes ópticas) y el grado de aproximación al

cabo de un determinado número de iteraciones, con el fin de confirmar o corroborar su veracidad. Al

mismo tiempo, el algoritmo implementado permite encontrar una solución más viable que las técnicas

tradicionales o, por lo menos, con menor grado de complejidad y más entendible.

De esta manera, el objetivo general del presente trabajo de grado es determinar, por medio del método

numérico multicapa, el índice de refracción y el coeficiente de extinción del polímero conjugado orgánico

semiconductor MDMO-PPV. Además, los objetivos específicos del proyecto son: Fabricar una disolución

orgánica: disolvente – polímero conjugado orgánico semiconductor PPV; crecer una película delgada de

MDMO-PPV por spin - coating sobre sustrato de vidrio; medir a temperatura ambiente los espectros de

transmitancia y reflectancia de la película orgánica MDMO-PPV y determinar el índice de refracción y el

coeficiente de extinción, en función de la longitud de onda de la película delgada orgánica semiconductor

MDMO-PPV

En el presente informe se organizan los temas así: en el Capítulo 2 el marco teórico con información

importante del método numérico multicapa; en el Capitulo 3 las especificaciones generales de los equipos

utilizados en la preparación, fabricación y medición óptica de una película delgada orgánica

semiconductora; en el Capitulo 4 se encuentran los desarrollos realizados para la solución del problema; el

Capitulo 5 muestra los resultados obtenidos de la solución expuesta en el capitulo anterior y su respectivo

análisis; finalmente, en el Capitulo 6 se llega a las conclusiones finales del proyecto y reflexiones basadas

en los resultados obtenidos, objetivos generales y los objetivos específicos del trabajo de grado.

Después de realizar el proyecto, se ofrece una herramienta computacional que sirva al sector industrial,

académico y/o científico. Por último, confío que mi trabajo sea útil a algunos, para nadie perjudicial y que

todos agradezcan mi veracidad.

3

2. MARCO TEORICO

En este capítulo se estudian las aplicaciones de las Leyes de Maxwell en el problema de la propagación de

ondas planas uniformes electromagnéticas en distintos medios, siendo estos homogéneos, lineales e

isotrópicos con diferentes propiedades ópticas. El estudio de la reflexión/refracción implica la obtención

de expresiones que determinan la dirección de propagación, la amplitud, cambios de fase y polarización de

las ondas transmitida y reflejada. Para realizar este estudio se emplea las condiciones de frontera de los

campos en puntos muy cercanos a la interfase de separación de dos medios. Estas relaciones se derivan de

las ecuaciones de Maxwell y a partir de estas expresiones, se obtiene la ecuación de onda para el campo

eléctrico y magnético. Aplicando condiciones de frontera y continuidad, se deduce, las direcciones de

propagación de las ondas reflejada y transmitida que se expresan mediante las leyes de Snell (reflexión y

refracción). A continuación se estudian las relaciones entre las amplitudes (coeficientes de reflexión y

transmisión) e intensidades (reflectancia y transmitancia) de las ondas obteniendo las expresiones

conocidas como fórmulas de Fresnel. A partir de las ecuaciones de Fresnel, se aborda el estudio de las

películas delgadas que se utilizan, ya sea como una sola capa o multicapa. Por último, se explica los

métodos numéricos que calculan las constantes ópticas de una película delgada semiconductora.

2.1 Onda electromagnética

Una onda electromagnética viajera clásica es la propagación de una perturbación de un medio, que se

mueve en el espacio transportando energía (en términos de “partículas” sin masa denominadas fotones) e

impulso. Entonces, de modo muy pragmático, se considera que la luz es una onda electromagnética

clásica, teniendo en cuenta el hecho de que hay situaciones para las cuales esta definición es

absolutamente inadecuada.

2.2 Ecuaciones de Maxwell

Para un cuerpo de masa [kg], carga del electrón [ ], que se mueve con

velocidad [m/s], en una región con Intensidad de Campo Eléctrico [V/m] y Densidad de Flujo

Magnético [T =Wb/m2=Vs/ m

2], la fuerza electromagnética o Fuerza de Lorentz [N], ver [14],

que actúa o describe la acción de los campos sobre un cuerpo o partículas cargadas, es:

(2.1)

Las expresiones matemáticas que describen las leyes sobre electricidad, magnetismo y óptica, son

ecuaciones basadas en observaciones experimentales (Gauss, Faraday y Ampere) y que permiten la

descripción clásica de las partículas que interactúan con el campo electromagnético. La relación de

igualdad entre las leyes y principios físicos para la explicación de fenómenos electromagnéticos

macroscópicos se denomina Ecuaciones de Maxwell [14]. En términos de la carga “libre” y corriente

“libre”; según el autor [15], obtenemos que:

(2.2)

4

Intensidad de Campo Magnético [A/m]; Campo Eléctrico [V/m]; Densidad de Flujo Magnético

[Wb/m2 = Vs/ m

2 =

T]; Desplazamiento Eléctrico o Densidad de Flujo Eléctrico [C/cm

2]; Densidad

volumétrica de Corriente eléctrica libre [A/m2]; Densidad volumétrica de carga eléctrica libre [C/m

3];

Densidad volumétrica de carga magnética libre [Wb/m3 = Vs/ m

3 =

T/m] (carga magnética por unidad

de volumen; lo que significa que ); , Densidad volumétrica de Corriente

de Desplazamiento [A/m2]; Densidad volumétrica de Corriente de carga magnética libre [Wb/(m

2.s)

= V/m2] (al no encontrarse experimentalmente la carga magnética libre o mono polo magnético, la

densidad volumétrica de corriente de carga magnética libre también es nula, ). En general todas

estas condiciones son funciones de la posición y el tiempo.

Para el caso de un flujo neto por unidad de volumen a través de la superficie cerrada que limita el

volumen (carga eléctrica libre neta “sale” por unidad de volumen y tiempo) determina la rapidez de

cambio de la densidad de carga eléctrica libre en un punto. Dicho fenómeno físico recibe el nombre de la

ecuación de continuidad o principio de conservación de la carga eléctrica [14].

(2.3)

Las cuatro ecuaciones de Maxwell no son suficientes para describir la evolución del campo

electromagnético, siendo necesario añadir las relaciones de definición del vector de desplazamiento

eléctrico y el campo magnético .

(2.4)

Campo de Polarización [C/m2] (momento dipolar eléctrico por unidad de volumen); Campo de

magnetización [A/m2]; permitividad eléctrica del vacío [8.854187817

.10

-12 F/m]; permeabilidad

magnética del vacío [4π.10

-7 H/m].

Por último, se indica las relaciones entre los campos y con los campos eléctrico y magnético .

(2.5)

(2.6)

Susceptibilidad eléctrica [adimensional]; susceptibilidad magnética [adimensional];

permitividad relativa del medio [adimensional]; permeabilidad relativa del medio [adimensional].

2.3 Tipos de medios

Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades eléctricas tales como la permitividad eléctrica del

medio [F/m] y la permeabilidad magnética del medio [H/m = N/A2]; en conductores y no conductores,

según su conductividad [1/(Ω m) = S/m]. Los materiales no conductores se denominan aisladores o

dieléctricos (caso que es de nuestro interés).

5

La conductividad de un material depende de la temperatura y la frecuencia. Un material de alta

conductividad se denomina metal, uno de baja conductividad aislador y uno de

conductividad intermedia, semiconductor. Existen tres tipos de medios:

Lineal: No depende del valor de los campos electromagnéticos; el material conserva sus

propiedades del medio material por el que se propaga la luz.

Homogéneo: No depende de la posición del campo; por tanto, el material no cambia sus

propiedades.

Isotrópico: No cambia su valor con la dirección del campo; por lo cual, el material mantiene sus

parámetros .

Si el medio es el lineal, homogéneo e isotrópico (L.H.I) y no dispersivo, son parámetros

escalares constantes. Si el medio es no lineal, homogéneo e isotrópico, no serán escalares sino

tensores y si es dispersivo dependerán de la frecuencia del campo.

La densidad de corriente eléctrica libre puede ser de conducción o convención , donde

indica la velocidad promedio de los portadores de carga libre. La corriente de convención que es

distinta a la de conducción, ocurre cuando la corriente fluye a través de un fluido como liquido, gas o en el

vacío; por lo tanto, no implica conductores y, en consecuencia, no satisface la Ley de Ohm.

Por lo tanto, si el medio es L.H.I y sin fuentes las ecuaciones de Maxwell se

simplifican:

(2.7)

También existen las siguientes relaciones:

(2.8)

(2.9)

2.4 Condiciones de Frontera

En general, los campos , son discontinuos en el límite entre dos medios diferentes. Tales

discontinuidades se pueden deducir a través de las ecuaciones de Maxwell [14,15]. A partir de la

divergencia y Teorema de Gauss – Ostrogradsky [15]; el rotacional y Teorema de Stokes [15]; y

considerando, que el vector normal va del medio 1 al medio 2, se obtiene:

(2.10)

(2.11)

Por último, del Teorema de Gauss, resulta

6

(2.12)

Igualmente, se pueden establecer relaciones entre la polarización y la magnetización a ambos lados de una

frontera, por medio de las cargas de polarización y de magnetización, así como de las corrientes de

magnetización.

(2.13)

Densidad volumétrica de carga de Polarización [C/m3]; Densidad volumétrica de corriente de

Magnetización [A/m2].

(2.14)

2.5 Ecuación de Onda

A partir de las ecuaciones de Maxwell, se deducirán ecuaciones que determinan el comportamiento de

cada uno de los campos en medios LHI en forma independiente, es decir, ecuaciones que incluyan

relaciones espaciales y/o temporales para uno sólo de los campos, deducción que se centrará

principalmente para los campos eléctricos e intensidad magnética.

Si se aplica el operador rotacional a la ecuación que expresa el rotacional del campo eléctrico , se tiene

que:

(2.15)

Si se usa la siguiente identidad vectorial.

(2.16)

Se obtiene el siguiente resultado:

(2.17)

La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA EL CAMPO ELÉCTRICO.

Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene:

(2.18)

La ecuación anterior representa la ECUACIÓN DE ONDA PARA LA INTENSIDAD DE CAMPO

MAGNÉTICO.

Las ecuaciones anteriores son similares matemáticamente, implica que la solución homogénea (o sin

fuentes ) es la misma para los campos y , hecho que simplifica el proceso de la solución

7

(resuelta una de las ecuaciones está resuelta la otra), y desde el punto de vista físico, significa una

equivalencia o similitud en el comportamiento de los dos campos.

2.6 Fasores

Si un campo, por ejemplo el eléctrico , está dado por una onda armónica o monocromática

(movimiento periódico) en cualquier instante de tiempo, se obtiene que:

(2.19)

Donde son vectores constantes,

en el cual cada componente tendrá su respectiva

magnitud y fase

. Simultáneamente, que es la

frecuencia angular, siendo f la frecuencia y T el periodo. Utilizando la notación de fasores, según el autor

[16,17], se encuentra:

(2.20)

En forma similar, para la intensidad del campo magnético , la densidad de flujo magnético ,

el desplazamiento eléctrico , si son funciones armónicas, se pueden expresar como la parte real de

un campo que depende de la posición, por la función exponencial armónica que dependen del tiempo.

Si el campo es periódico en el tiempo, se puede expresar en series armónicas de Fourier [15], así:

(2.21)

La ecuación anterior representa la Serie Trigonométrica de Fourier del campo eléctrico. El primer

miembro de la ecuación representa el nivel “DC” del campo. El segundo miembro consta de una serie, el

primero la componente par del campo y el segundo la componente impar del campo.

2.7 Transformación de la Ecuación de Onda al dominio de las frecuencias

Considerando que la solución de la ecuación de la onda sea la superposición de campos armónicos de

diferentes frecuencias (series de Fourier si el campo es periódico, Transformada de Fourier en el caso

general), para cada frecuencia se deben satisfacer las diferentes ecuaciones (de Maxwell, de frontera, de

onda, entre otras). Si partimos de la ecuación:

(2.22)

Aplicando la Transformada de Fourier, teniendo en cuenta que la transformada de un laplaciano es el

laplaciano de la Transformada, la transformada del gradiente es el gradiente de la Transformada y la

transformada de la derivada temporal es veces la transformada del campo, se obtiene en el dominio de

las frecuencias:

8

(2.23)

Realizando el mismo procedimiento para , se obtiene.

(2.24)

2.8 Vector de Poynting

En el estudio de campos electrostáticos, se encuentra que , lo que implica que el campo

electrostático es conservativo; al estudiar los campos variables con el tiempo, el rotacional del campo

eléctrico deja de ser nulo, lo que significa que el campo eléctrico, al ser dependiente

del tiempo, no es conservativo (se transforma en energía mecánica o de otro tipo).

La energía transportada por el campo electromagnético a través del espacio, depende de la energía

suministrada a la fuente en la que el campo electromagnético se genera, debiendo mantenerse el equilibrio

o la relación entre la velocidad de transporte de energía (propagación), la transferencia de energía al medio

(efectos disipativos) y la energía asociada a los campos. Entonces, a partir del sistema de ecuaciones de

Maxwell se describe la energía que posee el campo electromagnético (que puede ser determinada a partir

de las amplitudes de la intensidad del campo eléctrico y de intensidad magnética) [14, 15].

(2.25)

La ecuación anterior representa el TEOREMA DE POYNTING en forma integral. El primer miembro de

la igualdad es la potencia suministrada por todos los generadores existentes dentro del volumen ,

resultado que representa la energía que se transforma en calor, por el efecto Joule (la densidad de corriente

puede ser de conducción o de convección). El segundo miembro consta de dos sumandos, el primero,

la energía almacenada en los campos eléctricos y magnéticos, y el segundo término representa la potencia

transmitida, a través de , a la región exterior a . Este flujo de energía del campo electromagnético, a

través de una superficie cerrada, se caracteriza por el vector , llamado el vector de Poynting que es igual

a:

(2.26)

Este vector representa el flujo de energía por unidad de tiempo y área, es decir, la intensidad de la onda,

que se propaga en los campos electromagnéticos. El cual se interpreta como la densidad de potencia

instantánea en watts por metro cuadrado . La dirección del vector indica la dirección del flujo

de potencia instantánea en un punto del espacio.

En el producto vectorial anterior que define el vector de Poynting, los campos se suponen reales. Pero si,

y se expresan en forma compleja y dependen en común del tiempo , es decir,

9

y . Por consiguiente, la intensidad media de radiación

está dada por.

(2.27)

Donde es el complejo conjugado de la intensidad del campo magnético .

Si queremos obtener la versión diferencial del teorema de Poynting [14,15]; a partir de la ecuación (2.25)

resulta que:

(2.28)

Esta ecuación expresa la ecuación de conservación de la energía en medios no disipativos.

2.9 Onda plana en medios con pérdidas ( )

Para el presente estudio se considera una onda electromagnética, monocromática, plana y uniforme que se

propaga en un medio dieléctrico (con pérdidas), por lo que, para ella, el vector de propagación , la

permitividad eléctrica del medio , la impedancia intrínseca , la conductividad del material (ó tangente

de pérdidas) y el índice de refracción , son complejos.

Para el caso (que nos interesa para nuestro estudio) en el cual los campos se propagan en un material

dieléctrico de permitividad y permeabidad , sin fuentes y dependen únicamente de una coordenada

espacial; en este caso la coordenada x (en principio los campos puede tener cualquier dirección de

propagación y por tanto tener componentes en y/o ), y a su vez ambos campos no poseen

componentes según esa dirección; suponiendo que el medio es L.H.I. se tiene:

(2.29)

Factorizando

(2.30)

Por lo tanto.

(2.31)

Por simplicidad supondremos en una sola dirección por ejemplo “y”, propagándose en la dirección del

eje x. Por lo tanto, no varía con “y” o “z”, a su vez, las derivadas

(2.32)

Por lo que se obtiene

(2.33)

10

Donde son vectores constantes, en general complejos

en el cual cada componente

tendrá su respectiva magnitud y fase

o si se prefiere, parte real e imaginaria

.

