Números Combinatorios y Teorema del Binomio

Se presentan una serie de ejercicios resueltos paso a paso, referentes a números combinatorios y su aplicación en el desarrollo de binomios (Teorema del Binomio). Además, de proponer la teoría necesaria para encarar cada uno de los problemas resueltos y propuestos.

Objetivo del Aprendizaje: Condicionar al estudiante para poder determinar cada término de un desarrollo binomial, utilizando las fórmulas que describen este proceso y los elementos operacionales necesarios.

Definición (Factorial) El factorial de un número natural, se define como el producto de dicho número con todos los naturales anteriores a él, donde por convención . Entonces, inductivamente podemos establecer que para * +, se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( )

Ejemplo Calcule el factorial de , y

Sabemos por la definición anterior que: , pero por otra parte, podemos “detener” el factorial donde sea conveniente para simplificar cuentas, veamos:

⏟ ⏟

Por tanto, podrían existir distintas maneras de expresar un mismo factorial y esto dependería de las necesidades de operación requeridas en el proceso. A saber,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Definición (Número Combinatorio) El número combinatorio o coeficiente binomial, es un valor numérico que indica la cantidad de combinaciones ordinarias (sin repetición), de un conjunto de elementos en grupos. Si * + , tales que . En símbolos, podemos definirlo como sigue:

. /

( ) (1)

Esta expresión se lee: Combinatorio de en o bien, simplemente sobre . También es usual denotar al coeficiente binomial como

. Si , la expresión en (1) es cero.

Ejemplos En base a la definición anterior tenemos que:

) . /

( )

) . /

( )

) . /

( ) ( )

( )

) . /

( )

Además, de la misma definición: . / .

Las propiedades de los ejemplos ( ), ( ) y ( ), resulta importante recordarlas para los desarrollos de binomios que veremos más adelante.

▪ Propiedades de los números combinatorios: Enunciaremos algunas de las propiedades más importantes de los números combinatorios, esto con el fin de justificar el amplio uso de ellos en distintas ramas del saber:

1. . / .

/ 2. . /

( ). /

3. .

/

. / 4. .

/

. /

5. . / .

/ .

/ 6. . / .

/

Podemos demostrar estas propiedades, simplemente haciendo uso de la definición de número combinatorio. Como ejemplos, demostraremos las tres primeras y las propiedades (4) , (5) y (6), quedan como ejercicio para el lector. Veamos:

1.

.

/

( , -) , -

( ) , -

, - .

/

2.

. /

( )

( )

( )

( ) ( )

( ). /

3.

.

/ ( )

( ( )) ( )

( )

( ) ( )

. /

Ejemplo

Demuestre que: .

/ .

/ .

/ .

/

Partiendo del lado izquierdo, tenemos que:

.

/ .

/ .

/ 0.

/ .

/1 0.

/ .

/1

0. /1 0.

/1 .

/

La aplicación buscada de este tipo de herramientas, al menos por ahora, radica en el desarrollo de potencias de binomios de la forma ( ) , donde para grande el problema fundamental es determinar los coeficientes que acompañan a cada uno de los términos. Es bien sabido, que el caso , , e inclusive , han sido desarrollados en múltiples oportunidades, siguiendo las directrices de los productos notables para los dos últimos o bien, las propiedades de potencias en el caso de los dos primeros. Una herramienta importante para obtener estos resultados es justamente el Triángulo de Pascal

Ahora, podemos escribir el mismo arreglo pero con números combinatorios, lo cual resulta muy sencillo de verificar considerando la definición y las propiedades anteriores. A saber,

Teorema (Teorema del Binomio) Sea y , entonces:

( ) ∑. / ( )

donde el ésimo término, es justamente:

. / ( )

Problema Resuelto

Desarrolle el binomio: ( )

Solución.

En principio, es claro que podríamos desarrollar esto simplemente haciendo uso de la fórmula del cubo notable, es decir, de la fórmula:

( )

Entonces, considerando y obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ahora bien, si usamos el Teorema del Binomio obtenemos que:

( ) ∑. / ( ) ( )

. / ( ) ( ) .

/ ( ) ( ) .

/ ( ) ( ) .

/ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Problema Resuelto

Determine el quinto término y el coeficiente del término central en el desarrollo de: .

/

Solución.

Como información relevante para este problema, está el hecho de saber que este desarrollo tiene 15 términos y por tanto, existe sólo un término central. Ahora bien, identificando los términos que

intervienen en el desarrollo, obtenemos que: , , y

y usando la

fórmula presentada en (3), tenemos que:

. / (

)

( )

Como este desarrollo tiene 15 términos, el término central es el octavo ( ) y por tanto, para obtener el coeficiente del término central procedemos a calcular el número combinatorio de 14 sobre 7:

.

/

( )

Ahora bien, no es suficiente con esto en términos de que el factor

, también genera un

coeficiente al ser elevado a la séptima potencia. Por consiguiente, a este factor obtenido debemos

multiplicarlo por .

/

. Finalmente, el coeficiente buscado es:

(

)

Problema Resuelto

¿Cuál debe ser el valor de , para que el valor del coeficiente numérico del cuarto término del

binomio .

/

sea igual a ?

Solución.

En primer lugar, procedamos a identificar términos en el desarrollo:

Entonces,

. / ( ) (

)

( )

Debemos entonces, determinar el valor de , para el cual se verifica que: o bien,

√

√

Problema Resuelto

Determine los posibles valores de sabiendo que el desarrollo del binomio .

/

el

coeficiente del término es justamente

.

Solución.

Nuevamente identificamos términos en el desarrollo del binomio, es decir,

Escribiendo el binomio usando la relación dada en (2), obtenemos.

.

/

∑. / .

/

( ) ∑ . /.

/

( )

Entonces, para obtener en el término el factor , es necesario que . Por tanto, podemos establecer que el coeficiente numérico de este término está dado por:

. / (

)

( )

( )

Luego,

√

Problema Resuelto

Determine el coeficiente binomial que acompaña a , en el desarrollo de: ( )

Solución.

Para poder usar la fórmula del binomio presentada en (2), resulta necesario tener binomios y la expresión que queremos trabajar no está descrita de dicha forma, entonces:

( ) ( ( )) (( )( ))

( ) ( )

De esta manera, si usamos la fórmula presentada en (2), para cada uno de los términos, obtenemos:

( ) ( ) [∑. /

] [∑. / (

)

] [∑. /

] [∑ . /

] ( )

Ya que en ambos casos .

La expresión en (4), representa un producto independiente de sumas y por tanto, podemos afirmar que:

( ) ( ) ∑∑. /. /

∑∑. /. /

( )

Como queremos encontrar el coeficiente del término cúbico del desarrollo, tenemos que debe verificarse que: , de donde nos quedan dos posibilidades:

0 3

1 1

Considerando estos valores que pueden tomar y tenemos que el coeficiente del término cúbico del desarrollo, está dado por:

.

/. / .

/ . /

( )

O bien, siempre que nos queda:

( )( )( )

( )

( )( )

ING-ALGI/Teorema del Binomio/APT/2019