¿Estamos dejando y motivando a

pensar a nuestros alumnos

o solo dándoles

“recetas” a seguir?

No llevemos el Cálculo Mental (y a la matemática en general)

a sus absurdos extremos

Dr. Simón Mochón

Departamento de Matemática Educativa

Centro de Investigación y Estudios Avanzados, IPN

Maestra Alumno

Los misterios de calculistas expertos ¿Te gustaría saber cómo calculistas prodigiosos realizan

mentalmente operaciones aritméticas gigantescas?

¿Te gustaría aprender algunos trucos de cálculo mental para que puedas hacer operaciones aritméticas como por arte de magia?

¿Te gustaría pasar un buen rato viendo como algunos de tus compañeros (o tú mismo) realizan operaciones aritméticas contra reloj o prueban su memoria a corto plazo?

¿Te gustaría conocer como multiplicaba la gente antes del siglo XVII con sus dedos (cálculo digital)?

¿Te gustaría ver los resultados de un estudio hecho en México sobre como niños calculan mentalmente?

¿Te gustaría ver una película de un concurso de cálculo mental japonés en la que tardan más en escribir la respuesta que en pensarla?

Si contestaste SI a algunas de estas preguntas y no puedes calcular 8684 en menos de tres segundos, estás invitado a asistir a esta plática.

79,532,853 93,758,479 ______________________________________

Dase, a German prodigy of the 19th century could do it in 54 seconds

Products of 2 twenty-digit numbers in 6 min.

Products of 2 forty-digit numbers in 40 min.

100 digits in 50 min

Resumen

“Dejemos de enseñar los algoritmos convencionales de las cuatro operaciones aritméticas”. Esta es la opinión de varios investigadores y profesores de matemáticas. En esta conferencia discutiremos la validez de esta propuesta y sugeriremos otras alternativas menos radicales.

Se hablará sobre la gran importancia del Cálculo Mental y la Estimación en la instrucción básica y se les dará a estos términos un significado más útil y apropiado del que se les asocia comúnmente.

En particular, se expondrán las ventajas y desventajas que tiene el Cálculo Mental en relación con los algoritmos que enseñamos hoy en día.

Por último, se presentarán los resultados de un estudio sobre Cálculo Mental con niños de primaria y secundaria, de los cuales trataremos de extraer algunas conclusiones.

2995

+3786

13 - 8

35 5

5 30

90 30

139 + 28

83 - 26

65 4

300 4

3964 + 7123 + 4918 + 5860

931 768

93 - 38 =

25 48 = 1200

15 64 = 960

50 60 = 300

¿Cómo la gente calcula? ¿Cómo enseñamos a calcular?

Cálculo Mental Algoritmos

Holístico - Ve a los números como un todoVariable - Un problema puede ser resuelto

por distintos métodosFlexible - Un individuo aplica diferentes

estrategias a diferentes problemasConstructivo - Los resultados parciales se

acercan a la respuesta exacta

AnalíticosEstándar

Generales

Simbólicos

Variable - Por ejemplo, para 539 - 191:

De 191 a 200 son 9; de 200 a 500 son 300 y de 500 a 539 son 39. Así, 9 + 300 + 39 = 348

539 menos 100 son 439, menos 90 son 349 y menos 1 son 348

Si a 539 le quito 200 me da 339, pero al sumar a 339 los 9 que quité de más, me dará 348

Si quito 41 a ambos números me da 498 - 150 =348

Flexible -

Para 83 - 7: 83 menos 3 es 80 menos 4 es 76

Para 83 - 67: 67 para 70 son 3, 70 para 80 son 10 y 80 para 83 son 3; así, 3 + 10 + 3 =16

Para 83 - 29: es igual que 84 - 30 que es 54

Rojo Naranja Amarillo Verde Azul

5 + 913 - 84 × 735 ÷ 5

135 + 10085 - 205 × 3090 ÷ 3

139 + 2883 - 2617 × 372 ÷ 4

592 + 276592 - 276931 × 8693 ÷ 7

3964 + 71235960 - 4981931 × 7688391 ÷ 57

Rojo - Hechos básicos

Naranja - Hechos básicos complicados con ceros

Amarillo - Operaciones simples cotidianas

Verde - Operaciones apropiadas para el Cálculo Mental pero entrenamiento es necesario

Azul - Operaciones apropiadas para algoritmos o calculadora.

