Unidad 2

Números reales Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• Aplicará el concepto de número natural y sus propiedades.

• Aplicará el concepto de número entero y sus propiedades.

• Aplicará el concepto de número racional y sus propiedades.

• Aplicará el concepto de número real y sus propiedades.

números reales

43

Introducción

Contar es establecer una relación uno a uno entre dos conjuntos; el conjunto

cuya cantidad de elementos se indaga, y el conjunto de símbolos conocidos

como números. Los números naturales nacieron debido a la necesidad de contar

de nuestros ancestros. En esta unidad se estudiarán algunas propiedades de los

números naturales.

También estudiaremos un método muy útil para demostrar verdades

matemáticas, conocido como inducción matemática, que nos ayudará a establecer

algunas relaciones que existen entre los números.

Terminando de estudiar los números naturales estudiaremos el conjunto

de los números enteros. Estos números incorporan los números negativos al conjunto

de los números naturales. Se estudiarán sus propiedades así como su orden y su

representación en la recta numérica.

Continuando con el estudio de las propiedades de los números enteros,

lo primero que notamos es la existencia de números pares, es decir, existen

números que son exactamente divisibles entre 2; también hay números que

son exactamente divisibles entre 3, etc. Esta clasificación de los números nos

habla de una noción que se encuentra en la base del estudio de los números: la

divisibilidad. En forma general, ésta se refiere a aquellos casos en que un entero

“cabe” un número exacto de veces en otro.

En esta unidad revisaremos también el estudio de la división para definir

un nuevo conjunto de números llamados racionales, Q; estudiaremos sus

operaciones y sus propiedades.

Por último, estudiaremos el último conjunto de números: los irracionales.

Después, con la ayuda de todos los conjuntos de números conocidos, podremos

definir un conjunto de números con el nombre de reales.

2.1. Concepto de número natural

Los números que nos sirven para contar los elementos de un conjunto

son los números naturales y se designan por N ={0,1,2,3,4,...}.

Álgebra superior

44

Consideraremos en este texto al cero como el primer número natural,

siendo importante resaltar que muchos autores no lo consideran así.

¿Existirá el último número natural?

Los números naturales se encuentran ordenados de manera “natural” y

gráficamente se representan en la recta numérica, cuyo origen es el cero y se

extiende hacia el 1, luego el 2, luego el 3, etcétera.

Nótese que los números naturales aunque tienen primer elemento no

tienen último.

Existen dos operaciones básicas que pueden realizarse con los números

naturales: la suma y el producto.

Estas operaciones cumplen con las propiedades que enlistaremos a

continuación:

Propiedades de la suma y el producto de números naturales

1. Cerradura de la suma.

Cuando se suman dos números naturales, a y b, se obtiene otro

número natural, c

a+b=c

2. Conmutatividad de la suma.

Para todo a y b en N,

a+b=b+a

3. Asociatividad en la suma.

Para todo a, b y c en N,

(a+b)+c=a+(b+c)

4. Elemento neutro aditivo.

El elemento neutro para la adición es el cero. Para todo a en N,

a+0=a

números reales

4�

5. Cerradura de la multiplicación.

Cuando se multiplican dos números naturales, a y b, se obtiene otro

número natural c:

ab=c

6. Conmutatividad de la multiplicación.

Para todo a y b en N,

ab=ba

7. Asociatividad en la multiplicación.

Para todo a, b y c en N

(ab)c=a(bc)

8. Elemento neutro multiplicativo.

El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para todo a en N,

a1=a

9. Distributividad.

La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a,b y

c en N se tiene que

a(b+c)=ab+ac

Más adelante estudiaremos otros tipos de números y descubriremos que

cada uno tiene sus propiedades características que los diferencian de los demás.

2.1.1. Definición de números primos

Dentro de los números naturales existen algunos que sólo pueden ser

divididos entre ellos mismos y la unidad. A estos se les conoce con el nombre de

números primos.

Un número natural p es llamado primo cuando tiene como únicos

divisores a 1 y a p.

Álgebra superior

4�

Un número natural que no es primo es llamado compuesto.

Ejemplos de números primos son 11, 2 y 7.

Ejemplos de números compuestos son 4, 9 y 10.

Al número 1 no se le considera ni primo ni compuesto.

De importancia fundamental son los números primos ya que cualquier

número natural puede expresarse como producto de números primos. A esta

propiedad de los naturales se le conoce como el teorema fundamental de la

aritmética.

Este resultado es intuitivamente muy claro, ya que un número, si no es

primo, se puede descomponer sucesivamente hasta que todos sus factores lo

sean.

Ejemplos de descomposición de números naturales en factores primos,

llamada también descomposición canónica, son:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

180 2 2 3 3 5

3087 3 3 7 7 7

15 3 5

Para encontrar la descomposición canónica de un número no existe un

método fácil y rápido, pero sí existe un método infalible aunque laborioso: ir

dividiendo el número entre todos los primos menores que él y hacer lo mismo

con sus divisores hasta que ya no se puedan dividir más que por ellos mismos o

por la unidad.

Por ejemplo, encontremos la descomposición canónica de 1575.

Empecemos dividiendo 1575 entre 2, cuyo resultado no es un número

natural, entonces el 2 no divide a 1575.

Ahora dividimos 1575 entre 3 y obtenemos el entero 525.

Entonces 1575 se puede escribir como:

1575=3·525·

Repetimos el proceso para el 525.

Empezamos a dividir por el último divisor que se encontró, o sea el 3.

Encontramos que 525 si se divide entre 3 arroja un cociente de 175. De lo

que:

números reales

4�

1575=3·3·175

Ahora dividamos a 175 entre 3 y encontramos que el cociente no es entero.

Por lo que dividimos al 175 entre 5, el primo que sigue al 3, y encontramos que

175=5 ⋅35. De lo que:

1575=3·3·5·35

Ahora el 35 también se divide entre 5 con cociente entero, 7, de lo que:

1575=3 ⋅3 ⋅5 ⋅5 ⋅7Como 7 también es primo, entonces ya terminó el proceso. Por lo que la

descomposición canónica de 1575 es:

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1575 3 3 5 5 7

La descomposición canónica de un número es única; este resultado

garantiza que no encontremos dos formas de escribir a un número en factores

primos.

2.1.2. Método de inducción matemática

La inducción matemática nos ayudará a establecer, de manera general,

ciertas propiedades que observamos suceden de manera particular para algunos

números naturales o conjunto de ellos.

