Nome: nº Data: / / 2017 Professor: Gustavo Bueno...

Nome:________________________________________________________nº_______ Data: _ _ / _ / 2017

Professor: Gustavo Bueno Silva - Ensino Médio - 3º ano_____________

Lista de Revisão para Substitutiva e A.P.E.

Matrizes

Determinantes

Sistemas Lineares

Números Complexos

Polinômios

1. (Espcex (Aman) 2017) Considere a matriz

3 3

3

a a b b

M a a 0 .

2 5 3

Se a e b são números reais não nulos e

det(M) 0, então o valor de 2 214a 21b é igual a

a) 15

b) 28

c) 35

d) 49

e) 70

2. (Fgv 2017) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da

matriz representa uma letra do alfabeto.

A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela

matriz 3 1

B5 2

obtendo-se a matriz codificada B A.

Sabendo que a matriz B A é igual a 10 27

,21 39

podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é:

a) 46

b) 48

c) 49

d) 47

e) 50

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Utilize o fragmento de texto abaixo para responder à(s) questão(ões).

O salário total ST(x) de um funcionário de certa empresa é composto de duas partes, uma fixa no valor de

R$ 1.230,00 e outra que varia de acordo com a função s(x) 10x det A, sendo x o tempo de serviço, em

anos, do funcionário na empresa, com

21 x x

A 2 1 0 .

3 5 1

3. (G1 - ifsul 2017) A função que descreve o salário total do funcionário é

a) 2ST(x) 7x 8x 1231

b) 2ST(x) 7x 10x 1230

c) 2ST(x) 7x 10x 1231

d) 2ST(x) 7x 8x 1230

4. (G1 - ifal 2016) A matriz ijA (2 3) tem elementos definidos pela expressão 3 2ija i – j . Portanto, a matriz

A é

a) 0 3 8

.7 4 1

b) 0 7 26

.3 4 23

c)

0 3

7 4 .

26 23

d)

0 7

3 4 .

8 1

e) 0 1 2

.1 0 1

5. (Unicamp 2015) Considere a matriz a 0

A ,b 1

onde a e b são números reais. Se 2A A e A é

invertível, então

a) a 1 e b 1.

b) a 1 e b 0.

c) a 0 e b 0.

d) a 0 e b 1.

6. (Uerj 2017) Observe a matriz:

3 t 4

3 t 4

Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

7. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada

cos17 0 sen17

M 1 1 1

sen28 0 cos28

o valor do determinante de 10M é

a) 1

16

b) 1

32

c) 1

64

d) 1

128

e) 1

256

8. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere as funções

x 0 x

f(x) 1 x 2

2 1 1

e

x 1 4

g(x) 10 11 x .

1 2 0

Desta forma,

pode-se afirmar que o ponto de interseção das funções f(x) e g(x), é:

a) (6, 30)

b) (9, 90)

c) (9, 72)

d) (6, 42)

e) (6, 42)

9. (Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real

λ na equação det(M I) 0,λ em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de

M, e det representa o determinante da matriz (M I).λ

Se, em um desses estudos, tem-se

0 17 2

M 2 0 0 ,

1 0 0

o valor positivo de λ é igual a

a) 5.

b) 8.

c) 9.

d) 12.

e) 6.

10. (Unisc 2017) Dadas as matrizes 1 2

A3 4

e 1 2

B ,1 0

o determinante da matriz A B é

a) 4

b) 6

c) 8

d) 12

e) 27

11. (Ita 2017) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:

x ay z 2

x 2y 3z 1.

3x az 5

12. (Acafe 2017) Num restaurante, uma torta de legumes pesa 250 gramas, o que equivale a 500 calorias, e

a porção de carne tem 240 gramas e contém 600 calorias. Uma pessoa com restrição alimentar compra uma

torta e uma porção de carne, mas ela sabe que pode ingerir no máximo 824 calorias.

Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, a quantidade de torta e de carne que ela

pode ingerir, então, se essa pessoa consumir entre 180 gramas e 220 gramas de carne, ela só poderá comer

uma quantidade de torta entre:

a) 127 g e 197 g.

b) 138 g e 188 g.

c) 137 g e 187 g.

d) 147 g e 177 g.

