NOMBRES ENTERS

Tipus de nombresEls nombres naturals ( ) s’utilitzen per

ordenar, comptar i codificar

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....

Els nombres enters ( ) estan formats pels

nombres naturals precedits del signe – o + .

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....

Exemples:

Saldo del banc: -1500€ o +200€

Temperatura: -3ºC o 18ºC

Planta d’un edifici: -2 o 15

Representació nombres enters

Valor absolut d’un nombre enter és el nombre prescindint del signe.

|+a| = a i |-a| = a

|-8| = 8 valor absolut de -8 és el 8

|+2| = 2 valor absolut de +2 és el 2

Suma de nombres enters• Per a sumar dos nombres de mateix signe:

– S’escriu el mateix signe dels sumands

– Se sumen els valors absoluts dels sumands• Exemple:

» (+2) + (+3) = +5

» (-1) + (-3) = - 4

• Per a sumar dos nombres de diferent signe:– S’escriu el mateix signe del sumand que té valor absolut

més gran

– Es resten els valors absoluts dels sumands• Exemple:

» (-2) + (+9) = +7

» (+1) + (-8) = - 7

Suma de nombres enters

• Opció A: S’efectuen les sumes en ordre que

apareixen

(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) =

(- 8) + (+4) + (-1) =

(- 4) + (-1) = - 5

• Opció B: Reordenem els sumands. Els positius junts i

els negatius junts i després efectuem les sumes

corresponents.

(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) = (- 3) + (- 5) + (- 1) + (+4)=

(-9) + (+4) = - 5

Restes de nombres entersQuan trobem el signe – pot tenir dos significats:• Indica l’operació de resta• Indica un nombre enter negatiu

Ex: (+ 5) – (- 2) =

Quan volem fer una resta d’un nombre enter negatiu, podem fer-ho de dues maneres:

• Convertim el signe - +

Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 + 2 = + 7

• Substituïm el subtrahend (el que va restat) pel seu oposat:

Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 +op(- 2) = +5 + 2 = 7

Practica sumes i restes de nombres enters

(-6) + (+5) = (-3) + (-4) =

(+4) + (-2) = (+1) + (+3) =

(+3) + (+7) = (-5) + (-9) =

(+7) + (-4) = (-8) + (+2) =

(-6) - (+5) = (-5) - (-9) =

(+4) - (-2) = (-8) - (+2) =

(-4) - (-7) = (+7) - (-4) =

(-15) + (-7) - (-4) + (+4) =

(+9) - (-3) - (+8) + (-12) =

(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) =

Solucions(-6) + (+5) = -1 (-3) + (-4) = -7

(+4) + (-2) = +2 (+1) + (+3) = +4

(+3) + (+7) = +10 (-5) + (-9) = -14

(+7) + (-4) = +3 (-8) + (+2) = -6

(-6) - (+5) = -11 (-5) - (-9) = +4

(+4) - (-2) = +6 (-8) - (+2) = -10

(-4) - (-7) = +3 (+7) - (-4) = +11

(-15) + (-7) - (-4) + (+4) = -14

(+9) - (-3) - (+8) + (-12) = -8

(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) = +8

Multiplicacions de nombres enters

Per multiplicar dos nombres enters:

• Es multipliquen els valors absoluts del

diferents valors

• S’utilitza la regla del signe:

(+) · (+) = + (+4) x (+5) = +20

(-) · (-) = + (-4) x (-3) = +12

(+) · (-) = - (+4) x (-2) = -8

(-) · (+) = - (-5) x (+2) = -10

Propietats de la multiplicació

Propietat commutativa a · b = b · a

3 · (-2) = (-2) · 3

Propietat associativa (a · b) · c = a · (b · c)

(-3 · 2) · 5 = -3 · ( 2 · 5)

- 6 · 5 = -3 · 10

Element unitat a · 1 = a

-5 · 1 = -5

Propietat distributiva a · (b + c) = a · b + a · c IMP

-2 · (5 + 3) = -2· 5 + (-2) · 3

-2 · 8 = -10 - 6

Factor comú

Treure factor comú significa trobar un element comú a

un conjunt de sumands

(4 · 3 ) + (3 · 8) = 3 · (4 + 8)

(-4 · 6) + (-4 · 2) – (5 · (-4)) = -4 · (6 + 2 – 5)

(5 · 2 · 4) - (10 · (-3)) = 10 · (4 – (-3))

Exercici. Treu factor comú:

