NM3

MAGNITUDES VECTORIALES

OBJETIVOS

1) Reconocer la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento.

2) Realizar operaciones simples con vectores.

3) Aplicar elementos de Algebra Vectorial y de Trigonometría en la resolución de problemas sobre ciertas magnitudes vectoriales: Desplazamiento, Velocidad, Fuerza; etc.

Kg

UNIDADES DE MEDIDA

(S.I.)

UNIDAD: MAGNITUDES DERIVADAS

• RAPIDEZ

•VELOCIDAD

• FUERZA

• TORQUE

• CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• ACELERACIÓN

• POTENCIA

• ENERGIA

UNIDAD: MAGNITUDES VECTORIALES

MAGNITUDES FÍSICAS QUE PARA SER EXPLICITADAS REQUIEREN DE 3 DATOS:

MÓDULO

DIRECCIÓN

SENTIDO

ALGUNAS MAGNITUDES VECTORIALES

• VELOCIDAD

• FUERZA

• TORQUE

• CANTIDAD DE MOVIMIENTO

• ACELERACIÓN

• MOMENTO ANGULAR

• CAMPO ELÉCTRICO

• CAMPO MAGNÉTICO

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL

VECTOR = TRAZO DIRIGIDO

E (EXTREMO)

horizontal

O(ORIGEN)

OE: MÓDULO

E: SENTIDO

: DIRECCIÓN

u

Dados dos vectores, ellos pueden diferenciarse en:

tamaño: dirección: o sentido:(módulo)

COMPARACIÓN ENTRE VECTORES

EJERCICIO DADOS:

RESPONDER:

SUMA DE VECTORES

A) MÉTODOS GEOMÉTRICOS

B) MÉTODO ANALÍTICO

POLÍGONO

PARALELÓGRAMO

Al negativo de un vector se le llama VECTOR OPUESTO

SUMA POR MÉTODO DEL POLÍGONO

SUMA POR MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO

X + Y + Z = R

X + Y

RPASOS A SEGUIR:

1) Unir los vectores en un origen común

2) Tomar dos de ellos y trazándoles sus respectivas paralelas formando el primer paralelógramo.

3) Trazar el vector resultante en la diagonal del paralelógamo a partir del origen común de los vectores.

4) A este vector resultante se le suma el tercer vector de la misma forma… y así hasta considerar el último vector sumando

PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL

RESTA DE VECTORES

PONDERACIÓN DE VECTORES

EJERCICIO DADOS:

a)

b)

c)

EJERCICIO DADOS:

a)

b)

c)

A B

C

E

D F

G

H

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR

ĵ

ĵ

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR

ĵ

ĵ

Si: ux=3 y uy=4

el vector u se puede escribir:

u = 3î + 4ĵ

MEDICIÓN DE ÁNGULOS: GRADO SEXAGESIMAL

I cuad II cuad

III cuad IV cuad

ÁNGULOS +

ÁNGULOS -

EL RADIÁN: MEDIDA DE ÁNGULOS

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio.

Se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia: SE MULTIPLICA EL RADIO POR EL ÁNGULO EN RADIANES.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]

Como el perímetro de una circunferencia de radio r =1 es:

2 r = 2 , entonces el ángulo de una circunferencia

completa, medido en radianes es 2 .

Entonces: 360º = 2 (rad)

Luego: 1 radian = 57,29º

EQUIVALENCIAS ENTRE RADIÁN Y GRADOS

360º = 2 radianes

180° = radianes

90º = /2 radianes

60º = /3 radianes

45º = /4 radianes

30º = /6 radianes

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Seno (sen)

Coseno (cos)

Tangente (tg ó tan)

Cotangente (ctg ó cotan)

Secante (sec)

Cosecante (cosec ó csc)

SIEMPRE EL ARGUMENTO DE LA FUNCIÓN ES UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES)

DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sen = cateto opuesto/hipotenusa

cos = cateto adyacente/hipotenusa

tg = cateto opuesto / cateto adyacente

ESTAS DEFINICIONES SON VÁLIDAS SOLAMENTE PARA ÁNGULOS AGUDOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sen = cateto opuesto/hipotenusa

cos = cateto adyacente/hipotenusa

tg = cateto opuesto / cateto adyacente

B

A b C

ca

sen = a / c

cos = b / c

tg = a / b

Entonces: tg = ?

