Nivelación Restitutiva - textosescolares.cl · 4%-!.Á-%2/3 .ÞMERO 6 ... como apropiación de...

Nivelación Restitutiva

Manual del

Docente

2006

Matemática

Álgebra1º Medio

Material elaborado por: Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de ChileEquipo Desarrollo Pedagógico - Programa Liceo Para Todos

Presentación de la Ministra de Educación Marigen Hornkohl

Marzo 2006Estimadas profesoras y profesores:

Al comenzar la década de los noventa, 20 de cada 100 jóvenes no asistía al liceo. Hoy tenemos una cobertura del 93% en educación media y tenemos el firme propósito de seguir avanzando hacia el compromiso —reafirmado a partir de mayo de 2003 por la Constitución— de lograr 12 años de educación para todos.

Lograr que todos los jóvenes chilenos, especialmente los de menores recursos, completen al menos su enseñanza media es una meta en la que estamos trabajando juntos: Ministerio de Educación, sostenedores, docentes, directivos, estudiantes, padres - madres y apoderados.

Este año ampliaremos la subvención pro retención que se pagó por primera vez el 2004 y que el 2005 benefició a los sostenedores de establecimientos que lograron mantener en el sistema escolar a 35 mil niños y jóvenes de las familias más necesitadas, que cursaron entre 7º básico y 4º medio. Además, en los 442 liceos de menores recursos y mayores dificultades educativas, 18 mil alumnos recibirán Beca Liceo para Todos, creada en el año 2000 para asegurar la permanencia en el aula de los estudiantes en riesgo de desertar.

No sólo se trata de que los jóvenes no abandonen el liceo, sino principalmente de que ahí reciban aprendizajes de calidad y aprendan conocimientos y habilidades que les permitan responder apropiadamente a las exigencias del siglo XXI.

En esa perspectiva, Liceo para Todos está apoyando a los liceos que participan del Programa, a desarrollar una experiencia escolar inclusiva y de calidad. La Nivelación Restitutiva —desarrollada desde el año 2000— es una herramienta específica para ese fin. El año pasado, 67 mil estudiantes de primero medio —nivel en el que se produce el mayor retiro y fracaso escolar, en estos establecimientos— recibieron apoyo pedagógico especial para afianzar sus conocimientos en lenguaje y matemática.

A partir del año 2005 ampliamos la cobertura de sectores de aprendizaje que se incorporan a esta innovación, esto es:

• Trabajo diferenciado en ciencias sociales y ciencias naturales (los tres subsectores), a esto se sumaron durante el 2005 14 mil estudiantes.

• Trabajo diferenciado en lenguaje y matemática 2º medio, a esto se sumaron 12 mil 600 estudiantes durante el 2005.

Este material de apoyo docente que ustedes tiene en sus manos es fruto de un esfuerzo compartido. Las versiones anteriores han sido mejoradas gracias al aporte de profesores que han trabajado en el aula con estos manuales en los liceos del Programa. También han entregado su contribución la Universidad de la Frontera, de Temuco, en la parte Lengua Castellana y Comunicación, y la Pontificia Universidad Católica de Chile, en la parte Matemática.

Las publicaciones por sí mismas no aseguran mejores resultados de aprendizaje. Es la acción pedagógica y perseverancia de ustedes —profesoras y profesores— las que permitirán que estos manuales generen real conocimiento en nuestros jóvenes y la oportunidad para que se formen mejor en la enseñanza media.

¡Felicitaciones por su esfuerzo!

MARIGEN HORNKOHL Ministra de Educación

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1 Introducción

Los grupos de nivel elaborados para el tema de Álgebra y Funciones han sido desarrollados atendiendo a los propósitos que se plantean en el Programa de Matemática para Primer Año de Enseñanza Media (NM1). La organización y secuencia de las actividades propuestas intenciona la traducción en lenguaje algebraico de diferentes tipos de relaciones cuantitativas que involucran, inicialmente al ámbito numérico. El uso de letras y expresiones algebraicas son incorporadas con el objetivo de representar números, categorías de números, patrones en contexto numérico y geométrico o bien relaciones de tipo cuantitativo. De esta forma iniciamos a los alumnos y alumnas en el aprendizaje y desarrollo de habilidades para lograr un razonamiento algebraico que implica: representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier ámbito de la ciencia matemática.

Tal como fue planteado en los cuadernillos de Números y Geometría, el tratamiento dado al tema de Álgebra no está exento de un trabajo orientado en términos de la Resolución de Problemas, tema transversal importante del enfoque y propuesta llevada a cabo. Recordaremos que en ellos se desarrolla un conjunto de temáticas cuya secuencia de contenidos y problemas nuevamente tiene una estrecha relación con la cotidianeidad, con el propósito de acercar la matemática a la realidad, donde diferentes situaciones de la vida real ven posible la aplicación de un sinnúmero de conceptos propios de la disciplina y en particular del Álgebra. Recordamos que la estructura y organización con carácter de texto de cada uno de ellos, estamos seguros, responde a los intereses de los alumnos de esta edad, donde esperamos confiados que la propuesta y gestión del profesor(a) se convertirán en pilar fundamental para permitir recuperar de forma significativa los conocimientos y conceptos trabajados en cursos anteriores y conjuntamente con ello mediar en el desarrollo de un razonamiento algebraico progresivo acorde a los requerimientos que se hará a los estudiantes de este nivel escolar.

— 6 —

1.1 Secuencia propuesta para el desarrollo del 1° medio en matemática

La presente secuencia será detallada en profundidad a lo largo de los manuales, sin embargo es necesario presentar algunas consideraciones con respecto a lo que aborda la Nivelación Restitutiva (durante el año escolar) y la forma de hacerlo.

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Este esquema muestra la distribución de las unidades curriculares en torno a los tres temas descritos con anterioridad (Números, Álgebra y Funciones, y Geometría) en este periodo del año, todos los estudiantes han de haber realizado y desarrollado las actividades propuestas para Números (incluido el proyecto de externalización de ese tema). Ahora es necesario poder avanzar en los contenidos relacionados con álgebra (‘Lenguaje Algebraico y ‘Factorización y Producto’) para lo cual es necesario comenzar el proceso con el diagnóstico de álgebra.

Analicemos con detención la secuencia de trabajo para Álgebra.

— � —

El cuadro anterior es posible explicarlo mediante el esquema que se presenta a continuación, el cual hace referencia al proceso que se desarrolla en este tema específico.

DIAgnóSTIco

grupo nivel I

DImenSIón

verTIcAL

grupo nivel II grupo nivel III

Enunciados y Relaciones cuantitativas

Generalización de operaciones aritméticas,

operatoria algebraica, conjeturas y ecuaciones

de primer grado



ProyecTo De exTernALIzAcIón



de primer grado



de primer grado

Para el desarrollo de este tema, el proceso contempla las siguientes etapas:

- Diagnóstico: El diagnóstico debe entregar información de dos ámbitos distintos:

• contenidos de la enseñanza básica: entrega información respecto al nivel de desarrollo de las competencias trabajadas en la enseñanza básica y que son base para el estudio de las unidades correspondientes a cada tema de primero medio.

• contenidos a tratar en el tema: Un segundo elemento a considerar en el diagnóstico son los contenidos a tratar en el tema correspondiente, de manera que esto le provea información al docente sobre las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes respecto a este ámbito. En este sentido no se trata de evaluar algo que no conocen, sino de relevar si los estudiantwes tienen algún tipo de acercamiento a estos contenidos.

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- Trabajo en grupos de nivel: Los grupos de nivel están referidos al tema en particular y no a todo el primero medio. El proceso se realiza en tres momentos. Los dos primeros (nivelación y apropiación del conocimiento) van siendo desplegados paralelamente para avanzar en el logro de las competencias y contenidos curriculares propuestos para el nivel.

• Los estudiantes avanzan en la internalización del aprendizaje (descrito en la secuencia como apropiación de contenidos de 1º medio), en el que se avanza en el logro de los aprendizajes de las unidades de Lenguaje Algebraico y Factorización y Producto’ que componen a este tema.

• Cada grupo, cuando es requerido, desarrolla un proceso de nivelación de aquellas competencias y contenidos curriculares considerados básicos y necesarios para el desarrollo de los aprendizajes del primero medio.

es importante señalar que cada estudiante desarrollará sólo un grupo nivel, ya que en cada uno de ellos se desarrollan los mismos contenidos curriculares, diferenciados por el tipo de ayuda que se les debe proveer a los estudiantes.

- Proyecto común: Terminado el proceso de internalización de saberes, todos los estudiantes han de haber desarrollado las competencias de base, asociadas a las unidad del tema y profundizado, en niveles diferenciados, los aprendizajes y conocimientos propuestos por el currículum de 1º medio.

Para dar cuenta de este aprendizaje todos los estudiantes realizan un proyecto asociado a la construcción de un artefacto conceptual. Aunque los estudiantes han trabajado de manera diferenciada hasta este punto, en este proyecto de externalización del saber, todos los estudiantes deben desarrollar el mismo proyecto, con indicaciones y niveles de estructuración en la ayuda que son diferenciados. Entonces lo que se debe diferenciar es la ayuda que se le provee a cada estudiante y no la tarea a realizar por parte de ellos.

La evaluación del desarrollo de este artefacto conceptual debe permitir al docente establecer el avance en los aprendizajes asociados a este tema y compararlos con los datos o resultados entregados por el diagnóstico, para poder visualizar la trayectoria de avance del estudiante respecto de estos aprendizajes en particular.

