NÚMEROS POLIGONALES · Pablo Viedma Observando con atención los números que aparecen en la tabla...

Pablo Viedma

Números poligonales Página �1

NÚMEROS POLIGONALES

Pablo Viedma

NÚMEROS POLIGONALES

Los Números Poligonales se generan a partir de Progresiones Aritméticas cuyo primer término es :

*) Los Números Triangulares se definen con la suma de los n primeros términos de la Progresión Aritmética con . Esta progresión aritmética es la de los Números Naturales 1, 2, 3, 4, 5, …

El n-ésimo Número Triangular es .

*) Los Números Cuadrados se definen con la suma de los n primeros términos de la Progresión Aritmética con ; es decir, la progresión aritmética de los Números Impares 1, 3, 5, 7, …

El n-ésimo Número Cuadrado es .

*) Los Números Pentagonales se definen con la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética con ; es decir, la progresión aritmética 1, 4, 7, 10, …

El n-ésimo Número Pentagonal es .

Teniendo en cuenta como vamos obteniendo los primeros Números Poligonales, nos proponemos a continuación obtener una fórmula general para el n-ésimo Número Poligonal de l lados:

Llamemos a ese n-ésimo Número Poligonal de l lados . Así tenemos que (El n-

ésimo Número Triangular es el n-ésimo Número Poligonal de 3 lados). De la misma forma, para los Números Cuadrados tenemos: . Para los Números Pentagonales, Hexagonales …

tendríamos:

Consideremos un número natural . Los Números Poligonales se generan a partir de la Suma de los n términos de Progresiones Aritméticas cuyo primer término es y diferencia

. Por tanto, el n-ésimo Número Poligonal de l lados es:

a1 =1

a1 =1 y d =1

Tn =1+2+3+ ...+n=n n+1( )2

a1 =1 y d =2

Cn =1+3+5+ ...+ 2n−1( )= n 1+2n−1( )2 = 2n

2

2 = n2

a1 =1 y d =3

Pn =1+4+7+ ...+ 3n−2( )= n 1+3n−2( )2 =

n 3n−1( )2

Poln Tn = Po3n

Cn = P04nPn = Po5n ; Hn = Po6n ; …

l ≥3a1 =1

d = l −2

Poln =1+ 1+ l −2( )( )+ 1+2 l −2( )( )+…+ 1+ n−1( ) l −2( )( )


Pablo Viedma

Para los Números Triangulares l=3,

Para los Números Cuadrados l=4,

Para los Números Pentagonales l=5,

Para los Números Hexagonales l=6, …

En la siguiente tabla se presentan los primeros términos de los primeros Números Poligonales:

Poln =n 1+1+ n−1( ) l −2( )⎡⎣ ⎤⎦

2 =n 2+nl −2n− l +2( )

2 =n l −2( )n− l −4( )⎡⎣ ⎤⎦

2

Poln =n l −2( )n− l −4( )⎡⎣ ⎤⎦

2

Po3n =n 3−2( )n− 3−4( )⎡⎣ ⎤⎦

2 =n n+1( )2

Po4n =n 4−2( )n− 4−4( )⎡⎣ ⎤⎦

2 =n 2n( )2 = n2

Po5n =n 5−2( )n− 5−4( )⎡⎣ ⎤⎦

2 =n 3n−1( )

2

Po6n =n 6−2( )n− 6−4( )⎡⎣ ⎤⎦

2 =n 4n−2( )

2 =2n2 −n= n 2n−1( )


Tabla 1

Números Poligonales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120

Cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

Pentagonales 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247 287 330

Hexagonales 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325 378 435

Heptagonales 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403 469 540

Octagonales 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481 560 645

Nonagonales 1 9 24 46 75 111154 204 261 325 396 474 559 651 750

Decagonales 1 10 27 52 85 126175 232 297 370 451 540 637 742 855

n n+1( )2

n2

n 3n−1( )2

n 4n−2( )2

n 5n−3( )2

n 6n−4( )2

n 7n−5( )2

n 8n−6( )2

Pablo Viedma

Estos Números Poligonales también se llaman Números Figurados ya que todos ellos se pueden representar geométricamente como se muestra en las siguientes imágenes:

Números Triangulares:

Números Cuadrados:

Números Pentagonales:

De todas las Sucesiones que aparecen en la tabla 1, vamos a poner el foco en la primera Sucesión, la de los Números Triangulares.