Propuesta

1) Técnicas mentales en las bandas Roja, Naranja y Amarilla

2) Uso de calculadora para las bandas Verde y Azul

3) Desarrollo de algunos métodos escritos

Plunkett (1979) “Decomposition and all that Rot”

Estrategias de Cálculo Mental (S. Mochón y J. Vázquez)

Estudio con 60 niños de Primaria y Secundaria

Fase # 1: Cuestionario. Fase # 2: Entrevistas

Objetivos: 1) Observar su habilidad para el cálculo mental

2)Identificar estrategias utilizadas por los niños

Operaciones Aritméticas

1)5)9)13)17)

8 + 737 + 4683 - 7

30 * 1287 ÷ 3

2)6)10)14)18)

15 - 987 + 9983 - 516 * 99

280 ÷ 7

3)7)11)15)19)

7 * 637 + 5283 - 5470 * 60

400 ÷ 80

4)8)12)16)20)

18 + 783 - 7928 * 348 ÷ 4

1000 ÷ 50

Problemas Verbales

A) Una Sra. tiene 73 conejos y vende 7, ¿cuántos le quedan?B) 80 jóvenes tienen que vender 400 boletos para un sorteo,

¿cuántos boletos tienen que vender cada uno?E) Mi mamá compró 8 jitomates a 99 pesos cada uno,

¿cuánto tiene que pagar?F) Hamburguesas - $3900, Papas - $2900, Refrescos -

$1800. Irma compra uno de cada uno, ¿cuánto debe pagar?H) Tengo 400 pesos. La tienda vende dulces por 80 pesos

cada uno, ¿cuántos puedo comprar?I) La distancia entre México y Cuernavaca es de 83 km.

¿Cuántos kilómetros me faltan recorrer si estoy en el km 7?

Entrevistas con los mejoresNohemí, (19 * 9): “Tengo que multiplicar 10 por 9 y 9 por 9 ya que

10 más 9 son 19. 10 por 9 son 90 y 9 por 9 son 81, sumando 90 más 81 da 171”. Descomposición.

Abraham, (19 * 9): “171”. ¿Cómo obtuviste tu resultado? “19 por 10 son 190 pero a 190 le quito 19 para obtener 171”. Redondeo.

Martha Patricia, (Problema de las hamburguesas, ...): “8600”. Explícame como llegaste a tu resultado. “Tomé la hamburguesa como 4000, las papas como 3000 y el refresco como 2000. Sumé 4000 más 3000 más 2000 y obtuve 9000. Después le quité las diferencias que sumé a cada número, 100 más 100 más 200 y obtuve el resultado 8600”. Redondeo.

María Dolores, (Problema de las hamburguesas, ...): “8600”. ¿Cómo sabes que es 8600 pesos? “Primero sumé 900 más 900 más 800 y obtuve 2600. Después sumé 3 más 2 más 1 así que por

lógica se que son 6 mil, después 6000 más 2,600, el total es de 8600”. Descomposición.

Olga (87 + 99): “Como 99 tiene uno menos que 100, tomé ese uno de 87 para tener 86, a 100 le sumo 86 y obtengo 186”. Compensación.

