Newton Raphson-ejercicios resueltos.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II

pág. 1 [email protected]

EJERCICIOS RESUELTOS – NEWTON RAPHSON

Búsqueda de raíces:

1. Usa el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación

𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0. Empieza con 𝑥0 = -1 para la solución de la izquierda,

con 𝑥0 = 1 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada

caso.

SOLUCIÓN:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑥0

2 + 𝑥0 − 1

2𝑥0 + 1

𝑥1 =𝑥0

2 + 1

2𝑥0 + 1

POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA

𝑥1 =(−1)2+1

2(−1)+1= −2

→ 𝑥2 =(−2)2+1

2(−2)+1= −1,67

𝑥3 = −1,62

𝑥1 =(1)2+1

2(1)+1= 0,67

→ 𝑥2 =(0.67)2 + 1

2(0.67) + 1= 0,619

𝑥3 = 0,618

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -2 0 2 4

Y

Y




2. Use el método de newton para estimar una solución real de la ecuación

x3+3x+1 empieza x0 = 0 y después hallar x2.

SOLUCIÓN:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑥0

3 + 3𝑥0 + 1

3𝑥02 + 3

𝑥1 =2𝑥0

3 − 1

3𝑥02 + 3

𝑥1 =2(0)3 − 1

3(0)2 + 3= −0.33

𝑥2 =2(−0,33)3 − 1

3(−0,33)2 + 3= −0.32

3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥 − 3. Empiece con x0 = -1 para la solución de la

izquierda, y con x0 = 1 para la solución de la derecha. Después, halle x2

para cada caso.

SOLUCION:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑥0

4+𝑥0−3

4𝑥03+1

𝑥1 =3𝑥0

4 + 3

4𝑥03 + 1

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

y

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -2 0 2 4

Y

Y





𝑥1 =3(−1)4+3

4(−1)3+1= −2

→ 𝑥2 =3(−2)4 + 3

4(−2)3 + 1

𝑥2 = −1,645 𝑥3 = −1,485

𝑥1 =3(1)4+3

4(1)3+1= 1,2

→ 𝑥2 =3(1,2)4 + 3

4(1,2)3 + 1

𝑥2 = 1,165 𝑥3 = 1,164

4. Usa el método de newton para estimar los dos ceros de la función

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 1. Empieza con 𝑥0 = 0 para la solución de la

izquierda, y con 𝑥0 = 2 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada caso.

SOLUCION:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −−𝑥0

2+2𝑥0+1

−2𝑥0+2

𝑥1 =𝑥0

2 + 1

2𝑥0 − 2


𝑥1 =(0)2 + 1

2(0) − 2= −0,5

𝑥2 =(−0,5)2 + 1

2(−0,5) − 2

𝑥2 = −0416

𝑥1 =(2)2 + 1

2(2) − 2= 2,5

𝑥2 =(2,5)2 + 1

2(2,5) − 2

𝑥2 = 2,416

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

Y

Y




5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas de

2 resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0

Empiece con 𝑥0 = 1 y encuentre 𝑥2.

SOLUCIÓN:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑥0

4 − 2

4𝑥03

𝑥1 =3𝑥0

4 − 2

4𝑥03

𝑥𝑛+1 =3(−1)4+2

4(−1)3 → 𝑥1 =5

−4= −1,25

𝑥2 = −1,19

6. Emplee el método de Newton para encontrar la raíz negativa de 2

resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0. Empiece con 𝑥0 = −1 y después

halla 𝑥2.

SOLUCION:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑥0

4 − 2

4𝑥03

𝑥1 =3𝑥0

4 + 2

4𝑥03

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Y

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Y




𝑥𝑛+1 =3(−1)4+2

4(−1)3 → 𝑥1 =5

−4= −1,25

𝑥2 = −1,19

13. Oscilación. Muestre que si ℎ > 0 al aplicar el método de Newton a

lleva a 𝑥1 = −ℎ, si 𝑥0 = ℎ y a 𝑥1 = ℎ si 𝑥0 =

−ℎ. Dibuja lo que ocurre.

SOLUCION:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)

𝑥0 = ℎ > 0 𝑥0 = −ℎ < 0

𝑥1 = ℎ −𝑓(ℎ)

𝑓′(ℎ)

𝑥1 = ℎ −√ℎ

(1

2√ℎ)

𝑥1 = ℎ − (2√ℎ)(√ℎ)

→𝑥1 = −ℎ

𝑥1 = −ℎ −𝑓(−ℎ)

𝑓′(−ℎ)

𝑥1 = −ℎ −√ℎ

(−1

2√ℎ)

𝑥1 = −ℎ + (2√ℎ)(√ℎ)

→𝑥1 = ℎ

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10




16. Localización de un planeta. Para calcular las coordenadas de un

planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f (x) = x - 1 -

0.5senx se sugiere que la función tiene una raíz cerca de 𝑥 = 1,5 Use una

aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación. Esto es,

empiece con 𝑥0 = 1,5 y 𝑥1. halla (El valor de la raíz con cinco decimales es

1.49870.) Recuerde utilizar radianes.

SOLUCION:


𝑓′(𝑥𝑛)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0)

𝑥1 = 𝑥 −𝑥 − 1 − 0.5senx

1 − 0.5cosx

𝑥1 = 1,5 −1,5 − 1 − 0.5sen(1.5)

1 − 0.5cos(1,5) → 𝑥1 = 1,49870

BIBLIOGRAFIA:

THOMAS, CALCULO, UNA VARIABLE

Ejercicios 3,8(Novena edicion)

Ejercicios 4,7(Undecima edicion)

-6

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

y

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