Por ejemplo, si se suman los números naturales del 1 al 5 se obtiene:

1+2+3+4+5=15

y 15 se obtiene de multiplicar a 5 por 6 y dividirlo entre 2.

Si se suman los números naturales del 1 al 10 se obtiene:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

y 55 se obtiene de multiplicar 10 por 11 y dividirlo entre 2.

Álgebra superior

48

Entonces, ¿podrá demostrarse que la suma de los número naturales del 1

al n es igual a la mitad del producto de n y n+1? Esto se verá más adelante.

Cualquier proposición puede clasificarse como general o particular. Por

ejemplo, son proposiciones generales:

• Todos los alumnos de esta universidad estudian.

• Todos los números terminados en 2 son pares.

• Todos los círculos tienen un centro.

Y son proposiciones particulares:

• El alumno de esta universidad, Pedro López, estudia.

• 22 es un número par.

• El círculo A tiene su centro en (h,k).

El proceso por el cual pasamos de las proposiciones generales a las

particulares se llama deducción.

Del hecho de que todas las personas sean mortales se deduce que si Juan

es persona, entonces Juan es mortal.

El proceso de obtener proposiciones generales de proposiciones particulares

se llama inducción. De ver que un cuervo es negro, y luego ver otro cuervo

negro y así sucesivamente se induce que todos los cuervos son negros.

El razonamiento inductivo puede llevar a concluir proposiciones verdaderas

o falsas.

Por ejemplo:

1. El número 10 es divisible entre 5, el número 20 es divisible entre 5,

el número 30 es divisible entre 5, por tanto se induce que todos los

números terminados en cero son divisibles entre 5. En este caso la

proposición general obtenida de la particular es correcta.

2. El número 120 es divisible entre 5, el número 935 es divisible entre 5, el

número 460 es divisible entre 5, por tanto todos los números naturales

de tres cifras son divisibles entre 5. En este caso la proposición general

obtenida a partir de las particulares es falsa.

números reales

4�

Entonces, ¿cómo puede aplicarse la inducción en matemáticas para que las

proposiciones generales siempre sean verdaderas?

La inducción matemática nos dice que una proposición matemática

se cumple para todo número natural n si se satisfacen las condiciones

siguientes:

Condición 1. La proposición se cumple para el primer elemento del

conjunto, en este caso para n=1.

Condición 2. La veracidad de la proposición para cualquier número natural

n=k implica su veracidad para el siguiente número natural n=k+1.

Una demostración por inducción matemática necesariamente consta de

dos partes, es decir, necesitamos verificar que la proposición satisfaga las dos

condiciones independientes dadas anteriormente.

Un ejemplo del uso de la inducción matemática es verificar que la suma:

= + + + +• • • +1 1 1 1

....1 2 2 3 3 4 ( 1)

Snn n

(1)

es igual a = +1

nSn

n (2)

Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. Veamos si se cumple

para n=1. Para la relación (1) S1 es igual a:

= =•1

1 1

1 2 2S

y para la relación (2) se tiene: = =+1

1 1

1 1 2S

por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.

Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que si la hipótesis es verdadera

para n=k esto es:

Álgebra superior

�0

= + + + + =• • • + +1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

k

kS

k k k,

donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para

n=k+1, es decir:

++= +1

1

2k

kS

k

Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k, esto es:

= + + + + =• • • + +1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

k

kS

k k k

ahora sumándole el término:

+ +1

( 1)( 2)k k

se obtiene la expresión para k+1, así:

+ = + + + + + =+ + • • • + + +1 1 1 1 1 1

...( 1)( 2) 1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1)( 2)

kSk k k k k k

Desarrollando la última igualdad:

+ = ++ + +1

1

1 ( 1)( 2)k

kS

k k k

++ += + +1

( 2) 1

( 1)( 2)k

k kS

k k

++ += + +

2

1

2 1

( 1)( 2)k

k kS

k k

++= + +

2

1

( 1)

( 1)( 2)k

kS

k k

++= +1

( 1)

( 2)k

kS

k

números reales

�1

Queda demostrado que sí se cumple la propiedad.

Otro ejemplo sería demostrar que la suma de los n primeros números

naturales es:

+( 1)

2

n n

Es decir,

+= + + + + = ( 1)1 2 3 ...

2

n nS n

Condición 1. La hipótesis se cumple para n=1 ya que:

+= = =1

1(1 1)1 1

2S

Condición 2. Suponiendo que:

+= + + = ( 1)1 2...

2k

k kS k

demostremos que:

1

( 1)( 2)

2k

k kS +

+ +=En efecto, porque:

1

( 1)( 1) 1 2 ... ( 1) ( 1)

2k k

k kS k k k S k+

++ + = + + + + + = = + +de lo que:

1

( 1) 2( 1) ( 1)( 2)

2 2 2k

k k k k kS +

+ + + += + =por lo que sí se cumple la propiedad.

Álgebra superior

�2

Ejercicio 1

1. Verifica que se cumplan las propiedades de los números naturales para

una terna de números distintos.

2. ¿Por qué la resta y la división no son una propiedad de los naturales?

¿Qué condiciones no cumplen?

3. Demuestra que la suma de los primeros n números impares es Sn=n2.

4. Demuestra que la suma de los cuadrados de los n primeros números

naturales es ( 1)(2 1)

6n

n n nS

+ +=

2.2. Números enteros: definición a partir de los naturales

Los números naturales no son suficientes para realizar muchas de las

operaciones elementales como la resta. Para poder restar dos números cualesquiera

es necesario tener otro conjunto de números, este conjunto se llama el conjunto

de los números enteros y se define de la siguiente manera.

Los números enteros son la unión del conjunto de los números naturales

{0,1,2,3,...} y el conjunto formado por sus inversos aditivos {–1,–2,–3,…}.

El conjunto de números enteros se representa con letra Z.

Z={...–3,–2,–1,0,1,2,3,...}

números reales

�3

2.2.1. Operaciones fundamentales y sus propiedades

Los números enteros cumplen con las nueve propiedades que ya conocíamos

de los números naturales. (Véase subtema 2.1) y tienen una propiedad

adicional:

10. ParatodonúmeroaenZ existesuinverso aditivoenZ,quese

denotapor–a,talque:

a +(–a)=0

Con esta nueva propiedad podemos incluir a la resta dentro de las

operaciones que realizamos con los números que hasta ahora conocemos. Nótese

que el conjunto de los números naturales, N, son un subconjunto propio de los

enteros, Z.

⊂N Z

2.2.1.1. Orden en los enteros

¿Podemos decidir si un entero es mayor que otro?