— 10 —

veamos un ejemplo para el desarrollo de este tema:

Como muestra el esquema, los estudiantes comienzan el proceso con el desarrollo del diagnóstico de disposiciones de aprendizaje, en el que relacionan los contenidos desarrollados en enseñanza básica que están a la base para la adquisición del nuevo conocimiento con los contenidos específicos de álgebra. En él, los estudiantes, evidenciarán un cierto estado de desarrollo de sus competencias relacionadas a este tema en particular. Así por ejemplo, algunas competencias evaluadas en el diagnóstico señalan que: los estudiantes en el desarrollo de los contenidos curriculares serán capaces de “Emplear e interpretar contextualizadamente las formas de expresión algebraica”, la cual será evaluado por medio de tres aprendizajes (1) “Representar mediante una expresión algebraica diferentes situaciones formuladas en lenguaje natural”, (2) “Relacionar e Interpretar expresiones algebraicas simples en relación a un contexto”, y (3) “Reconocer una expresión algebraica como una síntesis de casos particulares que tienen una propiedad en común”. Estos aprendizajes, en conjunto con el resto de los problemas planteados en el diagnóstico, nos permiten configurar un panorama de lo que los estudiantes son capaces de hacer con el conocimiento que portan. Por ejemplo, los estudiantes del grupo Nivel I (GN1) pueden presentar dificultades para reconocer la noción y sentido de una variable, los estudiantes del GN2, si bien pueden tener claro el concepto anterior pueden tener dificultades para distinguir las diferencias entre variable y constante y los estudiantes del GN3 pueden presentar dificultades para traducir a expresiones algebraicas un enunciado verbal o categorías de números. Esta gradiente del aprendizaje nos permite determinar cuales son los puntos de partida, reales, que presentan los estudiantes para construir el nuevo conocimiento que se aborda desde el álgebra.

Entonces para abordar estos conocimientos, todos los niveles, desarrollan las unidades de ‘Lenguaje algebraico’ y ‘Factorización y productos’, desarrolladas en dos momentos claramente definidos (-a-“Enunciados y Relaciones cuantitativas” y -b-“Generalización de operaciones Aritméticas, operatoria algebraica, Conjeturas y ecuaciones de primer grado”). En estos dos momentos se desarrolla la totalidad de contenidos propuestos por los planes y programas para las unidades relacionadas a este ámbito, pero se diferencian en la ayuda que se les provee a los estudiantes para acceder a este nuevo conocimiento y, en caso de ser necesario, se provee de actividades complementarias para afianzar las competencias establecidas por el currículo.

Una vez finalizada esta etapa de nivelación e internalización del conocimiento nuevo, todos los estudiantes están en condiciones de desarrollar un proyecto de externalización de los conocimientos adquiridos, el que es común para todos los estudiantes, sin importar en el grupo nivel en que trabajaran en el proceso anterior (nivelación e internalización de los conocimientos del álgebra). En este proyecto, nuevamente, lo que se diferencia es el camino que se emplea para que los estudiantes construyan el artefacto conceptual y no el proyecto mismo, ya que, como ha sido reiterado en varias oportunidades, la meta que deben alcanzar los estudiantes es la misma para todos.

DIAgnóSTIco

DImenSIón

verTIcAL

ProyecTo De exTernALIzAcIón

— 11 —

1.2 enfoque disciplinario del Programa de estudio para álgebra

A lo largo de toda la Enseñanza Básica, los números han conformado un tema muy central en la Educación Matemática. Al mismo tiempo, también ha sido fundamental promover el desarrollo de habilidades asociadas a los números y las operaciones que vayan más allá de la simple memorización y/o aplicación de reglas y definiciones. Terminando el segundo ciclo de la Educación Básica se intenciona claramente el uso de letras para representar la incógnita de una situación verbal, de forma tal, de poder generar sus términos hasta llegar a establecer una ecuación. El foco de estas actividades es que los estudiantes se inicien en la formulación e interpretación de expresiones algebraicas en contextos geométricos y numéricos y evaluar posteriormente estas expresiones. Respecto a esto, el Programa de Estudio plantea que:

“Es así, como nuestras alumnas y alumnos ya se han iniciado en el uso de las letras para generalizar situaciones; por ejemplo, las letras representan medidas de longitud, en las fórmulas para el cálculo de volúmenes, áreas y perímetros de figuras geométricas.

Los aprendizajes esperados para los estudiantes de NM1 se centran preferentemente en el desarrollo de la capacidad de generalización de situaciones que derivan del trabajo con los números o con las formas geométricas, apoyada en la potencialidad del lenguaje algebraico para describir esas generalizaciones. Debemos señalar que como cualquier lenguaje, el lenguaje algebraico tiene semántica y sintaxis; su significado entonces está referido al ámbito de la aritmética, de regularidades de figuras y patrones, y también de situaciones próximas a la experiencia diaria. Es importante entonces, para que el lenguaje algebraico tenga sentido, mantener como referente permanente estos tres contextos. Es importante tener presente que las letras, en este contexto, representan números o categorías de números. Que un alumno pueda interpretar que 2a significa el valor a pagar por la compra de 2 helados es un acomodo que posteriormente será necesario superar para que logre llegar a una generalización que le permita interpretar correctamente una expresión como 2ab. En cuanto a la sintaxis, se enfatizan las diferencias con la aritmética porque los estudiantes tienden a generalizar sus coincidencias. La sintaxis de la operatoria aritmética no siempre coincide con la del álgebra. Por ejemplo, un alumno de primer año tiene claro que 3� es un número de dos cifras en que 3 es la cifra de las decena y � la de las unidades; ab en álgebra representa el producto de ‘a por b’ y 10a + b puede corresponder a un número de dos cifras en el que a es la cifra de las decenas y b la de las unidades”.

En consecuencia y a partir de las orientaciones didácticas y disciplinarias que se desprenden del programa de estudio de primer año medio, de la innovación planteada en el programa de nivelación restitutiva y de la propuesta didáctica a implementar, hemos considerado la siguiente organización de temáticas y contenidos para Álgebra en el primero medio:

- Factorización y productos

- Lenguaje algebraico

— 12 —

Importancia de los contenidos restituidos y que median en el desarrollo del lenguaje y razonamiento algebraico, en primero medio.

El inicio al lenguaje algebraico según los programas actuales comienza en NB6, aunque no por ello, debemos dejar de mencionar que durante la educación básica muchas son las actividades que de una forma u otra traen implícito un razonamiento de tipo algebraico. El organizador gráfico muestra el recorrido de contenidos contemplados en la Unidad: Enunciados, relaciones cuantitativas y lenguaje algebraico. El estudio y trabajo que deben realizar los alumnos en este cuadernillo considera el tratamiento de contenidos y conceptos abordados en cursos anteriores, que a diferencia de los cuadernillos de número y geometría, estos mediarán en la apropiación de un lenguaje y razonamiento algebraico a lograr por los alumnos y alumnas en NM1. Por las características de nuestros alumnos y del programa de nivelación restitutiva en aplicación, estos contenidos servirán de base o punto de partida en el trabajo que los estudiantes deberán desarrollar, por tanto se hace necesario introducirlos de forma tal, que permita progresivamente alcanzar los aprendizajes esperados para el primero medio, establecidos en los Planes y Programas. Es así como para el desarrollo de esta primera unidad se ha considerado trabajar en función de los siguientes aspectos:

El foco de las primeras actividades es que los estudiantes, a partir de relaciones cuantitativas simples, puedan establecer la correspondencia entre un valor constante y otro que varía dependiendo de la función operatoria puesta en juego. Así, hace su aparición de forma intuitiva el concepto de variable y constante. Este tipo de trabajo ya ha sido realizado en cursos anteriores, el propósito ahora es mediar progresiva y secuenciadamente para llegar a la generalización de relaciones de carácter cuantitativo acordes al nivel. En muchos de los textos empleados en Educación Básica se proponen actividades que perfectamente podríamos calificar como algebraicas: el uso de los símbolos para designar objetos, ecuaciones, fórmulas y patrones. Esto claramente nos deja en posición de poder plantear en este nivel situaciones cuyo propósito sea el de introducir el lenguaje algebraico a la tarea matemática.

De esta forma las variables (letras) son los símbolos que ocuparan o se pondrán en lugar de los números o de un cierto rango de números, que por cierto han sido y son empleados frecuentemente en la actividad matemática. Es así, como las variables en reemplazo de los números, tendrán significados diferentes dependiendo de si se usan como representaciones de cantidades que varían o cambian, como representaciones de valores específicos que son desconocidos, o bien como parte de una fórmula. La incorporación entonces, de expresiones algebraicas en contextos numéricos hace su aparición y cobra sentido y significado en función del tratamiento y trabajo que los alumnos y alumnas irán desarrollando.

El estudio de regularidades y patrones numéricos también esta presente, el objetivo es que los alumnos puedan establecer nuevamente las reglas que operan en este tipo de situaciones, presentadas ellas en contextos distintos (numéricos y geométricos) y poder posteriormente generalizarlas.

— 13 —

respecto de su articulación con los contenidos de primero medio:

Bajo estos criterios de organización, secuencia y articulación, los alumnos en sus distintos niveles irán progresivamente alcanzando los aprendizajes esperados para el nivel, entre los que plantea el programa mencionamos los siguientes: la traducción en registro algebraico de situaciones que requieren de una solución matemática que permita encontrar su solución, o bien describir una o un conjunto de situaciones diferentes representadas mediante lenguaje algebraico. Conjeturar y generalizar respecto de patrones numéricos o geométricos empleando expresiones literales.

Valorización de expresiones

Crear fórmulas simples en contextos numéricos

Generar términos de una secuencia dada la regla que la origina

Reconocer una o más reglas que originan una secuencia dada

Formular una expresión que generalice una secuencia numérica finita

Conocer la noción y sentido de una variable

Distinguir entre variable y constante

Traducir en expresión algebraica un enunciado verbal o categorías de números

Secuencias

Fórmulas

Notación literal

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reSoLucIón

De

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unidades temáticas abordadas

en el material

Contenidos abordados en el

material

Lo que nivelaremos y desarrollaremos en

el material

— 14 —

Importancia de los contenidos restituidos y que median en el desarrollo del lenguaje y razonamiento algebraico en primero medio.