Si con y vectores constantes (reales o complejos), utilizando la identidad

, según [15], y sustituyendo en (2.31) de forma general, resulta:

(2.34)

De tal forma que se encuentra como condición para satisfacerla que

(2.35)

Donde

(2.36)

Siendo el ángulo el ángulo de pérdidas, que sirve para diferenciar a los buenos conductores, cuando la

tangente de pérdidas es grande de los buenos dieléctricos, cuando es pequeña

.

La magnitud de un vector complejo es:

(2.37)

Donde el vector de propagación debe ser una constante escalar complejo, esto es:

(2.38)

Donde la parte real e imaginario y son ambos números reales. También, el índice de refracción es

una constante escalar compleja al igual que . Por lo tanto.

(2.39)

Donde el índice real e imaginario y son ambos números reales. El vector complejo se puede

expresar también como:

(2.40)

La magnitud es:

(2.41)

Y la fase es:

11

(2.42)

Por lo tanto:

(2.43)

De acuerdo a la ecuación anterior se determina la parte real e imaginaria de .

(2.44)

(2.45)

Aplicando las identidades trigonométricas.

(2.46)

Reemplazando en la parte real y simplificando:

(2.47)

Finalmente la parte real es:

(2.48)

La parte real del vector de propagación , es denominado número de onda o de propagación;

determina el comportamiento periódico de la onda en el espacio, en este caso en dirección del eje x; el

campo está descrito por la función armónica de periodo , por lo tanto completa un periodo espacial, es

decir, una longitud de onda λ, cuando:

(2.49)

La velocidad de propagación de la fase está determinada por:

(2.50)

(2.51)

Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de atenuación , resulta:

(2.52)

12

La parte imaginaria del vector de propagación , es denominado el coeficiente de atenuación; por

tanto, la magnitud de es el inverso de la distancia , medida a lo largo del eje

x, para la cual la amplitud de la onda disminuye (se atenúa), a su valor inicial (aproximadamente al

), distancia que se denomina profundidad de penetración.

(2.53)

Reemplazando y en la ecuación (2.33), queda.

(2.54)

Con y conocidos y reemplazando por su magnitud y fase en (2.20) se obtiene:

(2.55)

De modo que

(2.56)

Ahora, reemplazando en (2.17) y según (2.32), se encuentra que la solución de la ecuación de

onda para el campo eléctrico es:

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Finalmente, se encuentra que las condiciones para satisfacer la ecuación de onda son:

(2.62)

Para el caso que se está estudiando, una onda plana uniforme que sólo depende de x, en un medio L.H.I,

sin fuentes ( sin embargo, suponiendo , de la expresión que es equivalente

a , resulta que

), con pérdidas (dieléctrico o conductor) y, por tanto, el vector de propagación es complejo;

ahora, es necesario verificar que el campo obtenido, soluciona las ecuaciones de Maxwell, dado

que no es suficiente con satisfacer la ecuación de onda, por lo que se debe ahora emplear la formulación

de las ecuaciones de Maxwell, para verificar si la solución encontrada, representa un campo eléctrico, así:

De la expresión , se obtiene que:

13

(2.63)

El desarrollo anterior demuestra que el campo eléctrico variable con el tiempo es un campo no

conservativo. Si la expresión fuera ; la ecuación anterior implica que el campo es

electrostático (estacionario) y, además conservativo, por consiguiente, el trabajo total es nulo. De donde

se desprende también la existencia de una función potencial V, tal que . De la ecuación

y (ecuaciones fundamentales de la electrostática) se llega a la ecuación de Poisson

. Si la densidad de carga es nula, se convierte en la ecuación de Laplace .

Continuando con nuestro análisis para el campo eléctrico variable con el tiempo; para hallar partimos

de la ecuación entonces . De la expresión

, se desprende que . De la relación , resulta

. Además, se debe cumplir por lo tanto,

entonces y

.

Simultáneamente de la relación se encuentra . De la ecuación se obtiene

que . Por último, de se encuentra

.

Puesto que la ecuación de onda para la intensidad del campo magnético , es idéntica a la de ,

su solución matemática debe ser de la misma forma, es decir .

Cuya solución para la onda es . En este caso, la dirección de se

encuentra en “z”, propagándose en la dirección del eje x. Por lo tanto, no varía con “x” o “y”, las dos

derivadas correspondientes son cero, y se obtiene

Retomando las expresiones

,

(Nótese que cuando (onda plana en un medio sin pérdidas) las ecuaciones anteriores se reducen a:

y , por lo tanto, y (FASORES) están en fase en todos

los puntos del espacio. Una onda es plana y uniforme si y (VECTORES) son ortogonales y a la

vez, estos son ortogonales al vector de propagación ; en otras palabras, la onda electromagnética plana

es una onda transversal; las superficies (plano de fase constante) que unen todos los puntos de igual fase

se conocen como frentes de onda. La velocidad de la luz en el vacío se encuentra

relacionada con y a través de . La longitud de onda en el vacio es . El

índice de refracción del medio es De manera similar, el comportamiento periódico de

la onda en el espacio es y ) y reemplazando por su magnitud y fase en (2.20) se

obtiene:

(2.64)

14

De modo que

(2.65)

En esta expresión y la ecuación (2.56), los signos dobles , que aparecen como superíndices (¡no

exponente!) en los fasores , , y

, indican que la onda se propaga en la dirección positiva

(signo de arriba) o negativa (signo de abajo) del eje x; mientras los superíndices de la constante de fase

corresponde también a la onda propagándose en dirección positiva o negativa del eje x. Los signos dobles

que aparecen en las constantes y , indican que la ecuación de onda tiene dos soluciones.

Sin embargo, (2.65) no es la solución de la intensidad magnética; por lo tanto, el proceso para encontrar

la solución de la ecuación de onda para es similar a lo que se implementó con el campo

eléctrico ; proceso que no se desarrollaremos aquí. Observemos, además, que en un medio con

pérdidas y

ya no están en fase (no son ortogonales) y que la diferencia de fase ,

es positiva. Esto significa que y ya no alcanzan sus mínimos y máximos juntos; por lo

tanto, es una polarización lineal [15]. Existen tres tipos de polarización: lineal, circular y elíptica. Para

nuestro caso en particular, la polarización lineal se produce cuando la razón entre las dos componentes del

fasor del campo eléctrico (resuelto para este caso; se obtiene el vector de campo magnético, pues es

perpendicular y proporcional al campo eléctrico) es una cantidad real, lo que requiere que la diferencia de

fase entre ellas sea múltiplo entero de ; con n par (los campos en los dos ejes “están en fase”) el

resultado es positivo y con n impar (los campos en los dos ejes “están opuestos fase”) es negativo. En

cualquier caso, las magnitudes de esas componentes son en todo momento proporcionales “estén en fase u

opuestas en fase”.

En la siguiente figura se ilustra el comportamiento de la onda electromagnética propagándose a lo largo

del eje x.

Figura 2.1 Onda electromagnética plana propagándose a lo largo del eje x en un medio dieléctrico con pérdidas. Tomado de [18].

15

Por el momento, si tomamos la normal en la dirección de propagación de la onda, se puede definir un

vector de propagación como . Por lo que a partir de (2.32), el operador nabla es

equivalente a la sustitución ; con lo que las ecuaciones de Maxwell (2.7) se vuelven [15]:

(2.66)

Los dos primeros resultados nos indican que el vector (real o complejo) debe ser ortogonal a los campos

y , y las otras dos ecuaciones nos permiten concluir además, que los campos y (fasores) son

ortogonales entre sí. Sin embargo, si y (vectores complejos), que es el caso de nuestro interés, no son

ortogonales, hay que encontrar el desfase entre los campos electromagnéticos. Por lo tanto, si

simplificamos en las dos últimas ecuaciones y dividimos por la magnitud del vector , encontramos:

(2.67)

(2.68)

Donde recibe el nombre de impedancia característica

del medio. Como las unidades de son voltio por metro [V/m] y las de son amperios por metro [A/m],

la relación entre las ondas incidentes del campo eléctrico y magnético tendrá dimensiones de impedancia,

es decir, ohmios [Ω]. La cantidad ohmios Ω es conocida como la impedancia

del espacio vacío.

Reemplazando ( ) en (2.67) y aplicando el complejo conjugado; se obtiene que para un medio con

pérdidas la impedancia intrínseca es una cantidad compleja.

(2.69)

El valor absoluto o magnitud de la constante compleja es

(2.70)

La fase de la constante compleja es

(2.71)

Como el ángulo de fase de la impedancia intrínseca es diferente de cero, esto provoca que los campos

eléctrico y magnético estén desfasados un ángulo . Con este resultado se demuestra que los campos

y (vectores complejos) al propagarse en un medio con pérdidas (dieléctrico en este caso) no son

ortogonales. Sin embargo, recordemos que la ortogonalidad depende del tipo de polarización, el medio en

16

el que se propaga la onda y el cómo, esta se propaga antes, durante y después de atravesar el medio

(incidencia normal u oblicua).

2.10 Dispersión óptica

Los materiales dieléctricos, como vidrio o plástico, son buenos aisladores cuando se encuentran sometidos

a campos estáticos; pero, pueden llegar a consumir una cantidad apreciable de energía cuando se los

expone a campos variables en el tiempo. Las formas en que los procesos físicos en un material pueden

afectar el campo eléctrico de la onda se describen por medio de la permitividad compleja.

También pueden presentarse pérdidas que surgen como respuesta del medio al campo magnético y estas se

modelan a través de una permeabilidad compleja. Como ejemplo, están los materiales ferromagnéticos o

ferritas. La respuesta magnética es, en general, muy débil comparada con la respuesta del dieléctrico en la

mayoría de los materiales destinados para la propagación de ondas; en tales materiales se puede decir que

(constante).

Es necesario en la presente sección, realizar una descripción microscópica de la materia en forma

cualitativa con la idea de aclarar el efecto de un campo eléctrico sobre un átomo o molécula. Cualquier

trozo de materia (dieléctrico en este caso) está formado por átomos y/o moléculas, que poseen tanta carga

positiva como negativa.

En ausencia de campo eléctrico, la molécula tendrá un momento dipolar nulo, es decir, moléculas

apolares o no polares. Si suponemos ahora, la molécula en presencia de un campo eléctrico, aparecerán

fuerzas sobre las cargas. Las cargas positivas tenderán a moverse en dirección del campo y las

negativas en dirección opuesto al campo; por lo tanto, la fuerza eléctrica neta sobre un dipolo eléctrico en

un campo eléctrico externo uniforme es cero. Por tanto, la molécula posee un momento dipolar inducido y

ha sido polarizada. Puede suceder otra posibilidad; es que debido a su estructura interna, la molécula

posea un momento dipolar, aun en ausencia de campo. Las moléculas de esta clase se denominan

polares y su momento dipolar se considera como un momento dipolar permanente. Un ejemplo de esta

clase es la molécula de agua . Una partícula eléctricamente cargada en el punto , con carga ,

genera un momento dipolar eléctrico [14,15]; el cual se define como:

(2.72)

Siendo una partícula de carga eléctrica [C] y brazo del dipolo [m] (separación entre carga eléctrica

positiva y negativa), por lo que dicho átomo está polarizado. Sin embargo, mientras la fuerza neta sobre

un dipolo eléctrico es cero, sus momentos de torsión no suman cero. El momento de torsión tiende a

alinearse al campo eléctrico externo uniforme (dado que las dos cargas no pueden separarse) y se

calcula con respecto al centro del dipolo eléctrico, así [14]:

(2.73)

Donde es el momento de torsión vectorial sobre un dipolo eléctrico, momento dipolar eléctrico y es

el campo eléctrico. Las unidades de la magnitud del momento de torsión son carga por voltio [ ]. El

momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina polarización eléctrica .

Sin conocer muchos más detalles acerca de las interacciones atómicas internas; nuestro análisis será,

exclusivamente, “osciladores armónicos electrónicos”. Podemos decir (aproximar) que, el sistema (núcleo

17

átomo-electrón) es equivalente a un sistema mecánico; constituido por una gran esfera (núcleo de átomo),

unida a otra pequeña esfera (nube de electrones), a través de un resorte; por lo tanto, si el sistema es

afectado por pequeñas perturbaciones, tiene que haber una fuerza neta, para restablecer el “equilibrio

del sistema”; las fuerzas restauradoras (fuerza elástica) tienen la forma ; es la constante

elástica. Una vez que el sistema haya sido perturbado momentáneamente de esta forma, oscilará (electrón)

con una frecuencia de resonancia o natural dada por donde es su masa. Esta es la

frecuencia oscilatoria del sistema sin excitación; es decir, que sin una fuerza impulsora (onda incidente), el

oscilador vibrará a su frecuencia de resonancia

Cuando una onda luminosa (se propaga en x) incide en un medio (dieléctrico sin pérdidas), cada átomo

puede considerarse como un oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico

variable en el tiempo , que aquí se supone en la dirección “y”. La ejercida sobre una partícula de

carga eléctrica por el campo (campo eléctrico externo o macroscópico) de una onda armónica

de frecuencia tiene la forma.

(2.74)

Donde es el campo local o molecular; campo que actúa sobre una partícula del medio y es la

excitación forzada que hace que oscile el electrón. Por la segunda ley de Newton; la suma de las fuerzas es

igual a la masa por la aceleración:

(2.75)

El primer término a la izquierda corresponde a la fuerza impulsora, el segundo término es la fuerza

restauradora opuesta y el tercero es la fuerza viscosa que experimenta las partículas (electrones, átomos,

moléculas, entre otros) que conforman el material al moverse dentro de un fluido (gas, líquido, sólido e

incluso el vacío), y se conoce como el parámetro de amortiguación.

Si se trata de un campo eléctrico armónico, es de esperar que la solución de sea también una función

armónica de igual frecuencia, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en forma de fasores, con

; al reemplazar y resolver se obtiene

(2.76)

Donde es el coeficiente de amortiguación y representa la fuerza de disminución de la

amplitud en el sistema mecánico (la amortiguación de la amplitud se debe, en parte, a la energía perdida

cuando los osciladores forzados vuelven a radiar energía dentro de la sustancia en forma de “calor”).

Recordemos que el campo eléctrico que actúa sobre la partícula es el campo local o molecular, no el

macroscópico, donde el fasor del campo local está dado por, según [15],

, donde

, para dieléctricos isotrópicos no polares y para

conductores.

Despejando

18

(2.77)

El momento dipolar inducido equivale a la carga multiplicada por su desplazamiento y, si

tenemos N dipolos por unidad de volumen, la polarización eléctrica o densidad de los momentos

dipolares es , y, por tanto, la susceptibilidad eléctrica será

(2.78)

Lo desarrollado hasta ahora supone un único tipo de oscilador, pero en general, son numerosas las clases

de osciladores entre los electrones de diferentes órbitas. Por tanto, el campo de polarización y la

susceptibilidad eléctrica debe incluir la suma de las contribuciones realizadas por cada clase de oscilador

, esto es, hay electrones por unidad de volumen con frecuencia ; así:

(2.79)

A partir de la ecuación anterior, es fácil deducir la expresión para la constante dieléctrica y, reemplazando

la susceptibilidad eléctrica en la ecuación (2.6), resulta:

(2.80)

Multiplicando por el complejo conjugado se encuentra

(2.81)

Donde se conoce como la constante de la permitividad relativa del medio; lo que resulta ser una

cantidad compleja, ; en el estudio de la propagación de ondas en medios disipativos, se

había encontrado una permitividad compleja según lo cual, la parte imaginaria

depende de la conductividad, lo que significa, que el medio dieléctrico objeto de este estudio, presenta

pérdidas que dependen de la frecuencia del campo impulsor (incidente al medio dieléctrico).

De la ecuación (2.81) y las expresiones posteriores a esta, se deduce que la parte real de la permitividad

relativa del medio es

(2.82)

Mientras que la parte imaginaria de la permitividad relativa del medio es:

(2.83)

19

De aquí, se puede concluir, que tanto la permitividad relativa, como la conductividad son funciones de la

frecuencia, teniendo en cuenta que la respuesta de un oscilador y la transferencia de potencia de la

fuerza impulsora al oscilador, son funciones de la frecuencia, por lo que se trata de un medio

dispersivo.