Sí, y para ello tenemos lo siguiente:

Dados dos números enteros, a y b, a es mayor que b siempre que a–b sea

un número natural. En símbolos:

a b a b> ⇔ − ∈NDonde los símbolos ⇔ y > quieren decir si y sólo si y mayor que,

respectivamente.

Por ejemplo, verifiquemos que 8 es mayor que 5.

Tenemos que 8–5=3, ahora como 3 es un número natural, entonces 8 es

mayor que 5.

El orden en los números enteros también tiene propiedades que son muy

útiles.

Álgebra superior

�4

Por ejemplo, supongamos que sabemos que un número a es mayor que

b, y a su vez sabemos que b es mayor que c. ¿Podremos afirmar que a es mayor

que c?

Para resolver este problema utilizaremos los siguientes pasos:

1. Por la propiedad 1 de los números naturales, su cerradura bajo la suma,

sabemos que si (a–b) es un número natural y si (b–c) es un número natural,

entonces:

(a–b)+(b–c)

también es un número natural.

Ahora, de lo anterior se tratará de llegar al resultado que (a–c) es un

número natural usando diversas propiedades de los números enteros.

Primero, por la propiedad asociativa se tiene:

(a – b)+(b – c) = a+[– b+(b – c)]

y usando otra vez la propiedad asociativa se llega a:

= a+[(–b+b) – c)]

Usando la propiedad del inverso aditivo obtenemos:

= a+[0 – c]

y finalmente, usando la propiedad del neutro aditivo, se puede escribir

como:

= (a – c),

que es un número natural.

2. Como (a–c) es un número natural, entonces a es mayor que c.

Esta propiedad se le conoce como transitividad de la relación de orden.

números reales

��

Ejercicio 2

1. ¿Se podrá afirmar que el cuadrado de cualquier entero distinto de cero

es positivo? ¿Por qué?

2. Demuestra que si a,b,c son enteros tales que a>b y c>0, entonces

ac>bc.

2.3. Números racionales

Una operación básica que no hemos estudiado es la división. Para estudiarla,

primero necesitamos definir qué se entiende por división.

Sean a y b enteros. Decimos que a (divisor) divide a b (dividendo) si

existe un entero q tal que:b=aq

También es común decir, “a es factor de b”, “a es divisor de b” o bien “b es

múltiplo de a” o “b es divisible entre a”.

¿Existirá algún entero que no tenga divisores? No, todo entero a tiene al

menos a 1, –1, a y –a como divisores.

La división tiene las siguientes propiedades importantes:

1. a divide a 0 para todo entero a.

2. Si a divide a b y b divide a c, entonces a divide a c.

3. Si a divide a b y b divide a a, entonces a=±b.

Álgebra superior

��

4. Si a divide a b, entonces a divide a bc para todo entero c.

5. Si a divide a b y a divide a c, entonces a divide a b+c.

La demostración de las primeras tres propiedades es inmediata a partir

de la definición. No así las propiedades 4 y 5 que demostraremos a modo de

ejemplo.

4. Como a divide a b, entonces, por definición, existe un entero q tal

que:

b=qa,

ahora multiplicando ambos lados de la igualdad por un entero c cualquiera,

tenemos:

bc=qac,

aplicando la propiedad asociativa y conmutativa resulta:

bc=(qc)a,

de donde concluimos que a divide al producto bc.

5. Como a divide a b y a divide a c, entonces, por definición, existen

enteros m y n tales que:

b=mayc=na,

sumando ambas expresiones tenemos:

b+c=(m+n)a,

de donde a divide a b+c.

2.3.1. Algoritmo de la división

En los enteros no siempre es posible dividir de tal suerte que el resultado

sea de nuevo un número entero (esto sólo sucede cuando el dividendo es múltiplo

del divisor). Sin embargo, lo que sí es cierto es que al dividir cualesquiera dos

números reales

��

enteros siempre obtenemos, en forma única, un cociente y un residuo, que sí son

enteros. Por ejemplo:

213 29

3

En este caso el cociente es 2 y el residuo es 3.

Otra forma de expresar la división anterior es a través del algoritmo de

la división:

29=13·2+3

Es evidente que el residuo siempre es menor que el divisor, puesto que

en el caso contrario seguiríamos dividiendo. El hecho de que siempre es posible

dividir dos enteros positivos cualesquiera para obtener un cociente y un residuo

únicos, lo podemos enunciar en forma general como sigue:

Sean a y b enteros positivos con a≠ 0, entonces existen enteros q y r

únicos tales que:

b aq r= + y 0 r a≤ <

A este enunciado se le conoce con el nombre de algoritmo de la

división.

Obsérvese que b es el dividendo, a el divisor, q el cociente y r el residuo.

Veamos algunos ejemplos de cómo funciona el algoritmo de la división.

Consideremos:

a=13 y b=29,

en este caso:

q=2 y r=3,

de lo que:

29=13·2+3

Álgebra superior

�8

Sin embargo, también sucede que

29=13·1+16

29=13·0+29

29=13·1+16

29=13·2+3

29=13·3+(–10)

29=13·4+(–23)

Nótese que los residuos siempre difieren consecutivamente en 13 y que

el único que es no negativo y menor que el divisor es el mínimo de todos los

residuos no negativos, que en este caso es 3.

Veamos otro ejemplo.

Sean a=8, b=35, entonces 35=8·4+3 de donde q=4 y r=3.

Sin embargo,

35=8·2+19

35=8·3+11

35=8·4+3

35=8·5+(–5)

35=8·6+(–13)

Aquí volvemos a observar el mismo fenómeno: el menor de los números no

negativos que aparecen hasta la derecha es el único residuo que simultáneamente

es no negativo y menor que el divisor. Modificando ligeramente las listas

anteriores podemos escribir los residuos de la siguiente manera:

29–13·0=29 35–8·2=19

29–13·1=16 35–8·3=11

29–13·2=3 35–8·4=3

29–13·3=–11 35–8·5=–5

29–13·4=–24 35–8·6=–13

números reales

��

Con lo que hemos visto podemos afirmar el caso general: que dados los

enteros a y b:

1. Hay una multitud de enteros q y r tales que:

b = aq+r

2. Todos los residuos son de la forma:

b – ax,

donde x es algún entero. Además, la diferencia entre cualesquiera dos

residuos siempre es múltiplo de a.

3. El menor de todos los residuos tal que:

0b ax− ≥es un número r que satisface

0 r a≤ <Conviene notar que aunque hemos establecido el algoritmo de la división

para enteros positivos, éste se puede generalizar a todos los enteros.

