Revista académica de los Educadores y Mentores del Programa Jóvenes Talento

Año 1 Número 2

agosto 2009

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Contenidos

Artículos Conjeturas y pruebas en matemáticas Óscar Armando Hernández Morales (Universidad de El Salvador)

Problemas de entrenamiento Nivel I: Selección de problemas de combinatoria y juegos Eduardo Arnoldo Aguilar Cañas (Universidad Centroamericana José Simeón Cañas) Nivel II: Problemas de ecuaciones Eder Alexander Jacobo Arévalo (Universidad de El Salvador)

Problemas olímpicos Pruebas selectivas de El Salvador (2009) Presentamos los exámenes selectivos que se utilizaron para escoger las delegaciones que representarán a El Salvador en las siguientes competencias internacionales de matemática, a celebrarse en el transcurso del año : XI Olimpiada Matemática de Centroamérica y el Caribe (Bogotá y Girardot, Colombia,

3-10 de octubre) L Olimpiada Internacional de Matemática (Bremen, Alemania, 10-22 de julio) XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (Querétaro, México, 17-27 de

septiembre) Problemas de la Olimpiada de Mayo 2009 La Olimpiada de Mayo es una competencia juvenil a nivel iberoamericano, que se distingue de otras olimpiadas internacionales ya que las pruebas tienen lugar en cada uno de los países participantes, y posteriormente son enviadas al país organizador (Argentina). Fue planeada por primera vez en 1995 por la entonces recién fundada Federación Iberoamericana de Competencias Matemáticas, la cual se inspiró en la Asian-Pacific Mathematics Olympiad como modelo a seguir. La Olimpiada de Mayo está organizada en dos niveles: el nivel I, dirigido a estudiantes menores de 13 años, y el nivel II, para alumnos entre 13 y 15 años de edad. El Salvador ha participado continuamente en este concurso desde el año 2002. Problemas de la IMO 2009 La IMO (International Mathematical Olympiad) es ciertamente la competencia de matemática de más prestigio y dificultad a nivel preuniversitario. Fue celebrada por primera vez en Rumania en 1959, lo que la convierte en la olimpiada internacional de ciencias más antigua. Aunque en sus primeros años estuvo confinada a los países de Europa del Este, con el pasar

del tiempo se ha convertido en un evento de carácter mundial, con 565 participantes de 104 países de todo el mundo en 2009, año en el que la olimpiada celebró su 50 aniversario. El Salvador ha participado en el concurso desde el año 2005.

Columna de problemas En esta sección de la revista se incluyen 5 problemas como desafío a los lectores, quienes están invitados a resolverlos y a enviar sus soluciones a la revista. Las soluciones más originales serán publicadas en el siguiente número. Se recibieron soluciones completas a los problemas 1, 2, 3 y 4 de Eduardo Arnoldo Aguilar Cañas (UCA), quien además tuvo la amabilidad de señalar un error de redacción en el enunciado del problema 3, por el cual el editor pide disculpas. Asimismo presentamos la solución del problema 5 sugerida por el editor.

Información de contacto La revista del Programa Jóvenes Talento invita cordialmente a participar en su elaboración a todos los miembros del Programa (alumnos, instructores, catedráticos, padres de familia) y al lector interesado en general. Artículos. Se invita a los lectores a contribuir con sus trabajos originales sobre

matemática elemental, o bien con artículos de divulgación científica. El documento debe incluir las referencias académicas usadas en su elaboración, y la información de contacto de su autor, incluyendo: Nombre, afiliación académica y correo electrónico.

Columna de problemas. Se invita a los lectores a enviar sus soluciones originales a los problemas propuestos en esta sección, así como a proponer problemas interesantes para la columna del siguiente número. El archivo enviado debe incluir la información de contacto del autor, y en el caso de un problema propuesto su respectiva procedencia (nombre del libro, olimpiada, o autor del problema).

Se solicita a los lectores enviar sus contribuciones, preguntas o comentarios a la dirección revistanomesale@gmail.com, o bien contactar directamente con el editor.

FECHA LÍMITE PARA EL ENVÍO DE DOCUMENTOS: 31/10/2009

Editor Gabriel Alexander Chicas Reyes (Universidad de Tokio) Correo electrónico: gachr_ebc253@hotmail.com Apoyado por el grupo de instructores de Olimpiadas de Matemática del Programa Jóvenes Talento, y la Asociación de Padres de Familia del Programa Jóvenes Talento (ASTALENTO)

1

CONJETURAS Y PRUEBAS EN MATEMÁTICAS

Óscar Morales

1.- INTRODUCCIÓN

Las matemáticas ofrecen un conocimiento seguro basado en el razonamiento deductivo. Para probar

que un resultado en matemáticas es válido no basta con probar que se cumple para una serie, de casos

particulares, aunque estos casos sean numerosos.