Llamemos al n-ésimo Número Triangular, siendo:

Tn


Tn =n n+1( )2

Pablo Viedma

Calculemos Números Triangulares tan grandes como queramos:

En general:

Veamos que ocurre si elevamos al cuadrado dos Números Triangulares consecutivos y los sumamos:

Hemos obtenido otro Número Triangular!!!

Veamos unos ejemplos:

El Número 666 es un Número Triangular y es la suma de los cuadrados de dos Números Triangulares, el 5º y el 6º, que son 15 y 21, y se diferencian en 6!!!


T10 =10⋅112 =5⋅11=55; T100 =

100⋅1012 =50⋅101=5050; T1000 =

1000⋅10012 =500⋅1001=500500; !

T10n =10n 10n +1( )

2 = 10n

2 ⋅ 10n +1( )= 10n ⋅10n2⋅10n ⋅ 10n +1( )= 102n

2⋅10n ⋅ 10n +1( )= 12 ⋅10

n ⋅ 10n +1( )= 510 ⋅10

n ⋅ 10n +1( )=5⋅10n−1 ⋅ 10n +1( )

T105 =5⋅104 ⋅ 105 +1( )=5⋅109 +5⋅104 =5.0001 050.000

T108 =5⋅107 ⋅ 108 +1( )=5⋅1015 +5⋅107 =5.0002 0000501 000.000

Tn2 +Tn+1

2 =n2 n+1( )2

22 +n+1( )2 n+2( )2

22 =n+1( )2 n2 + n+2( )2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

22

n+1( )2 n2 +n2 +4n+4( )22 =

n+1( )2 2 n2 +2n+2( )⎡⎣

⎤⎦

22 =n+1( )2 n2 +2n+1( )+1( )

2 =n+1( )2 n+1( )2 +1⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2 =Tn+1( )2

T52 +T6

2 = 52 ⋅6222 + 6

2 ⋅7222 =

62 ⋅ 52 +72( )22 =

36⋅ 25+49( )22 = 36⋅742⋅2 = 36⋅372 =T36 =T62 =666

T52 +T6

2 =152 +212 =225+441=666=T62

Tn2 +Tn+1

2 =Tn+1( )2

Pablo Viedma

Observando con atención los números que aparecen en la tabla 1, podemos descubrir muchos patrones que nos llevan a propiedades de estos Números Poligonales:

Por ejemplo, si nos fijamos en las columnas, descubrimos que se forman Progresiones Aritméticas. En la segunda columna se forma la Progresión Aritmética cuyo primer término es y

la diferencia ; es decir 3, 4, 5, 6, 7, … En la tercera columna, aparece la Progresión Aritmética

cuyo primer término es y diferencia ; es decir 6, 9, 12, 15, 18, 21, … En general, en la

columna n aparece la Progresión Aritmética cuyo primer término es y diferencia

Si observamos por filas, en seguida nos damos cuenta que en la primera fila, (la de los Números Triangulares) esos Números son una especie de generadores de las demás filas en el siguiente sentido: Por ejemplo, vemos que la suma de dos Números Triangulares consecutivos nos da un Número Cuadrado; es decir 1+3=4, 3+6=9, 6+10=16, 10+15=25, … La relación que existe entre los números de la primera fila y los números de la tercera fila es la siguiente: La suma del doble de un Número Triangular y el siguiente Número Triangular nos da un Número Pentagonal; es decir 2x1+ 3=5, 2x3+6=12, 2x6+10=22, 2x10+15=35, … El triple de un Número Triangular mas el siguiente Número Triangular nos da un Número Hexagonal; es decir, 3x1+3=6, 3x3+6=12, 3x6+10=28, …