ALGUNOS VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

ángulo sen cos

0º 0 1

30º 1/2 ( 3)/2

45º (  2)/2 (2)/2

60º (3)/2 1/2

90º 1 0

DETERMINAR:

Valores de la función tangente para los mismos ángulos

LÍNEAS TRIGONOMETRICAS

Entonces; ¿Cuál será el valor máximo de:

sen = ? cos = ? tg

= ?

Angulos 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°(grados)Angulos

2    /6  /4  /3  /2    3  /2(radianes)

sen 0 1/2       1 0 -1

cos 1       1/2 0 -1 0

tg 0    1        0    

ctg        1    0     0

sec 1        2     -1    

cosec    2        1     -1

VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS PRINCIPALES

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

PARA DETERMINAR LAS COMPONENTES RECTANGULARES DEL VECTOR V DE LA FIGURA :

V

SE TRAZA LA PROYECCIÓN DE V EN CADA EJE COORDENADO OBTENIENDO LAS COMPONENTES RECTANGULARES DE V:

Vx y Vy

y

x

V

Vx

Vy

¿QUÉ REPRESENTA

?

SE LE ASOCIA UN SISTEMA DE COORDENADAS X-Y DE MODO QUE SU ORIGEN COINCIDA CON EL ORIGEN DE V.

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

SI CONOCEMOS PODEMOS DETERMINAR LOS VALORES DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES:

SI APLICAMOS PROPIEDADES DE LOS VECTORES PODEMOS TRASLADAR VY DE MODO DE FORMAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. COMO:

y

x

V

Vx

Vy

Sen = Vy / V Vy = V Sen

Cos = Vx / V Vx = V Cos

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

DE ESTA MANERA EL VECTOR V SE PUEDE ESCRIBIR EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES COMO:

V = ( Vx , VY )

A PARTIR DE LOS VALORES ANTERIORES, SE DETERMINA LA

DIRECCIÓN APLICANDO LA FUNCIÓN tg:

tg = VY/Vx = arc tg (VY/Vx)

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

A CADA EJE COORDENADO SE LE PUEDE ASOCIAR UN VECTOR UNITARIO (VECTOR QUE

TIENE POR MÓDULO LA UNIDAD, ES DECIR, 1 Y QUE SIRVE PARA INDICAR LA DIRECCIÓN):

- AL EJE X : î - AL EJE Y : ĵ

V = 3î + 4ĵ

ENTONCES SI: V = ( 3 ,4 ); SE PUEDE ESCRIBIR:

PROBLEMA

SOBRE UN CUERPO ACTÚAN SIMULTÁNEAMENTE LAS SIGUIENTES FUERZAS MEDIDAS EN (N):

F1 = 4î + 2 ĵ

F2 = 2î - 3 ĵ

F3 = 0î + 5ĵ

F4 = -3î + 0ĵ

¿CUÁL ES LA INTENSIDAD Y LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA NETA O RESULTANTE FR?

INTENSIDAD: FR= 5(N)

FR= 3î + 4ĵ

DIRECCIÓN: = 53,13°

PRODUCTOS ENTRE VECTORES

PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO VECTORIAL

EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN ESCALAR

EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN NUEVO VECTOR

PRODUCTO ESCALAR ( O PUNTO)

EL PRODUCTO A • B EQUIVALE AL PRODUCTO ENTRE EL MÓDULO DE A Y EL MÓDULO DE LA PROYECCIÓN DE B SOBRE A (B COS )

B

A

B COS

POR LO TANTO:

A • B = AB COS

PRODUCTO ESCALAR: EJEMPLO

TRABAJO MECÁNICO:

W = F • d

W = Fd cos

PRODUCTO VECTORIAL ( O CRUZ )

EL PRODUCTO C X D= F; DONDE F ES UN VECTOR PERPENDICULAR AL PLANO DETERMINADO POR LOS DOS VECTORES Y CUYO SENTIDO SE DETERMINA POR LA “REGLA DEL TIRABUZÓN”

C

D

C X D ≠ D X C

EL MÓDULO DE F ESTÁ DADO POR EL ÁREA DEL PARALELÓGRAMO FORMADO POR LOS DOS VECTORES = PRODUCTO DE SUS LADOS POR EL SEN DEL ÁNGULO QUE FORMAN

F = CD sen

PRODUCTO VECTORIAL: EJEMPLO

TORQUE ( ):

= r X F

= r F sen