En efecto, en este caso tenemos:

Seanaybenteroscon 0a ≠ entoncesexistenenterosqyrúnicos

talesqueb=aq+rcon0 r a≤ <En el algoritmo de la división siempre que se divida un residuo distinto de

cero entre el divisor nos encontramos con número que no es entero. Como r <

a, entonces r/a no es un número entero:

rZ

a∉

Para poder incluir a este tipo de números en la recta numérica necesitamos

definirlos y establecer sus propiedades.

Álgebra superior

�0

Los números que tienen forma a

b se llaman racionales o fraccionarios y

forman el conjunto de números que se denota con la letra Q.

Se deine a Qcomoelconjuntodetodoslosnúmerosa

btalesquea

esunenteroyb esotroenterodistintodecero.Esdecir:

Q Q = ∈ ∈ ≠{ }a

ba Z/ y b Z pero b 0

Notaremos con Q+ al subconjunto de los racionales positivos y por Q– al

subconjunto de los negativos.

Si dado un racional a/b se tiene que b=1, como a/1=a y a∈ Z , entonces

el racional a/1 es un número entero.

Esto es, los números enteros son un subconjunto propio de los números

racionales.

Es evidente que hay muchas maneras de representar a un mismo número

racional, por ejemplo 1/2 y 2/4, entonces, ¿cuándo dos números a/b y c/d son

iguales?

Diremos que dos números racionales a/b y c/d son iguales siempre que

ad=bc. Incluso la aseveración puede ser más fuerte y decir que:

a cad bc

b d= ⇔ =

Entonces también se cumple que si ad = bc, los números racionales a/b y

c/d son iguales.

A veces es necesario representar los números racionales en forma decimal.

Para escribir un número racional en forma decimal basta hacer la división

indicada. El decimal así obtenido puede ser finito, como en el caso de:

30.75

4=

O bien puede tener un grupo de dígitos que se repiten sin fin, como es el

caso de:71

1.09230769230769230769230769230769...65

=donde el grupo de dígitos que se repite es el 923076.

números reales

�1

Al grupo de números que se repite se les llama periódicos o con periodicidad

infinita.

Existe una manera de indicar que los números son periódicos. Para esto, se

escribe una barra encima de los números que se repiten, así:

1.09230769230769230769230769230769 1.0923076=Donde la barra sobre el 923076 indica que se repite indefinidamente.

¿Cómo saber si un número con decimales es un racional? El criterio para

saber si un número decimal es un racional es el siguiente:

Siempre que se tenga un número cuyos decimales tienen una periodicidad

infinita, se trata de un número racional escrito de manera decimal. También son

números racionales aquellos cuyos decimales distintos de cero terminan después

de un número finito de ellos.

Por ejemplo, el número 1.465

se escribe como el racional 1465

1000

y por la igualdad en Q, se puede escribir como: 293

200

Supongamos que al término de algunas operaciones, con ayuda de una

calculadora, nos encontramos con un número cuyos decimales son periódicos y

estamos interesados en conocer el número racional que representa.

Entonces, ¿cómo convertir un número con decimales periódicos a una

fracción?

Para escribir un número con decimales periódicos en forma de fracción se

realizan varios pasos que se explicarán con el siguiente ejemplo.

Convertir en forma de fracción el número 25.3564

Primero contemos el número de cifras que tiene el periodo decimal del

número.

En este caso el números de cifras es 3 (5, 6 y 4).

Álgebra superior

�2

Después se multiplica el número por 10n, donde n es el número de cifras

decimales periódicas, en este caso por 103.

3(25.3564)(10 ) 25356.4564=Se obtiene un número que tiene los mismos decimales periódicos que el

número con el que empezamos.

Ahora, si se restan estos dos números es de esperarse que los decimales

periódicos se cancelen y quede un número sin decimales periódicos:

25356.4564 25.3564 25331.1− =y el resto es sólo aritmética.

Convirtiendo en base 10 a 25356.4564 , se escribe como 325.3564(10 ),

entonces:325.3564(10 ) 25.3564 25331− =

Factorizando 25.3564 se tiene:

( )25.3564 − − =(103 –1)( )1 1 2533.1− − =despejando:

25331.125.3564

999=

y finalmente, eliminando el punto decimal en el numerador:

25331125.3564

9990=

lo que representa al número 25.3564 como racional.

números reales

�3

Ejercicio 3

1. ¿Serán iguales las fracciones 2/3 y 616/924? ¿Por qué?

2. Construye dos fracciones iguales a 11/17

3. Encuentra el número decimal equivalente a:

a)53

11

b)23

17

Utiliza la notación periódica de los decimales.

4. Encuentra el número racional equivalente a:

a) 2.3478

b)3.48745

2.3.2. Operaciones fundamentales y sus propiedades

Ahora, si se tienen dos números racionales a/b y c/d necesitamos definir

dos operaciones básicas, suma y multiplicación. La suma se define como:

a c ad bc

b d bd

++ =y la multiplicación como:

a c ac

b d bd⋅ =

Álgebra superior

�4

Los números racionales, en las operaciones anteriormente definidas, tienen

las siguientes propiedades:

1. Cerradura de la suma. Cuando se suman dos números racionales, a/b y

c/d, se obtiene otro número racional e/f.

a c e

b d f+ =

2. Conmutatividad de la suma. Para todo a/b y c/d en Q:

a c c a

b d d b+ = +

Demostración:

a c ad bc bc ad cb da c a

b d bd db db d b

+ + ++ = = = = +Nótese que (ad+bc) es igual a (cb+da), así como bd es igual a db,

apoyándonos exclusivamente en la propiedad de conmutatividad de los números

enteros.

En otras propiedades también se manipularán los números enteros

que constituyen a los números racionales y se tendrá siempre en cuenta sus

propiedades sin hacer mención de ellas.