Esta última propiedad la vamos a demostrar en general de la siguiente forma:

Llamemos a los primeros n Números Triangulares, donde , sea

también (cualquier número natural mayor o igual que 4). En estas condiciones se cumple que:

(1) Siendo el n-ésimo Número Poligonal de l lados

En efecto:

La fórmula (1) nos da una expresión que permite generar cualquier Número Poligonal por los Números Triangulares. Estudiemos pues Propiedades de los Números Triangulares ya que estas propiedades las podremos trasladar a Propiedades de los Números Poligonales:

T2d =T1

T3 d =T2Tn d =Tn−1

T1 ,T2 ,T3 ,!,Tn Tn =n n+1( )2

l ≥4

Poln


l −3( )Tn−1 +Tn = Poln

n nl −3n− l +3+n+1⎡⎣ ⎤⎦2 =

n l −2( )n− l −4( )⎡⎣ ⎤⎦2 = Poln

l −3( )Tn−1 +Tn = l −3( ) n−1( )n2 +

n n+1( )2 =

n n−1( ) l −3( )+ n+1( )⎡⎣ ⎤⎦2 =

Pablo Viedma

Empecemos por conseguir una expresión para la Suma de Números Triangulares, y esta expresión nos permitirá sumar Números Poligonales:

Llamemos a la Suma de los primeros Números Triangulares

Entonces se cumple que:

Demostremos esta igualdad por inducción:

Comprobemos que la igualdad es cierta para :

Supongamos que la igualdad es cierta para y demostrémosla para :

Las dos fórmulas obtenidas nos van a permitir obtener la Suma de los Números Poligonales:

(1)

(2)

Utilizando la 2ª Fórmula tenemos que la Suma de los primeros Números Triangulares es:

Para la Suma de los primeros Números Cuadrados tendríamos lo siguiente:

Sabemos que

STn

n=1

n n+1


SCn = STn−1 + STn =n−1( )n n+1( )

6 +n n+1( ) n+2( )

6 =n n+1( ) n−1( )+ n+2( )⎡⎣ ⎤⎦

6 =n n+1( ) 2n+1( )

6

Cn =Tn−1 +Tn

STn =nTn+13 = n3Tn+1


STn =n n+1( ) n+2( )

6

STn =T1 +T2 +T3 +!+Tn

STn =nTn+13 = n3Tn+1

n+3( )3

n+1( ) n+2( )2 =

n+1( )3

n+2( ) n+3( )2 =

n+1( )3 Tn+2

STn+1 = STn +Tn+1 = nTn+13 +Tn+1 =

n3 +1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Tn+1 =

n+33

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Tn+1 =

ST1 =T23 = 33 =1

SCn =n n+1( ) 2n+1( )

6

Pablo Viedma

Para la Suma de los primeros Números Pentagonales tendríamos lo siguiente:

De la misma forma procedemos para obtener la Suma de los primeros Números Hexagonales

En general, para obtener la suma de los primeros Números Poligonales de l lados procederíamos de la siguiente forma:

Utilizando la fórmula (1)

En la siguiente tabla se muestran las Sucesiones que dan lugar a las Sumas de Números Poligonales:


Spn =n n+1( )3n

6

SHn =3STn−1 + STn =3n−1( )n n+1( )

6 +n n+1( ) n+2( )

6 =n n+1( ) 3 n−1( )+ n+2( )⎡⎣ ⎤⎦

6 =n n+1( ) 4n−1( )

6

SHn =n n+1( ) 4n−1( )

6

Spn =2STn−1 + STn =2n−1( )n n+1( )

6 +n n+1( ) n+2( )