Los últimos organizadores gráficos muestran el recorrido de contenidos y aprendizajes a lograr en el tratamiento de la segunda unidad del cuadernillo de álgebra: Resolución de problemas de generalización, operatoria y lenguaje algebraico, en sus tres niveles. Recordemos, que los Planes y Programas establecen “que a lo largo de toda la Enseñanza Básica, los números han conformado un tema muy central en la Educación Matemática. Al mismo tiempo, también ha sido fundamental promover el desarrollo de habilidades asociadas a los números y las operaciones que vayan más allá de la simple memorización y/o aplicación de reglas y definiciones”. Durante este período, nos encontramos inclusive con elementos teóricos que suponen o dan pie al inicio de una reflexión sobre la estructura algebraica de los conjuntos y operaciones con números. Como es el caso de enunciados generales que dicen relación con las propiedades: conmutatividad, asociatividad y distributividad de las operaciones aritméticas y de la aplicación que se hace de ellas en la solución de problemas, de las cuales se hará un tratamiento particular en esta oportunidad, por lo tanto será condición importante de los alumnos y alumnas, el recuperar el concepto de estas nociones. Los especialistas en el tema señalan que algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas de adquirir por los alumnos, son por ejemplo: los patrones y regularidades, estas existen y aparecen de forma natural en las matemáticas. Pueden ser reconocidos, ampliados o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar de formas diferentes ya sea en situaciones físicas, geométricas y numéricas, por ello otra de las temáticas a tratar y trabajar en el tema y cuadernillo dice relación con este punto.

Las ecuaciones. Muchos de los problemas que deben resolver los alumnos y alumnas en Educación Básica consisten en hallar un número desconocido que cumpla con ciertas condiciones. La formulación o planteo de esta pregunta generalmente suele ser en forma de enunciado, pero también se utiliza un lenguaje simbólico del tipo: 10 + ____ = - 1�, por lo tanto si la igualdad es verdadera sólo para ciertos valores de las variables se dice que estamos en presencia de una ecuación: X + 3 = �. Ésta, se constituye por lo tanto en una potente técnica para modelar y resolver algebraicamente los problemas verbales, uno de los objetivos más importantes de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

— 1� —

Generar términos de una secuencia dada la regla que la origina

Reconocer una o más reglas que originan una secuencia dada

Formular una expresión que generalice una secuencia numérica finita

oPerATorIA ALgebrAIcA

reSoLucIón

De

ProbLemAS

Generalización de la operatoria aritmética

Usar símbolos en la generalización de la operatoria

Conocer y aplicar las propiedades de los conjuntos numéricos

Operar y ordenar números racionales

Términos semejantes, uso de paréntesis y

sintaxis

Demostraciones de propiedades relativas a múltiplos, factores

y divisibilidad

Conjeturas y generalizaciones

Usar paréntesis en la reducción de términos y operatoria algebraica

Sumar y restar expresiones algebraicas

unidadestemáticas abordadas

en el material

Contenidos abordados en

el material


el material

conocimiento por nivelar y desarrollar

— 16 —

¿cómo se desarrollan las unidades curriculares establecidas para el tema de Álgebra?

Las tablas siguientes muestran la cobertura curricular que tiene cada uno de los grupos de nivel. Para ello, hemos analizado el currículum nacional chileno y los desafíos que se describen para el desarrollo de cada unidad, con la necesidad de establecer cuáles son, a nuestro juicio, las unidades curriculares que están asociadas al tema Álgebra.

A continuación, se despliegan las unidades curriculares que están asociadas al tema de Álgebra, los Objetivos Fundamentales asociados a cada una de las temáticas a tratar y los contenidos curriculares que deben ser desarrollados en cada una de ellas. En este punto conviven aquellos contenidos que son de la enseñanza básica y los contenidos propios del nivel de enseñanza en el cual se encuentran los estudiantes. Así por ejemplo, podremos ver que la presencia de los contenidos de la enseñanza básica, son aquellos que nosotros como programa Liceo para Todos, entendemos que deben ser nivelados para desarrollar las competencias asociadas al primero medio. Para dar una mayor claridad al docente la última columna de cada esquema muestra el carácter que tiene el conocimiento respecto al aprendizaje a desarrollar en primero medio, es decir, si el conocimiento corresponde a nivelación o internalización del nuevo conocimiento.

exPreSIoneS y ecuAcIoneS

reSoLucIón

De

ProbLemAS

Operaciones inversas

Solución y pertinencia

Comprobar ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Formular problemas simples congruentes a la ecuación planteada.

unidades temáticas abordadas en

el material

Contenidos abordados en

el material


el material

conocimiento por nivelar y desarrollar

Ecuaciones de primer grado con

una incógnita

Modelos (expresión cuantitativa)

Análisis de datos

Usar las propiedades de la igualdad.

Identificar las operaciones inversas de la adición y multiplicación.

Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficiente racional.

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— 1� —

2 Aprendizajes evaluados en el diagnóstico, actividades y tiempo de aplicación

Cada instrumento esta organizado en función de las competencias y niveles de desempeño considerados oportuno evaluar en los alumnos de este tema y nivel de enseñanza. Por lo tanto se hace necesario que el profesor (a) previo a la aplicación de ellos, en particular de Álgebra, revise la Tabla de especificaciones con el objeto de estudiar los diferentes aspectos que cubre el diagnóstico, donde se especifica: el ámbito de las habilidades evaluadas, las competencias, desempeños y los objetivos de medición considerados para cada ítem en particular. El estudio previo de estas especificaciones e instrumento mismo, sin duda, son importantes de manejar para la claridad del proceso de implementación y posterior revisión de la evaluación a la cual se someterá a los estudiantes.

Tabla de especificaciones del Diagnóstico de Álgebra

Habilidad competencia Aprendizaje Descriptor Item nº

conocimiento

Emplear e interpretar contextualizadamente las formas de expresión algebraica.

1. Representar mediante una expresión algebraica diferentes situaciones formuladas en lenguaje natural.

1.1 Traducir a expresión algebraica simple diferentes situaciones formuladas en lenguaje natural.

1 - 23 - 46 - �

2. Relacionar e Interpretar expresiones algebraicas simples en relación a un contexto.

2.1 Interpretar y comunicar el significado de expresiones algebraicas simples.

� - 1011 - 12

3. Reconocer una expresión algebraica como una síntesis de casos particulares que tienen una propiedad en común.

3.1 Reconocer una expresión algebraica como la síntesis de una propiedad común a una serie de casos particulares.

� - �13 - 141� - 16

resolución de problemas

Reconocer que un problema se puede representar, plantear y resolver utilizando expresiones algebraicas.

1. Resolver problemas utilizando expresiones algebraicas.

1.1 Resolver problemas directos simples aplicando, tanto en el procedimiento como en su respuesta, expresiones algebraicas.

1� - 1�1� - 20

— 20 —

Habilidad competencia Aprendizaje Descriptor Item nº


Reconocer que un problema se puede representar, plantear y resolver utilizando expresiones algebraicas.

2. Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento aditivo para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática

2.1 Analizar una fórmula de crecimiento e interpretar su simbología.

21 y 22

3. Resolver problemas de crecimiento o decrecimiento exponencial para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática.

3.1 Resolver problemas de crecimiento exponencial.

23 - 24

estructuración y generalización de conceptos matemáticos

Utilizar conocimientos matemáticos, expresiones algebraicas y un razonamiento ordenado para establecer diferenciaciones progresivas en problemas de diferente contexto.

1. Probar el grado de verdad o falsedad de una expresión algebraica.

1.1 Evaluar y comunicar el grado de verdad o falsedad de una afirmación algebraica.

2�-26-2�

2. Generalizar regularidades a través de lenguaje simbólico en diferentes contextos numéricos.

2.1 Determinar la expresión que generaliza una propiedad del conjunto de los números naturales.

2�- 2�-30

3. Generalizar propiedades del conjunto de los números naturales.

3.1 Reconocer propiedades de la adición a partir de la generalización algebraica.

31 - 32

— 21 —

2.1 evaluación diagnóstica Álgebra 2006

Protocolo de instrucciones para el profesor (a)

El Programa de Nivelación Restitutiva Liceo Para Todos, considera la aplicación de un instrumento de evaluación de disposiciones de aprendizaje en cada temática: Números, Álgebra y Geometría. En su parte fundamental cada uno está destinado a diagnosticar el grado de conocimiento y manejo de aquellos aprendizajes esperados que han debido trabajar los alumnos y alumnas en el segundo ciclo de Educación Básica y que son considerados relevantes para dar inicio al proceso de enseñanza aprendizaje que deberán emprender los estudiantes en primer año medio.

Instrucciones generales para su aplicación

1. La prueba se aplica a todo el 1º año medio. Excepto aquellos casos que informados con anterioridad deban prorrogar la aplicación de la evaluación para una fecha posterior.

2. El tiempo asignado para la aplicación de la prueba es de 4 horas pedagógicas, sin embargo se debe privilegiar el que esta se termine, por lo tanto la decisión final quedará a criterio del profesor.

3. Si un alumno llega tarde a rendir su prueba el profesor tomará la decisión de asignar un tiempo proporcional a su retraso para que este pueda culminarla en el tiempo fijado, de lo contrario, puede administrarla en otro día para todos aquellos casos que fueron debidamente justificados.

4. Observar que la distribución de los alumnos en la sala permita conservar una distancia prudente, que les impida ver la prueba entre ellos y posibilite la mínima distracción posible.

�. Cualquier cálculo o dibujo lo pueden realizar en el espacio asignado para cada pregunta o bien, en caso contrario, entregar una hoja en blanco si alguno de ellos la requiere.

6. El profesor, si lo estima pertinente, puede leer en voz alta aquellas preguntas que por su vocabulario o redacción puedan complicar la comprensión del alumno. La reiterará a un alumno en particular cuando lo estime estrictamente necesario.

�. Si un alumno termina su evaluación antes del tiempo programado podrá salir de la sala o realizar otra actividad previamente acordada con el profesor (a).

— 22 —

2.2 orientaciones para su revisión

La construcción del instrumento fue hecha en función de ítems de respuestas para el desarrollo, este es un punto importante, pues a partir del o los registros de procedimientos hechos por los alumnos estaremos en condiciones de hacernos un panorama general del nivel de trabajo y dominio de contenidos y conceptos que tiene cada alumno. Por ejemplo: es probable que la respuesta final de un alumno en una pregunta no sea la correcta, pero sí su desarrollo da cuenta clara que su procedimiento estaba bien encaminado, que su secuencia de operaciones lo conducían definitivamente a la respuesta acertada, pero tuvo problemas en el cálculo u algoritmo de las operaciones involucradas. Mirado esto como proceso, ciertamente es determinante, ya que estamos en presencia de una situación que desde el punto de vista de la evaluación y aprendizaje, resulta significativa al momento de definir qué se prioriza en el proceso.