Las ecuaciones (2.82) y (2.83) son aplicables a muchos sistemas (diferentes materiales) de absorción de

luz e ilustran tanto la contribución de un sistema (película orgánica - sustrato) dado a la constante

dieléctrica, como la relación existente entre sus partes real e imaginaria. Para bajas frecuencias

, la constante dieléctrica crece con la frecuencia, y, la polarización eléctrica estará en fase con

respecto al campo eléctrico aplicado a dicha materia. A frecuencias cercanas a la de la resonancia

, la parte real e imaginaria (constante dieléctrica) tienen un máximo que se refleja en el aumento

resonante del desplazamiento. A frecuencias mucho más altas , la constante dieléctrica tiende a

la permitividad del vacío, indicando que el sistema en cuestión no puede responder a esas frecuencias, por

lo tanto, no contribuye a la polarización del medio; además, la polarización eléctrica resultante estará, por

lo tanto, desfasada con respecto al campo eléctrico aplicado.

Conocemos que el índice de refracción es la raíz cuadrada de la permitividad eléctrica relativa; por

consiguiente, y haciendo (la permeabilidad magnética en numerosos materiales es

), la primera ecuación se simplifica a y, el índice de refracción complejo se obtiene de

la raíz de un número complejo [19]. Desarrollando un análisis similar al que se realizó arriba con el vector

de propagación; podemos decir que la ecuación de dispersión es:

(2.84)

Haciendo

(2.85)

Donde es la frecuencia de plasma, es decir, la frecuencia natural a la que la densidad de electrones de

valencia e iones positivos oscila dentro del medio con pérdidas. La frecuencia de plasma determina

cuando la onda incidente al medio disminuye exponencialmente. Si , es real, la absorción es

pequeña y el medio es transparente (dieléctrico ideal, vidrio). Es por esto que, si nos mantenemos alejados

de la frecuencia de resonancia , la amortiguación se puede ignorar y la fórmula del índice de

refracción se simplifica a , por lo que resulta

(2.86)

Para este caso en particular, es decir, para materiales transparentes, las resonancias más significativas se

encuentran generalmente en el rango de ultravioleta - visible (UV-VIS - 380nm - 780nm), por lo que

. Con esta condición, por desarrollo en serie de Taylor, se obtiene

20

(2.87)

Por consiguiente, reemplazando en la ecuación (2.86) y factorizando, se encuentra que

(2.88)

En términos de la longitud de onda en el vacío ( ), tenemos que

(2.89)

Esta expresión se conoce como la ecuación de Cauchy; la constante A es el coeficiente de refracción

(cambio de dirección que experimenta la luz al pasar de un medio a otro) y B es el coeficiente de

dispersión.

La dispersión del índice de refracción , también se puede analizar según el modelo de Wemple-

DiDomenico basado en el oscilador armónico simple [10]. Es importante porque fue la primera

investigación que conectó los parámetros de fotón de energía, oscilador de energía y oscilador armónico

simple de dispersión óptica. La conexión entre estos parámetros se logró al conectar la relación

matemática entre las partes real e imaginaria de la constante de la permitividad relativa del medio

conocida como, las relaciones Kramers-Kronig [10], también llamadas relaciones de dispersión.

2.11 Condiciones de frontera

El problema a estudiar ahora es lo que ocurre, acorde con las ecuaciones de Maxwell, con una onda

monocromática plana, que se propaga en un medio, con o sin pérdidas, al llegar a la superficie que limita

este medio con otro medio, también con o sin pérdidas; en general, empíricamente se observa que “parte

de la onda” se refleja y “parte” se transmite, por lo que es necesario determinar las características de las

ondas reflejada y transmitida.

Los campos asociados a cada una de las ondas, incidente, reflejada y transmitida, deben satisfacer las

condiciones de frontera. Con el vector unitario normal a la interfase (no confundir con el índice de

refracción (parte real e imaginaria), y ), en dirección del medio incidente al transmitido y

suponiendo que el medio es L.H.I, se obtiene:

(2.90)

(2.91)

2.12 Reflexión y refracción de ondas monocromáticas planas

Una onda monocromática plana incidente que viaja en un medio 1 de parámetros electromagnéticos

que entra en otro medio 2 de parámetros forma un ángulo cualquiera, en este caso,

los ángulos de incidencia y de refracción que se miden respecto a la normal (N) de frontera;

21

asimismo, los vectores (no confundir con el vector de propagación complejo, parte real e

imaginaria, y ) forman el plano de incidencia, perpendicular al plano de frontera. Es decir, que para

satisfacer las ecuaciones de frontera (2.90 - 2.91) existen tres ondas coplanares: la onda incidente en el

medio 1, la onda reflejada en el medio 1 y la onda transmitida en el medio 2; se utilizan los índices

, respectivamente, para indicar a que corresponden a cada una de estas ondas como se muestra en

la figura siguiente.

Figura 2.2 Onda electromagnética plana incidente, reflejada y transmitida. Tomado de [18].

La polarización electromagnética de la onda se puede resolver para los campos y por separado; una

en el P.I (plano de Incidencia), llamada polarización paralela y la otra normal al P.I, llamada

polarización normal. Para la onda polarizada en el P.I., el campo eléctrico se encuentra en el P.I. y como

el vector de propagación también se encuentra en el P.I., la intensidad del campo magnético es

perpendicular al P.I; para la onda polarizada normal al P.I, el campo eléctrico se encuentra normal al P.I. y

por tanto, la intensidad del campo magnético está en el P.I. Sea cual sea la polarización de la onda, las

componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidencia de los campos y se tratan por

separado.

Suponiendo una onda monocromática plana incidente en la frontera entre dos medios L.H.I, dieléctricos,

sin pérdidas; donde el campo total en los dos medios obedece las ecuaciones de Maxwell y cumple las

condiciones de frontera, lo que implica que se determine y se establezcan las Leyes de Snell [14,15]:

(2.92)

(2.93)

Donde ( ) son las componentes tangenciales de los vectores coplanares ( , un mismo

plano). Aplicando la ley de reflexión , reemplazando por y simplificando, se obtiene.

22

(2.94)

Si el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, la intensidad magnética está en el plano

de incidencia, es decir polarización normal. Haciendo uso de la continuidad de las componentes

tangenciales del campo , tenemos que en la frontera, en cualquier tiempo y punto:

(2.95)

Para que se cumpla o se mantenga la relación de la componente tangencial del campo eléctrico, la suma de

los campos eléctricos (incidente, transmitido y reflejado) debe ser cero; por consiguiente, la componente

que presente cualquier cambio en fase o magnitud, las demás también deben cambiar magnitud y fase para

que se cumpla la relación, así:

(2.96)

Al aplicar la condición de frontera para , se obtiene.

(2.97)

Utilizando la ecuación y la identidad , se

encuentra [15]:

(2.98)

(2.99)

Donde . Porque el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, luego este no

tiene componente paralela al vector unitario .

Luego, utilizando las siguientes ecuaciones, según [15], se obtiene:

(2.100)

Reemplazando las anteriores ecuaciones en (2.99) y utilizando, según la Ley de Snell , resulta:

(2.101)

(2.102)

Combinando (2.96) con la ecuación (2.102), se obtiene:

(2.103)

23

(2.104)

Donde son campos eléctricos escalares. Estas expresiones se denominan Ecuaciones de

Fresnel y se aplican a cualquier medio L.H.I. Aquí, denota el coeficiente de reflexión para la

amplitud, mientras que representa el coeficiente de transmisión para la amplitud; el subíndice

indica que estamos tratando un caso en que es perpendicular al plano de incidencia.

Si la intensidad magnética es ahora quien es normal al plano de incidencia, se trabaja igual que el caso

anterior pero ahora el campo eléctrico está en el plano de incidencia. Esto se conoce como

polarización paralela. Por lo tanto, el coeficiente de reflexión para la amplitud y el coeficiente de

transmisión para la amplitud resultante, son [15,20]:

(2.105)

(2.106)

Si la incidencia es normal (que interesa para nuestro estudio), se aproxima a cero, y se

aproximan ambos a la unidad y, por tanto,

(2.107)

(2.108)

Ahora, expresando los Coeficientes de Fresnel en función de los índices de refracción de ambos medios;

se sabe que , también que (no confundir con la permitividad eléctrica compleja del

medio (parte real e imaginaria), y ), entonces.

(2.109)

Con , simplificando y reemplazando por el índice de refracción, resulta.

(2.110)

Realizando el mismo procedimiento para el coeficiente de reflexión, se obtiene

(2.111)

24

En las situaciones prácticas lo que se puede observar o medir es la energía transportada por dichos

campos y por ello es conveniente definir otra magnitud que relacione la energía de los campos reflejado y

transmitido con la energía del campo incidente. Estas magnitudes se definen en función del vector

promedio de Poynting , teniendo una componente normal a la superficie limitante y otra paralela a ella.

Lo que resulta de interés físico, es la componente normal, puesto que es la que da lo que se refleja y

transmite en el medio original. Por lo tanto, el coeficiente de reflexión para la potencia , es:

(2.112)

El vector promedio de Poynting se define como

, utilizando la ecuación

y la identidad , según [15], en (2.112), resulta que

(2.113)

Donde , porque el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, luego este no tiene

componente paralela al vector unitario . Al expandir el doble producto vectorial se obtiene también que

; de este resultado se conoce que la energía no solamente está en la dirección de

propagación, sino que además es proporcional al cuadrado de la amplitud de o de y es real. Puesto

que las ondas incidente y reflejada se encuentran en el mismo medio; tiene el mismo valor que

; por lo tanto, se pueden simplificar; además , según

(2.100). Tomando lo anterior en consideración, se obtiene que

(2.114)

Esta expresión se denomina la Reflectancia y expresa la conservación de la energía, puesto que toda la

energía incidente vuelve a aparecer ya sea en la onda reflejada o transmitida, de modo que no se pierde

energía (dieléctrico sin pérdidas) en el proceso.

De manera similar, se puede definir la Transmitancia para la potencia T, por medio de

(2.115)

A diferencia de la Reflectancia, las ondas incidente y transmitida no se encuentran en el mismo medio;

por lo tanto, no tiene el mismo valor que . Finalmente, de (2.114) y (2.115) resulta

sencillo comprobar la relación .

Si se quiere ver las expresiones anteriores en términos de la intensidad de la onda, se obtiene:

25

(2.116)

(2.117)

Donde las magnitudes son respectivamente la intensidad incidente, transmitida y reflejada.

Si la incidencia NO ES NORMAL, las expresiones algebraicas son diferentes; lo que implica utilizar otro

método y análisis matemático.

2.13 ÓPTICA DE MULTICAPAS

A continuación, se comprueba que la mayor parte de las fórmulas deducidas en las secciones anteriores

son aplicables aunque con ciertas modificaciones en algunos casos.

2.13.1 Lámina delgada semiconductora (capa o película)

Para el análisis anterior se suponía el medio limitado por una superficie (vidrio); pero que ocurriría en el

caso de que el segundo medio esté limitado por una segunda superficie (plana y paralela); que la radiación

incidente sobre la primera superficie una parte se refleja en ella y otra se transmite hacia la segunda

superficie del segundo medio, recorriendo una cierta distancia en la que sufre un cierto desfase, allí

nuevamente una parte de ella se transmite al tercer medio y otra se refleja hacia la primera superficie,

sufriendo el correspondiente desfase adicional, donde a su vez vuelve a ocurrir el mismo proceso así

sucesivamente (caso que es de interés para nuestro estudio). A continuación, se ilustra una onda

electromagnética plana incidiendo normalmente desde la izquierda sobre un sistema compuesto de n

regiones; por consiguiente, esto conduce a una cantidad de ondas reflejadas y transmitidas que dan como

resultado ondas plana simples viajando hacia delante y hacia atrás en cada una de las regiones, excepto en

la última región.

26

Figura 2.3 Esquema del sistema multicapa. Tomado de [18].

Para tal propósito se debe considerar incidencia normal; supóngase que todos los campos se dan a lo largo

del eje x; polarización normal y que el medio de propagación es un medio dieléctrico homogéneo e

isotrópico con pérdidas (película delgada MDMO-PPV - sustrato); como se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4 Esquema del sistema óptico en estudio, constituido por dos capas plano-paralelas inmersas en el aire, una de ellas transparente

(sustrato) y la otra débilmente absorbente (MDMO-PPV).

27

Cuando una onda plana incide sobre la película da lugar a una serie de ondas planas reflejadas y

transmitidas. Estas ondas resultan de las interferencias múltiples de las ondas reflejadas y transmitidas en

cada frontera, como se muestra en la figura siguiente.

Figura 2.5 Vectores de onda de los campos de entrada y de salida de un sistema multicapa entre dos medios semi-infinitos el ambiente

(medio 0) y el sustrato (medio s)

Aplicando condiciones de frontera y teniendo en cuenta las Leyes de Fresnel, pueden obtenerse los

coeficientes de transmisión y reflexión de la película. Para ambas polarizaciones se

obtiene expresiones idénticas, dadas por las siguientes fórmulas

(2.118)

(2.119)

Donde

(2.120)

y es la longitud de onda, el índice de refracción de la lámina, el espesor de la lámina y el

ángulo de propagación dentro de la lámina. El parámetro se suele denominar espesor en fase, e indica la

fase acumulada por la onda al recorrer (ida y vuelta) la película, donde y son los coeficientes de

transmisión y reflexión en la interface i-j. Sin embargo, los coeficientes serán diferentes para cada

polarización de la onda incidente. Sin embargo, nuestro caso es para incidencia normal; por lo tanto,

(figura 2.5) y la expresión (2.120) se convierte en .

De manera análoga a como se hizo en el caso de única interface (dieléctrico sin pérdidas) e incidencia

normal, la transmitancia y reflectancia vienen dadas por

28

(2.121)

(2.122)

Por tanto, cuando la luz incide en un medio con pérdidas, esta es absorbida por el material de acuerdo a

la Ley de Beer-Lambert [21]. La cual se define como el logaritmo decimal de la inversa de la

transmitancia y cuya obtención es conveniente para aplicarla en los procesos de cuantificación (nivel

microscópico). Por consiguiente

(2.123)

Donde A es la Absorbancia, es la intensidad incidente, intensidad transmitida al atravesar el

material, es la concentración del absorbente en el medio, es la longitud atravesada por la luz en el

medio y es el coeficiente de absorción. Lo que resulta que la relación R+T < 1.

El índice de refracción complejo , donde se le denomina el coeficiente de extinción

[adimensional], puede expresarse en función del coeficiente de absorción , a partir de la Ley de Beer-

Lambert, por medio de la ecuación

(2.124)

Por lo tanto el índice de refracción complejo se puede expresar también, como

(2.125)

2.13.2 Matriz de transferencia

El análisis de dos o más capas aplicando directamente las fórmulas de Fresnel, es complicado, ya que la

aplicación de contorno en todas las interfases conduce a un número elevado de ecuaciones. Una buena

herramienta matemática para la solución de este problema y que permite deducir las ecuaciones de

dispersión de nuestro sistema (película delgada orgánica semiconductor - sustrato) es la matriz de

transferencia. Emplear un método matricial nos permite obtener un tratamiento sistemático de cada capa,

lo que nos lleva a un sistema multicapa. Para ello, vamos a caracterizar cada interfase por su matriz de

transmisión y la propagación de la luz a través de cada capa por su matriz de propagación. De tal forma,

que se obtendrá la matriz característica de cada lámina (capa) y para concluir, en el caso de múltiples

capas consecutivas, la matriz característica de una multicapa.

Para este fin, consideremos de nuevo la frontera entre dos medios, de índices de refracción complejos y

. Una onda plana monocromática, linealmente polarizada (cualquiera de las dos polarizaciones), incide

desde el medio 1 con ángulo y su amplitud es . Esta onda da lugar a una onda reflejada en el medio

1, de amplitud

, y a otra transmitida en el medio 2, con amplitud

, cuyo vector forma un ángulo

con el eje x.