3. Asociatividad en la suma. Para todo a/b, c/d y e/f en Q:

a c e a c e

b d f b d f

+ + = + + Demostración:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ad bc f e bd ad f bc f e bda c e ad bc e

b d f bd f bd f b df

+ + + ++ + + = + = = ( ) ( )

( )

a df b cf ed cf eda a c e

b df b df b d f

+ + += = + = + +

números reales

��

4. Elemento neutro aditivo. El elemento neutro para la adición es el 0/1.

Para todo a/b en Q: 0

1

a a

b b+ =

Demostración:

0 1 0

1 1

a a b a

b b b

⋅ ++ = =⋅5. Cerradura de la multiplicación. Cuando se multiplican dos números

racionales, a/b y c/d, se obtiene otro número racional, g/h.

ga c

b d h⋅ =

6. Conmutatividad de la multiplicación. Para todo a/b y c/d en Q:

a c c a

b d d b⋅ = ⋅

Demostración:a c ac ca c a

b d bd db d b⋅ = = = ⋅

7. Asociatividad en la multiplicación. Para todo a/b, c/d y e/f en Q:

a c e a c e

b d f b d f

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Demostración:

( )

( )

ac ea c e ac e a ce a c e

b d f bd f bd f b df b d f

⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅

Álgebra superior

��

8. Elemento neutro. El elemento neutro para la multiplicación es el 1/1.

Para todo a/b en Q:

1

1

a a

b b⋅ =

Demostración:

1 1

1 1

a a a

b b b

⋅⋅ = =⋅

9. Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma,

para todo a/b, c/d y e/f en Q se tiene que:

a c e ac ae

b d f bd bf

⋅ + = + Demostración:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cf de a cf de a cf a de ac f ae da c e a

b d f b df b df b df db f

+ + + +⋅ + = ⋅ = = = ( ) ( )

( ) ( )

ac f ae d ac ae

bd f bf d bd bf= + = +

10. Para todo número a/b en Q existe su inverso aditivo en Q, denotado

por –a/b, tal que:

00

a a

b b bb

−+ = =

Demostración:

( ) 00

ab aba a

b b bb bb

+ −−+ = = =

Nótese que se definió al neutro aditivo como 0/1 y ahora obtenemos 0/bb,

es fácil darse cuenta que 0/1=0/bb, es cuestión de aplicar el criterio de cuándo dos

números racionales son iguales. En este caso 0/1=0/bb ya que 0·(bb)=0=0·1.

números reales

��

Aparte los racionales cumplen con otra propiedad: todo racional 0≠

tiene inverso multiplicativo (otro racional que al ser multiplicado por él da el

producto igual a la unidad).

11. Inverso multiplicativo. Todo número 0

1

a

b≠ que pertenece a Q tiene un

solo inverso multiplicativo denotado por b/a tal que:

1 1 1a b ab ab a b

b a ba ab a b⋅ = = = ⋅ = ⋅ =

El número racional ab/ab es igual a 1/1, esto se sigue del criterio de

igualdad expuesto antes.

2.3.2. Concepto de orden en Q

A partir de las definiciones de orden que se han dado con anterioridad,

definiremos el orden en Q.

Sean a/b y c/d elementos de Q, decimos que:a c

b d>

si

+a c

b d− ∈Q

Por ejemplo, 3/4 es más grande que 2/3 ya que:

+3 2 9 8 1

4 3 12 4

−− = = ∈Q

¿La relación de transitividad se cumple con los racionales?

Sí, la definición de orden en los racionales también cumple con la relación

de transitividad.

Sean a/b, c/d y e/f elementos de Q, entonces si:

a c

b d> y

c e a e

d f b f> ⇒ >

Álgebra superior

�8

Veamos un ejemplo:

2/5 es mayor que 3/8:

+2 3 16 15 1

5 8 40 40

−− = = ∈Q

y 3/8 es mayor que 1/3,

+3 1 9 8 1

8 3 24 24

−− − = = ∈Q

de lo que 2/5 es mayor que 1/3:

+2 1 6 5 1

5 3 15 15

−− = = ∈Q

La relación de orden en los racionales tiene propiedades que sólo se

cumplen en éstos. Una de ellas es la siguiente:

Sean a/b y a/c elementos de Q+ tal que a, b, c >0 y a/b>a/c, entonces

c>b.

Para demostrar esta propiedad fijémonos en que si:

+a a

b c− ∈Q

implica que:

+ac ab

bc

− ∈Q

y dado que bc>0, entonces: ac – ab>0

factorizando a tenemos: ( ) 0a c b− > ,

y como a>0: ( ) 0c b− >de lo que: c>b

números reales

��

Ejercicio 4

1. Dados los números 43 y 5, encuentra q y q´ distintas, y r y r´ distintos

tales que:

43=5q+rcon0≤ r<|5|

y

43=5q´+r´con0≤ r´<|5|

2. Encuentra cinco formas distintas de escribir el número 34 en múltiplos

de 7.

3. Encuentra la forma de escribir el número 46 en múltiplos de 4 con el

residuo mínimo no negativo.

2.4. Números reales

En la sección anterior se estudiaron los números racionales que se pueden

identificar porque su expresión decimal es finita o bien infinita periódica. Sin

embargo existen algunos números que tienen una expresión decimal infinita no

periódica, como 2 1.414213562...= y 3.141592654...π = . Estos números

no son racionales, ni enteros ni naturales. ¿Qué tipo de número son?

2.4.1. Números Irracionales

Los números irracionales son aquellos cuyos decimales son infinitos y

sin periodicidad. Se representan con la letra I.

Son irracionales también además de: 2 1.414213562...=

y 3.141592654...π = , e= 2.718281828459...

cos 45º= 0.7071067811865..., entre otros.

Álgebra superior

�0

Si incorporamos los números irracionales a los racionales tenemos un

conjunto llamado números reales.

Los números reales, representados por la letra R, son el conjunto de

números que es resultado de la unión del conjunto de los números racionales

con el conjunto de los irracionales.

Ahora, con los números irracionales podemos incluir entre las operaciones

a realizar con los números reales, además de las que ya estudiamos a la raíz.

Si n es un entero y si a es un número real no negativo entonces se dice

que b es la n–ésima raíz de a si bn=a

Los números reales satisfacen todas las propiedades de los conjuntos

anteriores, además de tener un orden que se puede definir de igual manera que

con los otros conjuntos de números.

2.4.2. Recta numérica

Ahora que hemos incrementado bastante la cantidad de números que

conocemos; podemos localizarlos en la recta numérica de la siguiente manera:

Los naturales y los enteros se localizan así:

Con los números racionales, la recta numérica se representa de la siguiente

manera:

números reales

�1

Al colocar en la recta numérica los números racionales, pareciera que se ha

llenado, sin embargo todavía hay espacios.

Esos espacios que quedan se terminan de llenar con los números

irracionales, de este modo todos los puntos de la recta numérica tienen asignado

un número real y a todos los números reales les corresponde un punto en la recta

numérica.