Muchos de nuestros alumnos, dan muestra de tener conocimientos en acto que efectivamente tienen relación directa con lo que se les pregunta y que probablemente lo que no manejan es la solución experta o “deseada”, pero su desarrollo y registros dan muestra evidente de que efectivamente tenía muy en claro lo que se le preguntaba y debía resolver. Anteriormente señalamos la importancia para el proceso, del estudio y revisión previa de tablas e instrumento por aplicar, insistimos que en ellos se específica claramente lo que se desea evaluar, este aspecto es también determinante, por ello se insiste tener muy presente los objetivos de medición relacionados con cada ítem, por que efectivamente de estos depende en gran medida la claridad que se debe tener respecto de que es lo que se quiere que el alumno responda y no caer así, en subjetividades que nos disperse efectivamente del objetivo en cuestión. Ello permitirá además, afianzar el grado de objetividad y confiabilidad de la evaluación al momento de la distribución en grupos de nivel, pues la organización de competencias, desempeños e ítems son de complejidad creciente.

— 23 —

Habilidad Aprendizaje ítem nivel I nivel II nivel III

conocimiento


1 Traduce incorrectamente mediante lenguaje natural, numérico y/o algebraico la solución al problema planteado en lenguaje natural.

Traduce correctamente a lenguaje natural, numérico o por combinación de natural y algebraico. Su respuesta establece de forma implícita la longitud de cada lado.

Traduce correctamente a lenguaje algebraico la solución a un problema simple, formulado en lenguaje natural.

Tablas de desempeño, análisis de los resultados y criterios de conformación de los grupos de nivel.

Para la habilidad del conocimiento algebraico, resolución de problemas y estructuración y generalización de conocimientos matemáticos, se formularon tres competencias que permiten describir los indicadores de aprendizajes para este tema curricular:

A continuación se presentarán las tablas que permitirán evaluar cada uno de los ítems que conforman la evaluación diagnóstica del tema Álgebra.

— 24 —


conocimiento


2, 3, 6 y �

Traduce incorrectamente mediante lenguaje natural, numérico y/o algebraico, la operación que da solución al problema simple planteado en lenguaje natural.

Traduce de forma parcial o correctamente a lenguaje natural, numérico o por combinación de lenguaje natural y algebraico, la operación que conduce a la solución de un problema simple.

Traduce correctamente a lenguaje algebraico la operación que conduce a la solución de un problema simple, formulado en lenguaje natural.

4 Representa incorrectamente mediante una expresión algebraica o en lenguaje natural la situación problema planteada

Representa correctamente mediante lenguaje natural la situación problema planteada.

Representa correctamente mediante una expresión algebraica la situación problema planteada en lenguaje natural.

Reconocer una expresión algebraica como una síntesis de casos particulares que tienen una propiedad en común.

� Responde incorrectamente el nombre de la propiedad y la expresión algebraica no corresponde a una síntesis de casos particulares, delimitándose a reescribir los ejemplos dados en el enunciado del problema.

Responde correctamente el nombre de la propiedad ó la expresión algebraica que corresponde a una síntesis de casos particulares que tienen una propiedad común.

Responde correctamente el nombre de la propiedad y la expresión algebraica que corresponde a una síntesis de casos particulares que tienen una propiedad común.

� Responde correctamente una de las tres descomposiciones aditivas a través de la propiedad asociativa.

Responde correctamente dos de las tres descomposiciones aditivas a través de la propiedad asociativa.

Responde correctamente las diferentes descompo-siciones aditivas a través de la propiedad asociativa.

— 2� —


conocimiento

Relacionar e Interpretar expresiones algebraicas simples en relación a un contexto.

� y 10

Relaciona e interpreta incorrectamente el significado de una expresión algebraica con una situación formulada en lenguaje natural.

Relaciona e interpreta parcialmente el significado de una expresión algebraica con una situación formulada en lenguaje natural.

Relaciona e interpreta correctamente el significado de una expresión algebraica con una situación formulada en lenguaje natural.

11 Interpreta la expresión algebraica dando un nombre erróneo de la propiedad, explicando incorrectamente el significado de ésta y reescribiendo lo planteado en el enunciado.

Interpreta correctamente la expresión algebraica dando el nombre de la propiedad ó la explicación del significado de ésta.

Interpreta correctamente la expresión algebraica dando el nombre de la propiedad y la explicación del significado de ésta.

12 Escribe incorrectamente la expresión algebraica simple que relaciona la regularidad de los números impares ó reescribe nuevamente casos particulares del enunciado.

Escribe correctamente en lenguaje natural la regularidad de los números impares.

Escribe correctamente una expresión algebraica simple que relaciona la regularidad de los números impares.


13 Reconoce de forma incorrecta el significado de la expresión que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

Reconoce parcialmente o evoca parcialmente el significado de la expresión algebraica que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

Reconoce correctamente el significado de la expresión algebraica que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

— 26 —


conocimiento


14 Reconoce y formula de forma incorrecta, en cualquier lenguaje, el significado y expresión que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

Reconoce y formula de forma parcialmente correcta o correcta haciendo uso de lenguaje natural o numérico la expresión que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

Reconoce y formula correctamente la expresión algebraica que sintetiza una propiedad en común entre varios casos particulares.

1� Identifica correctamente una de las tres expresiones algebraicas relacionadas con el neutro multiplicativo, la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa en la multiplicación.

Identifica correctamente dos de las tres expresiones algebraicas relacionadas con el neutro multiplicativo, la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa en la multiplicación.

Identifica correctamente la expresión algebraica del neutro multiplicativo, la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa en la multiplicación.

16 No escribe la expresión algebraica 2n como una síntesis de casos particulares de los números pares que tienen una propiedad en común y no explica la propiedad a través del lenguaje natural, reescribiendo casos específicos que aparecen en las tablas.

Escribe a través del lenguaje natural lo que significa la expresión algebraica 2n como una síntesis de casos particulares de los números pares que tienen una propiedad en común.

Escribe la expresión algebraica 2n como una síntesis de casos particulares de los números pares que tienen una propiedad en común.


Resolver problemas utilizan expresiones algebraicas.

1�, 1�, 1� y 20

Resuelve incorrectamente una situación problema haciendo uso de: lenguaje natural, natural y numérico o numérico y algebraico.

Resuelve parcialmente o correctamente una situación problema haciendo uso de: lenguaje natural, natural y numérico o numérico y algebraico.

Resuelve correctamente una situación problema haciendo uso de lenguaje algebraico.

— 2� —


resolución de problemas.

Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento aditivo para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática.

21 y 22

Responde correctamente una de las tres preguntas planteadas analizando la fórmula de crecimiento e interpretando su simbología.

Responde correctamente dos de las tres preguntas planteadas analizando la fórmula de crecimiento e interpretando su simbología.

Responde correctamente las preguntas planteadas analizando la fórmula de crecimiento e interpretando su simbología.

Resolver problemas de crecimiento o decrecimiento exponencial para interpretar y expresar el resultado utilizando simbología matemática.

23 y 24

Resuelve incorrectamente una situación problema de crecimiento exponencial haciendo uso de: lenguaje natural, natural y numérico o numérico y algebraico.

Resuelve parcialmente o correctamente una situación problema de crecimiento exponencial haciendo uso de: lenguaje natural, natural y numérico o numérico y algebraico.

Resuelve correctamente una situación problema de crecimiento exponencial, haciendo uso de lenguaje algebraico.

estructuración y generalización de conceptos matemáticos.

Probar el grado de verdad o falsedad de una expresión algebraica.

2� Prueba correctamente el grado de veracidad de una afirmación simbólica a través de uno de los tres ejemplos pedidos.

Prueba correctamente el grado de veracidad de una afirmación simbólica a través de dos de los tres ejemplos pedidos.

Prueba correctamente el grado de veracidad de una afirmación simbólica a través de tres o más ejemplos.

26 Prueba de forma incorrecta el grado de verdad o falsedad del significado de una expresión algebraica planteada como respuesta en una situación problema.

Prueba de forma parcialmente correcta el grado de verdad o falsedad del significado de una expresión algebraica planteada como respuesta en una situación problema.

Prueba correctamente el grado de verdad o falsedad del significado de una expresión algebraica planteada como respuesta en una situación problema.

— 2� —



Probar el grado de verdad o falsedad de una expresión algebraica.

2� No prueba correctamente el grado de falsedad de dos afirmaciones simbólicas, ya que da ejemplos que no permiten concluir.

Prueba correctamente el grado de falsedad de una afirmación simbólica a través de contraejemplos.

Prueba correctamente el grado de falsedad de dos afirmaciones simbólicas a través de contraejemplos.

Generalizar regularidades a través de lenguaje simbólico en diferentes contextos numéricos.

2� Reconoce y formula de forma incorrecta en cualquier lenguaje, la expresión que generaliza entre varios casos particulares, una regularidad planteada en lenguaje numérico.

Reconoce y formula de forma parcialmente correcta o correcta haciendo uso de: lenguaje natural o numérico la expresión que generaliza, entre varios casos particulares, una regularidad planteada en lenguaje numérico.

Reconoce y formula correctamente la expresión algebraica que permite generalizar, entre varios casos particulares, una regularidad planteada en lenguaje numérico.

2� Responde incorrectamente a través del lenguaje natural y simbólico la regularidad relacionada con el volumen de un cubo, y solo reescribe casos específicos planteados en la tabla.

Responde correctamente a través del lenguaje natural la regularidad relacionada con el volumen de un cubo.

Responde correctamente a través del lenguaje simbólico la regularidad relacionada con el volumen de un cubo.

30 Responde correctamente a través de lenguaje natural o expresiones algebraicas una de las dos regularidades pedidas.

Responde correctamente a través del lenguaje natural ambas regularidades pedidas, ó escribe la expresión algebraica de sólo una regularidad.

Responde correctamente a través de expresiones algebraicas las regularidades pedidas.

— 2� —



Generalizar propiedades del conjunto de los números naturales.

31 Generaliza correctamente a través de lenguaje natural la propiedad del elemento neutro aditivo ó argumenta su respuesta.

Generaliza correctamente a través de una expresión algebraica el elemento neutro aditivo y no argumenta su respuesta, ó viceversa.