Ejemplo 1: Sigamos los pasos siguientes:

a) Toma dos números, por ejemplo (2 y 3)

b) Elévalos al cuadrado (4 y 9 respectivamente)

c) Llama a a la suma de los cuadrados (13)

d) Llama b a la diferencia (5)

e) Llama c al doble producto de los números (12)

f) Se verifica que un triángulo de lados a, b y c es rectángulo, ya que se cumple el teorema de

Pitágoras 222 cba

Conjetura: ¿Es esto independiente de los números que elijamos al principio? Es decir, si en lugar de

haber elegido 2 y 3 tomamos 3 y 5 ¿Los nuevos valores de a, b y c así obtenidos forman triángulo

rectángulo?

Ejemplo 2: Consideremos las siguientes observaciones

a) Existen números primos consecutivos (gemelos): (3, 5), (17,19), (29,31) ... que sólo dejan un

número compuesto entre ellos.

b) Hay sucesiones de tres números compuestos consecutivos 8, 9 y 10 entre los primos 7 y 11,

Igualmente 24, 25, 26, 27 y 28 entre los 23 y 29.

c) ¿Podríamos encontrar 20 números compuestos consecutivos?

Conjetura: ¿Podríamos encontrar un número arbitrario, n, de números compuestos consecutivos?

Las conjeturas son juicios que se forman de una cosa por señales o indicios que se tienen de ellas. En

matemáticas formulamos en ocasiones enunciados de forma conjetural, es decir, proponemos

resultados que nos parecen verdaderos porque se cumplen en muchas ocasiones. Algunas veces los

resultados formulados resultan ser ciertos, pero, en otras ocasiones, concluimos que son falsos.

A lo largo de la historia de las matemáticas se han formulado muchas conjeturas, voy a destacar unas

pocas conjeturas numéricas debido a que vamos estudiar una conjetura partiendo de la observación de

la sucesión de los números impares.

a) Conjetura de A. De Polignac (1817-90): Todo número impar mayor que uno se puede poner como

suma de una potencia de dos y un número primo.

3=1+2, 5= 2+3, 7=4+3, 9=4+5, 11=8+3, 13=8+3, 15=8+7, etc.

2

Sin embargo 127 no cumple con esta propiedad, así que la conjetura es falsa. Curiosamente, De

Polignac afirmó haber verificado la validez de su conjetura para todos los números menores que

3000000. Actualmente se sabe que hay infinitos números que no cumplen la conjetura de De Polignac,

y dicha sucesión ha sido bautizada irónicamente números de De Polignac en su honor.

b) Conjetura de Goldbach: Fue mencionada por primera vez en una carta de Christian Goldbach

(1690-1764), profesor de matemática de San Petersburgo y tutor del zar Pedro II de Rusia, a Euler en

1742. La conjetura afirma que cualquier número par y mayor que 2 se puede expresar como suma de

dos números primos.

4 =2+2, 8= 5+3, 10 =3+7, 18 = 13 +5, 36 =31+5, 50 = 3 + 47, …

Pese a la abundante evidencia que parece confirmar (de manera informal) la validez de la conjetura,

ésta permanece aún sin resolver, convirtiéndose así en uno de los problemas sin resolver más antiguos

de la teoría de los números y de las matemáticas en general.

c) Polinomios generadores de primos: El polinomio 2x2 + 29 produce números primos para valores

enteros de x comprendidos entre 0 y 28. El polinomio x2 + x + 41 de Euler podía transformarse en y

2 -

79y + 1601, con el cambio de variable x = y - 40 y devuelve números primos para ochenta números

consecutivos. Ante esto surgió la interrogante de si existe un polinomio que genere números primos

para todos los valores de su variable. Las investigaciones en este sentido terminaron cuando la

existencia de tal polinomio fue refutada por Goldbach, y por su parte Legendre probó que ninguna

función algebraica racional puede generar siempre números primos.

e) El último teorema de Fermat: No es posible descomponer un cubo en suma de dos cubos, ni una

cuarta potencia en suma de dos cuartas potencias, ni en general ninguna potencia de exponente mayor

que dos en suma de dos potencias del mismo exponente. Equivalentemente, no existen enteros no nulos

a, b, c tales que satisfagan la ecuación nnn cba , para cualquier n mayor que 2. En una nota escrita

en el margen de su libro de aritmética, Fermat afirmó tener una “solución maravillosa” a su problema.

Sin embargo, a pesar de su aparente simplicidad, fue necesario el trabajo de generaciones enteras de

matemáticos por 350 años para culminar su solución (en 1995).

Que se verifique una fórmula para unos pocos casos no vale, un millón de casos tampoco la probarían,

tiene que cumplirse para todos los casos.

Vamos a tratar de establecer la verdad o falsedad de una

conjetura: todo cubo se puede expresar como diferencia

de dos cuadrados. Comenzaremos por afianzar una serie

de conocimientos auxiliares sobre progresiones aritméticas.

En primer lugar comprobemos que la conjetura de que

todo cubo se puede expresar como diferencia de dos

cuadrados. Tiene sentido formularla a la luz de los datos

experimentales, es decir que hay una serie de indicios que

nos hacen pensar que será verdadera.

Pero estos indicios ¿se verificarán siempre? Esto es, ¿la ecuación en x, y: 223 yxn tiene soluciones

enteras para cualquier n natural? Estudiaremos la respuesta a estas preguntas.