Si se cree que el estudio de los números y sus propiedades ha terminado,

obsérvese que, con los números reales, no podemos conocer un número que

sea igual a 1− . Esto sucede debido a que en los números reales no hay tal que

multiplicado por sí mismo dé un número negativo. Para poder hacer este tipo

de operaciones necesitamos otro tipo de números, los imaginarios. Los números

imaginarios se estudiarán en la unidad 4 de este libro.

Ejercicio 5

1. Indica uno de los conjuntos de números a los que pertenecen los

siguientes:

a) 3

b)–8

c) 4.567343434343434...

d)1.236390486829263...

2. Verifica que se cumplan las 11 propiedades de los números racionales

para los números reales –4, 3.1415926... y 1/2.

3. Haciendo una analogía con la relación de orden para los números

enteros, indica la relación de orden para los números reales.

Las matemáticas se aprenden haciendo ejercicios. A continuación se

presenta una serie de problemas resueltos y otra de problemas propuestos para que

observes, en los ejercicios resueltos, la manera como se plantean y solucionan, con

el propósito de que las pongas en práctica al resolver los problemas propuestos.

Álgebra superior

�2

Problemas resueltos

1. ¿La media aritmética cumple con las propiedades de los números

naturales? (La media aritmética entre dos números a y b se define como 2

a b+).

Respuesta: no, ya que no cumple con la cerradura, dos números naturales

cuya suma es impar, su media aritmética no es un número natural.

2. Demuestra por inducción matemática que la suma de los cubos de los

primeros n números naturales es:

( )22 1

4

n n +Respuesta:

Condición 1. La hipótesis se cumple para n=1 en tanto:

31 1 1S = =

y además: ( )22

1

1 1 1 41

4 4S

+= = =Por lo que sí se cumple la condición 1.

Condición 2. Suponiendo que:

( )223 3 3 1

1 2 ...4

k

k kS k

+= + + + = ,

demostremos que:

( ) ( )2 2

1

1 2

4k

k kS +

+ +=

números reales

�3

En efecto, como:

( ) ( ) ( ) ( )223 3 33 3 3

1

11 1 2 ... 1 1

4k k

k kS k k k S k+

++ + = + + + + + = = + + entonces: ( ) ( )22

3

1

11

4k

k kS k+

+= + +( ) ( )2 32 1 4 1

4

k k k+ + +=( ) ( )2 21 4 1

4

k k k + + + =( ) ( )2 21 4 4

4

k k k+ + +=( ) ( )2 2

1 2

4

k k+ += ,

por lo que sí se cumple la propiedad.

3. ¿Podremos afirmar que si a<0, a ∈ Z entonces –a es un número

natural?

Respuesta: sí, ya que si a<0, entonces 0>a, y esto quiere decir que 0–a

es un número natural. Pero 0 es el neutro aditivo, de lo que 0 – a = –a, por lo

que –a es un número natural.

4. Demuestra que si a>c y b>d entonces a+b>c+d.

Respuesta: para realizar la demostración se utilizará la proposición:

si q>w entonces q+s>w+s

demostrada anteriormente. Si a>c entonces se tiene que:

a+b>c+b

Álgebra superior

�4

Por otro lado, si b>d se tiene que:

b+c>d+c

Ahora, como c+b=b+c, por transitividad se tiene:

a+b>b+c>d+c

a+b>d+c

Con lo que queda demostrada la propiedad.

5. Encuentra los números primos entre el 30 y el 40.

Respuesta: primero desechemos a todos los números pares entre el 30 y

el 40, ya que serían divisibles entre 2 y entonces ya no serían primos. Ahora, el

33 se puede escribir como 311, el 35 como 75 y el 39 como 313 de lo que

los únicos primos entre el 30 y el 40 son el 31 y el 37.

6. Encuentra ejemplos de números enteros tales que a<b y a2>b2.

Respuesta: los números que necesitamos encontrar no pueden ser los

dos positivos debido a la propiedad de los números naturales de que si c y d

pertenecen a los naturales y si c<d, entonces c2<d2. Entonces busquemos que

uno de ellos sea negativo. Como cualquier número negativo es menor que uno

positivo, y como el cuadrado de un número negativo es uno positivo, entonces

encontremos un número negativo cuyo cuadrado sea mayor que el cuadrado del

positivo y ya se tienen los números buscados. Por ejemplo, el 1 y el –2. También

se cumple la propiedad si los dos son números negativos.

7. Encuentra la forma de escribir al 50 en múltiplos de 9 con el residuo

mínimo no negativo.

Respuesta: 50=(9)(5)+5

números reales

��

8. Encuentra tres maneras de escribir al 38 en múltiplos de 4.

Respuesta: 38=(4)(9)+2

38=(4)(11)–6

38=(4)(5)+18

9. Construye una fracción igual a 34/22

Respuesta: dividiendo al numerador y denominador entre 2 se tiene:

17/11

10. Encuentra el número decimal equivalente a:

a) 11/15 Respuesta: 0.73

b) 22/7 Respuesta: 3.142857

11. Indica el conjunto al que pertenecen los números:

a) –56.7 Respuesta: números racionales.

b) 3.81736402948573759183... Respuesta: números irracionales.

Problemas propuestos

1.¿Se podrá afirmar que la suma de dos números cualesquiera al cuadrado

es mayor o igual que cero? ¿Por qué?

2. ¿Es la resta una operación que cumple con las propiedades de los enteros

pares? ¿Y de los impares?

3. Demuestra por inducción que:

12 3 1

1 3 3 ... 32

nn

+ −+ + + + =

Álgebra superior

��

4. Encuentra la descomposición canónica de 363 y de 6825.

5. Encuentra los números primos que existen entre el 70 y el 80.

6. ¿Existen números primos pares? ¿Cuántos?

7. ¿Los números primos cumplen con la cerradura bajo la suma? Esto es,

siempre que se sumen dos primos, ¿el resultado es otro primo?

8. Indica la manera de escribir al 35 en múltiplos de 8 de tal forma que su

residuo sea 3.

9. Indica si son iguales las fracciones 35/22 y 70/46

10. Encuentra el número decimal equivalente de las siguientes

fracciones:

a) 12/30

b)56/18

11. Encuentra el número racional equivalente a:

a) 31.6

b) 0.30434782608695652173913

12. Indica a qué conjunto pertenecen los siguientes números:

a) 1.3529411764705882352941176470588235294117647...

b) 4.56

números reales

��

Autoevaluación

1. De las siguientes operaciones, ¿cuáles no cumplen con las propiedades

de los números naturales?

a) Suma.

b) Neutro aditivo.

c) Resta.

d) Neutro multiplicativo.