6 · 4 + 4 ·3=

-5 · 3 + 3 · 4 – 3 · 2 · 7=

4 . (-7) – (-7) · 3 =

Divisió de nombres enters

Per dividir dos nombres enters:

• Es divideixen els valors absoluts dels diferents

valors

• S’utilitza la regla del signe:

(+) : (+) = + (+40) : (+5) = +8

(-) : (-) = + (-45) : (-3) = +15

(+) : (-) = - (+44) : (-2) = -22

(-) : (+) = - (-50) : (+2) = -25

Exercicis multiplicacions i divisions d’enters

56 : (-4) =

(-24) : 4=

-30 : (-6) =

60: (-5) =

(+44) : (+2)=

12 : (-3) =

(-51) : (-3) =

-44 : (-11) =

(-40) : 4=

5 · (-4) =

-2 · (4)=

-3 ·(-6)=

(+4) · 2=

(-5) · (-3) =

-4 · 4=

(-2) · (-7) =

(+3) · (-2)=

-10 · 5=

Descomposició

La descomposició d’un nombre en factors primers consisteix en expressar el nombre com a multiplicació

de nombres primers.

30 = 2 · 3 · 5

45 = 32 · 5

80 = 24 · 5

Operacions combinades• Ordre de les operacions:

– En primer lloc, s’efectuen les operacions de dins els

parèntesis.

– A continuació, efectuem calculem les multiplicacions i les

arrels, seguidament fem les multiplicacions i les divisions

en l’ordre que apareixen.

– Finalment, es fan les sumes i restes

• Exemple:

- [5 + 7 x (-3)] + 21 : 7 – 4=

- [5 + (-21)] + 21 :7 – 4=

- (-16) + 21 :7 – 4=

+16 + 3 – 4= +15

Exemple 1: +3 – (+4) x (-2)=

1. Multiplicar +3 – (-8)=

2. Eliminar parèntesis +3 +8=

3. Sumar +11

Exemple 2: +1+ (-6): (+4-7)=

1. Operar el parèntesi +1 + (-6): (-3)=

2. Divisió +1 + (+2)=

3. Treure parèntesis +1 + 2 =

4. Sumar +3

Exemple 3: -4 +[-3 – (-14):(+2)]=

1. Operar el parèntesis petit - 4 + [-3 – (-7)]=

2. Treure parèntesis -4 + ( -3+7)=

3. Suma parèntesis -4 + (+4)=

4. Sumar 0

Potenciació i radicació

• Una potència és una multiplicació de nombres iguals

• El factor que es repeteix és la base

• El nombre de vegades que es repeteix és l’exponent

-3 · (-3) = (-3)2 es llegeix -3 al quadrat

5 · 5 · 5 = 53 es llegeix 5 al cub

6 · 6 · 6 · 6 = 64 es llegeix 6 elevat a quatre

COMPTE!

No és el mateix - 22 que (- 2)2

-22 = - (2 · 2) = - 4

(-2)2 = (-2) · (-2) = 4

Operacions amb potènciesUna potència d’exponent 1 és igual a la base a1 = a

41 = 4

(-5)1 = -5

Una potència d’exponent 0 és igual a 1 a0 = 1

30 = 1

(-2)0 = 1

Si l’exponent és parell, la potència sempre serà positiva

42 = 16

(-5)2 = -5 · (-5) = 25

Si l’exponent és imparell, la potència tindrà el mateix signe que la

base positiva

53 = 5 · 5 ·5 = 125

(-5)3 = -5 · (-5) · (-5)= -125

Operacions amb potènciesMultiplicació de potències – mateixa base am · an = a m+ n

72 · 73 = 7 2 + 3 = 75

(-7)2 · (-7)3 = (-7) 2 + 3 = (-7)5

Divisió de potències – mateixa base am : an = a m- n

35 : 33 = 3 5 – 3 = 32

(-3)5 : (- 3)3 = (-3) 5 – 3 = (-3)2

Potència d’un producte (a · b)n = an · bn

( 3 · 6)2 = 32 x 62

( -3 · 6)2 =(-3)2 · 62

Potència d’una potència (am)n = a m·n

(45)3 = 45·3= 415

[(-7)3]2 = (-7)3·2= (-7)6

Potències d’exponent negatiu

6

6

4

14

1n

n

aa

Una potència d’exponent negatiu expressa l’invers de la corresponent potència ambexponent positiu.