6 =n n+1( ) 2 n−1( )+ n+2( )⎡⎣ ⎤⎦

6 =n n+1( )3n

6

SPoln = l −3( )STn−1 + STn = l −3( ) n−1( )n n+1( )6 +

n n+1( ) n+2( )6 =

n n+1( ) l −3( ) n−1( )+ n+2( )⎡⎣ ⎤⎦6 =

n n+1( ) nl − l −3n+3+n+2⎡⎣ ⎤⎦6 =

n n+1( ) l −2( )n− l −5( )⎡⎣ ⎤⎦6

SPoln =n n+1( ) l −2( )n− l −5( )⎡⎣ ⎤⎦

6


Pablo Viedma

Observando los números que aparecen en la tabla anterior también podemos obtener muchos patrones. Por ejemplo, si nos fijamos por columnas vemos que de nuevo se forman Progresiones Aritméticas: En la 2ª Columna aparece la progresión Aritmética cuyo primer término es y

diferencia . En la tercera columna aparece la progresión Aritmética cuyo primer término es

y diferencia , … En general, en la columna n aparece la Progresión Aritmética cuyo

primer término es y diferencia

El siguiente gráfico tiene que ver con las sumas de las dos primeras filas:

ST2d = ST1

ST3 d = ST2STn d = STn−1


Sumas de Números Poligonales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Triangulares 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680

Cuadrados 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240

Pentagonales 1 6 18 40 75 126 196 288 405 550 726 936 1183 1470 1800

Hexagonales 1 7 22 50 95 161 252 372 525 715 946 1222 1547 1925 2360

Heptagonales 1 8 26 60 115 196 308 456 645 880 1166 1508 1911 2380 2920

Octagonales 1 9 30 70 135 231 364 540 765 1045 1386 1794 2275 2835 3480

Nonagonales 1 10 34 80 155 266 420 624 885 1210 1606 2080 2639 3290 4040

Decagonales 1 11 38 90 175 301 476 708 1005 1375 1826 2366 3003 3745 4600

n n+1( ) n+2( )6

n n+1( ) 2n+1( )6

n n+1( )3n6

n n+1( ) 4n−1( )6

n n+1( ) 5n−2( )6

n n+1( ) 6n−3( )6

n n+1( ) 7n−4( )6

n n+1( ) 8n−5( )6

Pablo Viedma

La Suma de Números Triangulares y Números Cuadrados “encajan” muy bien

Esto es así porque:

En general, si Sumamos Sumas de Poligonales consecutivos (en cuanto al número de lados) obtendríamos lo siguiente:

Para la Suma de Números Cuadrados y Números Pentagonales tendríamos:

Para la Suma de Números Pentagonales y Números Hexagonales:

La suma de Números Hexagonales y Heptagonales es:

En lo que sigue vamos a ver algunas propiedades mediante imágenes, podríamos titularlo algo así como Demostraciones Visuales o Demostraciones Sin Palabras, aunque haremos algunas anotaciones para aclarar las imágenes:

1)

Todo Número Hexagonal es Triangular:

H4 =T7


SPoln + SPo l+1( )n=n n+1( ) l −2( )n− l −5( )⎡⎣ ⎤⎦

6 +n n+1( ) l −1( )n− l −4( )⎡⎣ ⎤⎦

6 =n n+1( ) 2l −3( )n− 2l −9( )⎡⎣ ⎤⎦

6

SCn + SPn =n n+1( ) 5n+1( )

6

Spn + SHn =n n+1( ) 7n−1( )

6

SPo6n + SPo7n =n n+1( ) 9n−3( )

6 =n n+1( ) 3n−1( )

2 = 3n−1( )Tn

STn + SCn =n n+1( ) n+2( )

6 +n n+1( ) 2n+1( )

6 =n n+1( ) 3n+3( )

6 =n n+1( )2 n+1( )= n+1( )Tn

Hn =n 4n−2( )

2 =n 2 2n−1( )( )

2 =2n−1( )2n

2 =T2n−1

Pablo Viedma

2) En el triángulo de Pascal aparecen los Números Triangulares y la Suma de los Números Triangulares, éstos se llaman también Números Tetraédricos porque podemos formar con Esferas Números Triangulares en 3 dimensiones…

¿Cuantas bolitas hay en la Pirámide de 12 plantas?