29

Se considera otra onda plana de igual frecuencia y polarización y de amplitud , incidiendo desde el

medio 2 con ángulo , como indica la figura 6. De igual forma,

y

son las amplitudes de las

correspondientes onda transmitida y reflejada.

Figura 2.6 Polarización normal de una onda electromagnética plana para la interface entre dos materiales diferentes

Las amplitudes de los campos de salida totales en los puntos ubicados a un lado y a otro de la frontera

serán denotadas como y

Por tanto, la amplitud es

(2.126)

Mientras que, para , se tiene

(2.127)

Donde y son los coeficientes de transmisión y reflexión de Fresnel para la frontera (1-2) y y

los correspondientes para la frontera (2-1), ver figura 2.5.

Utilizando las ecuaciones (2.126) y (2.127), según [22], se llega a

(2.128)

Esta fórmula es para la polarización paralela; en componentes, se reduce a

(2.129)

30

(2.130)

Al multiplicar estas dos ecuaciones, se obtiene que

(2.131)

Al considar incidencia normal , que es nuestro caso de interés, resulta

(2.132)

La ecuación anterior es un número complejo y no se reduce a la ley de conservación de energía en la

frontera, puesto que el término

, ver (2.113).

Aplicando un procedimiento similar para la polarización normal, se encuentra

(2.133)

En componentes y, suponiendo incidencia normal, se reduce a

(2.134)

(2.135)

El producto de estas ecuaciones es de nuevo similar a la ecuación (2.132), por lo tanto, es independiente

del estado de polarización.

De forma general, para cualquier polarización (normal y/o paralela), aplicando condiciones de frontera, se

obtiene un sistema de dos ecuaciones que se pueden expresar en forma matricial como

(2.136)

Donde y representan las matrices de las ecuaciones (2.128) y/o (2.133), previamente determinadas;

la ecuación (2.136) también puede escribirse como

(2.137)

Donde se conoce como la matriz de transferencia de la interfaz (frontera entre dos medios). Teniendo

en cuenta las fórmulas de Fresnel, esta matriz puede expresarse como

(2.138)

Expresión válida para ambas polarizaciones sin más que sustituir y por los coeficientes

correspondientes a cada tipo de polarización.

31

2.13.3 Matriz de propagación en una lámina

Antes, se describió la matriz de transferencia (polarización normal y paralela) para una onda incidente

que pasaba de un medio a otro. Pero ahora estamos interesados en la onda incidente que pasa a través de

uno de los dieléctricos (con o sin pérdidas). Consideremos ahora la propagación de una onda plana dentro

de una lámina plano-paralela de índice de refracción n, como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7 Vectores de onda propagándose dentro de un medio de índice de refracción n en los puntos x y x+d.

Los campos en los puntos x y x+d, dentro de la lámina, serán denotados respectivamente por

(2.139)

Ambos vectores campos están relacionados por una matriz diagonal de la forma [22]

(2.140)

Donde el parámetro se llama espesor en fase de la lámina, ver (2.120), e indica la fase acumulada por la

onda al recorrer (ida y vuelta) la película; además, si la incidencia es normal, o sea ver figura 2.7,

las ondas transmitidas y reflejadas se propagan de forma perpendicular al sistema multicapa, tal

como se muestra en la figura 2.7. En consecuencia, la matriz que relaciona los campos en los puntos x y

(x+d) es

32

(2.141)

Esta expresión se conoce como la matriz de propagación . Esta matriz describe la propagación de la

onda a través de una distancia d dentro de la lámina. Si la lámina es transparente (sustrato) es un número

real y tiene módulo unidad. Si el índice de refracción de la lámina es complejo , también lo será el

espesor en fase. En este caso, expresando se tiene que

(2.142)

Donde el factor indica cómo disminuye la amplitud según la onda se propaga en el interior de la

lámina. En cualquier caso, es importante notar que haya absorción o no, siempre se verifica .

Si hallamos la interacción de la onda en la segunda interfase, obtenemos que

(2.143)

De este modo, pueden relacionarse los campos a un lado y al otro de la lámina mediante la ecuación

(2.144)

Donde M es la matriz característica de la lamina, que viene dada por

(2.145)

Expresión válida, de nuevo, para ambas polarizaciones sin más que sustituir los coeficientes

correspondientes a cada tipo de polarización.

2.13.4 Matriz de una multicapa

Finalmente se calcula la matriz de transferencia para el caso de múltiples capas. Aplicando las relaciones

matriciales anteriores a cada interfase y a la propagación en el interior de cada capa, se obtiene

(2.146)

Donde es la matriz característica de la multicapa y indica el número de capas del sistema óptico,

que viene dado por

(2.147)

Debido a las propiedades de simetría de la matriz multicapa , ver [22], podemos deducir, que

33

(2.148)

A partir de la ecuación matricial (2.146), se puede obtenerse los coeficientes de reflexión y de transmisión

de la multicapa (figura 2.5); entonces, el primer caso es para la luz que incide desde el medio de índice

(aire/vacío), por consiguiente, los coeficientes son

(2.149)

(2.150)

Mientras el caso para la luz que incide desde el medio de índice (sustrato) los coeficientes de reflexión

y de transmisión son

(2.151)

(2.152)

Donde

(2.153)

De nuevo, si consideramos incidencia normal y, que los medios ambiente y sustrato son

idénticos ; podemos considerar que el determinante de transferencia de cualquier multicapa es

unimodular, es decir, .

Por último, de forma similar a lo deducido en (2.121) y (2.122), se define la transmitancia y reflectancia

de la multicapa como

(2.154)

Las expresiones anteriores representan la transmitancia y la reflectancia, tanto si la luz incide desde el

medio de índice como si lo hace desde el medio de índice . Sin embargo, recordemos que los

coeficientes de transmisión y reflexión son diferentes para cada polarización e interfase (aire-película-

sustrato-aire) que se propaga la onda incidente.

2.14 MÉTODOS NUMÉRICOS

El método numérico es un proceso o técnica mediante el cual se obtiene una aproximación de la solución

del problema, de tal forma, que sea resuelta por operaciones algebraicas y aritméticas. Entretanto, el

proceso que consiste de una lista de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones

algebraicas y lógicas, se denomina algoritmo, el cual produce una solución numérica. La eficiencia en el

cálculo de dicha aproximación depende de factores tales como: características y limitaciones del

34

algoritmo. Además, cuando se emplea estas técnicas numéricas, se introduce errores de truncamiento y

redondeo.

Por el momento, es necesario nombrar y realizar una descripción muy general de los diferentes métodos

numéricos que calculan las constantes ópticas de una película delgada semiconductora depositada sobre un

sustrato; son tres los métodos numéricos que permiten calcular las constantes ópticas de una película

delgada semiconductora a partir de sus espectros de transmisión y reflexión a incidencia normal.

1) Método Directo.

2) Método de envolventes de Swanepoel – Minkov.

3) Método Multicapa.

2.14.1 Método Directo

Su gran desventaja es que se aplica para un sólo espectro (transmisión) e implica realizar a los datos

medidos un ajuste teórico manual de las complicadas ecuaciones del método [11]. Este método numérico

está más detallado en el anexo A.

2.14.2 Método de envolventes de Swanepoel y Minkov

Mientras el método directo implica realizar un ajuste manual, el método de envolventes de Swanepoel y

Minkov permite determinar las constantes ópticas de forma “casi” automática para los dos espectros. El

método fue publicado por Swanepoel en 1983 [11] y más tarde por Minkov en 1989 [12]. Su principal

diferencia con el método anterior, es que está basado en el criterio de las envolventes de los espectros de

transmisión y reflexión óptica a incidencia normal, el cual permite obtener la parte real e imaginaria del

índice de refracción complejo (n, ). Tres zonas o regiones de absorción determinan los parámetros ópticos

de la película: zona de fuerte absorción; zona de media/débil absorción y una zona de transparencia. En

cada zona las aproximaciones y suposiciones (matemáticas y físicas) que se realizan para calcular las

constantes ópticas, son diferentes. Los resultados obtenidos mediante la aplicación de este método se

pueden ver en [23]. Una descripción más detallada del método numérico Swanepoel – Minkov, puede ser

también consultada en el anexo B.

2.14.3 Método Multicapa

Ya antes, se había mencionado lo que sucedía con la luz si atravesaba varios medios (plano - paralelos)

según lo cual, se producían múltiples reflexiones, lo que significa que el medio dieléctrico objeto de este

estudio (película delgada - sustrato), causa interferencias, debido a la diferencia de espesor e índices de

refracción del sustrato y la película delgada depositada sobre el sustrato; lo que representa en la medición

del sistema óptico en estudio, cambios de (amplitud y frecuencia en función de la longitud de onda) en los

espectros de transmisión y reflexión. Antes se mencionaron las ecuaciones de dispersión suponiendo que

la onda incidente se propagaba en un sólo medio (dieléctrico con pérdidas); pero al atravesar esta (luz)

varios medios, implicaba en nuestro análisis adicionar el desfase (en nuestro caso, incidencia normal)

que se produce por las múltiples reflexiones entre medio y medio; es por esto que, el método matriz de

transferencia, ver [22], resultó ser una muy buena herramienta matemática para la solución de nuestro

sistema; a continuación, se explica el método numérico Multicapa [13].

35

2.14.4 Determinación de las constantes ópticas

El primer paso, es medir la intensidad o rayo incidente al sustrato. Luego medir la intensidad de

transmisión y reflexión de la película, es decir, la película delgada depositada sobre el sustrato.

Una vez medida las intensidades del sustrato y la película, los espectros de transmisión y reflexión de la

película se obtienen de la relación y , parámetros que indican la transmitancia

y reflectancia de la película delgada.

Los valores de las constates ópticas son obtenidos cuando los espectros teóricos (simulados) coinciden

con los espectros experimentales. Los parámetros que se debe determinar de los espectros teóricos son: el

índice de refracción y coeficiente de extinción de la película. El proceso para determinar las constantes de

la película es el siguiente:

Para nuestro sistema, usamos la matriz de transferencia, la cual calcula la transmisión y reflexión del

subsistema que corresponde a vacío (aire), película y sustrato (espesor infinito); además, calcula

también la transmisión y reflexión del subsistema que corresponde a sustrato (espesor infinito),

película y vacio (aire), respectivamente. Luego con esos resultados podemos describir el sistema completo

y como un nuevo sistema, con dos interfaces: las interfaces simples y .

Finalmente, utilizando los subsistemas y sistema completo del modelo matemático, (método multicapa) se

realiza el cálculo para las constantes ópticas de la película delgada. Entonces, el modelo matemático, ver

[13], que describe el sistema completo de dos capas (película - sustrato) es:

Donde

Las siguientes ecuaciones son el resultado de la matriz de transferencia para el sistema :

Donde

36

Donde es el índice de refracción de la película [adimensional], es el índice de refracción del sustrato

[adimensional], coeficiente de absorción de la película [ ], coeficiente de absorción del sustrato

[ ], es la frecuencia angular [ ], c la velocidad de la luz [ ], la longitud de onda [m],

coeficiente de extinción de la película [adimensional], coeficiente de extinción del sustrato

[adimensional], espesor de la película [m], espesor del sustrato [m], espesor en fase

[adimensional], , , , , y son constantes [adimensionales]. Si suponemos ,

entonces las ecuaciones del modelo matemático se simplifican; los resultados obtenidos se pueden ver en

el anexo C.

2.14.5 Determinación del espesor de la película

Para calcular el espesor de la película , se puede aplicar los siguientes procedimientos:

Utilizar el microscopio de fuerza atómica o AFM (por sus siglas en inglés Atomic Force

Microscope).

Emplear una ecuación o fórmula que determine el espesor de la película a temperatura ambiente

mediante parámetros fundamentales que intervienen en el proceso de fabricación de la película

delgada como son la velocidad angular de rotación, establecida por el Spin-Coating; la

viscosidad, determinada fundamentalmente por la concentración del material orgánico respecto al

disolvente y la rata de evaporación del disolvente.

Mecanizar el proceso, es decir, utilizar el método numérico Multicapa; por consiguiente,

mediante el ensayo de “prueba y error” encontrar el espesor y los rangos de las constantes ópticas

de la película hasta que los espectros teóricos coincidan con los espectros experimentales.

Con los procedimientos anteriores se pretende obtener el espesor de cualquier material orgánico, los

cuales serán mencionados nuevamente y explicados en detalle en el siguiente capítulo.

37

3. ESPECIFICACIONES

En este capítulo se describen los montajes realizados para las mediciones ópticas, la técnica de

preparación de la película orgánica, los equipos y materiales utilizados durante los experimentos.

3.1 DESCRIPCIÓN

El trabajo de grado para el ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL

POLÍMERO ORGÁNICO SEMICONDUTOR CONJUGADO MDMO – PPV requiere de la realización

de un programa en software que pueda determinar las constantes ópticas de una película orgánica, a partir

de ajustar los espectros de transmisión y reflexión por medio de un método numérico que muestre en el

computador los valores calculados del índice de refracción y coeficiente de extinción de la película

orgánica.

El software desarrollado responde sólo si la luz (onda electromagnética) incidente es normal a la

superficie(s) plana(s)-paralela(s) que limita dos medios. Así mismo, una de las entradas del algoritmo

son los datos de transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda capturados por los equipos

de medición óptica, espectros que generan un banco de datos experimentales; el banco de datos pasará por

el método numérico Multicapa, con el propósito de contrastar los datos teóricos que genera el algoritmo

con el banco de datos experimentales, proceso que se conoce como ajuste teórico (fit); mientras que la

salida del sistema, corresponde a la visualización en la pantalla del computador las gráficas de las

constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV y sus espectros de transmisión y reflexión

(teóricos-experimentales) ajustados (fitted). El diagrama de bloques se muestra a continuación.

Figura 3.1 Diagrama de bloques general del proyecto.

El software utilizado para el programa es MATLAB R2009a [24]. En el siguiente capítulo se estudia con

más detalle la implementación y característica del algoritmo.

3.2 MEDIDAS DE TRANSMISIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE

Antes de exponer la instrumentación empleada en la medición de los espectros, transmitancia y

reflectancia; es mejor describir en general, en los términos más sencillos posibles, cómo se origina un

espectro y qué información estructural suministra. Cuando se eleva la temperatura de una sustancia,

empieza a emitir energía radiante. La cantidad de radiación emitida está en función de la longitud de onda

o de la frecuencia y depende de la temperatura y de su emisividad. Si la radiación emitida está en función

de la longitud de onda, se obtiene los espectros de la figura 3.2.

38

Figura 3.2 Transmitancia y reflectancia a temperatura ambiente e incidencia normal para una película delgada orgánica MDMO-PPV.

Al introducir distintas sustancias de origen orgánico en el haz del material radiante, se observa claramente

que la molécula absorbe radiación del haz incidente. Es por eso que si una muestra de molécula se irradia

por una onda electromagnética monocromática y plana, la gráfica resultante puede interpretarse como las

vibraciones de los átomos dentro de las moléculas y las múltiples reflexiones dentro de la interface

película-sustrato. El concepto de vibración puede ser análogo a un “modelo mecánico”, ver capítulo dos

(sección 2.10). Por último, desde el punto de vista químico, el espectro electromagnético de una sustancia

dada, brinda información de manera indirecta de las propiedades microscópica del material, a partir de

relaciones conceptuales entre la estructura de la materia y su interacción con la luz.