Generaliza correctamente a través de una expresión algebraica el elemento neutro aditivo y argumenta su respuesta.

32 Reconoce e identifica incorrectamente la propiedad de la adición generalizada mediante una expresión algebraica.

Reconoce e identifica de forma parcial la propiedad de la adición generalizada mediante una expresión algebraica.

Reconoce e identifica correctamente la propiedad de la adición generalizada mediante una expresión algebraica.

— 30 —

Diagnóstico Álgebra

El diagnóstico elaborado para el tema de Álgebra, contiene 32 problemas o ítems a resolver por parte de los estudiantes, los cuales hacen referencia a las habilidades matemáticas que deben ser desarrolladas en la enseñanza media (Procedimientos estandarizables, Resolución de problemas y Estructuración y generalización de conceptos matemáticos) y por otro lado quiere levantar evidencias de las disposiciones de aprendizaje de los estudiantes con respecto a los contenidos que fundan el conocimiento que debe ser desarrollado en primer año medio.

Siendo este el panorama general, a continuación se presentan algunas claves que permiten al docente distribuir a los estudiantes, de acuerdo a sus disposiciones de aprendizaje, en los diferentes grupos de nivel elaborados para este tema en particular.

El siguiente cuadro (Cuadro Nº 1) debe ser considerado para la distribución y ubicación de los alumnos en grupos de nivel, de acuerdo a los resultados obtenidos en la evaluación diagnóstica. Para ello será necesario la organización y recuento de:

• Resumen de ítems correctos por niveles de desempeño I, II y III.

• Resumen de ítems incorrectos y omitidos.

cuadro nº 1Tema Álgebra

Distribución de resultados para determinar el grupo nivel que desarrollará un alumno, en función de los resultados en el diagnóstico.

Ítems

nivel a desarrollar

Distribución de desempeñosnivel I

Distribución de desempeñosnivel II

Distribución de desempeñosnivel III

Cuadernillo 1Si 15 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si a lo más � respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si a lo más 6 respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Cuadernillo 2


Si 8 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.


Cuadernillo 3


Si a lo más � respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si 6 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

— 31 —

Como podemos observar en este cuadro, los estudiantes que deben trabajar en el grupo Nivel I, demostrarán en su diagnóstico, mayoritariamente, desempeños del Nivel I, lo que implica que sus habilidades matemáticas se encuentran poco desarrolladas; es decir, por ejemplo, en el ámbito de resolución de problemas, tienen grandes dificultades para identificar la incógnita (o variable) que está ‘en juego’ para resolver el problema planteado, por lo tanto tienen dificultades utilizando expresiones algebraicas y/o no son capaces de utilizar el lenguaje natural y algebraico en la resolución de problemas.

Los estudiantes que deben desarrollar el grupo Nivel II, muestran una distribución de sus desempeños que, si bien pueden presentar un mayor porcentaje de desempeños en el Nivel I, tienen disposiciones de aprendizaje aceptables en el ámbito de las habilidades matemáticas; por ejemplo, en resolución de problemas, el estudiante es capaz de discriminar las variables que son necesarias y pueden resolver problemas de crecimiento o decrecimiento aditivo o multiplicativo, para interpretar y expresar resultados utilizando simbología matemática.

A su vez los estudiantes que trabajarán en el grupo nivel III, evidencian disposiciones de aprendizaje adecuadas para enfrentar los saberes que se deben desarrollar en la enseñanza media.

consideraciones importantes:

• En caso de distribuciones similares en dos niveles se favorece el nivel superior, siempre y cuando el porcentaje de incorrectas y/o omitidas sea menor que el porcentaje de correctas en cualquiera de los niveles.

• En caso de distribuciones de porcentajes iguales en los tres niveles, se ubica en el nivel medio, siempre y cuando el porcentaje de incorrectas y/o omitidas sea menor que el porcentaje de correctas en cualquiera de los niveles.

• Si el porcentaje de incorrectas y/o omitidas corresponde a un tercio o más de la prueba el alumno debe realizar el grupo Nivel I.

Los casos siguientes se presentan como ejemplos para la aplicación del cuadro descrito anteriormente:

caso I

% Ítems diagnóstico

caso

Distribución de desempeñosnivel I

Distribución de desempeños nivel II

Distribución de desempeños nivel III

omitidosy/oIncorrectos

CASO IDistribución de desempeños es similar en los distintos niveles (dispersión de resultados tiende a ser equivalente en los tres niveles).

Una distribución menor.

El alumno debe realizar el grupo nivel II.

— 32 —

caso II% Ítems

diagnósticocaso

Distribución de desempeños nivel I




CASO IILa dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente.

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores.


caso III% Ítems

diagnósticocaso





CASO IIILa dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados es menor que la dispersión que en el Nivel I pero mayor a la Nivel III.

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores.

El alumno debe realizar el grupo nivel I.

caso Iv% Ítems

diagnósticocaso





CASO IVDistribución similar al de los niveles 2 y omitidas o incorrectas.

La dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente.


caso v% Ítems

diagnósticocaso





CASO IVLa dispersión de resultados mayoritariamente s encuentran en estos niveles, en forma equivalente.

No presenta distribución en este nivel.

Distribución similar al de los niveles I y II.

El alumno debe realizar el grupo nivel I.

— 33 —

3 Trabajo en grupos de nivel

Al igual que en Números, se trabaja en tres Grupos de Nivel organizados a partir del diagnóstico de Álgebra. A continuación se detallan los contenidos y orientaciones didácticas para cada unidad abordada en este ámbito temático.

3.1 Síntesis de contenidos y definiciones por unidades de trabajo

3.1.1 unidad 1: enunciados, relaciones cuantitativas y Lenguaje algebraico

“El Álgebra, es una rama de la Matemática en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. Al inicio de la historia del álgebra fue importante la participación de los egipcios y babilónicos, los cuales resolvieron las primeras ecuaciones lineales y algunas cuadráticas. El término álgebra viene del título de la obra del matemático árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, a-jebr w’al-muqabalah, que significa transposición y eliminación. El álgebra, la mayoría de las veces da la solución mediante símbolos que representa números; esta representación numérica mediante literales o símbolos, además de operaciones que resumen las operaciones aritméticas son debidas a Évariste Galois, matemático francés que destacó por sus trabajos en la teoría de las ecuaciones”.

A continuación revisaremos algunas definiciones y conceptos básicos que permiten adquirir el lenguaje algebraico y con ello realizar posteriormente las actividades y tareas planteadas en los cuadernillos.

Definimos una expresión algebraica como una combinación de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. (F. Pröschle, Álgebra, Ediciones Ceres). Las expresiones algebraicas establecen relaciones matemáticas y permiten describir situaciones especiales o fenómenos físicos, de manera sucinta y clara. La idea de su uso es simplificar la transmisión de información.

Ejemplo de expresión algebraica:

3xy + 2y – ab

En la expresión algebraica anterior se distinguen los términos: 3xy, 2y y ab, pero a su vez debemos señalar que un término algebraico se compone de los siguientes elementos:

el factor literal, que corresponde a la letra con su exponente. Por ejemplo en el término 10a2 el factor literal es “a2”.

el coeficiente, corresponde al factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando. Según el ejemplo anterior 10a2 el coeficiente es 10, pero el coeficiente puede ser también una letra. En el término ma2 el coeficiente es m. El coeficiente 1 no se escribe ni se lee, según esto en el término ma2 el coeficiente es m.

— 34 —

el signo, que precede al término, que puede ser + o -. El nombre particular de una expresión algebraica depende del número de términos que tenga.

valoración de una expresión. Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por valores numéricos y se ejecutan las operaciones indicadas, el resultado es el valor numérico de la expresión.

el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Para el caso de los valores constantes su grado es 0.

expresión algebraica grado de la expresión

�xy3 Cuarto grado

10a2b3 Quinto grado

2 nm + 4 Segundo grado

� Por ser constante su grado es 0

Las secuencias numéricas finitas también son parte del tratamiento de contenido que los alumnos deben trabajar en los cuadernillos 1, 2 y 3. Una secuencia es una lista de números en un orden específico, por ejemplo: 3, 6, �, 12, 1� forman una secuencia. Por tener un último elemento esta secuencia es finita. Por el contrario, si un conjunto de números que forman una secuencia no tiene último número, entonces se dice que la secuencia es infinita. Por ejemplo: en una secuencia infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la secuencia.

1 3 ,

1 � ,

1 � ,

1 � , ...

Uno de los propósitos en el trabajo de la unidad es que los alumnos puedan construir secuencias finitas de números enteros para luego buscar formas de expresarlas en un término general. En esta tarea será importante que los alumnos y alumnas vayan percibiendo el potencial que tiene el lenguaje algebraico para generalizar.

3.1.2 orientaciones didácticas, según grupo nivel.

Las orientaciones también tienen como propósito que el profesor (a) se familiarice y pueda hacer suya la propuesta desarrollada en los cuadernillos. Recordamos que cuadernillo y manual son materiales complementarios en el tratamiento de los contenidos y conceptos a trabajar en el presente tema.

grupo nivel I y II

La iniciación al lenguaje y razonamiento algebraico se inicia formalmente en NB6, aunque ya señalamos que muchas de las actividades matemáticas realizadas en cursos anteriores contemplan de forma implícita este nuevo conocimiento. Nos hemos propuesto que la organización y cantidad de actividades para este grupo de alumnos sea variada y de contextualización significativa. El trabajo se inicia requiriendo de los estudiantes establecer relaciones de tipo cuantitativo con números positivos y negativos planteados en contextos

— 3� —

que le sean familiares, su propósito es que a partir de ellos puedan ir progresivamente incorporando letras y expresiones algebraicas que sustituyan o reemplacen a estos números con el objetivo de generalizar las operaciones. De esta forma podrán representar e interpretar diferentes expresiones compuestas con factores literales que guardan significado en virtud del contexto y datos del problema. Así, si denominamos como n al valor unitario de un litro de leche, las expresiones: 2n, 3n, 4n, etc. corresponderá al precio a pagar por dos, tres y cuatro litros. Aquí será importante determinar la variabilidad o no variabilidad de uno u otro dato. La identificación y designación de variables (letras) que caractericen las diversas situaciones es el primer paso de la “modelación matemática”, que a continuación traerá consigo el establecimiento de relaciones entre dichas variables.