3) Números Piramidales de Base Cuadrada. ¿Cuántas bolitas hay en una pirámide de 12 plantas?


Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55n n+1( )2

Suma de Triangulares 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364n n+1( ) n+2( )

6

ST12 =12⋅13⋅14

6 =2⋅13⋅14 =364

SCn =n n+1( ) 2n+1( )

6

SC12 =12⋅13⋅25

6 =2⋅13⋅25=650

Pablo Viedma

4) La Suma de Cubos es el Cuadrado de un Número Triangular

5) La suma de un número par de Números impares cumple que los primeros n sumandos son la tercera parte de los restantes n sumandos:

Sea

La suma de los primeros n impares es:

los segundos n impares suman:

Nota: Estos números no son Triangulares, pero lo parecen…


13 +23 +33 +!+n3 =Tn2

13 +23 +33 +43 +53 = 1+2+3+4+5( )2 =T52 =152 =225

k =2n

1+3+5+!+ 2n−1( )= n2

2n+1( )+ 2n+3( )+!+2 2n( )−1= n 2n+1( )+4n−1⎡⎣ ⎤⎦2 = 6n

2

2 =3n2

Pablo Viedma

6) ¿Cuántos cuadraditos amarillos y rojos hay en la siguiente pirámide?

Si nos fijamos en los cuadraditos amarillos de la cúspide vemos que hay 1+2+3+4+5; es decir T5 = 15. Si ahora contamos cuantas pirámides amarillas aparecen en la imagen, vemos que hay 1+2+3+4+5; es decir T5 pirámides amarillas. En total tenemos:

cuadraditos amarillos. De la misma forma, podemos contar los cuadraditos rojos, obteniendo en

total . Si contamos los cuadraditos amarillos que hay en la base de la pirámide grande, vemos

que hay 25; es decir en la pirámide grande hay cuadraditos rojos y amarillos; por lo tanto:

7) Sigamos contando Cuadraditos…

T52

T42

T25 =T52


T42 +T5

2 =T52

Tn =1+2+3+!+n=n n+1( )2

Pablo Viedma

8) … Más cuadraditos…

9) … Ahora con los números pares…

10) … Sigamos contando cuadraditos…

El número total de cuadraditos es:

Si nos fijamos a la izquierda y a la derecha de la Torre verde, ahí aparecen la Suma de los primeros 8 cuadrados dos veces; es decir:

Por tanto el número de cuadraditos de la Torre verde es 612 - 408 =204. Curioso, parece que en la Torre verde está también la suma de los 8 primeros cuadrados; es decir . Veamos si es así:SC8


Cn =1+3+5+!+ 2n−1( )= n2

2+4+6+!+2n=n 2+2n( )

2 =n 2 n+1( )⎡⎣ ⎤⎦

2 = n n+1( )

T8 ⋅ 2⋅8+1( )= 8⋅92 ⋅17= 4 ⋅9⋅17=612

2⋅SC8 =2⋅8⋅9⋅ 2⋅8+1( )

6 =3⋅8⋅17= 408

Pablo Viedma

Extraemos la Torre verde y coloreamos las distintas plantas de la misma para contar mejor…

A continuación empezamos un proceso de “demolición” por plantas y de arriba hacia abajo:

Seguimos reorganizando cuadraditos…


Pablo Viedma

… Siguiendo con este proceso, al final conseguimos desmoronar por completo y obtenemos la suma de los 8 primeros cuadrados, obteniendo así la siguiente igualdad numérica:

Volviendo a la imagen del principio ya podemos concluir que dentro del rectángulo de dimensiones se encuentran tres veces la

suma de los 8 primeros cuadrados; es decir:

11)

12) Suma de cuadrados de Números Impares y Números Pares:

T8 ⋅ 2⋅8+1( )


3⋅SC8 =T8 ⋅ 2⋅8+1( )⇒ SC8 =8⋅9⋅ 2⋅8+1( )

6

ST8 =T8 ⋅ 8+1( )− SC8 ⇒ ST8 =T8 ⋅ 8+1( )− 8⋅9⋅ 2⋅8+1( )6 = 8⋅92 ⋅9−

8⋅9⋅ 2⋅8+1( )6 =

8⋅9⋅ 9⋅3− 2⋅8+1( )⎡⎣ ⎤⎦6 = 8⋅9⋅106

1+32 +52 +!+ 2n−1( )2 = ST2n−1 =2n−1( )2n 2n+1( )

6 =n 4n2 −1( )

3

22 +42 +62 +!+ 2n( )2 = ST2n =2n 2n+1( ) 2n+2( )

6 =2n n+1( ) 2n+1( )

3 = 4SCn

Cn =Tn−1 +Tn

Pablo Viedma

13) Sabemos que , llamaremos número oblongo o rectangular al doble de un

Número Triangular; es decir . El siguiente gráfico puede ayudarnos para hacernos

una idea de lo que suman estos números:

Las dimensiones del rectángulo son ; por tanto la suma de los 7 primeros números oblongos es:

En general:

14) Observando las siguientes imágenes vamos a generalizar una nueva expresión para los Números poligonales de l lados:

Tn =n n+1( )2

On =2Tn = n n+1( )

8⋅T8


SO7 =8⋅T8 − ST8 =8⋅8⋅92 − 8⋅9⋅102⋅3 = 8⋅92 ⋅ 8− 103

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 8⋅92 ⋅143 =2⋅7⋅8⋅96 =2⋅ST7 =168

SOn =2STn =2⋅n n+1( ) n+2( )

6 = 23 ⋅Tn ⋅ n+2( )= n n+1( ) n+2( )3

Po49 = 4−2( )T9−1 +9=2⋅T8 +7=2⋅8⋅92 +9=72+9=81

Pablo Viedma

En general:

(3)

Utilizando la formula (3) veamos que todo Número Hexagonal es triangular:


Poln = l −2( )Tn−1 +n

Hn = Po6n = 6−2( )Tn−1 +n= 4 ⋅n−1( )n2 +n= 4 ⋅

n−1( )n2 + 2n2 =

2n 2 n−1( )+1⎡⎣ ⎤⎦2 =

2n−1( )2n2 =T2n−1

Po57 = 5−2( )T7−1 +7=3⋅T6 +7=3⋅6⋅72 +7=63+7=70

l −2( )Tn−1 +n= l −2( ) n−1( )n2 +n=

n l −2( ) n−1( )+2⎡⎣ ⎤⎦2 =

n nl − l −2n+2+2( )2 =

n l −2( )n− l −4( )⎡⎣ ⎤⎦2 = Poln

Po68 = 6−2( )T8−1 +8= 4 ⋅T7 +8= 4 ⋅7⋅82 +8=112+8=120

Pablo Viedma

15) Suma de los inversos de los Números Triangulares:

Obtengamos una expresión general de los inversos de los Números Triangulares:

Sabemos que :

Si hacemos el inverso de un Número Triangular, obtenemos:

Utilicemos esta expresión para sumar los inversos de los Números Triangulares:

Tn =n n+1( )2


1Tn

= 2n n+1( ) =2⋅

1n− 1n+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒ 12Tn

= 1n− 1n+1

S = 1T1

+ 1T2

+ 1T3

+ 1T4

+!

12 ⋅S =

12T1

+ 12T2

+ 12T3

+ 12T4

+!

12 ⋅S = 1− 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 12−

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 13−

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 14 −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+!⇒ 1

2 ⋅S =1⇒ S =2

NÚMEROS POLIGONALES · Pablo Viedma Observando con atención los números que aparecen en la tabla...

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