Los componentes básicos que caracterizan las mediciones de transmitancia son: una fuente de radiación,

que suministra la iluminación incidente sobre la muestra que se estudia; la luz incidente es enviada a un

lente plano convexo; el haz de luz atraviesa la película delgada y la radiación transmitida se enfoca de

nuevo con un lente plano convexo; la luz transmitida por la película delgada se modula (frecuencia) por

el chopper óptico y es enviada hacia la entrada del monocromador. Que consiste, en general, de una

rendija de entrada que proporciona un haz de luz estrecho e incoherente de la fuente de radiación, un

colimador que hace paralela la radiación procedente de la rendija de entrada, un prisma para dispersar

(separar la mezcla de longitudes de onda) la radiación incidente y de vuelta convertirla coherente por

medio de un motor de paso que hace pasar la luz por otro colimador para reconstruir la señal de entrada

(haz de luz) sobre la rendija de salida y, una rendija de salida que selecciona la banda estrecha de

frecuencias, lo cual permite tener un haz monocromático con una resolución de . Esta luz

monocromática es escaneada en el rango UV cercano a visible , que es detectada por

el fotomultiplicador. Este último componente transforma la energía de la banda de frecuencias en una

señal eléctrica, que luego es filtrada y amplificada por el Amplificador Lock-in, para que finalmente

pueda ser registrada por el computador.

39

Como fuente de radiación se utilizó una lámpara de tungsteno-halógena Oriel 66057 alimentada por una

fuente de voltaje Phywe 13536.9. El chopper óptico es un modelo Stanford Research RS540, capaz de

modular la luz monocromática de un laser desde 4Hz hasta 3.7 KHz. El monocromador es un modelo

Spectra Pro 275 de Acton Research Corporation. El motor de paso que hace girar el prisma es

controlado por una unidad ARC-2754045 que está conectada al computador por puerto serial RS232 y

manejado por el software de control LabVIEW. El fotomultiplicador es un modelo Newport 71579. Por

último, el amplificador es un modelo Lock-in Stanford Research SR830 DSP.

El montaje óptico utilizado para realizar medidas de transmitancia se muestra en el anexo D.

3.3 MEDIDAS DE REFLEXIÓN A TEMPERATURA AMBIENTE

Los instrumentos empleados que caracterizan las mediciones de reflectancia son: una fuente de

radiación, que suministra la iluminación incidente sobre la película delgada que se estudia; el haz de luz

incidente es enviada a un espejo cóncavo; la luz atraviesa la película delgada y la radiación reflejada se

enfoca a un segundo espejo cóncavo; la luz transmitida por la película delgada se modula (frecuencia)

por el chopper óptico y es enviada hacia la entrada del monocromador donde se dispersa la energía

radiante en muchas frecuencias, y, luego, por una serie de espejos/lentes y una serie de rendijas o

aberturas, selecciona la banda estrecha de frecuencias, que luego es detectada por el fotomultiplicador

que convierte la banda de frecuencias en una señal eléctrica, que luego es filtrada y amplificada por el

Amplificador Lock-in.

La medición de la reflectancia necesita sumo cuidado, ya que para medir esta a incidencia normal es una

tarea difícil, por no decir imposible; por lo tanto, a diferencia de la medición de transmitancia, para

capturar el haz de luz reflejado de la muestra, es necesario medirla para ángulos muy pequeños ;

en otras palabras, de forma sutil, el haz de luz reflejado de la muestra, es enfocado con un ángulo pequeño

al segundo lente, de tal forma, que la reflectancia no cambia el estado de la polarización, dentro de la

incertidumbre de la medida.

Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre que puede deberse a factores tales como:

limitaciones de los instrumentos usados, el método de medición y el observador (u observadores) que

realizan la medición. Cada uno de estos factores genera por separado fluctuaciones (oscilaciones)

positivas y/o negativas en la medición. Es por esto que, al momento de medir la reflectancia, se requiere

de máximo cuidado, para minimizar o “eliminar” el error en la medida.

El montaje óptico utilizado para realizar medidas de reflectancia se muestra en el anexo E

3.4 PELÍCULA DELGADA DE MDMO-PPV

3.4.1 Semiconductores orgánicos

Un semiconductor orgánico es una molécula orgánica bajo la forma de cristal o polímero que presenta

propiedades similares (banda prohibida, conducción por electrones y huecos) a los semiconductores

inorgánicos. Las interacciones que predominan en los semiconductores orgánicos son de tipo covalente a

nivel intermolecular y del tipo Van der Waals entre moléculas. En general los sólidos orgánicos (cristal,

película y/o polímero) se caracterizan por tener en su estructura molecular uniones conjugadas- , los

electrones pueden moverse libremente en los recubrimientos de nubes de electrones- , lo que permite la

conducción de electricidad. La estructura molecular orgánica se muestra en la figura 3.3.

40

Figura 3.3 Enlaces con electrones- . Tomado de [25]

Este enlace se conoce como enlace y los electrones (nube de electrones) que están compartidos se les

conocen como electrones [25], mientras las líneas indican que es un enlace sigma [25]. Por otra

parte, una característica que tiene los compuestos orgánicos (formados únicamente por átomos de carbono

e hidrogeno) con enlaces covalentes dobles [25] (cuando dos átomos se unen para alcanzar la regla del

octeto), es que absorben radiación en las regiones visible o ultravioleta, debido a la variación que integra

los electrones . Por lo tanto, la estructura molecular orgánica cuando absorbe radiación ultravioleta se

representa como se muestra en la figura 3.4.

Figura 3.4 Enlaces - conjugado con electrones- . Tomado de [25]

En este caso (figura 3.4.), los dos electrones no están compartidos, sino se encuentran localizados

encima y debajo de cada uno de los átomos de carbono, este enlace se conoce como enlace (pi

conjugado). Por otro lado, tanto el enlace sigma como el enlace pi , son enlaces químicos

covalentes [25], es decir, cuando dos átomos se unen para alcanzar la regla del octeto (comparten los

electrones del último nivel); sin embargo, el enlace es más fuerte que el enlace . Finalmente, los

compuestos que poseen únicamente enlaces son por lo general incoloros, mientras los que tienen enlaces

son usualmente coloridos (polímero conjugado orgánico semiconductor MDMO-PPV).

41

3.4.2 Polímeros conjugados

Un tipo de materiales de gran interés con los que se ha realizado numerosos estudios son los polímeros

conjugados, debido a que muestran diferentes ventajas respecto al tradicional semiconductor inorgánico;

pues, presentan un alto grado de solubilidad, son más baratos y versátiles. Los polímeros conjugados son,

en particular, materiales semiconductores que presentan dos propiedades fundamentales: se pueden

disolver fácilmente y que pueden ser fácilmente procesados para aplicaciones en películas delgadas (caso

que es de nuestro interés).

Han sido numerosos los materiales estudiados, entre los que cabe destacar derivados de poly (p-

fenilenovinileno) o PPV [26]; el proceso que da origen a una gran familia de polímeros derivados del PPV

se conoce como funcionalización [27]. Una idea que ha resultado ser muy efectiva en la fabricación de

dispositivos optoelectrónicos [5, 8]. Es así como el polímero luminiscente poly [2-methoxy-5-(3´,7´-

dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene], comúnmente llamado MDMO-PPV es un polímero orgánico

con buenas características fotoluminiscentes, electroluminiscentes y que presenta una buena solubilidad.

Figura 3.5 Estructura molecular del semiconductor orgánico. a) Poli (p-fenilenovinileno) o PPV, b) Poly [2-methoxy-5-(3´,7´-

dimethyloctyloxy)-1,4-phenylenevinylene] o MDMO-PPV. Tomado de [27].

En la figura 3.5 se observan las estructuras moleculares del polímero PPV y uno de sus tantos derivados

MDMO-PPV, el cual será objeto de estudio para la presente investigación.

3.4.3 Preparación de películas delgadas

Una parte del trabajo consistió en la preparación de películas orgánicas delgadas. Es de suma importancia

controlar la limpieza en el proceso de fabricación para conseguir películas homogéneas, así como

controlar los parámetros que van a determinar el grosor de la película, ya que dicho espesor será

determinante en las mediciones de transmitancia y reflectancia.

Existen muchos métodos, tanto físicos como químicos, para la preparación de películas delgadas. Entre los

métodos más habituales para la preparación de películas orgánicas se encuentra la evaporación térmica

(deposito físico - químico de vapores) y método de rotación (suspensión en disco) o Spin Coater (Laurel

WS-400-6NPP-Lite). Este último es mucho más sencillo y compacto; cuenta con un control digital,

amplio rango de velocidades (desde 1 hasta 3000 rpm) y estabilidad pero exige que el material a depositar

sea soluble. Todas las películas estudiadas en este trabajo han sido preparadas por esta técnica.

42

La técnica de deposición (suspensión) de películas delgadas spin coating [5, 8, 27], es una técnica

sencilla que permite la obtención de películas con buenas propiedades ópticas, estructura, tamaño,

morfología, composición y lo más importante, optimizar el proceso de fabricación de películas delgadas.

El modelo utilizado se muestra en la figura 3.6.

Figura 3.6 Fabricación de la película MDMO-PPV por la técnica Spin Coating.

Consiste en un disco rotatorio sobre el que se coloca un sustrato sujetado mediante succión con una

bomba de vacío rotatoria (Pfeiffer DUO 2.5) que va conectada al microcontrolador del Spin Coater. El

sustrato se cubre con una pequeña cantidad de disolución que contiene el material orgánico de interés

(MDMO-PPV). El disco gira, de manera que el solvente se evapora, quedando el material depositado

sobre el sustrato. Los parámetros fundamentales que intervienen en el proceso y que determinan el espesor

de la película son la velocidad de rotación y la viscosidad, determinada fundamentalmente por la

concentración del material orgánico respecto al solvente, según la ecuación, ver [28].

(3.1)

Donde es el espesor de la película, es la densidad del solvente, es la densidad de la disolución

orgánica, (no confundir con la impedancia característica del medio) es la viscosidad de la disolución

orgánica, es la tasa de evaporación del disolvente y es la velocidad angular de rotación del sistema.

Así, para fabricar la película, en primer lugar se empieza con los cálculos de las concentraciones

requeridas. Estos cálculos matemáticos permiten conocer los valores de volumen y peso del disolvente,

como también el peso del polímero (PPV) que se requieren para la disolución. Obtener diferentes valores

43

de las concentraciones genera diferentes comportamientos ópticos (transmitancia, reflectancia, índice de

refracción y coeficiente de extinción) en la película orgánica. Un valor óptimo de la concentración

solvente - polímero es 100:1 (1%). Una vez obtenidos los valores de la disolución (PPV- solvente), se

procede a medirlos con una balanza electrónica que permita medir con precisión los valores de la

disolución (PPV- solvente). Luego, se prepara una tinta conteniendo el polímero base (PPV), la molécula

orgánica con la propiedad de interés y el solvente, dejando agitar (sonicación) la tinta durante varios

minutos; técnica que consiste en agitar las moléculas de la disolución hasta que resulte lo más

homogénea posible. Proceso que se muestra en la figura 3.7

Figura 3.7 Proceso de elaboración de tintas. a) Polímero y solvente se disuelven, b) luego la mezcla se somete al proceso de sonicación que

consiste en calentar la tinta a por 30 minutos.

El proceso de limpieza consiste en enjaguar, limpiar y secar el sustrato [29]. Usando agua corriente,

jabón líquido y una esponja suave los sustratos son enjuagados por ambas caras. Luego se sumerge en

agua desionizada por varios minutos y finalmente, con el fin de remover el agua desionizada de la

superficie del substrato, se somete a un flujo de aire hasta que la superficie queda completamente seca. En

este trabajo se utilizaron sustratos de vidrio (knittel standard microscope slides) de 76 [mm] de alto, 26

[mm] de ancho, 1 [mm] de espesor y el índice de refracción .

En cuanto al solvente, es necesario que sea compatible tanto con la molécula orgánica como con el

polímero, lo que en ocasiones es un problema debido a la baja solubilidad que poseen los polímeros.

Asimismo, es importante que su punto de ebullición no sea muy bajo, para evitar que la evaporación se

produzca con excesiva rapidez, dando lugar a inhomogeneidades de espesor.

Los solventes que se han utilizado en el proceso son: tolueno (pureza 99.5%, punto de ebullición ),

cloroformo (pureza 99.8%, punto de ebullición ) y ciclohexanona (pureza 99.8%, punto de

ebullición ).

44

3.4.4 Microscopio de fuerza atómica

Es un instrumento óptico que permite realizar escaneos y mediciones a nivel molecular. La técnica de

microscopia de fuerza atómica o AFM (por sus siglas en inglés Atomic Force Microscope), consiste de

una punta muy aguda, que se localiza al final del brazo del cantiléver; la punta barre de forma constante la

superficie de la película, monitorizándose las interacciones que ocurren entre la punta y la película; este

tipo de medición se conoce con el nombre de imagen, y su modo de operación se llama modo contacto.

La resolución del instrumento es de menos de 1nm, y la pantalla del computador permite distinguir

detalles en la superficie de la película (morfología o formas de la superficie semiconductora) con una

amplificación de varios millones. El equipo de AFM es un modelo NANOSURF EASYSCAN 2, y se

utiliza con el fin de caracterizar y visualizar muestras de dimensiones nanométricas; por lo tanto,

determina el espesor de la película orgánica semiconductora, dato que es de interés y suma

importancia durante el desarrollo del presente trabajo de grado.

3.4.5 Características del PC

Las características del computador en el cual se realizaron las pruebas de funcionamiento de la aplicación

(Algoritmo Multicapa) se muestran a continuación:

Sistema Operativo: Windows 7.

Procesador: Intel® CoreTM

i5 CPU @ 2.26GHz.

RAM: 3 GB.

Tipo de sistema: Sistema operativo de 64-bit.

Con Matlab R2009a instalado o versiones posteriores y con todas las librerías activadas.

45

4. DESARROLLOS

En esa sección se explicarán los procedimientos que se realizaron para llegar a la solución del ÍNDICE DE

REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL ITO a partir de sus espectros de transmisión y

reflexión, explicando las restricciones y consideraciones que se tuvieron para cada etapa del proyecto. El

proyecto comprende las siguientes etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en cuenta:

INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, ANDI N, ANDI K, ANDI INICIO - FIN N, ANDI INICIO - FIN K

y por último SOLUCIÓN, es decir, las gráficas de las constantes ópticas halladas y los espectros ajustados

(fitted) en función de la longitud de onda. Es importante recordar, que con la medición de referencia (ITO)

se pretende ver la aproximación (exactitud) en cuanto a la estimación de los parámetros a hallar; sin

embargo, medir la precisión del algoritmo no está al alcance del presente trabajo ya que para cada material

orgánico sus constantes ópticas son diferentes, y más aún, determinar la exactitud y precisión del presente

material orgánico (MDMO-PPV) del cual no existe documentos que reporten el comportamiento de las

constantes ópticas de dicho material orgánico.

El algoritmo debe proporcionar un “ buen” grado de aproximación a la hora de evaluar dichas constantes

ópticas, las cuales serán determinadas luego de un determinado número de iteraciones sobre la misma

medición de referencia, comprobando que en cada una de esas iteraciones los valores calculados de las

constantes ópticas se acerquen a los valores esperados de la medida inicial. Una vez se alcance un grado

de “aproximación alta” con la medida de referencia, se podrán hallar las constantes ópticas del material

orgánico que nos interesa, la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV; proceso que se

estudia con más detalle en el siguiente capítulo.

4.1 CONSIDERACIONES PREVIAS

A partir de esta etapa, se inicia un proceso de ingeniería inversa, es decir, que a partir de sus espectros de

transmisión y reflexión se deben encontrar de forma aproximada las constantes ópticas de la película

delgada semiconductora ITO, tal como se muestra en la figura 4.1. En esta etapa se procedió a realizar la

extracción de los espectros de transmisión y reflexión a partir de las constantes ópticas de la película

semiconductora ITO, según [30]. Entonces, usando el método de interpolación polinomial (modelar un

conjunto de datos a una función polinómica) [31], se modelaron los datos de las constantes ópticas del

ITO en función de la longitud de onda por medio de dos ecuaciones, la del índice de refracción y el

coeficiente de extinción. Una vez modelado los “datos experimentales”, según [30], se elabora el

programa (Delta.m) en MATLAB (ver anexo F), el cual halla los espectros de transmisión y reflexión en

función de la longitud de onda, a partir de sus constantes ópticas, ver figura 4.1.

Figura 4. 1 Espectro de transmisión y reflexión óptica para la película ITO a partir de los datos de sus constantes ópticas.