13. (G1 - ifsc 2017) Um cliente foi ao caixa do banco do qual é correntista e sacou R$ 580,00. Sabendo-se

que a pessoa recebeu toda a quantia em 47 notas e que eram apenas notas de R$ 5,00 e de R$ 20,00, é

CORRETO afirmar que a pessoa recebeu

a) 25 notas de R$ 5,00 e 22 notas de R$ 20,00.

b) 20 notas de R$ 5,00 e 27 notas de R$ 20,00.

c) 23 notas de R$ 5,00 e 24 notas de R$ 20,00.

d) 27 notas de R$ 5,00 e 20 notas de R$ 20,00.

e) 24 notas de R$ 5,00 e 23 notas de R$ 20,00.

14. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em

A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.

a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C

é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.

b) Para a 2 cm e b 3 cm, determine o valor de c b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C

seja retângulo.

15. (Unicamp 2017) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas

variáveis x, y e z :

x y a,

z y 1,

e

x y 2,

y z b.

Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que

a) a b 0.

b) a b 1.

c) a b 2.

d) a b 3.

16. (G1 - ifal 2017) Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e

Tales e Fermat, 134 kg, determine a massa de Tales, Platão e Fermat juntos:

a) 200.

b) 210.

c) 220.

d) 230.

e) 240.

17. (G1 - ifpe 2017) Karina foi à feira e comprou 15 frutas (maçãs e abacaxis). Karina pagou R$ 0,80 por

cada maçã e R$ 4,50 por cada abacaxi, totalizando R$ 34,20. Karina comprou

a) 6 maçãs.

b) 9 abacaxis.

c) 9 maçãs.

d) 8 abacaxis.

e) 8 maçãs.

18. (Uece 2017) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a 1, então, o valor de 227 6 135 i i i é

igual a

a) i 1.

b) 4i 1.

c) 6i 1.

d) 6i.

19. (Unisc 2017) A parte real do número complexo 21 (3i)

z1 i

é

a) 1

b) 1

c) 2

d) 2

e) 4

20. (Mackenzie 2017) O resultado da expressão 3 2i

1 4i

na forma x yi é

a) 11 14

i17 17

b) 11 14

i15 15

c) 11 14

i17 17

d) 11 14

i15 15

e) 1

3 i2

21. (Eear 2017) Se i é a unidade imaginária, então 3 22i 3i 3i 2 é um número complexo que pode ser

representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante.

a) primeiro

b) segundo

c) terceiro

d) quarto

22. (G1 - ifal 2016) O número complexo Z 1 i representado na forma trigonométrica é

a) 1 22 (cos 45 isen 45 ).

b) 2(cos 90 isen 90 ).

c) 4(cos 60 isen 60 ).

d) 4(cos 60 isen 60 ).

e) 2(cos 90 isen 90 ).

23. (G1 - ifce 2016) Sendo i a unidade imaginária tal que 2i –1, são dados os números complexos

1z 9 3i e 2z –2 i. Ao calcular corretamente o produto 1 2z z , obtemos o número

a) 21 6i.

b) 18 6i.

c) 18 3i.

d) 18 3i.

e) 21 3i.

24. (Uece 2017) O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica 2 3 2 2(x 1) (x x 2) é

a) 4.

b) 4.

c) 8.

d) 8.

25. (Uefs 2017) Considerando-se que o polinômio 3 2P(x) x ax bx c tem 1 como raiz dupla e 3 como

raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x 1) é

a) 20

b) 18

c) 16

d) 14

e) 2

26. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo

binômio (x 1) é igual a 3. Dado que P(0) 6 e P(1) 5, o valor de P(3) é

a) 7

b) 9

c) 7

d) 9

27. (Eear 2017) Considere 3 2P(x) 2x bx cx, tal que P(1) 2 e P(2) 6. Assim, os valores de b e c são,

respectivamente,

a) 1 e 2

b) 1 e 2

c) 1 e 3

d) 1 e 3

28. (Pucrs 2016) O polinômio 3 2p(x) ax bx cx, em é divisível por (x 1). Podemos afirmar que p(p(1))

é

a) 1

b) 0

c) 1

d) a b c

e) a b c

29. (Fgv 2016) Um dos fatores do polinômio 3 2P(x) x 2x 5x 6 é (x 3). Outro fator desse polinômio é

a) (x 8)

b) (x 5)

c) (x 4)

d) (x 1)

e) (x 1)

30. (Espm 2016) O quociente e o resto da divisão do polinômio 2x x 1 pelo binômio x 3 são,

respectivamente:

a) x 2 e 5

b) x 2 e 6

c) x 3 e 2

d) x 1 e 0

e) x 1 e 2

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[C]