2.Delassiguientesoperaciones,¿cuálesnocumplenconlaspropiedades

delosnúmerosnaturales?

a) Multiplicación.

b) División.

c) Asociatividad en la suma.

d) Asociatividad en la multiplicación.

3. ¿Cuántas condiciones se tienen que cumplir en una prueba por

inducción?

a) 2

b) 1

c) 3

d) 4

4. c2>0implicaque:

a) c no puede ser negativo.

b) c no puede ser positivo.

c) c es distinto de cero.

d) c es igual a cero.

Álgebra superior

�8

5.Sia>0yb>0cona2<b2,entonces:

a) a<b

b) b<a

c) a2–b2<0

d) a2b2<0

6.Alapropiedadquedice“sia>byb>c,entoncesa>c”seleconocecomo:

a) Cerradura.

b) Conmutatividad.

c) Asociatividad.

d) Transitividad.

7.El–21yel7sonejemplosdenúmeros:

a) Enteros.

b) Primos.

c) Naturales.

d) Compuestos.

8. Ladescomposicióncanónicade330es:

a) 2 ⋅3 ⋅55

b) 2 ⋅3 ⋅5 ⋅11

c) 6 ⋅5 ⋅11

d) 2 ⋅5 ⋅33

9. Los números compuestos cumplen con la propiedad de cerradura en la:

a) División.

b) Resta.

c) Suma.

d) Multiplicación.

números reales

��

10. El mínimo residuo distinto de cero que se emplea para escribir al 59

en términos de 6 es:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 1

11. Las fracciones 45/7 y 945/147 son:

a) Iguales, ya que (45)(147)=(7)(945)

b) Iguales, ya que (45)(945)=(7)(147)

c) Distintas, ya que (45)(147)¹(7)(945)

d) Distintas, ya que (45)(945)¹(7)(147)

12. El número decimal equivalente a 34/7 es:

a) 4.857142

b) 4.857142

c) 4.85714286

d) 4.85714285

13. El número racional equivalente a 2.142857 es:

a) 1.5/7

b) 214285/1000000

c) 2.14285/1000000

d) 15/7

14. El número 3.258946317823649824056... pertenece a:

a) Los números enteros.

b) Los números racionales.

c) Los números naturales.

d) Los números irracionales.

Álgebra superior

80

15. De las siguientes airmaciones indica la correcta:

a) Todoslosnúmerosracionalessonnúmerosenteros.

b) Todoslosnúmerosenterossonracionales.

c) Todoslosnúmerosirracionalessonracionales.

d) Algunosnúmerosirracionalessonracionales.

números reales

81

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. Tomemos la terna de números naturales 18, 124 y 52.

a) Cerradura de la suma

18+124=142 que también es natural. Lo mismo sucede con la adición de

cualquier otro par de números, incluso con la adición de los 3: 18+124+52=194,

que también es un número natural.

b) Conmutatividad de la suma

18+52=70=52+18, lo mismo pasa para cualquier otro par de números.

c) Asociatividad en la suma

(18+124)+52=142+52=194=18+176=18+(124+52). También la

propiedad se cumple si se toman los números en distinto orden.

d) Elemento neutro

El elemento neutro es el cero, por ejemplo 0+18=18. Lo mismo sucede

con los otros dos números naturales.

e) Cerradura de la multiplicación

Por ejemplo (18)(52)=936, que también es un número natural. Lo mismo

pasa con la multiplicación de otros números cualesquiera.

f) Conmutatividad de la multiplicación

(18)(124)=2232=(124)(18). Lo mismo sucede con cualquier otra

multiplicación de dos números.

Álgebra superior

82

g) Asociatividad en la multiplicación

Por ejemplo:

(18)[(124)(52)]=(18)(6448)=116064=(2232)(52)=[(18)(124)](52).

h) Elemento neutro

El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Por ejemplo, (1)(18)=18.

Lo mismo sucede con los otros números.

i) Distributividad

1. La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Por ejemplo:

(18)(124+52)=(18)(176)=3168=2232+936=(18)(124)+(18)(52).

Se sugiere al alumno que verifique todas las propiedades para la terna de

números naturales que eligió.

2. La resta no cumple con la condición de la cerradura en los naturales. Por

ejemplo, si a 4 se le resta 9 se tiene –5, que no es natural. La división tampoco

cumple con la cerradura en los naturales. Por ejemplo, el cociente 4/5 es igual a

0.8, que no es natural.

3. Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. De lo que veamos

si se cumple para n=1. Por un lado S1 es igual a:

S1=1

y por otro

S1=12=1,

por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.

números reales

83

Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que la hipótesis es verdadera

para n=k esto es:

Sk=1+3+5+7+9+...+2k–1=k2,

donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para

n=k+1, es decir:2

1 ( 1)kS k+ = +Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k:

21 3 5 7 9 ... 2 1kS k k= + + + + + + − = ,

ahora, el siguiente término de la serie se obtiene sumándole 2 al último,

por lo tanto el siguiente término es:

2k+1,

se obtienen la expresión para k+1, así:

212 1 1 3 5 7 9 ... (2 1) (2 1) 2 1k kS k k k S k k++ + = + + + + + + − + + = = + +

Ahora, reacomodando términos Sk+1

, queda como:

21

2

2 1

( 1)

kS k k

k

+ = + += +

Con lo que queda demostrado que se cumple la propiedad.

4. Condición 1. El primer elemento del conjunto es n=1. De lo que veamos

si se cumple para n=1. Por un lado S1 es igual a:

21 1 1S = =

y por otro

1

(1)(2)(3) 61

6 6S = = =

por lo que sí se cumple la igualdad para la condición 1.

Álgebra superior

84

Condición 2. Aquí trataremos de demostrar que si la hipótesis es verdadera

para n=k esto es:

2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 4 ...

6k

k k kS k

+ += + + + + + = ,

donde k es cualquier número natural, entonces debe cumplirse para

n=k+1, es decir:

1

( 1)( 2)(2 3)

6k

k k kS +

+ + +=Tenemos por hipótesis que se cumple para n=k:

2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 4 ...