46

El programa (Delta.m) está compuesto por: el método numérico Multicapa y los datos conocidos por el

usuario, tales como: espesores del sustrato y la película; constantes ópticas del sustrato y la película; datos

inicio – fin de la variable incremento de la longitud de onda; además, de las ecuaciones (índice de

refracción y coeficiente de extinción) y sus respectivas constantes que se obtuvieron al utilizar

interpolación polinomial.

Finalmente, procedemos a interconectar los elementos de nuestro sistema de la siguiente manera

Figura 4. 2 Diagrama de bloques del algoritmo Multicapa para el cálculo del espesor y constantes ópticas de la película delgada a partir

de sus espectros de transmisión y reflexión.

47

Por lo tanto, el proyecto comprende etapas específicas de desarrollo dentro de las cuales se tiene en

cuenta: INICIO, CÁLCULO, DERIVADOR, indeterminaciones de N y K y finalmente, SOLUCIÓN. El

esquemático final del algoritmo Multicapa se muestra en el anexo G.

4.2 INICIO

Para este desarrollo se comienza con la etapa INICIO; en esta fase es necesario definir las entradas al

algoritmo, en este caso tenemos: los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en

función de la longitud de onda , los cuales ingresan al algoritmo como arreglos; además, datos tales

como: el espesor de la película; el espesor del sustrato; índice de refracción y coeficiente de extinción del

sustrato; rango inicial y final del índice de refracción de la película; rango inicial y final del coeficiente de

extinción de la película; paso del índice de refracción de la película, paso del coeficiente de extinción de

la película, las interfaces simples de reflexión y transmisión del modelo matemático y la suma de los

cuadrados de las constantes ópticas del sustrato.

Para tal propósito, se aplico en orden la siguiente notación en MATLAB: ONDA, TRA, REF, d_l, d_s,

n_s, k_s, INICIAL_N, FINAL_N, INICIAL_K, FINAL_K, paso_nl, paso_kl, R_vs, T_vs , T_sv y suma1,

respectivamente.

En cuanto a las salidas del sistema multicapa se encuentran las gráficas del índice de refracción,

coeficiente de extinción, transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora. Estas cuatro

salidas estarán presentes en cada una de las iteraciones del algoritmo, con el atenuante de que los

resultados de la iteración inmediatamente posterior deben ser mejor que la anterior.

4.3 CÁLCULO

El diagrama de bloques general que representa este sistema, está definido por 5 entradas y una salida

(anteriormente especificadas), vistas de esta manera:

Figura 4.3 Esquema del bloque general CÁLCULO.

Teniendo en cuenta las tareas que el sistema debe realizar, y las señales con las que interactúa

externamente (entradas y salidas), se puede distinguir 3 entidades principales:

48

4.3.1 Modelo Multicapa

En este bloque se aplica el modelo matemático Multicapa para las constantes ópticas de la película

orgánica semiconductora, está definido por las mismas entradas que el bloque general CÁLCULO y tiene

dos salidas: la salida TransmisionMulticapa, que es el valor teórico de la transmisión evaluado para cada

longitud de onda; la salida ReflexionMulticapa, que será la salida teórica de la reflexión evaluado para

cada longitud de onda.

Figura 4.4 Esquema del bloque Modelo Multicapa.

4.3.2 Comparador

Esta entidad contrasta los datos teóricos versus datos experimentales y calcula las constantes ópticas

simultáneamente. Esta entidad representa el control sobre el sistema e indica en qué momento debe

actualizar la salida del sistema. Podemos observar que posee 5 entradas y 4 salidas.

Figura 4.5 Esquema del bloque Comparador.

La entrada TransmisionMulticapa, representa los valores de transmisión teóricos calculados para cada

longitud de onda; la entrada ReflexionMulticapa, indica los valores de reflexión teóricos calculados para

cada longitud de onda; la entrada resta_trans, es un valor de diferencia entre el dato teórico y el dato

experimental de la transmisión; la entrada resta_reflex, también es un valor de diferencia, pero en este

caso, entre los datos de reflexión teóricos – experimentales; luego, sumando las diferencias,

respectivamente, se asignan a una variable de control (maximo), con la cual, se compara, encuentra y se

actualiza iterativamente las salidas del sistema, tales como: trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que

representan los arreglos de salida de transmisión, reflexión y las constantes ópticas, respectivamente,

calculadas por el algoritmo multicapa.

49

En la práctica, para encontrar las constantes ópticas a partir de las mediciones de los espectros de

transmisión y reflexión de la película orgánica semiconductora, se adaptó el siguiente principio, según

[13].

(4.1)

Donde

es la transmisión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema

multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras es la transmisión teórica en

función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.

(4.2)

Donde

es la reflexión medida (experimental) en función de la longitud de onda del sistema

multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente; mientras es la reflexión teórica en

función de la longitud de onda del sistema multicapa: aire, película, sustrato y aire, respectivamente.

(4.3)

Finalmente, mediante la suma de y , se compara, encuentra y actualiza las salidas del sistema

para cada longitud de onda. Recordar, que este proceso es iterativo, y por lo tanto, el proceso anterior

busca los datos teórico-experimentales de transmisión y reflexión que coinciden (o son cercanos) para

cada longitud de onda; de tal forma, que a partir de esta condición, se puede encontrar las constantes

ópticas de la película semiconductora; en otras palabras, encontrar la pareja de las constantes ópticas que

ajusta (fit) teóricamente los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda.

4.3.3 Producto

Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque Comparador y los arreglos datos

experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda .

Podemos observar que posee 4 entradas y 6 salidas.

Figura 4.6 Esquema del bloque Producto.

Las entradas a la entidad Producto son las salidas del bloque Comparador y las salidas son las gráficas de

los arreglos trans_fijo, ref_fijo, n_fijo y k_fijo que representan la transmisión, reflexión y constantes

ópticas calculadas por el algoritmo multicapa, respectivamente; además de los arreglos TRA, REF y

50

ONDA que indican los datos experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la

longitud de onda . Es necesario graficar estos últimos para verificar que el ajuste teórico (fit) entre los

datos teórico-experimental de transmisión y reflexión coinciden.

4.4 DERIVADOR

Es la segunda iteración del algoritmo, en esta etapa se adaptó el criterio de la derivada, según [13]. En este

caso, no se conoce la expresión analítica que define tales puntos (iteración CÁLCULO), tan solo se

dispone de su valor en un conjunto de puntos o datos; por lo tanto, no se puede utilizar el concepto

riguroso de derivada (pues se desconoce la expresión de las funciones de las constantes ópticas). Surge

así, la conveniencia de implementar una técnica de análisis numérico que permita aproximar el valor de

las derivadas de una función a partir de los valores o datos de tal función.

Por definición, la derivada de una función es

(4.4)

Fórmula que representa la derivada hacia adelante y donde h es la distancia entre nodos;

podemos observar también, que esta definición es simplemente la pendiente de la secante definida por

y , es decir, la derivada del polinomio interpolador (conjunto de datos

obtenidos a partir de un experimento; de tal forma, que a partir de dichos puntos/datos encontrar un

polinomio que pase por todos los puntos) de f en los nodos x, x+h. Sin embargo, podemos aproximar

numéricamente la derivada (conjunto de datos) por medio del método de coeficientes indeterminados [32],

procedimiento que produce la siguiente fórmula de derivación numérica

(4.5)

Donde son nodos predeterminados (x, x+h) y los los “pesos” correspondientes. Si expandimos la

expresión anterior, obtenemos que, ver [32].

(4.6)

Una vez prefijados los nodos, para determinar los pesos podemos recurrir al método de coeficientes

indeterminados; entonces, por medio de una función llamada diff [31], desarrollada en MATLAB, se hace

posible encontrar una solución de aproximación numérica de las derivadas de una función a partir de sus

valores (conjunto de datos).

Si , entonces la derivada se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto

a x. Por lo tanto, la función diff, es una tasa instantánea de cambio de una variable con respecto a una

segunda variable, de la siguiente forma

(4.7)

51

En este caso, las constantes ópticas serán la razón de cambio ( ) y la longitud de onda la razón de

cambio ( ). El principio que se aplicó, para encontrar las derivadas de las constantes ópticas es el

siguiente.

(4.8)

(4.9)

Aquí, se identifica los datos de las constantes ópticas hallados en la primera iteración que no siguen un

mismo patrón (decreciente, creciente o constante); proceso que va generar discontinuidades en el resultado

final, o sea, en las gráficas de las constantes ópticas. En el bloque DERIVADOR podemos distinguir 3

entradas y 2 salidas.

Figura 4.7 Esquema del bloque DERIVADOR.

Las entradas n_fijo y k_fijo son los arreglos del índice de refracción y coeficiente de extinción en función

de la longitud de onda calculados en el comparador. Las salidas de la entidad DERIVADOR serán los

arreglos n_fijoD y k_fijoD, e indican los datos que no son cercanos a cero, los cuales se registran como

menos uno (-1), respectivamente; mientras los datos que son cercanos a cero permanecen sin cambios.

4.4.1 Discontinuidad

Esta entidad se encarga de graficar los arreglos de salida del bloque DERIVADOR y los arreglos datos

teóricos - experimentales de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda

. Podemos observar que posee 2 entradas y 7 salidas.

Figura 4.8 Esquema del bloque Discontinuidad.

52

Las entradas a la entidad Discontinuidad son las salidas del bloque DERIVADOR y las salidas son las

gráficas de los arreglos trans_fijo y ref_fijo que representan la transmisión y reflexión teóricas

respectivamente; las salidas n_fijoD y k_fijoD indican los datos derivados de las constantes ópticas; y

finalmente, las salidas TRA, REF y ONDA que representan los datos experimentales de transmisión y

reflexión en función de la longitud de onda.

4.5 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS - N

Es la tercera iteración del algoritmo, en esta etapa se identifica , analiza y modifica los datos del índice de

refracción que al derivar no cumplieron con la aproximación; la discontinuidad (datos que fueron

identificado con -1) se ocupa (llenar espacio) bajo el argumento de hallar los extremos indeterminados de

N, con el fin de conocer su longitud o tamaño y los límites superior e inferior de búsqueda para el rango

de N (índice de refracción); a medida que se encuentra un valor correcto, los extremos (límites del espacio

o discontinuidad) cambian; por lo tanto, se reduce el tamaño o el número de datos indeterminados y el

rango de N se actualiza; esto se realiza de forma iterativa en el bloque CÁLCULO para cada dato del

índice de refracción en función de la longitud de onda. Se identifican dos entradas y tres salidas.

Figura 4.9 Esquema del bloque ANDI-N.

La entrada n_fijoD es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda; la salida

tamaño_disc es la longitud de la discontinuidad; y finalmente, las salidas inicio_n y fin_n indican los

rangos de búsqueda del índice de refracción.

(4.10)

(4.11)

Esta regla se aplica para cada punto de la discontinuidad; de tal forma, que se identifica inicio-fin del

rango del índice de refracción (N) y x que es el tamaño del vector discontinuidad (datos que fueron

identificados con -1).

53

Figura 4.10 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI-N.

Las entradas que se identifican en el bloque CÁLCULO, son las salidas del bloque ANDI N y las

entradas nombradas al principio de este capítulo; la salida n_fijoN representa el arreglo con los verdaderos

valores encontrados para cada dato del índice de refracción en función de la longitud de onda.

4.6 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS – K

Es la cuarta iteración del algoritmo, esta etapa es análoga al desarrollo anterior, con la diferencia de que

esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película delgada semiconductora. En este caso, la salida

será k_fijoK, la cual representa el arreglo con los verdaderos valores encontrados para cada dato del

coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. De este modo, se asegura que para cada

longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor absoluto (único)

correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio.

4.7 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – N

Es la quinta iteración del algoritmo, en esta etapa se identifica, analiza y modifica los datos del índice de

refracción que al derivar no cumplieron con la aproximación y tampoco, con la técnica que se implemento

antes; por consiguiente, qué sucede si después de la iteración derivada cualquiera de las constantes ópticas

inicia o termina con discontinuidad; qué la iteración anterior no es la apropiada y por lo tanto, hay que

implementar otra función que complemente el proceso anterior. Entonces, para este caso en particular,

primero, se analiza la indeterminación, es decir, se determina y señala la tendencia de los datos, o sea, si

son crecientes, decrecientes o constantes (igual al dato inmediatamente anterior); para lograr esto, se

toman dos posiciones antes de la indeterminación inicio-N; de tal forma, que a partir de la diferencia de

tales valores, podamos extraer la tendencia de los datos inicio-N que aún son indeterminados. Luego, se

halla los límites del rango del índice de refracción inicio-N, para este caso, nos ubicamos en la primera

posición del vector (indeterminación N) antes de la indeterminación inicio - N y, respecto a este valor

junto a la diferencia hallada antes, se encuentran los rangos inicio-fin de la indeterminación inicio-N.

A medida que se encuentra un valor correcto, los límites de la discontinuidad cambian; por lo tanto, se

reduce el tamaño o el número de datos indeterminados y el rango de inicio-N se actualiza; esto se realiza

de forma iterativa en el bloque CÁLCULO para cada dato del índice de refracción en función de la

longitud de onda hasta que deje de encontrar valores con (-1); tal proceso se implementa o se desarrollo de

derecha a izquierda de la gráfica índice de refracción (N). Las entradas y salidas que se identifican en el

bloque ANDI INICIO-N son

54

Figura 4.11 Esquema del bloque ANDI INICIO-N.

La entrada n_fijoN es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda hallado en la

iteración anterior; la salida difer_n indica la tendencia de la discontinuidad (positiva o negativa); y

finalmente, las salidas inicio_n y fin_n indican los rangos de búsqueda del índice de refracción. Si la

tendencia es positiva se obtiene que

(4.12)

(4.13)

O si es negativa, el rango de N es

(4.14)

(4.15)

Esta regla se aplica para cada punto de la indeterminación inicio-N; de tal forma, que se identifica inicio-

fin del rango del índice de refracción (N) dependiendo de su tendencia (datos que fueron identificados

como -1). Los subíndices indican la posición uno y dos del vector indeterminación N, respectivamente;

datos que se requieren para poder determinar o hallar el rango de la indeterminación inicio-N.

Las entradas y salidas que se identifica en el bloque CÁLCULO son:

Figura 4.12 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI INICIO-N.

Las entradas que se identifican en el bloque CÁLCULO, son las salidas del bloque ANDI INICIO-N y

las entradas nombradas al principio de este capítulo; la salida n_fijoN_mejor_inicio representa el arreglo

con los verdaderos valores encontrados para cada dato del índice de refracción en función de la longitud

de onda.

55

4.8 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS INICIO – K

Es la sexta iteración del algoritmo, esta etapa es similar al proceso anterior, con la diferencia de que esta

esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película. En este caso, la salida será

k_fijoK_mejor_inicio, la cual representa el arreglo mejorado con los verdaderos valores encontrados para

cada dato del coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. De este modo, se asegura de

nuevo, que para cada longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor

absoluto (único) correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio.

4.9 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – N

Es la séptima iteración del algoritmo, en esta paso se identifica los datos indeterminados fin-N del índice

de refracción. Entonces, para este caso en particular, al igual que en la indeterminación inicio-N, se toman

dos posiciones antes de la indeterminación fin-N; de tal forma, que a partir de la diferencia de tales

valores, podamos extraer la tendencia de los datos fin-N que aún son indeterminados. Luego, se halla los

límites del rango del índice de refracción fin-N, para este caso, nos ubicamos en la primera posición del

vector (indeterminación N) antes de la indeterminación fin - N y, respecto a este valor junto a la

diferencia hallada antes, se encuentran los rangos inicio-fin de la indeterminación fin-N. A medida que se

encuentra un valor correcto, los límites de la discontinuidad cambian; por lo tanto, se reduce el tamaño o

el número de datos indeterminados y el rango de inicio-N se actualiza; esto se realiza de forma iterativa en

el bloque CÁLCULO para cada dato del índice de refracción en función de la longitud de onda hasta que

deje de encontrar valores con (-1); tal proceso se implementa o se desarrollo de izquierda a derecha de la

gráfica índice de refracción (N). Sin embargo, antes de comenzar el proceso de hallar los valores correctos

de la indeterminación fin - N del índice de refracción, tenemos que determinar el tamaño de la

indeterminación fin - N; pues a diferencia de la indeterminación inicio- N, que tenía definido previamente

este límite (eje “y” de la gráfica), en este caso en particular, sin tal restricción, la indeterminación fin - N

será infinita. Las entradas y salidas que se identifican en el bloque ANDI FIN-N son

Figura 4.13 Esquema del bloque ANDI FIN-N.