ESTUDIO DE LOS INDICIOS

223 132 ( )198

223 363 ( )93627

223 6104 ( )3610064

223 10155 ( )100225125

223 15216 ( )225441216

223 21287 ( )441784343

................................

3

2.- CONOCIMIENTOS AUXILIARES: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN

ARITMÉTICA.

Progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada uno de los términos, salvo el

primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante d que se llama razón o diferencia de la

progresión.

La progresión aritmética más sencilla es: 1, 2, 3, 4, 5, ···

Pero hay otras como:

a) La de los números impares: 1, 3, 5 , 7, 9, ···

b) La de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ···

Término general o término n-ésimo de una progresión aritmética: Es una expresión que depende de

n tal que cuando n es igual a 1, obtenemos el primer término, si n es 2 el segundo término, si es tres el

tercero,…

El término general de la sucesión:

a) 1, 2, 3, 4, 5, ··· es an = n

b) 1, 3, 5, 7, 9, ··· es an = 2n-1

c) 5, 10, 15, 20, 25, 30, ··· es an = 5n

Si naaaa ,,,, 321 de una progresión aritmética de razón d, se pueden escribir las siguientes

igualdades.

daa 12

dadaa 2 123

dadaa 3 134

dadaa 4 145

………………

dnadaa nn )1( 11

Término general de una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término de la

progresión la razón multiplicada por (n-1): 1 1na a n d .

Suma de los términos de una progresión aritmética

naaaaS 321

121 aaaaS nnn

S = dnadadaa )1(2 1111

S = 1111 )3()2()1( adnadnadna

4

Sumando queda

2S = n 1 na a de donde 1

2

nn a aS

Los griegos sumaban la sucesión de los números naturales de forma geométrica con un gráfico como el

siguiente:

1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 1

2 2 2

n nn n

También la suma de los términos de una progresión aritmética cualquiera la hacían gráficamente por

analogía con el área del trapecio.

3. TRABAJANDO CON CONJETURAS Y TRATANDO DE PROBARLAS

Conjetura: Todo cubo es diferencia de dos cuadrados.

Proposición 1. La suma de los impares consecutivos empezando en 1 es un cuadrado.

ESTUDIO DE LOS INDICIOS

1+ 3 = 22

= 4

1+ 3 +5 = 32

= 9

1+ 3 +5 +7 = 42

= 16

1+ 3 +5 +7 +9 = 52

= 25

1+ 3 +5 +7 +9 +11 = 62

= 36

1+ 3 +5 +7 +9 +11+13 = 72

= 49

................................

5

Demostraciones:

a) Por la suma de las progresiones aritméticas

S = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 2n–1

S = 2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + 2n-7 + · · · + 1

2S = 2n + 2n + 2n + 2n + + 2n = n · 2n = 2n2

Luego S = n2.

b) Más elegante era la demostración geométrica griega que la realizaban interpretando las orlas de un

cuadrado:

Ahora pasemos a una observación de Nicómaco de Gerasa (siglo I) sobre las sumas parciales de los

números impares, que fue presentada a los lectores como parte del problema 1 de la columna de

problemas de la edición anterior.

1 8 27 64 125

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

¿Es casualidad o se deja de cumplir para valores grandes?

Si la observación de Nicómaco fuera verdadera para todos los valores podríamos afirmar que la

conjetura propuesta es verdadera y que cada cubo es diferencia de dos cuadrados.

Lo que observó Nicómaco es que, comenzando por el 1, haciendo grupos de impares consecutivos de

uno, dos, tres, cuatro elementos la suma de cada uno de los grupos.

Para hacer la demostración tendremos que probar lo siguiente:

1) La suma del grupo n-ésimo será n3.

2) El grupo n-ésimo tiene delante 1+2+3+ ··· + (n-1) impares consecutivos.

6

3) El número de orden del primer elemento del grupo n-ésimo será 1+2+3+ ··· + (n-1) +1, o bien

1+2+3+ ··· + (n-1) +1= 1 1 1

12

n n =

11

2

n n = 1

2

2

nn

4) El primer término del grupo será 2 112

2

nn= 12 nn

5) Los elementos que están en el grupo n-ésimo serán:

12 nn , 32 nn , 52 nn , ··· 122 nnn

6) Su suma será

2

121 22 nnnnnnS

= 3

2

2

2n

nn

,

que es lo que deseábamos probar.

Oscar Armando Hernández Morales (Universidad de El Salvador)

Correo electrónico: oscararmandohm@gmail.com

Selección de problemas de combinatoria y juegos

Nivel I (2). Arnoldo Aguilar

Problema 1, OMCC 1999

Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales acerca de cierto

asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B toda la

información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dice a A

nada de lo que sabe. ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos

lo sepan todo sobre el asunto?¿Cuántas llamadas son necesarias si son n personas?

Problema 1, OMCC 2004

En una pizarra se escriben los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dos jugadores A y B

juegan por turnos. Cada jugador en su turno escoge uno de los números que quedan en

la pizarra y lo borra junto con todos sus múltiplos. El jugador que borra el último

número pierde. A juega primero. Determinar si alguno de los jugadores tiene una

estrategia ganadora y explicar cuál es esa estrategia.