El propósito entonces está en función de que los alumnos vayan traduciendo diferentes enunciados dados en lenguaje natural a expresiones que impliquen el uso de símbolos matemáticos. Junto con ello o de forma paralela se enfatiza la relación con el nuevo conocimiento, es decir, estas expresiones corresponden a un tipo de lenguaje y razonamiento que permite establecer generalizaciones acordes al nivel. Aparecen así, los conceptos de expresión algebraica, término algebraico, variables y constantes. Los alumnos se ven enfrentados a plantear en este lenguaje situaciones o enunciados que evocan el uso de la operatoria, particularmente: adición, sustracción, multiplicación y división, sin convertirse estas en objeto de solución, sino que fundamentalmente de expresión que representa o traduce un enunciado verbal que las incorpora, por ejemplo: ¿cómo puedo escribir mediante una expresión algebraica el siguiente enunciado: cierto número disminuido en 20? No sólo, será suficiente escribir la expresión sino también analizar el tipo de relación que se establece entre los términos que la forman (X – 20) ¿qué representa la X? ¿qué representa el 20? ¿Cuál de estos términos es variable? ¿y cuál es constante? ¿por qué? son preguntas que deben ser parte del análisis a realizar en clase, pues el objetivo también es generar un razonamiento de tipo algebraico y no caer en el equívoco de que el lenguaje consiste en reemplazar o sustituir números por letras carentes de relación y significado, sin ir más allá de la sustitución que se hace de ellos.

El poder representar mediante este tipo de expresiones a números o categorías de números especiales (números pares, impares, múltiplos, pares e impares consecutivos, etc.) es una tarea importante que debe contar con el apoyo del profesor (a). Los alumnos han estudiado en cursos anteriores estos números y sus propiedades, ahora deberán generalizar estas categorías comprendiendo el sentido y significado de la expresión que representa a cada uno. Aquí, el estudio de regularidades presentadas en tablas es una técnica a trabajar con los alumnos, pero esto no exime al profesor de buscar otros contextos o actividades que ayuden a la generalización de estas categorías. Además, los alumnos y alumnas pueden constatar la validez de estas expresiones reemplazando por valores numéricos a las variables que las componen.

Se sugiere al profesor (a) que en el estudio y tratamiento de las secuencias finitas es importante que la búsqueda de una expresión algebraica que las generalice también involucre que los alumnos se acostumbren a precisar el significado de variables y constantes y de la relación entre ellas. Por cierto que ellas, como se dijo anteriormente, pueden ser validadas asignando valores numéricos a las variables. Es muy probable que la exploración inicial que los alumnos hagan los lleve a practicar el método del ensayo y error, procedimiento muy empleado por los estudiantes, sin perjuicio de esto, se plantea al profesor la necesidad de buscar otros mecanismos de análisis que permitan desarrollar la habilidad de generalización a partir de estrategias y/o métodos más sistemáticos. Por último se recomienda incluir

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otras actividades de contexto significativo, diferentes a los expuestos en los cuadernillos, para incorporar variables que puedan asumir valores: fraccionarios y decimales, positivos y negativos. Considerar, por ejemplo fracciones sólo donde cambia el numerador o el denominador, o ambos. Sin dejar de considerar, la restricción de la variable para que el denominador sea distinto de 0.

Las actividades destinadas a traducir a lenguaje algebraico relaciones cuantitativas que involucran números positivos y negativos también incorporan armar o analizar secuencias de figuras, para que los alumnos (as) analicen y determinen la regularidad que opera en ellas con el propósito de poder generalizarla mediante una expresión algebraica. Las actividades tienen un carácter lúdico; esto puede apoyar el desarrollo de actitudes positivas hacia el aprendizaje de matemática y en los respectivos casos es conveniente que el profesor (a) oriente en la organización de cuadros o tablas de registros de los datos para contar con un apoyo para la generalización. Este tipo de actividad se orienta hacia aprendizajes que suelen ofrecer dificultades a algunos alumnos; será necesario buscar entonces formas de hacerlo más tangible. La propuesta con palos de fósforos u otro material afín se puede extender a otras figuras, como: cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc. En este tipo de actividad es muy importante que los estudiantes comenten las diferentes estrategias utilizadas para resolver el desafío planteado. De este modo se incentiva la reflexión sobre sus propios procedimientos de pensamiento.

grupo nivel III

Hemos señalado la pertinencia de considerar estas orientaciones para todos los niveles, pues ellas no son excluyentes pero sí complementarias y de nivelación. Los alumnos que se ubiquen en un nivel III probablemente estén con más herramientas y conocimientos que les permita avanzar más rápido y por ello, no realizar muchas de las actividades niveladoras. Por lo tanto, se recomienda al profesor (a) complementar el trabajo con algunas de las actividades de los cuadernillos 1 y 2 pero haciendo las variaciones que permitan su profundización y refuerzo en el tema.

A continuación se dan algunos ejemplos de actividades complementarias para realizar en clase con este nivel, ellas debidamente graduadas, también serán aplicables a todo el curso.

1. Para la traducción de enunciados en expresiones algebraicas se pueden plantear desafíos o tareas que contemplen la evaluación de la pertinencia de una solución, por ejemplo: para determinar los tres números consecutivos que retiran: Pedro, Jaime y Alberto de un dispensador ¿es correcto pensar que Pedro retira un número n, Jaime un 2n y Alberto el 3n? ¿Por qué?

observación: con este tipo de actividades llevamos a los alumnos al plano de la discusión y formulación personal de soluciones, las cuales pueden posteriormente ser validadas en forma grupal. Lo importante es la argumentación de sus respuestas y los procedimientos de validación de ellas. Aquí por ejemplo pueden emplear la valoración de expresiones para comprobar su validez. La concepción de aprendizaje que tenga el profesor (a) juego un papel decisivo al momento de cómo aborda el error o los errores cometidos por sus alumnos.

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2. En un texto dice que 2n + 1 representa los números impares. Otro texto dice que es 2n - 1. En cada caso, ¿qué valor toma n para expresar el vigésimo número impar?

observación: según programa aquí interesa observar si los alumnos y alumnas:• Determinan numéricamente cuál es el número impar y si calculan n en cada caso.• Diferencian qué valor toma n para el número 1 y extrapolan para el vigé-simo.• Buscan otra manera de discernir.

3.1.3 unidad 2: resolución de problemas de generalización, operatoria y lenguaje algebraico

A continuación revisaremos algunas definiciones y conceptos básicos de nociones algebraicas que serán utilizadas en el tratamiento de la segunda unidad del cuadernillo de Álgebra.

clasificación de expresiones algebraicas

El nombre particular de una expresión algebraica depende del número de términos que tenga. Entre ellas distinguimos:

Monomio es la expresión algebraica de un solo término. Por ejemplo: �b, a + b 2

Binomio es la expresión algebraica de dos términos. Un binomio puede ser la suma o la diferencia de dos términos. Así: �b + a, x - 4y son ejemplos de binomios.

Polinomio es la expresión algebraica de dos o más términos. Un polinomio de tres términos se llama trinomio. Por ejemplo: �ab - 2b + c

Ordenar un polinomio es disponer sus términos de modo que los exponentes del mismo término aumenten o disminuyan sucesivamente. Por ejemplo, el polinomio:

10x4 - 6x3 y + x2y2 - 3xy3 + y4

Está ordenado según las potencias descendentes de x, y según las potencias ascendentes de y

Signos de agrupación

Recordamos que para calcular el valor numérico de una expresión algebraica sin paréntesis, se efectúan primero las multiplicaciones y divisiones y en seguida las adiciones y sustracciones. Si hay paréntesis, se resuelve primero la expresión entre paréntesis y en seguida como lo indica la primera parte de la regla descrita anteriormente. Para agrupar términos o expresiones algebraicas se utilizan los paréntesis ( ), los corchetes [ ], o las llaves { }; generalmente las expresiones contenidas entre paréntesis se consideran como una sola cantidad. No existe una regla para dar importancia a un tipo de paréntesis con respecto a los otros, sin embargo, es usual utilizar los paréntesis ( ) como los paréntesis para expresiones interiores, después los paréntesis [ ] y finalmente { }.

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Signos de agrupación

Tipos Simbología ejemplo (s)

Redondo

Corchete

Llave

( )

[ ]

{ }

- {2a [ a + b] – c }

casos de eliminación de paréntesis

caso 1cuando el signo (+) antecede el paréntesis no interviene en la operación. + (2n – 4m) = 2n – 4m

caso 2cuando el signo (–) antecede el paréntesis si interviene en la operación. - (x – 2y) = - x + 2y

caso 3Existencia de paréntesis dentro del paréntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera.

Términos semejantes

Se llaman términos semejantes a los que tienen el mismo factor literal. En la siguiente expresión, el factor literal es a2b.

5 a2b - 2 a2b - a2b

Reducir términos semejantes es reunirlos en un solo término, del mismo modo como dos o más números homogéneos se expresan en un solo número. Para facilitar la reducción de términos semejantes con factores literales, conviene tener presente que las letras, como factores de un término, equivalen a la denominación de los números concretos, de manera que el cálculo de la reducción se hace con los coeficientes y se coloca la misma letra en el resultado.

5 a2b - 2 a2b - a2b = 2 a2b

ecuaciones

Un aspecto importante a considerar en el lenguaje algebraico es la distinción entre lo que es una identidad y lo que es una ecuación. Mientras que para una identidad formada por dos expresiones separadas por una igualdad, donde para cada valor de su variable se cumple su igualdad, para las ecuaciones solo se cumplirá la igualdad para ciertos valores de la expresión. Cuando sustituimos en las expresiones algebraicas las letras o símbolos por números, el resultado se llama valor numérico. Una expresión algebraica puede tomar una infinidad de valores numéricos, dependiendo de los valores numéricos que les demos a las letras, por esa razón a las letras que aparecen en las expresiones algebraicas se les llama variables.