La entrada n_fijoN_mejor_inicio es el arreglo del índice de refracción en función de la longitud de onda

hallado en la iteración anterior; la salida difer_n indica la tendencia de la indeterminación fin-N (positiva

o negativa), ver ecuaciones (4.12) – (4.15); y finalmente, las salidas inicio_n y fin_n que indican los

rangos de búsqueda del índice de refracción de la indeterminación fin-N.

56

Figura 4.14 Esquema del bloque CÁLCULO ANDI FIN-N.

Las salidas serán las del bloque indeterminación fin- N y las entradas nombradas al principio de este

capítulo; la salida n_fijoN_mejor_fin es el último patrón mejorado del arreglo con los verdaderos valores

para cada longitud de onda del índice de refracción. Con esta última iteración, se da por terminado el

desarrollo de la indeterminación inicio-fin del índice de refracción (N).

4.10 APROXIMACIÓN NUMÉRICA DATOS INDETERMINADOS FIN – K

Es la octava y última iteración del algoritmo, esta etapa es similar al proceso anterior, con la diferencia de

que esta vez se aplica al coeficiente de extinción de la película. En este caso, la salida será

k_fijoK_mejor_fin, la cual representa el arreglo mejorado con los verdaderos valores encontrados para

cada dato del coeficiente de extinción en función de la longitud de onda. Una vez más, se asegura de

nuevo que para cada longitud de onda de los dos espectros (transmisión y reflexión) exista un valor

absoluto (único) correspondiente a las constantes ópticas de la película en estudio. Con esta iteración, se

da por terminado el desarrollo de la indeterminación inicio-fin del coeficiente de extinción (K), y concluir

el proceso del algoritmo Multicapa.

4.11 SOLUCIÓN

Una vez diseñado el algoritmo Multicapa, se procede a su respectiva implementación en el programa

Multicapa (Iota.m) desarrollado en MATLAB, (ver anexo H). En el proyecto final se realizaron ocho

iteraciones para hallar las constantes ópticas de la película semiconductora, (ver anexo I).

57

Figura 4.15 Constantes ópticas de la película delgada semiconductora ITO.

En la figura 4.15, la curva de color rojo corresponde a la medición ITO y la curva de color azul indica la

aproximación teórica que realizo el algoritmo Multicapa al final del proceso. Se observa (figura 4.15),

que el resultado final diverge respecto a la medición de referencia (color rojo); sin embargo, se obtiene

una aproximación “aceptable” (no exacta y precisa!); por lo tanto, el algoritmo Multicapa es una excelente

herramienta para obtener las constantes ópticas de una película delgada semiconductora. A pesar, del

número de iteraciones que se requiere para encontrar tales constantes, el algoritmo que se implemento en

el presente trabajo, es limitado para obtener una aproximación más cercana a la medida de referencia

(color rojo), en este caso, las constantes ópticas de la película semiconductora ITO [30].

Trabajar con método numéricos, implica errores en los cálculos numéricos (figura 4.15), existen dos

causas principales de error en los cálculos numéricos: error de truncamiento y error de redondeo. El

primero se debe a las aproximaciones utilizadas en las fórmulas matemáticas del modelo (ecuaciones), en

este caso, el método numérico Multicapa [13]. El segundo, se asocia con el número limitado de dígitos

con que se representan los números (float) en un computador. Además, de los errores que genera el

método numérico, es también importante resaltar los criterios que se utilizaron durante el proceso, como lo

son: el criterio comparador y el criterio DERIVADOR; sobre todo el último, pues para algunos puntos o

datos, el criterio de la derivada no basta, ya que este método o técnica numérica, entrega resultados no

aceptables, para ciertos puntos de la aproximación numérica, como se puede ver en el resultado final de

las constantes ópticas (figura 4.14).

58

5. RESULTADOS

En este capítulo, finalmente se muestran las pruebas realizadas a la película delgada orgánica

semiconductora MDMO-PPV, con el fin de hallar sus constantes ópticas.

5.1 RESULTADO DE PRUEBA CONDICIONES IDEALES PARA EL MÉTODO NUMÉRICO

MULTICAPA

En esta prueba se sometió el método numérico Multicapa a condiciones ideales, para comprobar que su

aplicación es viable. De tal forma, que si el índice de refracción de la película es uno , el

coeficiente de extinción de la película es cero , el índice de refracción del sustrato es uno

y el coeficiente de extinción del sustrato es cero , a los espectros de transmisión y

reflexión le deben corresponder los valores de uno y cero, respectivamente; tal como se muestra en la

figura 5.1.

Figura 5.1 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la transmisión.

Con el resultado de la figura 5.1, comprobamos nuestra hipótesis; por lo tanto, bajo estas condiciones e

incidencia normal , el método numérico Multicapa cumple con las leyes de Snell.

Ahora, si el índice de refracción de la película es cero , el coeficiente de extinción de la película

es uno , el índice de refracción del sustrato es uno y el coeficiente de extinción del

sustrato es cero , a los espectros de transmisión y reflexión le deben corresponder los valores de

cero y uno, respectivamente; tal como se muestra en la figura 5.2.

59

Figura 5.2 Transmisión y reflexión del método numérico Multicapa para el caso de la reflexión.

Con el resultado de la figura 5.2, comprobamos nuestra hipótesis; por lo tanto, bajo estas nuevas

condiciones e incidencia normal, el método numérico Multicapa también cumple con las leyes de Snell.

Esto se logró mediante el programa (Dseda.m) desarrollado en MATLAB, (ver anexo J); y está

compuesto por: el método numérico Multicapa y los datos ingresados por el usuario, tales como: espesores

del sustrato y la película; constantes ópticas del sustrato y la película; datos inicio – fin y la variable

incremento de la longitud de onda.

5.2 ALGORITMO SWMK – MC

Las pruebas se hicieron para los espectros de transmitancia y reflectancia de la película delgada orgánica

semiconductora ITO a temperatura ambiente e incidencia normal, según [30]; entonces, por medio del

algoritmo SWMK-MC (Swanepoel_Minkov - Multicapa) desarrollado en MATLAB, se pusieron en

funcionamiento los dos métodos numéricos (Swanepoel-Minkov y Multicapa); el esquema comprende los

siguientes pasos: INICIO, SWMK, MC y PRODUCTO.

Con este algoritmo (ver anexo K), lo que se pretende extraer son los espectros de transmisión y reflexión

de los modelos matemáticos (Swanepoel-Minkov y Multicapa), a partir de las contantes ópticas de una

película orgánica semiconductora. Es importante resaltar, que a partir de la solución que muestra el

algoritmo, se puede determinar si los dos modelos matemáticos son equivalentes o análogos en la solución

final; o mejor, si existe un vínculo o relación entre las ecuaciones de los dos modelos matemáticos.

60

5.3 ERROR DEL MODELO MULTICAPA

En esta sección, se presenta los cambios realizados al modelo Multicapa, ya que según el autor [13], al

compararlo con el modelo Swanepoel-Minkov [23], los resultados eran diferentes, es decir, los espectros

teóricos no coincidían; por lo tanto, fue imperativo encontrar y corregir el error matemático en el método

numérico Multicapa.

Una vez diseñado el algoritmo, se procede a su respectiva implementación en el programa

(SWMK_MC.m) desarrollado en MATLAB (ver anexo L); se observa que los espectros teóricos están

desfasados uno respecto al otro, tal como se muestra en la siguiente figura

Figura 5.3 Transmitancia y reflectancia teóricas desfasadas de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica

semiconductora ITO

En este caso, la curva de color azul corresponde al modelo Swanepoel-Minkov y la roja al modelo

Multicapa; de tal forma, que para encontrar el error fue necesario realizar un desarrollo algebraico en el

modelo Multicapa; entonces, mediante un reemplazo progresivo, ordenado y continuo de la cadena de

ecuaciones que contiene el modelo Multicapa, se analizó y verificó el resultado final con cada una de las

ecuaciones del modelo Swanepoel-Minkov [23]; procedimiento que omitiremos en este trabajo de grado.

Al final, el cambio que se implemento en el modelo Multicapa fue en la siguiente ecuación

(4.78)

La ecuación anterior se aplica a las variables del modelo Multicapa, ver [13]; y,

finalmente, el cambio que se implemento en el modelo Multicapa se muestra a continuación

61

(4.78)

Un signo, cambio “simple” e importante, pues con esta sencilla modificación se ajustan simultáneamente

los espectros de los dos modelos, como se puede ver en la figura 5.4.

Figura 5.4 Transmitancia y reflectancia teóricos corregidos de los dos métodos numéricos para una película delgada orgánica

semiconductora ITO

Es importante resaltar este resultado; se puede observar que las gráficas anteriores demuestran que

efectivamente si existe una relación entre las ecuaciones de los dos modelos matemáticos; por lo tanto,

trabajar el modelo Swanepoel-Minkov, en vez del modelo Multicapa, los resultados serán similares. En

otras palabras, cambiar el algoritmo Multicapa explicado en el capítulo de DESARROLLOS, por el

modelo Swanepoel-Minkov, con la misma estructura lógica que se aplico antes, sin cambios, se debería

obtener soluciones aproximadas. Sin embargo, el método numérico Swanepoel-Minkov tiene una

restricción, el coeficiente de extinción del sustrato no se tiene en cuenta en su modelo. Entonces, concluye

que, a pesar de sus limitaciones, el método matemático Swanepoel-Minkov se puede emplear de otra

forma ha como se ha venido trabajando durante las últimas décadas, es decir, que no necesita aplicar el

criterio de la envolvente [11, 12, 23] en los espectros de transmisión y reflexión para encontrar las

constantes ópticas de una película delgada semiconductora, sino que, adaptando el algoritmo Multicapa

(capítulo tres de este libro) al modelo matemático Swanepoel-Minkov se puede obtener soluciones

aproximadas, por no decir iguales, a lo que se encontró antes.

Desde que se comenzó a estudiar y emplear el método numérico Multicapa, se alcanzo y trato provechosos

resultados de su aplicación y tales fueron los progresos, que con él se logro adquirir con éxito el objetivo.

Sin embargo, el algoritmo Multicapa (capítulo tres de este libro) ha resultado útil para adaptarlo a otros

métodos numéricos, como es el caso del método numérico Swanepoel-Minkov; por consiguiente, los

resultados finales serán análogos, debido a que las ecuaciones del modelo matemático Multicapa se

62

derivan del modelo Swanepoel-Minkov; en otras palabras, el modelo Multicapa es un caso particular del

modelo Swanepoel-Minkov.

Del mismo modo, es importante resaltar, que si bien el método Swanepoel-Minkov utiliza otras

herramientas de análisis (criterio de la envolvente; regiones de absorción óptica: fuerte, media y baja;

ecuación de Cauchy; ecuación de Sellmeier; oscilador armónico simple y relaciones Kramers-Kronig),

sus ecuaciones, tanto de la transmitancia como la reflectancia convergen a un fin, y es que ambas apuntan

a una “solución multicapa”; la dificultad radica es en la forma o modo como se emplean tales ecuaciones,

de tal forma que el resultado final es difícil de comprender y manipular. Mientras el método Multicapa, es

un modelo recursivo, es decir, que cualquier variable está en función de su estado anterior y todos estos

estados en función de uno o varios valores iniciales; además, implica que el sistema película – sustrato,

se divida en submodelos válidos en determinadas capas (aire, película, película - sustrato, sustrato y aire)

de forma ordenada y progresiva, empezando siempre por los más sencillos, hasta llegar finalmente a los

más compuestos.

Por último, es evidente que el criterio de la derivada es mucho más poderoso que el criterio de la

envolvente; pues con el primero no solo se identifica las indeterminaciones (datos erróneos), sino que a

partir de esta sutil y poderosa herramienta matemática (derivada) se alcanza un resultado claro y seguro de

las constantes ópticas de una película delgada orgánica semiconductora.

5.4 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR RANGOS DE LAS CONSTANTES

ÓPTICAS Y ESPESOR DE LA PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV

Los resultados obtenidos en la presente investigación, se realizaron a temperatura ambiente e incidencia

normal. Para el crecimiento de la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV, se utilizó el

polímero orgánico PPV y el solvente ciclohexanona, crecida sobre sustratos de vidrio mediante la técnica

de deposición (suspensión) de películas delgadas spin coating. Entonces, para la película delgada orgánica

semiconductora MDMO-PPV, de espesor homogéneo y cuya superficie no presenta irregularidades, se

obtuvo experimentalmente los espectros de transmisión (T) y reflexión (R) en función de la longitud de

onda, como se muestra en la figura siguiente

Figura 5.5 Transmitancia y reflectancia en función de la longitud de onda de la luz, para una película delgada MDMO-PPV

63

Para determinar las constantes ópticas y el espesor de la película delgada MDMO-PPV, se recurre a la

medición de los espectros de transmisión y reflexión en función de la longitud de onda (figura 5.5), y, a

partir de estos resultados, por medio del programa de computador Multicapa (Iota.m) se encuentra el

índice de refracción y el coeficiente de extinción. Pero antes, se debe determinar el espesor de la película

delgada y los rangos de búsqueda de las constantes ópticas, datos que son predeterminados por el usuario.

Para medir el espesor de la película se presentaron tres métodos (capítulo 2); para este caso, se utilizo el

método Multicapa; utilizando el programa (Kappa.m) desarrollado en MATLAB (ver anexo M), que se

compone básicamente del bloque principal del algoritmo Multicapa, o sea, el bloque CÁLCULO (ver

capítulo 4); y, mediante el ensayo “prueba y error” se encuentra el espesor y los rangos de las constantes

ópticas de la película hasta que los espectros teóricos coincidan con los espectros experimentales. Es

necesario realizar este procedimiento, pues utilizar el programa Multicapa (Iota.m) sería ineficiente, ya

que lo que interesa primero es encontrar los datos de entrada (espesor y rangos); una vez encontrados, se

procede a utilizar el programa Multicapa (Iota.m), para encontrar finalmente las constantes ópticas de la

película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV.

Figura 5.6 Transmitancia, reflectancia y constantes ópticas de la película delgada MDMO-PPV.

Finalmente, por medio del ensayo “prueba y error” que se implementó en el programa (Kappa.m),

encontramos que el espesor de la película es 198.9 [nm]; el rango del índice de refracción está entre uno y

cuatro (1-4); el rango del coeficiente de extinción está entre (0.003 - 0.1) y el paso de las constantes

ópticas es de (0.001); además, el espesor del sustrato es 1000000 [nm]; el coeficiente de extinción del

sustrato es cero (0) y el índice de refracción del sustrato es (1.5). Podemos observar (figura 5.6) que con

estos datos, la aproximación es aceptable, ya que el ajuste de los espectros teóricos – experimentales

64

coinciden; factor determinante en el proceso de encontrar las constantes ópticas de la película; pues sin

esto, no es posible encontrarlos; por lo tanto, el resultado final sería especulativo e irreal.

5.5 RESULTADO DE PRUEBAS PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES ÓPTICAS DE LA

PELÍCULA ORGÁNICA MDMO-PPV

Al final se realizaron ocho iteraciones para hallar las constantes ópticas de la película orgánica

semiconductora MDMO-PPV (ver anexo N).

Figura 5.7 Constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV.

No se encontraron documentos que reporten el comportamiento de las constantes ópticas de la película

delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV, sin embargo, un comportamiento similar observado en la

película orgánica semiconductora P3HT-PCBM [polímero poly (3-hexylthiophene) llamado P3HT y (6,6

– phenyl C61 – butyric acid methyl ester) llamado PCBM] fue reportado por [33].