Problema 5, Olimpiada Española 1994

Con 21 fichas de damas, unas blancas y otras negras, se forma un rectángulo de 3x7.

Demostrar que siempre hay cuatro fichas del mismo color situadas en los vértices de

un rectángulo.

Problema 2, Olimpiada Española 2001

Consideramos los siguientes 27 puntos de un cubo: el centro (1), los centros de las

caras (6), los vértices (8) y los centros de las aristas (12). Coloreamos cada uno de esos

puntos de azul o de rojo. ¿Puede hacerse de modo que no haya tres puntos del mismo

color alineados? Demuéstralo.

Problema5, Olimpiada Colombiana 2004

Se tiene un cubo de lado par ubicado en el espacio, de forma que tres de sus aristas

están ubicadas sobre los ejes de coordenadas. Se toma el centro del cubo y se trazan las

líneas que lo unen con los cuatro vértices de una de las caras, formándose así una

pirámide entre esa cara y el centro. Si el lado del cubo es 2n para algún valor entero de

n, demostrar que el número de puntos con todas sus coordenadas enteras que se

encuentran dentro de la pirámide o sobre su superficie es

𝑛 + 1 (4𝑛2 + 8𝑛 + 3)

3.

Problemas de ecuaciones

Nivel II (2). Eder Jacobo

Problema 1

Determine todos los primos 𝑝 para los cuales el sistema

𝑝 + 1 = 2𝑥2

𝑝2 + 1 = 2𝑦2

tiene solución, con 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ.

Problema 2

Determine todas las funciones 𝑓: ℤ → ℤ tales que

𝑓 𝑥 + 𝑦 + 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 + 1

para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ .

Problema 3

Demuestre que la ecuación

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 362

no tiene soluciones en enteros positivos.

Problema 4

Sean las funciones

𝑓 𝑥 = 𝑥5 + 5𝑥4 + 5𝑥3 + 5𝑥2 + 1

𝑔 𝑥 = 𝑥5 + 5𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 1.

Determine todos los números primos 𝑝 para los cuales existe un número natural

0 ≤ 𝑥 < 𝑝, para el cual 𝑓(𝑥) y 𝑔 𝑥 son divisibles por 𝑝, y para cada 𝑝 encuentre todos

los 𝑥.

Problema 5

Determine todos los pares 𝑥, 𝑦 de enteros positivos tales que

𝑥𝑥+𝑦 = 𝑦𝑦−𝑥 .

PROGRAMA JÓVENES TALENTO

XI OLIMPIADA MATEMÁTICA DE CENTRO AMÉRICA Y EL CARIBE

REPÚBLICA DOMINICANA 2009

EXAMEN SELECTIVO

Martes 7 de Abril de 2009 Tiempo: 4 horas. Puntuación: 7 puntos por problema.

PROBLEMA 1:

¿Para qué enteros es posible acomodar, en algún orden, los números en forma circular, de manera que cualquier número divida a la suma de los dos números siguientes en el sentido de las manecillas del reloj?

PROBLEMA 2:

Demuestre que la ecuación no tiene soluciones enteras.

PROBLEMA 3:

La bisectriz del ángulo en del triángulo acutángulo corta a en . La perpendicular desde a corta al menor arco del circuncírculo de en . La perpendicular desde hacia corta a en . corta al arco en . Demuestre que

, y están alineados.

PROBLEMA 4:

Sea un entero con . Sea un polígono regular de lados inscrito en el círculo . Tres puntos son escogidos al azar, con . Determine la

probabilidad de que el triángulo sea obtuso.

Nota: la probabilidad de un evento se define como los casos favorables entre los casos posibles; por ejemplo, la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda al aire es ½, dado que se puede obtener cara o corona (2 casos posibles) y de estos, sólo uno es favorable.

SEGUNDO EXAMEN SELECTIVOXI OLIMPIADA

MATEMATICA DE CENTROAMERICA Y EL CARIBE

Sábado 18 de abril de 2009

Tiempo: 4 horas.Puntuación: 7 puntos cada problema.

PROBLEMA 1:Dado el triángulo ABC de centroide G, sean A1, B1, C1 los puntos medios de BC, CA, AB, respectivamente. La paralela por A1 a BB1 corta a B1C1 en F. Demuestre que los triángulos ABC y F1A1A son semejantes si y sólo si AB1GC1 es cuadrilátero cíclico.

PROBLEMA 2:Para cualquier número real x , sea g=[ x] un entero que satisface gxg1 . Se define {x }=x−[x ] . Determine todas las ternas de números reales a ,b , c que satisfacen el

siguiente sistema de ecuaciones:{a}[b ]{c }=2.9

{b}[c ]{a}=5.3

{c}[a]{b }=4.0

PROBLEMA 3:En un torneo juegan n jugadores, cada pareja posible juega exactamente una partida entre si (no hay empates). Pruebe que es posible o bien:

i. partir la liga en dos grupos A y B, de tal forma que todos los jugadores de A derrotaron a todos los jugadores de B; o bien

ii. ordenar todos los jugadores en una cadena x1,x2,..., xn,x1, tal que de esta forma cada jugador derrotó al jugador siguiente.