— 3� —

3.1.4 orientaciones didácticas, según grupo nivel.

grupo nivel I y II

El trabajo de esta unidad comienza con una serie de actividades donde los alumnos deberán resolver una secuencia de operaciones formuladas en registro numérico y que a continuación los estudiantes deberán reemplazar por expresiones literales. Al sustituir con expresiones literales los números que componen cada operación, los alumnos comienzan el camino a la generalización de operaciones. Se sugiere al profesor (a) poner énfasis en la sistematización de estas actividades puesto que mediarán en la comprensión de las generalizaciones operatorias posteriores, se hace especial mención al proyecto de externalización, donde los alumnos tendrán que llevar a cabo un trabajo que contempla el uso de variables para la creación de fórmulas en diferentes contextos.

En el desarrollo de estas actividades se intenciona el reconocimiento y posterior uso de las propiedades de la adición y multiplicación. Ellas han sido estudiadas en cursos anteriores pero ahora tienen particular importancia por la organización y redistribución que se puede hacer de los términos que componen una operación, con tal de facilitar la operación misma y percibir la relevancia de estas propiedades cuando se tiene en claro su sentido y significado. Además, muchos de los procedimientos empleados por los alumnos en la solución de los diferentes problemas, incorporan estas propiedades. Por ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se puede sumar: 340, 120 y �0? Una pregunta por cierto bastante simple, pero que involucra en su respuesta la aplicación y verificación experimental de las propiedades conmutativa y asociativa de la adición. Aquí el uso de signos de agrupación debe tener un espacio de reflexión respecto de su aplicación ¿qué ventajas tiene el uso de estos? ¿Cómo se resuelve sin signos de agrupación? ¿Y cómo se procede con la existencia de ellos? En función de esto, es bueno recordar y reforzar con los alumnos y alumnas las prioridades de la operatoria: con y sin paréntesis.

Las actividades relativas a la reducción de términos semejantes con y sin paréntesis es tratada con el apoyo de contextos significativos y representaciones geométricas, su objetivo es lograr una mayor comprensión de la resolución y generalización. Por ejemplo las tareas relativas al cálculo de perímetro en rectángulos, de formulación sencilla, involucra distinciones sintácticas entre las expresiones algebraicas: a, b y a + b por plantear algunas junto a la suma de términos semejantes. Para el aprendizaje de matemática, es muy importante que los estudiantes perciban la diferencia entre lo particular y una generalización. Es conveniente recordar nuevamente al profesor (a) que el programa intenciona para el desarrollo e implementación de esta unidad focalizar la atención en el uso de paréntesis para expresar la adición y sustracción de polinomios, considerando variables en primer y segundo grado, es necesario que los estudiantes se habitúen a pasar de una forma de expresión con paréntesis a una sin paréntesis y viceversa. Si se considera necesario, se puede verificar el uso correcto de los paréntesis por medio de la valoración de expresiones.

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En el trabajo con ecuaciones es conveniente tener presente las orientaciones que plantea el programa de educación y que han sido incorporadas en el tratamiento de este tema en los tres cuadernillos. “En cuanto a las ecuaciones, éstas se trabajan en tres sentidos: como modelos que expresan relaciones cuantitativas entre variables, de las cuales una tiene un valor desconocido; como herramienta muy poderosa para resolver problemas en los que los procedimientos de ensayo y error, por ejemplo, son insuficientes, engorrosos, largos, inciertos. En este sentido, se ha procurado no usar las ecuaciones en situaciones en que evidentemente existen otros procedimientos muy directos para resolverlas o en que las soluciones son obvias. el tercer aspecto tiene relación con el modo de resolver las ecuaciones. El énfasis está puesto en la “resolución razonada”, basada en propiedades de las operaciones más que en la aplicación mecánica de reglas sin que sean visibles las razones de ellas. De este modo, se puede decir que el énfasis del trabajo referido a ecuaciones está puesto en: plantear, construir una ecuación adecuada a un problema; resolver la ecuación (encontrar el valor de la incógnita); e interpretar ese resultado transformándolo y/o expresándolo como una solución adecuada y pertinente al problema.

grupo nivel III

El profesor (a) debe considerar las orientaciones expuestas anteriormente pero de él o ella depende la variación y profundización de cada temática. Del mismo modo puede utilizar otros contextos que efectivamente sitúen a los alumnos en el tratamiento y resolución de problemas donde la matemática se hace presente de forma evidente. El énfasis para los alumnos del nivel III se puede hacer en la búsqueda de soluciones a problemas que impliquen el uso de ecuaciones de primer grado. Los alumnos pueden resolver diferentes problemas aritméticamente, aunque muchos utilizan el método de ensayo y error. Pero lo importante es que los estudiantes se habitúen al planteo y resolución de expresiones (ecuaciones) que les permitan establecer en primer lugar qué designa la incógnita. La intención es perfilar la ecuación como una herramienta que permite sintetizar las relaciones entre los datos del problema. Además, organiza los cálculos necesarios para determinar el valor de la incógnita. A veces los estudiantes suponen que resuelta la ecuación está resuelto el problema. Es necesario que se habitúen además a explicar la respuesta al problema.

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4 Proyecto de externalización

El proyecto en sí está definido y elaborado en función de las orientaciones didácticas contempladas en la segunda unidad curricular del programa de estudio de primer año medio. El objetivo Fundamental Vertical (OFV) contemplado para tal propósito es el siguiente:

• Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio del lenguaje algebraico inicial.

contenido (s):• Sentido, notación y uso de las letras en el lenguaje algebraico.• Generalización de la operatoria aritmética, a través del uso de símbolos.• Convención de uso de paréntesis.

Aprendizaje esperado• Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como

incógnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita.

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Proyecto de externalización: Álgebra

Introducción

A continuación te invitamos a diseñar fórmulas que permitan calcular diferentes precios de objetos o alimentos según el tipo de proyecto que ustedes escojan. Dentro de los proyectos posibles de seleccionar se presentan los siguientes: Diseñan una fórmula que permita cobrar los diferentes precios de un local de comida, diseñar una fórmula que permita cobrar los atrasos de los libros en una biblioteca o diseñar una fórmula que permita cobrar la utilización de los PC en un Cibercafé.

Trabajo en equipo: Reúnete con tres compañeros y decidan cuál de los tres proyectos realizarán. Luego de haber tomado la decisión, es importante que como grupo expliquen los motivos de por qué han escogido llevar a cabo este proyecto.

Ahora escriban el nombre del proyecto, a qué problemática responde y cuál es el objetivo general del proyecto. Es importante que el nombre sea innovador y creativo.

nombre del proyecto

Problemática a la que responde el proyecto

objetivo general del proyecto

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Indicaciones al docente

Ayuda diferenciada

El presente proyecto tiene como finalidad que el estudiante conozca y actué en su realidad a partir de los conocimientos algebraicos aprendidos. Por otra parte, es importante tener claridad que los estudiantes deberán relacionar conocimientos del tema números y del tema álgebra, lo cual se presenta como una oportunidad de explicitar la relación implícita entre los diferentes conocimientos matemáticos, los cuales permiten comprender y mejorar el mundo en que vivimos.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para lo cual se deben tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel y el proyecto seleccionado.

nivel I, II y III: La primera orientación es que los estudiantes identifiquen y describan los diferentes elementos y variables que conforman a cualquier tipo de fórmula. Es importante que los estudiantes hagan un listado con los diferentes datos que deberían ser incluidos en los diferentes proyectos.

Proyecto “atrasos de los libros de una biblioteca”.

• Establecer si el libro se presta por 3, � ó 14 días.

• Establecer el cargo fijo por estar atrasado con la entrega de un libro.

• Establecer el monto a pagar si el libro correspondía a un préstamo por 3 días.

• Establecer el monto a pagar si el libro correspondía a un préstamo por � días.

• Establecer el monto a pagar si el libro correspondía a un préstamo por 14 días.

• Se pueden establecer otro tipo de datos si el grupo lo estima conveniente.

Proyecto “precios de un local de comida”

• Establecer los tipos de entrada a ofrecer por el local de comida.

• Establecer los tipos de platos a ofrecer por el local de comida.

• Establecer los diferentes tipos de bebidas a ofrecer por el local de comida.

• Establecer los precios para cada una de las entradas: según costos de los ingredientes, agregando el costo de mano de obra y las ganancias a obtener.

• Establecer los precios para cada uno de los platos: según costos de los ingredientes, agregando el costo de mano de obra y las ganancias a obtener.

• Establecer los precios de las bebidas: según costos de compra, costos de refrigeración y agregando las ganancias a obtener.

• Se pueden establecer otro tipo de datos si el grupo lo estima conveniente: Por ejemplo el establecer combos de comida.

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Proyecto “utilización de Pc en un cibercafé”

• Establecer los gastos de luz aproximados según la cantidad de PC: esta información es vital para establecer el precio por minuto o por hora según lo estime conveniente el grupo.

• Establecer con la información anterior el precio por minuto o por hora.

• Establecer el precio de una impresión en color negro.

• Establecer el precio de una impresión en colores.

• Establecer el precio de una impresión que tenga texto e imágenes, es decir, es una im-presión en colores y en negro.

• Establecer el precio de imprimir una fotografía.

• Establecer el precio de escanear una hoja de documento.

• Establecer el precio de escanear una imagen.

• Se puede establecer otro tipo de datos si el grupo lo estima conveniente: Por ejemplo la venta de dulces, bebidas, entre otros.

Luego de haber establecido los datos más importantes para cada proyecto, otra orientación

es que los estudiantes identifiquen y describan las relaciones conceptuales explícitas e implícitas existentes en la fórmula que se construirá según el proyecto escogido. En segundo lugar es importante que los estudiantes construyan con la ayuda del profesor un organizador gráfico que indique las relaciones y pasos a seguir en la construcción de la fórmula.

Ahora deberás anotar los datos y variables más importantes a considerar en el proyecto que han escogido. Pide ayuda a tu profesor cuando lo estimen conveniente.

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Ayuda diferenciada

Esta sección tiene como finalidad complementar el desarrollo del proyecto con el establecimiento de las variables. Se propone orientar a los estudiantes a “crear” siglas precisas y claras, las cuales les permitirán abordar con mayor facilidad la construcción de este proyecto.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para lo cual se deben tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel y el proyecto seleccionado.

nivel I, II y III: La primera orientación es que los estudiantes creen una sigla para cada una de las diferentes variables que conforman la fórmula a construir según el proyecto seleccionado Es importante que los estudiantes tengan una mediación como la que se muestra en la página siguiente.