A pesar de las múltiples iteraciones que se implementan en el algoritmo Multicapa; al final, los

resultados muestran un pico en el índice de refracción, esto se debe gran parte a que cuando se evalúa el

criterio de la derivada para los datos de la primera iteración, existen (algunos) indeterminaciones (datos

erróneos o falsos) que son contradictorios para el criterio de la derivada, es decir, existen ciertas

indeterminaciones de la aproximación a los que a pesar de estar alejados de la tendencia (primera

iteración), suponemos que al aplicar el criterio, este los identifica para su posterior corrección; pero

resulta, que para ciertas indeterminaciones (excepciones) se resisten al criterio, porque al derivar ese

punto nos da que su derivada es cercana a cero; inclusive, si restringimos aún más la búsqueda, o sea, al

tomar si y solo si los puntos (datos) que al derivar sean iguales a cero; sucede que, para ese punto en

especifico su derivada sigue siendo igual a cero; y, por lo tanto, no se puede realizar el posterior proceso,

identificar y corregir el dato indeterminado, debido a que el criterio de la derivada lo identifica como dato

correcto (a pesar de que es un dato incorrecto).

65

Sin embargo, a pesar de las limitaciones del algoritmo Multicapa, la aproximación que se obtiene es

“aceptable” (no exacta y precisa!) tanto para los espectros de transmisión y reflexión, como las constantes

ópticas de la película delgada orgánica semiconductora MDMO-PPV. Otro punto a resaltar, es que para

esta medición en particular, los espectros no presentan oscilaciones (interferencias) en sus respectivas

curvas; es decir, el fenómeno físico de múltiples reflexiones es mínimo en este caso, por no decir nulo,

debido a que el espesor con el que se fabrico la película MDMO-PPV es demasiado pequeño; razón por la

cual, vemos que para la transmitancia se obtiene un espectro cercano a uno, mientras para la reflectancia

se obtiene un espectro pequeño, inclusive por debajo de (0.1); por lo tanto, para este caso, obtuvimos una

película delgada orgánica semiconductora que absorbe poca energía (400nm – 530nm), y, si en cambio,

transmite para un amplio rango de la medición (después de 530nm). Sin embargo, al realizar otra

medición, aumentando el espesor de la película MDMO-PPV, seguramente se obtendra oscilaciones

(interferencias) en sus espectros (ver figura 3.2).

Con este resultado, se demuestra que el algoritmo Multicapa es una herramienta computacional poderosa,

sencilla, eficiente y versátil; ya que se puede aplicar para cualquier tipo de medición, material orgánico

semiconductor y/o espesor con el que se fabrica tales materiales; incluso, métodos numéricos diferentes al

método numérico Multicapa.

Para este caso en particular, medir el espesor de la película delgada MDMO –PPV con el microscopio de

fuerza atómica (AFM) no fue posible, debido a que el espesor de la película era demasiado delgado

(pequeño), por lo que la adhesión a la superficie (sustrato) era débil; por lo tanto, al emplear el modo

contacto en la muestra orgánica (blanda y delicada) se daña, es decir, se modifica las dimensiones de la

muestra; por consiguiente, trazar un mapa topográfico de la muestra resultaba algo complejo de hallar.

Por otro lado, emplear la ecuación (3.1) que determina el espesor de la película a temperatura ambiente no

se utilizo en este trabajo de grado; a pesar de que los parámetros fundamentales que intervienen en el

proceso de fabricación de la película delgada se conocen; sin embargo, la rata de evaporación del

disolvente es un parámetro aleatorio; por lo tanto, medir o calcular esta variable durante el proceso de

fabricación no es fácil. Por tal motivo, no se aplico tal fórmula para hallar el espesor de la película

delgada.

5.6 RESULTADO DE PRUEBA PARA COMPARAR MÉTODO MULTICAPA VS MÉTODO

SWANEPOEL -MINKOV.

En esta etapa, de nuevo se compara los dos modelos matemáticos a partir de las constantes ópticas

halladas en la sección anterior, es decir, las constantes ópticas de la película orgánica MDMO-PPV que se

encontraron por medio del programa Multicapa (Iota.m); el resultado se muestra a continuación.

66

Figura 5.8 Transmitancia y reflectancia teóricos de los dos métodos numéricos para la película delgada orgánica semiconductora

MDMO-PPV.

La curva de color azul corresponde al modelo Swanepoel-Minkov y la roja al modelo Multicapa. Se

observa un ajuste aceptable para la transmitancia, mientras para la reflectancia se aprecia un desajuste o

desviación al inicio de espectro; al trabajar con métodos numéricos su solución es una aproximación y, en

algunos casos, los resultados no pueden ser exactos; al mismo tiempo, los datos de las constantes ópticas

son el resultado de una medición experimental, por lo que los datos calculados de las constantes ópticas no

están ajenos a que presenten incertidumbre entre sus datos, ver capítulo tres (sección 3.3). Es por esto que,

al implementar tales valores a los modelos matemáticos se presenten estas desviaciones, tal como se mira

en la reflectancia. Sin embargo, a pesar que los datos de entrada al programa (SWMK_MC.m) son datos

experimentales, sus resultados nos muestran que al final el ajuste teórico entre los dos modelos

matemáticos es una aproximación aceptable; por lo tanto, podemos decir una vez más, que los dos

modelos matemáticos son compatibles.

Por último, al comparar los resultados de la figuras (5.13) y (5.4); se puede decir que el primero es una

aproximación a partir de datos experimentales, mientras el segundo es una aproximación a partir de datos

netamente teóricos, pues recordemos que estos datos fueron reportados por [30]; por consiguiente, los

resultados de los espectros en la figura (5.4) son exactos (coinciden) para los dos modelos matemáticos.

67

6. CONCLUSIONES

En este trabajo de grado, se obtuvieron las constantes ópticas de la película delgada del polímero

conjugado orgánico semiconductor MDMO: PPV fabricadas por la técnica de “spin coating”. Los valores

de las constantes ópticas ( , ) del sistema multicapa (aire, sustrato, película, aire) han sido

determinadas utilizando un programa informático de simulación desarrollado en MATLAB, basado en el

método numérico multicapa. Debe tenerse en cuenta que el método numérico óptico empleado en el

presente trabajo funciona con ángulo de incidencia normal para las medidas de transmitancia y

reflectancia; además, se ha supuesto en el desarrollo del método lo siguiente: la película como el sustrato

son de espesor uniforme y homogéneo, la película es “débilmente” absorbente y el sustrato es

transparente, por último, las múltiples reflexiones (oscilaciones) corresponden a un efecto determinado

por el espesor de la película delgada orgánica semiconductora.

Del análisis de los datos se deduce que el algoritmo multicapa para el cálculo del espesor y de las

constantes ópticas de la lámina delgada, funciona con o sin envolventes en los espectros de transmisión y

reflexión, como también para cualquier material orgánico; lo que lo convierte en una herramienta sencilla

y versátil. A la vez, identificar y corregir el error matemático en el método numérico multicapa, permitió

contrastar los dos métodos numéricos, es decir, los modelos numéricos multicapa y Swanepoel-Minkov;

por lo tanto, podemos concluir que, a pesar de sus limitaciones, el método matemático Swanepoel-

Minkov se puede emplear de otra forma ha como se ha venido trabajando durante las últimas décadas, es

decir, que no necesita aplicar el criterio de la envolvente en los espectros de transmisión y reflexión para

encontrar las constantes ópticas de una película delgada semiconductora, sino que, adaptando el algoritmo

Multicapa al modelo matemático Swanepoel-Minkov se puede obtener una aproximación exacta y precisa

de las constantes ópticas de una película delgada orgánica semiconductora.

Respecto al funcionamiento del software (algoritmo multicapa) se encontraron resultados exactos y muy

confiables; pues recordemos que los valores de las constantes ópticas son obtenidos cuando los espectros

teóricos coinciden con los espectros experimentales. No obstante, un caso particular fue el criterio de la

derivada, ya que para “algunos” datos la aproximación no se cumplía; por lo tanto, es necesario

implementar un técnica numérica o función matemática que complemente el proceso; de tal forma, que el

software (algoritmo multicapa) pueda reconocer, procesar y corregir tales excepciones; con esto se busca

que la aproximación sea más precisa y exacta a la hora de evaluar las constantes ópticas de una película

delgada semiconductora. Del mismo modo, es importante resaltar, que el algoritmo que se implemento

durante el trabajo de grado se basa en un método numérico iterativo (multicapa), por lo tanto, es una

aproximación y, por consiguiente, introducen “errores” las ecuaciones y múltiples variables que

componen el modelo multicapa cuando se ejecuta.

En cualquier método numérico se sacrifica dos fundamentos importantes: precisión/eficiencia; precisión

implica lentitud en el cálculo de las constantes ópticas; mientras eficiencia, implica menos precisión en el

cálculo de las constantes ópticas. Para este caso en particular, existen métodos de optimización, uno de

los cuales podría ser ejecución paralela de algoritmos (dos procesadores), con esto se busca (intentar)

reducir el “error” y, de paso, lograr que los tiempos de ejecución del algoritmo por cada iteración sean

más cortos, y además, se ganaría u obtendría una precisión alta durante el cálculo de las constantes

ópticas.

68

7. BIBLIOGRAFÍA

[1] Michiel Thijssen, “Opinion: The future is photonic”, materials today. July/August 2001.

[2] Sun J, Chan C.C, Dong X.Y and Shum P, “Application of an artificial neural network for

simultaneous measurement of temperature and strain by using a photonic crystal fiber long- period

grating”, Measurement Science and Technology. 18, 2943 (2007).

[3] Balet L, Francardi M, Gerardino A, Chauvin N, Alloing B, Zinoni C, Monat C, Li L. H, Le Thomas N,

Houdre R and Fiore R, “Enhanced spontaneous rate from single InAs quantum dots in a photonic crystal

nanocavity at telecom wavelengths”, Appl. Phys. Lett. 91, 12315.

[4] Fulconis J, Alibart O, O´ Brien J.L, Wadsworth W.J and Rarity J.G, “Nonclassical interference and

entanglement generation using a photonic crystal fiber pair photon source”, Phys. Rev. Lett. 99, 120501

(2007).

[5] Enrique Pérez Gutierrez y José Luis Maldonado Rivera, “Fuente alterna de energía renovable: Celdas

solares orgánicas”, Centro de Investigaciones en Óptica, A.C. UNAM, México, D.F (2013).

[6] Jhon S and Quang T, “Collective switching and inversion without fluctuation of two-level atoms in

confined photonic systems”, Phys. Rev. Lett, 78, 1888 (1997).

[7] Li J, and Zheng T, “A comparison of chemical sensors based on the different ordered inverse oplas

films”, Sensors and actuators B. 131, 190 (2008).

[8] H. Méndez, D. Pardo, J.P. Cuéllar, J.C. Salcedo, R.Vera, y B.A. Pérez, “Fabricación y

Caracterización Eléctrica de Diodos Orgánicos Emisores de Luz (OLEDs)”, Grupo de Películas

Delgadas y Departamento de Química, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia. QuBiton

Laboratories AG, Linz, Austria. (2010).

[9] Manifacier JC, Gasiot J and Fillard JP, “A simple method for the determination of the optical constants

n,k and the thickness of a weakly absorbing film”, J. Phys. E: Sci. Instrum. 9 1002-4 (1976).

[10] S. Sankar, and K.G. Gopchandran, “Studies on oscillator strength of nanostructured amorphous,

anatase and rutile TiO2 films”, Department of optoelectronics, University of Kerala, Kariavattom,

Trivandrum, India.

[11] R. Swanepol, “Determination of thickness and optical constants of amorphous silicon”, J Phys E: Sci

Instrum. Vol. 16, pp. 1214-1222 (1983).

[12] D.A. Minkov, “Method for determining the optical constants of a thin film on a transparent

substrate”, J. Phys. D: Appl. Phys. 22, 199-205 (1989).

[13] S. Einfeldt, F. Goschenhofer, C.R. Becker, and G. Landwehr. “Optical properties of HgSe”,

Physikalisches Institut der Universitat Wurzbug, Am Hubland, 97074 Wurzburg, Germany, vol 51,

number 8, revised manuscript and received 6 October (1994).

[14] Roald K. Wangsness, “Electromagnetic Fields”. Jhon Wiley & Sons, Inc. Mexico, D.F. (2006).

[15] Oscar Ocaña Gómez, “Apuntes de clase Transmisión electromagnética”. Departamento Ingeniería

Electrónica, Facultad de Ingeniería, Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá, Colombia, (2005).

69

[16] José Ramón Menéndez García-Hevia, “Conceptos de electromagnetismo”. Universidad de Oviedo,

Servicio de publicaciones.

[17] David J. Griffiths, “Introduction to electrodinamics”, Department of Physic, Reed College, second

edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, (1989).

[18] José A. Sarta, “Bioelectromagnetismo”. Sarta Fuentes, José Antonio. (2011).

[19] Manuel Fernández Guasti, “Medios materiales”. 14 de Mayo 2008.

[20] Eugene Hecht, “Optics”, Tercera edición, Addison Wesley Longman, Inc. Madrid, España, (2000).

[21] www.andor.com/ ANDOR TECHNOLOGY, “Absorption/Transmission/Reflectance (ATR)

Spectroscopy”.

[22] Teresa Yonte Sanchidrán, “Fundamentos geométricos de la óptica de Multicapas”. Departamento de

óptica, Universidad Complutense. Madrid, España, (2005).

[23] J.M. González-Leal, E. Márquez, A.M. Bernal-Oliva y R.Jiménez-Garay, “Determinación de las

constantes ópticas de láminas delgadas calcogenuras amorfas a partir de las envolventes de sus espectros

de transmisión y reflexión”. Departamento de Física de la Materia Condensada, Facultad de Ciencias,

Universidad de Cádiz, España.

[24] www.mathworks.com.

[25] Barrow Gordon M, “Estructura de las moléculas introducción a la estructura molecular”. (1967)

[26] http://www.sigmaaldrich.com/.

[27] H. Méndez, C. Hérnandez y J.C. Salcedo Reyes, “Temperature dependent relaxation processes in

MDMO-PPV films”, Thin films group, Physics Department, Javeriana University, Bogotá, Colombia.

Electronics Engineering Department, Javeriana University, Bogotá, Colombia.

[28] Martínez Hernández Diego, Córdoba Carlos, Mera Yenny y Paredes Omar, “Construcción y

calibración de un equipo para la deposición de nanopartículas sol-gel por el método de rotación o espin-

coating”, Centro de Investigaciones en Materiales, Universidad de Nariño, Pasto, Colombia. Revista

Colombiana de Física, vol. No 20 (2009).

[29] www.knittel-glacer.de/

[30] http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/nk/, consultada el 10 de junio de 2013.

[31] Holly Moore, “MATLAB para ingenieros”, Pearson, Prentice Hall (2007).

[32] Burden, R.L y Faires, J.D, “Análisis numérico”, Ed. Internacional Thomson editores, sexta edición

(1998).

[33] W.H.Lee, S.Y. Chuang, H.L. Chen, W.F.Su, C.H.Lin, “Exploiting optical properties of P3HT-PCBM

films for organic solar cells with semitransparent anode”, Department of Materials Science and

Engineering, National Taiwan University, Tapey, Taiwan. Institute of Electro-Optical Science and

Engineering, National Cheng Kung University, Taiwan. 10 Mayo (2010).

http://www.andor.com/

http://www.mathworks.com/

http://www.sigmaaldrich.com/

http://www.knittel-glacer.de/

http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/nk/

70

8. ANEXOS

Se incluye un CD-ROM el cual contiene:

Copia del Informe Final.

Copia del Artículo IEEE.

Carpeta del banco de datos o muestras.

Carpeta con los algoritmos realizados en MATLAB (archivos.m)

Copia de los Anexos.

ÍNDICE DE REFRACCIÓN Y COEFICIENTE DE EXTINCIÓN DEL ...

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