Abraham, (Problema de los jitomates pero cambiado en la entrevista por 8 pastelitos de 999): “8991. Sumé 999 más 999 más 999 más... En la primera suma 999 más 999, a un 999 le quité 1 y lo sumé al otro 999 así obtuve 1000 más 998 que es 1998. Después 1998 más 999 son 2997 ya que tome de 999 dos para que 1998 sea 2000 y 2000 más 997 es 2997 y así sucesivamente. A 999 le quité 3 y me quede con 996, esto es 3996. Después obtuve 4995, 5994, 6993, 7992. La respuesta es 7992”. (La primera respuesta que dio fue incorrecta pero al explicar su procedimiento obtuvo la respuesta correcta). Compensación.

María Dolores (87 ÷ 3): “Primero multipliqué 3 por 10, obtuve 30. Después por 20 y obtuve 60. Después por 25 y obtuve 75. Después por 29 y esta es la respuesta”. Ensayo y Error.

Martha (83 - 54): “29”. “54 hasta 60, me quedan 6. Después de 60 sumé lo que faltaba para 80, hay 20. Después sumé 20 y 6 y 3 igual a 29”. Pasos Repetidos.

Olga, (60 ÷ 4): “15”. Explícame como le hiciste. “La mitad de 60 es 30 y la mitad de 30 es 15, así que he dividido entre 4 y la respuesta es 15”. Pasos Repetidos.

Nombre de la Estrategia Descripción

0 Pasos Algorítmicos Se aplican mentalmente los algoritmos convencionales (no una estrategia propia)

Ia Descomposición Simple Solo uno de los números se rompe en sus componentes decimales las cuales son usadas para operar con el otro

Ib Redondel hacia arriba Se redondea un número para efectuar los cálculos, seguido de un ajuste apropiado

IIa Descomposición Doble Ambos números se rompen en sus componentes decimales las cuales son usadas para operar con ellas

IIb Compensación Uno de los números se altera, compensando simultáneamente con el otro número, aplicándole el efecto opuesto

IIIa Ensayo y Error Se adivina la respuesta y se va ajustando por ensayo y error

IIIb Pasos Repetidos Se va acercando hacia la respuesta con pasos repetidos, bien definidos y preconcebidos desde el inicio

Escuelas Primarias

Escuelas Secundarias

A - Pasos Algorítmicos, M. C. - Cálculo Mental

Dentro de Cálculo Mental (M. C.), hemos definido 6 estrategias:

Ia - Descomposición Simple Ib - Redondeo hacia arribaIIa - Descomposición Doble IIb - CompensaciónIIIa - Ensayo y Error IIIb - Pasos Repetidos

Conclusiones del Estudio

Los niños no tienen desarrollada una habilidad de cálculo mental apropiada y usan su “único” recurso: el algoritmo.

Un contexto ayuda a resolver las operaciones.

Ceros causan dificultades.

Estrategias más usadas:

Pasos Repetidos y Descomposición Doble

Estrategia importante que no apareció tan frecuentemente como debiera ( 87 + 99 o 6 * 99):

Redondeo hacia arriba

No es tan natural y por lo tanto debe enseñarse.

Estrategias que casi no se observaron:

Ensayo y Error y Compensación

Los estudiantes se equivocaron menos cuando utilizaron una estrategia de cálculo mental ( 82% contra 96% ).

¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?¿?

¿Puede enseñarse el cálculo mental? ¿Cómo? ¿A qué edades? ¿Cómo se debe evaluar?

486357498739864881035925469261498

123456789101112131415161718192021

Actividad de Cálculo Mental

Realiza todas tus operaciones mentalmente.

Una lata de pintura cuesta $28. Llena la siguiente tabla de precios para que la use el empleado de ventas:

Cantidad de latas

Precio sin IVA Precio con el 15% de IVA

1 28

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

Actividad de Cálculo Mental

(Fracciones y Porcentajes)

Realiza todas tus operaciones mentalmente.

1.50 + 4.25 + 3.50 =

0.75 8 =

3.50 12 =

46.5 10 =

7.2 100 =

17 10 =

25% de 240 =

20% de 240 =

3% de 1200=