PROBLEMA 4:Dado a1a2 + a2a3 + ... + an-1an+ana1 = 0 con ai = 1,-1, demuestre que 4|n.

TERCER EXAMEN SELECTIVOXI OLIMPIADA

MATEMATICA DE CENTROAMERICA Y EL CARIBEREPÚBLICA DOMINICANA

Sábado 25 de abril de 2009

Tiempo: 4 horas.Puntuación: 7 puntos cada problema.

PROBLEMA 1:Se da la lista de números naturales 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16, en la cual se escribe el primer impar, los siguientes dos pares, los siguientes tres impares, los siguientes cuatro pares, y así sucesivamente. Determine si el 2009 aparece en la lista, y en caso afirmativo diga qué posición ocupa.

PROBLEMA 2:Sea ABCD un cuadrado, W su circuncírculo, M es un punto en el arco CD que no contiene a A. P y R son las intersecciones de AM con BD y CD respectivamente, Q y S las intersecciones de BM con AC y DC. Demuestre que PS es perpendicular a QR.

PROBLEMA 3:Sean 1=d1d2d3⋯dk=n los divisores de un entero positivo n . Determine todos los números n tales que n=d2

2d3

3 .

PROBLEMA 4:En un torneo de fútbol entre occidente y oriente, en el cual no hubieron empates, participaron 9 equipos mas de occidente que de oriente; cada pareja de equipos jugó exactamente una vez, y en total los equipos de occidente ganaron 9 veces tantos partidos como ganaron los equipos de oriente. ¿Cuál es el máximo número de partidos que un solo equipo de oriente pudo haber ganado?

PRIMER EXAMEN SELECTIVOXXIV OLIMPIADA

IBEROAMERICANA DE MATEMATICAMEXICO 2009

Sábado 23 de mayo de 2009

Tiempo: 4 horas.Puntuación: 7 puntos cada problema.

PROBLEMA 1:Dados 7 puntos sobre el plano (no hay tres puntos alineados) que son unidos por algunos segmentos de recta tales que:

(a) De cada 3 puntos, al menos 2 están unidos por un segmento.(b) El número de segmentos es mínimo.

¿Cuántos segmentos debe tener una figura para que se satisfaga (a) y (b)? Dé una configuración de tal figura.

PROBLEMA 2:Dado el triángulo ABC, sea P un punto sobre el lado AB; las rectas PM y PN son paralelas a AC y BC, respectivamente, con M y N sobre BC y AC; Q es la intersección de los circuncírculos de los triángulos APN y BPM. Demuestre que al variar P todas las rectas PQ pasan por un punto fijo.

PROBLEMA 3:Determine todos los primos p tales que 5p4p4 es un cuadrado perfecto.

PROBLEMA 4:Sean a ,b , c , d ,m ,n enteros positivos tales que a2b2c2d2=1989 , abcd=m2 , y el máximo de a ,b , c , d es n2 . Determine, con prueba, los valores de m y n .

PROGRAMA JÓVENES TALENTO

LI OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA

ALEMANIA 2009

EXAMEN SELECTIVO Martes 7 de Abril de 2009

Tiempo: 4 horas. Puntuación: 7 puntos por problema.

PROBLEMA 1: Dados cuatro puntos no coplanares, ¿cuántas cajas tienen estos puntos como sus vértices? Nota: Una caja está formada por tres pares de planos paralelos. PROBLEMA 2: Pruebe que la ecuación no tiene soluciones en los números enteros. PROBLEMA 3: Sean y suponga que los dos polinomios ,

tienen una raíz irracional común. Pruebe que divide a . PROBLEMA 4: Sea un triángulo isósceles con e incentro . Sea un punto en el circuncírculo de que está dentro de . Las rectas que pasan por y son paralelas a y cortan a en y , respectivamente. La recta por paralela a corta a y en y , respectivamente. Demuestre que las rectas y

se cortan en el circuncírculo de .

XV Olimpiada de Mayo sábado 9 de mayo de 2009

XV OLIMPIADA DE MAYO PRIMER NIVEL

Duración de la prueba: 3 horas. Cada problema vale 10 puntos. No se puede usar calculadora; no se pueden consultar libros ni apuntes. Indique siempre en cada hoja de respuesta su nombre y número de problema que está resolviendo Justifica cada una de tus respuestas. Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.

Olimpíada

de Mayo

PROBLEMA 1

A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el

resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras se multiplican estas

dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación. Por

ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3 × 2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14,

1 × 4 = 4.

Encuentre todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.

PROBLEMA 2

Encuentra números primos p , q , r para los cuales sea . Da todas las posibilidades.

Recuerda que el número 1 no es primo.

PROBLEMA 3

Se tienen 26 tarjetas y cada una tiene escrito un número. Hay dos con el 1, dos con el 2, dos con el 3, y así

siguiendo hasta dos con el 12 y dos con el 13. Hay que distribuir las 26 tarjetas en pilas de manera que se

cumplan las dos condiciones siguientes:

Si dos tarjetas tienen el mismo número están en la misma pila.

Ninguna pila contiene una tarjeta cuyo número es igual a la suma de los números de dos tarjetas de esa

misma pila.