3 3

3 4 3 4 3

2 2 2 2

a a b b

detM a a a 3a 5ab 2a b 3a 3ab

2 5 3

ab (5 2a 3b ) 0 a 0 ou b 0 ou 5 2a 3b 0

Como a e b são nulos, devemos considerar que: 2 2 2 25 2a 3b 0 2a 3b 5

Portanto, 2 2 2 214a 21b 7 (2a 3b ) 7 5 35


[D]

Calculando: 10 27 3 1 a b 10 27

B A21 39 5 2 c d 21 39

3a c 3b d 10 27

5a 2c 5b 2d 21 39

3a c a 1

5a 2c c 13

3b d b 15

5b 2d d 18

a b c d 1 13 15 18 47


[A]

Para obter a função que descreve o salário total do funcionário, basta calcular o valor do determinante da

matriz e somá-lo ao salário fixo. Desta forma, utilizando o Método de Sarrus para o cálculo de

determinantes, tem-se que: 2

2 2

2

1 x x 1 x

det(A) 2 1 0 2 1 (1 0 10x ) (3x 0 2x)

3 5 1 3 5

det(A) 7x 2x 1

Somando s(x) 1230 para obter ST(x) temos:

2

2

ST(x) 10x det A 1230 ST(x) 10x (7x 2x 1) 1230

ST(x) 7x 8x 1231


[A]

3 2ij

3 2 3 2 3 2

11 12 13

3 2 3 2 3 221 22 23

a i – j

1 1 1 2 1 3a a a

a a a 2 1 2 2 2

0 3 8

7 4 13


[B]

Sabendo que 2A I A e 12A A I , com 2I sendo a matriz identidade de segunda ordem, temos

2

1 1

2 2

2

A A A A A

A A A A A

A I I

A I .

Por conseguinte, segue que a 1 e b 0.


[A]

Tem-se que

3 t 40 (t 3)(t 4) 12 0

3 t 4

t(t 1) 0

t 0 ou t 1.

Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1.


[B]

De

cos17 0 sen17

M 1 1 1 ,

sen28 0 cos28

cos17 0 sen17

detM 1 1 1 .

sen28 0 cos28

Pela regra de Sarrus,

detM cos17 1 cos28 0 1 sen28 sen17 1 0 sen17 1 sen28 cos17 1 0 0 1 cos28

detM cos17 cos28 sen17 sen28

detM cos 17 28

detM cos45

2detM

2

Então,

10

10

510

10

10

2detM

2

2detM

2

1detM

32


[D]

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x 0 x

f(x) 1 x 2 x x 2x 2x x x

2 1 1

x 11 4

g(x) 10 11 x 11x 80 44 2x 2x 11x 36

1 2 0

2x 11x 36 x x x 12x 36 0 x 6

f(x) y x x 36 6 y 42


[E]

Tem-se que

0 17 2 1 0 0

M I 2 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

17 2

2 0 .

1 0

λ λ

λ

λ

λ

Logo, vem

17 2

det(M I) 0 2 0 0

1 0

( 6)( 6) 0

6 ou 0 ou 6.

λ

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

A resposta é, portanto, 6.λ


[A]

Pelo Teorema de Binet, det(AB) det A detB, ou seja,

1 2 1 2det(AB)

3 4 1 0

det(AB) (1 4 2 3) ( 1 0 2 1)

det(AB) 2 ( 2)

det(AB) 4


Utilizando a Regra de Cramer:

2

SI ou SPI D 0

x ay z 2 1 a 1a' 1

x 2y 3z 1 D 1 2 3 a 7a 6 0a'' 6

3x 0y az 5 3 0 a

Mas,

xx

2x

Dx D 0

D

2 a 1a' 1

D 1 2 3 a 11a 10 0a'' 10

5 0 a

Assim, a 6.


[C]

Calculando:

Para o mínimo de carne:

240 gCarne

600

180 gx 450 calorias

x

250 gTorta 824 cal 450 cal 374 cal

500

yy 187 g

374

Para o máximo de carne:

240 gCarne

600

220 gx 550 calorias

x

240 gTorta 824 cal 550 cal 274 cal

500

yy 137 g

274


[E]

Seja x o número de notas de cinco reais e y o número de notas de vinte reais, temos:

5x 20y 580 x 4y 116

x y 47

y 2347 y 4y 116

x 24


a) Tem-se que

a b 5 a b 5

a c 6 a b 3

b c 9 c 9 b

a 1cm

b 4cm .

c 5cm

b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 2 2 2(c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25

2c 5 25

c 10cm.