6k

k k kS k

+ += + + + + + = ,

ahora, el siguiente término de la serie es

(k+1)2,

por lo que la expresión para k+1 es:

2 2 2 2 2 2 2

21

( 1) 1 2 3 4 ... ( 1)

( 1)(2 1)( 1)

6

k

k

S k k k

k k kS k+

+ + = + + + + + + + =+ += + +

Ahora, Sk+1

se puede escribir como:

21

( 1)(2 1)( 1)

6k

k k kS k+

+ += + +2( 1)(2 1) 6( 1)

6

k k k k+ + + +=( 1)[ (2 1) 6( 1)]

6

k k k k+ + + +=2( 1)(2 6 6)

6

k k k k+ + + +=2( 1)(2 7 6)

6

k k k+ + +=

números reales

8�

( 1)[( 2)(2 3)]

6

k k k+ + +=

Con lo que queda demostrado que se cumple la propiedad.

Ejercicio 2

1. Si c>0 entonces, por la definición de multiplicación c2 es sumar c veces

c. Como c>0 entonces sólo se suman números mayores que cero, de lo que la

suma es mayor que cero. Por lo que:

c2>0

Ahora, si c<0 entonces c lo podemos escribir como c=(–1)(c´) donde

c’>0. Ahora como c´>0, entonces:

c’2>0,

ahora se puede multiplicar a c’2 por 1 y manipular algebraicamente para

obtener:

c’2>0

(1)c´2>0

(–1)(–1)c´2>0

(–1)(–1)c´c´>0

(–1)c´(–1)c´>0

Como (–1)c´=c

cc>0

c2>0

Por lo que el cuadrado de cualquier entero distinto de cero es mayor a

cero.

2. La demostración se hará usando inducción sobre c.

Condición 1. El primer valor que puede tomar c es 1, entonces:

(1)a>(1)b

Álgebra superior

8�

a>b

sí se cumple la primera condición.

Condición 2. Ahora se pide demostrar que si:

ca>cb

entonces:

(c+1)a>(c+1)b

Tenemos que:

ca>cb

sumándole a a los dos miembros de la desigualdad se tiene:

ca+a>cb+a

Ahora, como a>b entonces:

cb+a>cb+b

Y por transitividad se tiene:

ca+a>cb+b

Que se puede escribir como:

a(c+1)>b(c+1)

Por lo que la propiedad se cumple.

Ejercicio 3

1. Sí, porque 2(924)=1848=3(616)

2. 11 33 77

17 51 119= =

3. a) 4.81

b) 1.3529411764705882

números reales

8�

4. a) La periodicidad es 2, por lo tanto:

2

2

234.78 2.3478 232.44

2.3478(10) 2.3478 232.44

2.3478(10 1) 232.44

2.3478(99) 232.44

232.442.3478

995811 1937

2.34782475 825

− =− =− ==

== =

b) La periodicidad es 4, por lo tanto:

4

4

34874.58745 3.48745 34871.1

3.48745(10 ) 3.48745 34871.1

3.48745(10 1) 34871.1

3.48745(9999) 34871.1

34871.13.48745

999910567

3.487453030

− =− =− ==

==

Ejercicio 4

1. No se pueden encontrar los dos q y q´, y r y r´ distintos debido a la

unicidad de los números q y r del algoritmo de la división. Por lo que si existieran

dos q y q´ y dos r y r´ tendrían que ser iguales.

Álgebra superior

88

2. 34=7(1)+27

34=7(2)+20

34=7(3)+13

34=7(4)+6

34=7(5)–1

3. 46=4(11)+2

Ejercicio 5

1. a) Números naturales.

b) Números enteros.

c) Números racionales.

d) Números irracionales.

2. Verifiquemos las 11 propiedades de los números racionales:

1. Cerradura de la suma. Los números –4 y 1/2 son reales y la suma

–4+1/2=–3.5 también es un real.

2. Conmutatividad de la suma. Los números reales 3.1415926... y 1/2

cumplen con

3.1415926...+1/2=3.6415926=1/2+3.1415926...

3. Asociatividad en la suma. Los números reales –4, 1/2 y 3.1415926...

cumplen con:

(–4+½)+3.1415926...=–3.5+3.1415926...=–0.3584074...

y por otro lado:

–4+(1/2+3.1415926...)=–4+3.6415926...=–0.3584074...

números reales

8�

4. Elemento neutro. El elemento neutro para la adición es el cero. Para el

número real 3.1415926...

3.1415926...+0=3.1415926...

5. Cerradura de la multiplicación. Cuando se multiplican los números reales

–4 y 1/2 se obtiene otro real:

(–4)(1/2)=–2

6. Conmutatividad de la multiplicación. Para los números reales 79123 y

–0.00005 se cumple que:

(–4)( 3.1415926...)= –12.5663704=( 3.1415926...) (–4)

7. Asociatividad en la multiplicación. Para los números reales –4, ½ y

3.1415926... se tiene que:

[(–4)(½)](3.1415926...)=(–2)(3.1415926...)= –6.2831852

por otro lado:

(–4)[(½)(3.1415926...)]=(–4)( 1.5707963)= –6.2831852

8. Elemento neutro. El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para

el número real –4

(–4)1=–4

9. Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Para los números reales –4, ½ y 3.1415926... se tiene que:

(–4)(½+3.1415926...)=(–4)(3.6415926...)=–14.5663704...

por otro lado:

(–4)(1/2)+(–4)(3.1415926...)=–2–12.5663704...=–14.5663704...

Álgebra superior

�0

10. Para el número real 1/2 existe su inverso aditivo, que se denota por

–1/2, tal que:

1/2+(–1/2)=0.

11. Inverso multiplicativo. Para el número real –4 existe su inverso

multiplicativo –1/4 tal que:

3. El número real a será mayor que el número b siempre que (a–b) sea

un número real positivo.

Respuestas a los problemas propuestos

1. Sí, porque el cuadrado de cualquier número siempre es mayor o igual

a cero.

2. De los pares sí, de los impares no (no cumple la cerradura, dos números

impares que se restan pueden resultar en un entero par. Por ejemplo, 5–3=2)

3.

4. 363=3 ⋅112

6825=3 ⋅52 ⋅7 ⋅13

5. 71, 73 y 79.

6. El único primo par es el 2, ya que todos los demás pares tienen como

divisor al 2 y por tanto no son primos.

7. No, por ejemplo, los primos 5 y 7 al sumarlos obtenemos un número

par: el 12.

8. (8)(4)+3=35

9. No son iguales ya que (35)(46)=1610 ⋅1540=(70)(22)

números reales

�1

10. a) 0.4

b) 3.1

11. a) 95/3

b) 7/23

12. a) Números racionales.

b) Números racionales.

Respuestas a la autoevaluación

1.1. c)

2. b)

3. a)

4. c)

5. a)

6. d)

7. a)

8. b)

9. d)

10. c)

11. a)

12. b)

13. d)

14.d)

15. b)