Determina cuál es el mínimo número de pilas que hay que hacer. Da un ejemplo con la distribución de las tarjetas

para ese número de pilas y justifica por qué es imposible tener menos pilas.

ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.

PROBLEMA 4

Tres circunferencias son tangentes entre sí, tal y como se muestra en la figura.

La región del círculo exterior que no está cubierta por los dos círculos interiores

tiene área igual a 2 p .

Determina la longitud del segmento PQ .

QP

PROBLEMA 5

Por las líneas de una cuadrícula formada por 55 líneas horizontales y 45 líneas verticales camina una hormiga. Se

quiere pintar algunos tramos de líneas para que la hormiga pueda ir de cualquier cruce hasta cualquier otro cruce,

caminando exclusivamente por tramos pintados. Si la distancia entre líneas consecutivas es de 10 cm , ¿cuál es la

menor cantidad posible de centímetros que se deberán pintar?

XV Olimpiada de Mayo sábado 9 de mayo de 2009

XV OLIMPIADA DE MAYO SEGUNDO NIVEL

Duración de la prueba: 3 horas. Cada problema vale 10 puntos. No se puede usar calculadora; no se pueden consultar libros ni apuntes. Indique siempre en cada hoja de respuesta su nombre y número de problema que está resolviendo Justifica cada una de tus respuestas. Al participar te comprometes a no divulgar los problemas hasta el 25 de mayo.

Olimpíada

de Mayo

PROBLEMA 1

Inicialmente en el pizarrón está escrito el número 1. En cada paso, se borra el número del pizarrón y se escribe

otro, que se obtiene aplicando una cualquiera de las siguientes operaciones:

Operación A: Multiplicar el número del pizarrón por 1

2.

Operación B: Restarle al 1 el número del pizarrón.

Por ejemplo, si en el pizarrón está el número 3

8se lo puede reemplazar por

1 3 3

2 8 16 o por

3 51

8 8 .

Da una secuencia de pasos al cabo de los cuales el número del pizarrón sea 2009

2009

2.

PROBLEMA 2

Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que el triángulo ABD es equilátero y el triángulo BCD es isósceles, con

. Si E es el punto medio del lado AD , calcula la medida del ángulo .

PROBLEMA 3

En la siguiente suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, si suprimimos los dos primeros signos “+” obtenemos la nueva suma

123 + 4 + 5 + 6 = 138. Suprimiendo tres signos “+” podemos obtener 1 + 23 + 456 = 480.

Consideremos ahora la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13, en la que se van a suprimir

algunos signos “+”. ¿Cuáles son los tres menores múltiplos de 100 que podemos obtener de esta forma?

PROBLEMA 4

Cada casilla de un tablero de 5×5 se pinta de rojo o de azul, de tal forma que se cumple la siguiente condición:

“Para cualesquiera dos filas y dos columnas, de las 4 casillas que están en sus intersecciones, hay 4, 2 ó 0

pintadas de rojo.” ¿De cuántas formas se puede pintar el tablero?

PROBLEMA 5

Un solitario se inicia con 25 cartas en fila. Algunas están boca arriba, y otras boca abajo. En cada movimiento se

debe elegir una carta que esté boca arriba, retirarla, y dar vuelta las cartas vecinas a la que se retiró (si las hay).

El solitario se gana cuando se logra, repitiendo este movimiento, retirar las 25 cartas de la mesa.

Si inicialmente hay n cartas boca arriba, halla todos los valores de n para los cuales se puede ganar el solitario.

Explica cómo se gana, independientemente de la ubicación inicial de las cartas boca arriba, y justifica por qué es

imposible ganar para los otros valores de n .

Dos cartas son vecinas cuando una está inmediatamente al lado de otra, a la derecha o a la izquierda.

Por ejemplo: la carta marcada con A tiene dos cartas vecinas y la marcada con B una

sola. Después de retirar una carta queda un hueco, de modo que la marcada con C

tiene únicamente una carta vecina, y la marcada con D no tiene ninguna.

B A C D

Miércoles 15 de julio de 2009

Problema 1. Sea n un entero positivo y sean a1, . . . , ak (k ≥ 2) enteros distintos del conjunto{1, . . . , n}, tales que n divide a ai(ai+1 − 1), para i = 1, . . . , k − 1. Demostrar que n no divide aak(a1 − 1).

Problema 2. Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Sean P y Q puntos interiores de los ladosCA y AB, respectivamente. Sean K, L y M los puntos medios de los segmentos BP , CQ y PQ,respectivamente, y Γ la circunferencia que pasa por K, L y M . Se sabe que la recta PQ es tangentea la circunferencia Γ. Demostrar que OP = OQ.

Problema 3. Sea s1, s2, s3, . . . una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que lassubsucesiones

ss1 , ss2 , ss3 , . . . y ss1+1, ss2+1, ss3+1, . . .

son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión s1, s2, s3, . . . es también una progre-sión aritmética.

Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

Language: Spanish

Day: 1

Jueves 16 de julio de 2009

Problema 4. Sea ABC un triángulo con AB = AC. Las bisectrices de los ángulos 6 CAB y6 ABC cortan a los lados BC y CA en D y E, respectivamente. Sea K el incentro del triánguloADC. Supongamos que el ángulo 6 BEK = 45◦. Determinar todos los posibles valores de 6 CAB.

Problema 5. Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjuntode los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo nodegenerado cuyos lados miden

a, f(b) y f(b + f(a) − 1).

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Problema 6. Sean a1, a2, . . . , an enteros positivos distintos y M un conjunto de n − 1 enterospositivos que no contiene al número s = a1 + a2 + · · · + an. Un saltamontes se dispone a saltara lo largo de la recta real. Empieza en el punto 0 y da n saltos hacia la derecha de longitudesa1, a2, . . . , an, en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de maneraque nunca caiga en un punto de M .

Language: Spanish Tiempo: 4 horas y 30 minutosCada problema vale 7 puntos

Language: Spanish

Day: 2

Soluciones a la columna de problemas Eduardo Arnoldo Aguilar Cañas, 4° año Ingeniería Industrial UCA conciclicboy@hotmail.com Problema 1

a) El total de cubitos repartidos por la profesora estaría dado por la suma de los

primeros 1 + 2 + ⋯𝑁 =𝑁 𝑁+1

2 números impares consecutivos, esa suma sería:

1 + 3 + 5 + ⋯ + 2 𝑁 𝑁+1

2 =

𝑁(𝑁+1)

2

2, el cual es un cuadrado perfecto.

b) El número de cubitos que le da al K-ésimo niño está dado por la diferencia entre el K-ésimo total y el (K-1)-ésimo total de cubitos, esto es:

𝐾(𝐾+1)

2

2−

𝐾(𝐾−1)

2

2=

𝐾2

4 (𝑘 + 1)2 − (𝑘 − 1) 2 =

𝐾2

4 4𝐾 = 𝐾3 que es el número de

cubitos que se necesita para construir un cubo de lado K.

Problema 2 Fe de errata: En la pasada edición presentamos el problema con el siguiente enunciado: Una caja contiene p bolas blancas y q bolas negras, y fuera de ella hay una pila de bolas negras. Se extraen dos bolas de la caja. Si las bolas son del mismo color, se reemplazan con una bola negra de la pila. Si las bolas son de diferente color, se devuelve a la caja sólo la bola negra. Si se repite este proceso hasta que queda una sola bola en la caja, calcular la probabilidad de que la última bola sea blanca. El enunciado correcto era: Una caja contiene p bolas blancas y q bolas negras, y fuera de ella hay una pila de bolas negras. Se extraen dos bolas de la caja. Si las bolas son del mismo color, se reemplazan con una bola negra de la pila. Si las bolas son de diferente color, se devuelve a la caja sólo la bola blanca. Si se repite este proceso hasta que queda una sola bola en la caja, calcular la probabilidad de que la última bola sea blanca al hacer variar aleatoriamente el valor de p. Solución: Notemos que si saco dos bolas del mismo color, el número de blancas se mantiene constante o se aumenta en 2. Y si saco dos bolas de distinto color el número de bolas blancas se mantiene constante. En cualquiera de los casos la paridad del número de bolas blancas se mantendrá invariable. Pero si al final quiero que me quede una sola bola blanca, el número P debe de ser impar. Entonces la probabilidad de que la bola sea blanca es la probabilidad de que P sea impar, esto

es 1

2= 0.5.

Problema 3 Al completar cuadrados obtenemos: −𝑥2 + 4𝑝𝑥 − 𝑝 + 1 = − 𝑥2 − 4𝑝𝑥 + 4𝑝2 + 4𝑝2 − 𝑝 + 1 = (𝑥 − 2𝑝)2 + 4𝑝2 − 𝑝 + 1 De donde se sabe que el vértice de la parábola es (2𝑝, 4𝑝2 − 𝑝 + 1). Además como la base está dada por las intersecciones de la parábola con el eje x, la magnitud de su base estaría dada por la diferencia de las dos raíces del polinomio, esto es:

𝑥1 − 𝑥2 = −4𝑝 + (4𝑝)2 − 4 −1 (1 − 𝑝)

2(−1)−

−4𝑝 − (4𝑝)2 − 4 −1 (1 − 𝑝)

2(−1)

= 16𝑝2 − 4𝑝 + 4 = 2(4𝑝2 − 𝑝 + 1)12

Entonces el área del triángulo sería 𝐴 =(4𝑝2−𝑝+1)×2(4𝑝2−𝑝+1)

12

2= (4𝑝2 − 𝑝 + 1)

3

2

Entonces (4𝑝2 − 𝑝 + 1)3 = 𝐴2, de donde podemos concluir que los dos términos son enteros pues A se definía como un entero, por lo que (4𝑝2 − 𝑝 + 1)3 es entero, pero sabemos su raíz cúbica o (4𝑝2 − 𝑝 + 1) es racional pues p así estaba definido, así que (4𝑝2 − 𝑝 + 1) debe ser entero, pues si no fuera entero fuera una raíz cúbica irracional. Entonces un cubo perfecto es igual a un cuadrado perfecto, por lo que podemos decir que los dos números son una potencia sexta, así que (4𝑝2 − 𝑝 + 1) 3 = (𝐴′)6 = (𝐴´3)2, de donde podemos deducir que 4𝑝2 − 𝑝 + 1 = (𝐴´3)2 = 𝑞2, que es un cuadrado perfecto donde q es entero.