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ejemplo proyecto “biblioteca”

Una variable a considerar es si el libro se presta por 3, � ó 14 días. El resumen de esta variable podría ser:

P3: Préstamo por 3 días. P5: Préstamo por � días. P14: Préstamo por 14 días.

ejemplo proyecto “cibercafé”

Una variable a considerar es el precio de las impresiones. El resumen de esta variable podría ser:

PIn: Precio impresión en color negro. PIc: Precio impresión en colores.

PIF: Precio impresión fotografía.

Ahora deberán resumir las descripciones de las variables realizadas anteriormente. Un ejemplo de ello se dará a continuación según cada proyecto.

ejemplo proyecto “local de comida”

Una variable a considerar es el precio de las bebidas que pueden consumir los clientes del local de comida. El resumen de esta variable podría ser:

Pbch: Precio de una bebida chica. Pbm: Precio de una bebida mediana.

Pbg: Precio de una bebida grande. Pc: Precio de una cerveza.

Los grupos que han escogido los otros proyectos, deben tomar esta información como un

apoyo para la realización del proyecto.

Anotar Variable 1:

Resumen de la variable 1.

— 4� —

Anotar variable 2:


Anotar Variable 3:


Anotar variable 4:


Anotar variable �:

Resumen de la variable �.

Anotar Variable 6:


— 4� —


Resumen de la variable �.


Resumen variable �.


Ayuda diferenciada

Esta sección tiene como finalidad complementar el desarrollo del proyecto con la construcción de la fórmula para casos particulares y su análisis correspondiente. Se propone orientar a los estudiantes a realizar los análisis en función de diferentes problemas como se ejemplificarán a continuación.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para lo cual se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel y el proyecto seleccionado.

nivel I: La orientación a proponer es que los estudiantes deben establecer la relación entre precio y cantidad, es decir, deben tener presente que una persona puede consumir 2 bebidas o estar atrasado con el préstamo de 4 libros por � días.

Ejemplo: “una persona consume 2 bebidas medianas”.

cbm: Cantidad de bebidas medianas y Pbm: Precio bebida mediana.

Entonces, la variable nueva es la siguiente:

cbm • Pbm: Precio por la cantidad de bebidas medianas consumidas.

Aquí es importante cuestionar a los estudiantes con la siguiente pregunta: ¿Por qué no se utilizó el signo de la adición?

— 4� —

Otro punto importante de señalar es que después de establecer estas variables, el estudiante debe fijar el precio para ir construyendo fórmulas de situaciones específicas. Ejemplo: si el precio de una bebida mediana es de $�00, la fórmula a construir es cbm • 500

nivel II: La orientación a proponer es que los estudiantes establezcan la misma relación planteada anteriormente, pero que además establezcan relaciones entre diferentes variables y cantidades, es decir, tomando como referente una situación en que una persona imprime una hoja en color negro y 2 hojas en colores.

Ejemplo: “una persona imprime 3 hojas en colores y ocupa media hora Internet”.

cmI: Cantidad de minutos ocupados en Internet. PmI: Precio por minuto de Internet.

cIc: Cantidad de impresiones colores. PIc: Precio impresión en colores.

cmI PmI cIc PIc

Aquí es importante cuestionar a los estudiantes con la siguiente pregunta: ¿Qué signos de operaciones aritméticas deben ir en las líneas? ¿Se deben utilizar paréntesis? ¿En qué lugar de esta fórmula? ¿Por qué?

Otro punto importante de señalar es que después de establecer estas variables, el estudiante debe fijar el precio para ir construyendo fórmulas de situaciones específicas. Ejemplo: si el precio de una impresión a color es $400 y el minuto de Internet es $3, la fórmula a construir es cmI • $3 + cIc • $400

nivel III: La orientación a proponer es que los estudiantes establezcan la misma relación planteada en el Nivel I, pero que además establezcan relaciones entre diferentes variables y cantidades, es decir, tomando como referente una situación en que una persona realiza por los menos tres actividades distintas.

Ejemplo: “Una familia de � personas comen un plato de entrada, un plato de fondo y cada integrante de la familia consume dos bebidas pequeñas”

cbch: Cantidad de bebidas chicas y Pbch: Precio bebida chica cPe: Cantidad de platos de entrada y PPe: Precio palto de entrada cPF: Cantidad de patos de fondo y PPF: Precio platos de fondo

Entonces, la variable nueva es la siguiente:

cbch Pbch cPe PPe cPF PPF

Aquí es importante cuestionar a los estudiantes con la siguiente pregunta: ¿Por qué no se utilizó el signo de la adición? Además se les puede preguntar ¿Todos comieron el mismo plato de fondo? Cuál será el supuesto o condición que debiera existir para que no tengamos problemas con la fórmula si las personas comen distintos platos de fondo.

— �0 —

Otro punto importante de señalar es que después de establecer estas variables, el estudiante debe fijar el precio para ir construyendo fórmulas de situaciones específicas. Ejemplo:

cbch • $250 + cPe • $700 + cPF • $1500

es hora de trabajar construyendo fórmulas para diferentes situaciones: A continuación construiremos la fórmula para diferentes situaciones que se pueden dar

según el proyecto que han escogido, posteriormente analizarán los diferentes casos con su profesor.

Las cuatro situaciones a analizar serán dadas por el profesor. Sigue atentamente las orientaciones que tu profesor dará para esta sección del proyecto.

Situación 1:

Fórmula para la situación 1.

Conclusión:

Situación 2:

— �1 —


Conclusión:

Situación 3:


Conclusión:

— �2 —

Situación 4:


Conclusión:


Ayuda diferenciada

Esta sección tiene como finalidad complementar el desarrollo del proyecto con la construcción de la fórmula para la mayor cantidad de casos posibles. Se propone orientar a los estudiantes a realizar los análisis en función de regularidades que se puedan establecer en cada proyecto.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para lo cual se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel y el proyecto seleccionado.

nivel I: La orientación a proponer es que los estudiantes deben establecer y crear una fórmula para la mayor cantidad de casos posibles. Lo anterior implica explicitar las condiciones en las que se trabajará, es decir, cuales son los supuestos que nos guiarán a construir la fórmula.

Ejemplo: “Suponer que todos los platos de entrada costaran lo mismo, al igual que los platos de fondo”.

nivel II: La orientación a proponer es que los estudiantes deben establecer y crear una fórmula para la mayor cantidad de casos posibles. Lo anterior implica explicitar las condiciones en las que se trabajará, es decir, cuales son los supuestos que nos guiarán a construir la fórmula. La diferencia con el nivel anterior es que aquí se les pedirá a los estudiantes tener por lo menos dos precios distintos de impresión en colores.

— �3 —

Ejemplo: “Suponer que un Cibercafé el precio por impresión en colores depende si es en alta calidad y mediana calidad.

nivel III: La orientación a proponer es que los estudiantes deben establecer y crear una fórmula para la mayor cantidad de casos posibles. Lo anterior implica explicitar las condiciones en las que se trabajará, es decir, cuales son los supuestos que nos guiarán a construir la fórmula. La diferencia con el nivel anterior es que aquí se les pedirá a los estudiantes tener por lo menos tres precios distintos de multa en la biblioteca.

Ejemplo: “Suponer que la multa de los préstamos dependerá de la cantidad de días de atraso, es decir, un precio hasta tres días de atraso, otro precio hasta una semana de atraso y un tercer precio para cuando el atraso sea mayor a una semana”.

es hora de construir la fórmula en que las variables presentan diferentes posibilidades de análisis: En esta sección del proyecto tu profesor pedirá estudiar cuatro situaciones en que las variables presentan diferentes posibilidades de precio de comida, diferentes multas para los atrasos de libros o diferentes precios según la calidad de la impresión.

Situación 1:


Conclusión:

— �4 —

Situación 2:


Conclusión:

Situación 3:


Conclusión:

— �� —

Situación 4:


Conclusión:

es hora de plantear una situación y construir una fórmula que represente la mayor cantidad de casos posibles: En esta última sección del proyecto, les pediremos que ustedes propongan una situación real (según el contexto del proyecto escogido por ustedes) y construyan la fórmula que permite modelar matemáticamente tal situación.

Situación según contexto del proyecto:

— �6 —

Datos, variables y fórmula.

Conclusiones:

— �� —

5 Anexos

Tabla de registro para el estado de avance de los alumnos del curso

La siguiente tabla debe ser trabajada durante el desarrollo de los cuadernillos de cada grupo nivel. La relación: unidades, contenidos y alumnos está en función de la organización de contenidos de nivelación e internalización del nuevo conocimiento, descrita al inicio de este Manual.

enunciados, relaciones cuantitativas y lenguaje algebraico

resolución de problemas de generalización, operatoria y lenguaje algebraico

contenidosc1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7

Alumnos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Ci = Conocimiento abordado en el material. Descriptores de evaluación:

L: el tratamiento y rendimiento alcanzado por el alumno en este contenido permite determinar el logro del aprendizaje implícito.

ML: el tratamiento y rendimiento alcanzado por el alumno está en vías de ser alcanzado. Requiere de quiere más tiempo y apoyo.

NL: el tratamiento y rendimiento del alumno es deficiente. Requiere de un mayor seguimiento, actividades de refuerzo y sistematización de su trabajo.

— �� —

evaluación grupal: Completan la siguiente tabla indicando las mayores fortalezas del trabajo personal y en equipo.

evaluación personal

Fortalezas Dificultades

— �� —

evaluación grupal

Fortalezas Dificultades

— 60 —

bibliografía

Gobierno de Chile, Ministerio de Educación. Programas de Estudio de Matemática: NB�, NB6, NM1.

O. Tapia, M. Ormazábal, J. Olivares y D. López, Manual de preparación matemática,Ediciones Universidad Católica de Chile.

A. Wesley y otros, Matemática Intermedia, Editorial Menlo Park.

F. W. Pröschle, Álgebra, Ediciones Ceres.

J. D. Rodino, V. Font, Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros, U. de Granada.

R. E. De las Heras y otros, Álgebra y geometría I Medio, Editorial Santillana.

E. Diez L y M. Román, Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas, Editorial Andrés Bello.

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