Operacions amb exponent negatiu:

43 · 4-5 = 43 + (-5) = 4-2

25353

5

3

5

353 444:44

4

4

1·44·4

Exercicis de potències

Expressa el resultat en forma d’una sola potència:

(-5)2· (-5)3 = 153 · 154=

3 · 33 · 3-2 = (-2)4 · 23=

46 : 43 = 78 : 710 =

106: 106 = (-9)6 : (-9)8 =

(102)3 = (5-3)4 =

[(-11)3]3 = [(-4)4]-2 =

(33 · 3)4= (52 · 5-4)-2=

47 · 44 (-2)4 · (-2)5

42 · 43 (-2) · (-2)3

Exercicis resolts

Expressa el resultat en forma d’una sola potència:

(-5)2· (-5)3 = (-5)5 153 · 154= 157

3 · 33 · 3-2 = 32 (-2)4 · 23=24·23=27

46 : 43 = 43 78 : 710 = 7-2

106: 106 =100=1 (-9)6 : (-9)8 = (-9)-2

(102)3 = 106 (5-3)4 = 5-12

[(-11)3]3 = (-11)9 [(-4)4]-2 =(-4)-8

(33 · 3)4= (34)4= 316 (52 · 5-4)-2= (5-2)-2= 54

47 · 44 = 411 = 46 (-2)4 · (-2)5 = (-2)5

42 · 43 45 (-2) · (-2)3

Exercicis

Operacions combinades:

25:5)9(:45)2·(2

)2(10

)23()3·(5)104)·(3(

)7·(62:2)21·(5)2·(3

332

4

22

2423

Potències de 10

Qualsevol nombre seguit de zeros es pot expressar com el producte d’aquest nombre per una potència de 10 d’exponent positiu

90.000 = 9·104

-4.500.000 = -45· 105

Qualsevol nombre decimal on la part entera és nul·laes pot expressar com el producte de la xifra decimal per una potència en base 10 d'exponent negatiu

0,00004 = 4· 10-5

0,0025 = 25 · 10-4

Descomposició polinòmica

Qualsevol nombre pot escriure’s com una

suma de naturals que multipliquen a potències

de base 10, és el que es coneix com

descomposició polinòmica d’un nombre:

975 = 9·102 + 7·101 + 5·100

18067 = 1·104 + 8·103 + 0·102 + 6·101 + 7·100

Factors de conversió• Quants mm són 150cm?

mmcm

mmcm 1500

1

10150

• Quants cm són 37 nanòmetres?

nmm

cm

nm

mnm 7

9

10·371

100·

1

1037

Tera- (T) 1012

Giga- (G) 109

Mega- (M) 106

Quilo- (K) 103

Hecto- (H) 102

Deca- (D) 101

------------

deci- (d) 10-1

centi- (c) 10-2

mil·li- (m) 10-3

micro- (μ) 10-6

nano- (n) 10-9

pico – (p) 10-12

Notació científica

• Quan es fan servir quantitats molt grans o molt

petites, és convenient utilitzar l'anomenada notació

científica.

• Consisteix a utilitzar potències de 10, la qual cosa

evita fer servir nombres amb molts zeros.

• Un nombre en notació científica consta d’una única

xifra no nul·la davant de la coma decimal, multiplicada

per una potència de deu

2,689 ·106 = 2 689 000

3,742 · 10-5 = 0,00003742

Arrels quadrades

• S’anomena quadrat perfecte quan un nombre

natural és el quadrat d’una altre

– Exemple: 64 és un quadrat perfecte (quadrat de 8)

• Les arrels quadrades d’un nombre negatiu no

tenen solució

• Qualsevol arrel té dues solucions, una de

positiva i l’altre de negativa

(-7)2 = 49 i (+7)2 = 49

7;7749

Arrels

228

224

8587

645849

645849

3 33

2

En els exercicis, només considerem el resultat positiu de l’arrel

Arrels

Expressa cada arrel com a producte de dues arrels

quadrades exactes i calcula

490000)

36)

1600)

5010·5100·252500:

c

b

a

Exemple

Operacions combinades

• En primer lloc, efectuarem potències i arrels en l’ordre

que apareixen

• Seguidament, multiplicacions i divisions

• I finalment, sumes i restes.

818668132

25:150)8·(1024

625:150)53·()4(

625:1505)6(:18·)4(

625:1505)6(:324·)4(

5

5

5

Càlcul d’arrels quadrades

Càlcul d’arrels quadrades

Operacions combinades

Calculadora

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quincena1/1quincena1_contenidos_5b.htm