Si 4𝑝2 − 𝑝 + 1 = 𝑞2, al despejar p con la fórmula cuadrática 𝑝 =1± 16𝑞2−15

8 y para que p sea

racional su discriminante debe ser racional, por lo tanto 16𝑞2 − 15 = 𝑟2 , con r perteneciente a los enteros, pues habíamos demostrado que q era entero. Despejando y factorizando: 4𝑞 + 𝑟 4𝑞 − 𝑟 = 15 Pero como q y r son enteros las únicas dos descomposiciones en factores posibles son:

4𝑞 + 𝑟 = 5 y 4𝑞 − 𝑟 = 3, de donde q=1 y r=1, por lo que 𝑝 = 0,1

4

4𝑞 + 𝑟 = 15 y 4𝑞 − 𝑟 = 1, de donde q=2 y r=7, por lo que 𝑝 = 1,−3

4 .

Problema 4

La suma del total de cartas que estuvieron en juego es 4 10×11

2 = 4 × 55 = 220.

Pero como agregábamos o quitábamos de 15 en 15 las cartas, el total de cartas al inicio del juego mantendrá el residuo en módulo 15 de las cartas que tendremos al final del juego. Entonces 220 ≡ 10 ≡ 5 + 3 + 9 + 𝑥 ≡ 17 + 𝑥 ≡ 2 + 𝑥 𝑚𝑜𝑑 15 , y como sabemos que 𝑥 ≤ 10, 𝑥 = 10 − 2 = 8.

Solucion al Problema 5

Hallar las condiciones necesarias y suficientes para garantizar que la curva y = log x y la recta y =px + q no tengan puntos en comun.

Examen de admision de la Universidad de Kioto (2008)

La siguiente solucion se basa en un poco de intuicion geometrica. Como en la figura, consideremos unpunto Q = (0, q) sobre el eje y. Al trazar la tangente a la grafica desde Q es facil darse cuenta queuna recta arbitraria y = px + q que pase por Q no cortara a la grafica del logaritmo siempre y cuando“quede arriba” de la tangente que trazamos; en otras palabras, la pendiente de la recta (que es p) debeser mayor que la pendiente de la tangente. Observemos que si p < 0 la recta obviamente interseca ala grafica, ası que podemos asumir que p ≥ 0. Ahora bien, dado que (log x)′ = 1/x, la ecuacion de latangente a la curva y = log x trazada desde el punto (x0, log x0) es

y =1x0

(x− x0) + log x0 =1x0

x + log x0 − 1.

Como la recta pasa por q tenemos que q = log x0− 1, o bien log x0 = q + 1. Luego la desigualdad entrelas pendientes queda p > 1/x0, esto es, 0 < log px0 = log p + q + 1, y por tanto la condicion necesariay suficiente para que y = px + q no interseque a la grafica es p < 0 o log p + q + 1 > 0. �

Columna de problemas (2)

6. Hallar todas las soluciones enteras de la ecuacion

2x2 + 5y2 = 11(xy − 11).

(Baltic Way 1998 )

Propuesto por Jonathan Gamez, Universidad Centroamericana “Jose Simeon Canas”

7. Sea P un punto dentro del triangulo ABC. Sean X, Y y Z las intersecciones de AP , BP y CPcon BC, CA y AB, respectivamente. Sean M1, M2 y M3 los puntos medios de CA, AB y BC, yN1, N2 y N3 los puntos medios de ZX, XY y Y Z, respectivamente. Probar que M1N1, M2N2

y M3N3 son concurrentes. (Revista “In the World of Mathematics”, problema 221 )

Propuesto por Arnoldo Aguilar, Universidad Centroamericana “Jose Simeon Canas”

8. Metodo de Viete para resolver ecuaciones cubicas. Dada la ecuacion cubica reducida

x3 = 3px+ 2q,

basandose en la sustitucion x = 2√p cos θ demostrar que si q2 ≤ p3 la ecuacion admite una

solucion realx = 2

√p cos

φ+ 2mπ3

,

donde m es un entero y φ = arc cosq

p√p. (Modificado por el editor)

Propuesto por Oscar Hernandez, Universidad de El Salvador

9. Si m > n son enteros positivos, calcular el valor del determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(m

0

) (m

1

)· · ·

(m

n

)(m+ 1

0

) (m+ 1

1

)· · ·

(m+ 1n

)...

.... . .

...(m+ n

0

) (m+ n

1

)· · ·

(m+ n

n

)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

(Tomado del libro “Putnam and Beyond”, por T. Andreescu y R. Gelca)

Propuesto por el editor

10. Sean n y k enteros positivos, y f(x) =1

xk − 1. Dado que existe un polinomio pn(x) tal que

f (n)(x) =pn(x)

(xk − 1)n+1,

hallar pn(1). (Competencia Putnam 2002 )

Propuesto por el editor