[D]

Se o sistema possui solução em comum, o sistema formado pelas quatro equações tem solução. Portanto,

pode-se escrever:

x y a

z y 1

x y 2

y z b

z y 1z x 3

x y 2a b 3

x y az x a b

y z b


[C]

Seja Tales representado por t. Platão representado por p. Fermat representado por f.

Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e Fermat, 134 kg :

t p 159 t p 159 t p 159

p f 147 p f 147 ( 1) p f 147

t f 134 t f 134 t f 134

Somando o sistema temos:

t p 159

p f 147t 73

t f 134

2t 146

Substituindo na primeira equação: t p 159 73 p 159

p 86

Substituindo na última equação temos: t f 134 73 f 134

f 61

Somando os três pesos temos: t p f 73 86 61 220 kg


[C]

Seja maçãs (m) e abacaxis (a) temos: 0,8 m 4,5 a 34,20

m a 15

Desta maneira, 0,8 m 4,5 a 34,20 0,8 m 4,5 a 34,20

m a 15 m 15 a

substituindo a segunda equação na primeira temos: 0,8 (15 a) 4,5a 34,20

12 0,8a 4,5a 34,20

3,7a 22,20

a 6 m 9


[C]

Sabemos que: 227 56 4 3

6 1 4 2

13 3 4 1

Portanto, 227 6 13 3 25 i i i 5 i i i 5i 1 i 6i 1


[E]

2

2

2 2

1 (3i)z

1 i

1 9iz

1 i

1 9z

1 i

8z

1 i

8 1 iz

1 i 1 i

8 8iz

1 i

8 8iz

2

z 4 4i

Re(z) 4


ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Lembrando que 2i 1, temos

2

2

3 2i 3 2i 1 4i

1 4i 1 4i 1 4i

3 12i 2i 8i

1 16i

5 14i.

17 17


[B]

Sendo

3 22i 3i 3i 2 2i 3 3i 2

1 i

( 1,1),

podemos concluir que a imagem do complexo 3 22i 3i 3i 2 está situada no segundo quadrante.


[A]

2

1 2

21 1 2

a 1 2cos cos 45

22

b 1 2sen sen 45

22

Z 2 cos45 i sen 45 2 cos 45 isen 45

ρ ρ

θ θ θρ

θ θ θρ


[E]

29 3i 2 i 18 9i 6i 3i 18 3i 3 ( 1) 21 3i


[B]

Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir x 0. Portanto, o termo

independente de 2 3 2 2(x 1) (x x 2) será dado por: 2 3 2 2(0 1) (0 0 2) 1 4 4


[C]

As raízes são 3, 3 e 1, portanto o polinômio poderá ser escrito na forma fatorada por:

P(x) 1 (x 1) (x 1) (x 3)

Portanto, o resto da divisão de P(x) por (x 1) será dado por P( 1).

P( 1) 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 3) 16


[B]

Seja 2P(x) ax bx c. Se o resto da divisão de P pelo binômio x 1 é igual a 3, então, pelo Teorema do

Resto, segue que a b c 3.

Ademais, sendo P(0) 6 e P(1) 5, temos c 6 e a b c 5. Daí, vem a b 3 e 2b 2, implicando em

b 1 e a 2.

Em consequência, a resposta é 2P(3) ( 2) 3 1 3 6 9.


[D]

Tem-se que

3 22 1 b 1 cP(1 1 22 b c) 4

e

3 2P(2) 6 2 2 b 2 c 2 6 2b c 5.

Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos b 1 e c 3.


[B]

Se p(x) é divisível por (x 1), então, p(1) 0.

Logo, 3 2p(p(1)) p(0) a 0 b 0 c 0 0.


[E]

Como um dos fatores de P x é x 3, x 3 é uma raiz de P x .

Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:

Dessa forma,

2P x x 3 x x 2

Calculando as raízes de 2x x 2 0, obtemos

2x 2 e 3x 1,

logo,

2

2

x x 2 x 2 x 1

x x 2 x 2 x 1

Voltando ao polinômio P x , obtemos:

P x x 3 x 2 x 1

Dessa maneira, os fatores de P x são x 3 , x 2 e x 1 .


[A]

Desde que 2x x 1 (x 3)(x 2) 5, segue o resultado.

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